第4周 等式性质与不等式性质、基本不等式-【周测必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

—80 — (2)若m=65 ,M= x 65≤x≤ 17 10 , 要使集合 M∪N 的“长度”大于35 ,故n-35< 17 10- 3 5 或n>65+ 3 5 ,即n<1710 或n>95 ,又8 5≤n≤2 ,故n∈ 85,1710 ∪ 95,2 . 故答案为:1 10 ; 85,1710 ∪ 95,2 . 【点睛】 本题的关键是充分理解区间长度的定义得到关于m,n 的不等式组,再根据交并集的含义得到不等式组,结合分类讨论 的思想即可. 第三周 常用逻辑用语 考点·一应俱全 1.B [①:当m=0时,方程变为-2x+3=0,显然不是一元二次方 程,因此本序号命题不是真命题;②:因为空集是任何非空集合的 真子集,所以本序号命题是真命题;③:由x>3显然能推出x≥0, 所以本序号命题是真命题;④:因为2+ 3与2- 3的和是有理数 4,但是2+ 3和2- 3都不是有理数,所以本序号命题不是真命 题,故选B.] 2.A [将x=3代入x2-8x+15=0中,得9-24+15=0,所以“x= 3”是“x2-8x+15=0”的充分条件;由x2-8x+15=0,得(x-3) (x-5)=0,即x=3或x=5,∴“x=3”不是“x2-8x+15=0”的必 要条件,∴“x=3”是“x2-8x+15=0”的 充 分 不 必 要 条 件.故 选A.] 3.B [由 x-2 <1可得1<x<3,由“0<x<5”不能推出“1<x< 3”,但由“1<x<3”可 以 推 出“0<x<5”.故“0<x<5”是 “x-1 <1”的必要而不充分条件.故选B.] 4.C [先证-1<x<1⇒x2<1;因为-1<x<1,所以x-1<0,x+1 >0,故(x-1)(x+1)<0,即x2-1<0,故x2<1;再证-1<x<1 ⇐x2<1;因为x2<1,所以x2-1<0,即(x-1)(x+1)<0,故-1 <x<1;综上:“-1<x<1”是“x2<1”的充分必要条件.故选C.] 【破题技巧】 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法:根据p⇒q,q⇒p是否成立进行判断. (2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行 判断. (3)等价转化法:对所给题目的条件进行一系列的等价转化,直 到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止. 5.A [设A= x -2≤x≤10 , B= x 1-m≤x≤1+m ,因为p 是q 的必要不充分条件,所以 B⫋A,所以 m>0 1-m≥-2 1+m≤10 ,解得0<m≤3,当 m=3时,B={x|-2 ≤x≤4},成立,所以0<m≤3.故选A.] 【破题技巧】 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系, 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组) 求解. (2)要注意区间端点值的检验. 6.AD [若“x<k或x>k+2”是“-4<x<1”的必要不充分条件,则 k≥1或k+2≤-4,解得k≤-6或k≥1,所以 AD选项符合,BC 选项不符合.故选AD.] 7.ABD [A选项,矩形的对角线互相平分且相等,为全称量词命题, 且是真命题,A正确;B选项,对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b, 为全称命题,且是真命题,B正确;C选项,有些菱形不是平行四边 形为存在量词命题,C错误;D选项,对任意实数x,不等式x2-3x +7≥0恒成立,为全称量词命题,因为Δ=(-3)2-4×7<0,故不 等式x2-3x+7≥0恒成立,为真命题,D正确.故选ABD.] 【破题技巧】 含量词命题的解题策略 判定全称量词命题是真命题,需证明都成立;要判定存在量词命 题是真命题,只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判 定时,可以先判断其否定的真假. 8.D [命题“∃x>0,x2-2x-7>0”为存在量词命题,其否定为: ∀x>0,x2-2x-7≤0.故选D.] 9.A [易知:∃x∈R,x2-4x+a=0是上述原命题的否定形式,故 其为真命题,则方程x2-4x+a=0有实数根,即Δ=16-4a≥0⇒ a≤4.故选A.] 10.B [x2+2x+2-m<0⇔m>x2+2x+2=(x+1)2+1,P 是假 命题,则其否定∀x∈R,m≤(x+1)2+1恒成立为真,又[(x+ 1)2+1]min=1,故m≤1,故选B.] 【破题技巧】 由命题真假求参数的范围,一是直接由命题的真 假求参数的范围;二是可利用等价命题求参数的范围. 探究·一举突破 探究路径 (1)集合A= x 2a-1<x<3a-1 ,集合B= x -1<x<4 . 因为p是q的充分条件,所以A⊆B, ∴集合A 可以分为A=⌀或A≠⌀两种情况来讨论: 当A=⌀时,满足题意,此时2a-1≥3a+1,解得:a≤-2; 当A≠⌀时,要使A⊆B 成立, 需满足 2a-1≥-1 3a+1≤4 2a-1<3a+1 ⇒0≤a≤1, 综上所得,实数a的取值范围.a≤-2或0≤a≤1 (2)假设存在实数a,使得p是q的充要条件,那么A=B, 则必有 2a-1=-1 3a+1=4 ,解得 a=0a=1 ,综合得a无解. 故不存在实数a,使得A=B, 即不存在实数a,使得p是q的充要条件. 参考答案 (1)a≤-2或0≤a≤1 (2)不存在,理由见解析. 综合·一练到底 1.解 (1)因为命题p 为假命题,故关于x的一元二次方程x2-ax +1=0无解,即Δ=(-a)2-4=a2-4<0,解得-2<a<2,故集 合A= a -2<a<2 ; (2)由t∈A 是t∈B 的必要不充分条件,可知B⫋A, 当B=⌀时,既m+1≥2m+1,解得m≤0,此时满足B⫋A, 当B≠⌀时,如图所示, 故 m>0 2m+1≤2 m+1≥-2 且等号不同时成立,解得0<m≤12, 综上所述,m 的取值范围是 m m≤12 . 【破题技巧】 (1)p为假命题时,既可转化为关于x的一元二次 方程无解,然后利用判别式即可; (2)由t∈A 是t∈B 的必要不充分条件可得B 是A 的真子集, 然后分B 为空集和非空集两种情况讨论即可. 2.解 (1)∵x∈A 是x∈B 的必要不充分条件,∴B 是A 的真子集. ①当B=⌀时,2a-1>a+1⇒a>2, ②当B≠⌀时,∴ 2a-1≤a+1 2a-1>-2 a+1≤1 ,解得-12<a≤0. ∴实数a的取值范围为 -12,0 ∪(2,+∞). (2)由A∩B=⌀,则①当B=⌀时,2a-1>a+1⇒a>2, ②当B≠⌀时,可得 2a-1≤a+1a+1≤-2 或 2a-1≤a+12a-1>1 , 解得a≤-3或1<a≤2. ∴实数a的取值范围为(-∞,-3]∪(1,+∞). 选做·一飞冲天 解 (1)若A∪B=A,则B⊆A, 则 m>0 1+m≤6 1-m≥-2 ,解得0<m≤3, 所以实数m 的取值范围是0<m≤3. (2)若选择条件①,即x∈A 是x∈B 的充分条件,则A⊆B, 所以 1+m≥6 1-m≤-2 ,解得m≥5, 所以实数m 的取值范围是m≥5; 若选择条件②,即x∈A 是x∈B 的必要条件,则B⊆A, 所以 1+m≤6 1-m≥-2 ,解得m≤3. 又m>0,所以0<m≤3,所以实数m 的取值范围是0<m≤3; 若选择条件③,即x∈A 是x∈B 的充要条件,则A=B, 所以 1+m=6 1-m=-2 ,方程组无解,所以不存在满足条件的实数m. 第四周 等式性质与不等式性质、基本不等式 考点·一应俱全 1.90 [设改造前的窗户面积为x,窗户增加的面积为y,x>0,y>0, 依题意 x 180≤ x+y 180+2y ,即180x+2xy≤180x+180y,2xy≤180y,x ≤90,所以改造前的窗户面积最大为90平方米.故答案为:90.] 2.B [对于A,当c=0时,c2=0,若a>b,则ac2=bc2=0,故 A错 误;对于B,因为a c2 >b c2 ,所以c2≠0,即c2>0,所以a>b,故B正 确;对于C,当a=1,b=0,c=-1,d=-2时,满足a>b,c>d,但 是ac<bd,故C错误;对于D,当c=0时,a+cb+c= a b ,故D错误.故 选B.] 3.AD [对于A,由0>c>d和不等式性质可得c2<cd,故 A正确; 对于B,因a>b>0>c>d,若取a=2,b=1,c=-1,d=-2,则a -c=3,b-d=3,所以a-c=b-d,故B错误;对于C,因a>b>0 >c>d,若取a=2,b=1,c=-1,d=-2,则ac=-2,bd=-2,所 以ac=bd,故C错误;对于D,因为a>b>0,则0<1a< 1 b ,又因0 >c>d则0<-c<-d,由不等式的同向皆正可乘性得,-ca < -db ,故c a - d b >0 ,故D正确.故选AD.] 4.C [Q-P=a+mb+m- a b = ab+bm-ab-am b(b+m) = m(b-a) b(b+m) ,∵a,b为 正数,且a<b,m>0,则m (b-a) b(b+m)>0 ,∴Q-P>0,∴P<Q,故 选C.] 【破题技巧】 比较大小的常用方法 (1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论. (2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出 结论. (3)构造函数,利用函数的单调性比较大小. 5.A [设3x-2y=m(x+y)-n(x-y)=(m-n)x+(m+n)y,所 以 m-n=3 m+n=-2 ,解 得 m=12 n=-52 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,即 可 得3x-2y= 12(x+y)+ 5 2 (x-y),因为-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,所以2≤3x-2y=12 (x+y)+52 (x-y)≤8,故选A.] 【破题技巧】 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质. (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围,解 决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关 系,然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 6.C [对 于 A,因 为 x2+5>0,所 以 x2+5+ 1 x2+5 ≥ 2 x2+5· 1 x2+5 =2,当且仅当 x2+5= 1 x2+5 ,即x2= -4,故等号不成立,故A不符合;对于B,因为x2+2>0,所以x2 +2+ 1 x2+2 ≥2 (x2+2)· 1x2+2 =2,当且仅当x2+2= 1 x2+2 , 即x2=-1,故等号不成立,故B不符合;对于C,因为x2>0,所以 x2+1 x2 ≥2 x2·1x2 =2,当且仅当x2=1 x2 ,即x=±1时取等号, 故C符合;对 于 D,因 为 x +3>0,所 以 x +3+ 1x +3≥ 2 (x +3)· 1x +3=2 ,当 且 仅 当 x +3= 1x +3 ,即 x =-2,故等号不成立,故D不符合.故选C.] 【破题技巧】 对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面: 一正:符合基本不等式a+b 2 ≥ ab 成立的前提条件为a>0,b> 0;二定:不等式的一边转换为定值;三相等:必须存在取等号的 条件,即等号成立.以上三点缺一不可. 7.AD [设甲,乙两地之间的距离为s,则全程所需的时间为sa + s b ,所以v= 2ss a + s b =2aba+b ,因 为b>a>0,由 基 本 不 等 式 可 得 ab<a+b2 ,v= 2aba+b< 2ab 2 ab = ab,另 一 方 面 v= 2aba+b< 2· a+b2 2 a+b = a+b 2 ,v-a=2aba+b-a= ab-a2 a+b > a2-a2 a+b =0 ,所以v >a,则a<v< ab,故选AD.] 【技法点拨】 设甲、乙两地之间的距离为s,则全程所需的时间 为s a + s b ,计算全程平均速度v,然后利用基本不等式得出v, ab,a+b2 的大小关系,并利用作差法比较v与a 大小,从而得 到正确选项. 8.A [已知0<x<23 ,则x(2-3x)=13× (3x)(2-3x)≤13× 3x+2-3x2 2 =13. 当且仅当3x=2-3x,即x=13 等号成立.故 x(2-3x)的最大值是13. 故选A.] 9.A [因 为 10>x>0,故 x+ (10-x)≥2 x(10-x),即 x(10-x)≤5,当 且 仅 当 x=5 时,等 号 成 立,所 以 2- x(10-x)≥2-5=-3.故选A.] 10.B [由x>0,得x 2-x+4 x =x+ 4 x -1≥2 x ·4 x -1=3 ,当且 仅当x=4x ,即x=2时等号成立,所以x 2-x+4 x 的最小值为3. 故选B.] 探究·一举突破 探究路径 (1)由题意,当x=0时,t=10,可得10=15-k2 ,解得k=10,所以 t=15- 10x+2 ,因为每件商品的销售价格为2×40+10tt 元, 所以y=2t×40+10tt -40-10t-x=10t+40-x=190- 100 x+2-x ,x≥0. (2)因为x≥0,所以100x+2+x+2≥2 100 x+2 ·(x+2)=20, 当且仅当100 x+2=x+2 时,即x=8时,等号成立, 所以100 x+2+x≥18 ,所以y=190-100x+2-x≤190-18=172 , 故当促销费用x=8(万元),该商家能够获得利润最大,此时利润 最大值为172(万元). 参考答案 (1)y=190-100x+2-x ,x≥0 (2)8万元,172万元 综合·一练到底 1.解 (1)因为x>1,所以x-1>0,4x-1>0 , 所以y= 4x-1+x= 4 x-1+x-1+1≥2 4 x-1 ·(x-1)+1=5, 当且仅当 4 x-1=x-1 ,即x=3时,取等号, 所以函数y= 4x-1+x 的最小值为5; (2)因为x>0,y>0,所以1x>0 ,1 y>0 , 所以 1 x + 1 y = 1x + 1y (4x+y)=4+ yx +4xy +1≥5+ 2 yx ·4x y =9 ,当且仅当 y x = 4x y 4x+y=1 ,即 x=16 y=13 时,取等号, 所以1 x+ 1 y 的最小值为9. 【破题技巧】 (1)通过配凑,然后利用基本不等式直接求解 可得. (2)利用基本不等式“1”的妙用求解可得. 2.解 (1)由x+y=2,得x2+ y 2=1 ,又x>0,y>0, 所以1 x + 9 y = x2 + y2 1x + 9y =5+ y2x+9x2y≥5+ 2 y2x ·9x 2y=8 ,当且仅当y 2x= 9x 2y ,即x=12 ,y=32 时等号成立, 所以1 x+ 9 y 的最小值为8; (2)由4x+1-mxy≥0恒成立,得m≤4x+1xy 恒成立,又x+y=2, 所以4x+1 xy = 4x+12 (x+y) xy = 9x+y 2xy = 1 2 1x+9y , 由(1)可知1x+ 9 y≥8 ,所以1 2 1x +9y ≥4,当且仅当y2x=9x2y, 即x=12 ,y=32 时等号成立,即4x+1 xy ≥4 ,故m 的最大值是4. 选做·一飞冲天 解 因为正实数a,b满足a+2b+5=ab, m2a+b≥ 10-2ab a+2b+5 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 79 — —82 — 所以m≥ (10-2ab)(2a+b) a+2b+5 =- (2a+4b)(2a+b) ab =- 2b+4a (2a+b),因 为 2b + 4a (2a+b)=4ab +2+8+4ba ≥10+ 2 4ab ·4b a =18 ,当且仅当4a b = 4b a ,即a=b=3+ 292 时取等号, 所以- 2b+4a 2a+b ≤-18,所以不等式 m2a+b≥10-2aba+2b+5 恒成立,只需m≥-18即可.故答案为:m≥-18 【技法点拨】 分离参数得m≥- 2b+4a (2a+b)恒成立,即 m≥ - 2b +4a (2a+b) max,然后结合基本不等式求解即 可. 第五周 二次函数与一元二次方程、不等式 考点·一应俱全 1.B [因为(x-1)(x-2023)≥0,所以x≥2023或x≤1,故不等式 (x-1)(x-2023)≥0的解集为{x|x≤1或x≥2023}.故选B.] 2.B [因为(x-2)(3-2x)≥0,所以(x-2)(2x-3)≤0,解得32≤x≤2 , 则不等式(x-2)(3-2x)≥0的解集为 x 32≤x≤2 .故选B.] 3.A [由0<a<1,得1a>1>a>0 ,解不等式(x-a) x-1a <0, 得a<x< 1a ,所 以 不 等 式(x-a) x- 1a <0 的 解 集 是 x a<x<1a .故选A.] 4.B [关于x 的 不 等 式(ax-2)(2x-4)<0,若a=0,不 等 式 为 -2(2x-4)<0,解得x>2,此时解集为(2,+∞);若a≠0,方程 (ax-2)(2x-4)=0,解得x=2a 或x=2,a<0时,不等式(ax-2) (2x-4)<0解得x<2a 或x>2,此时解集为 -∞,2a ∪(2,+∞); 0<a<1时,2a>2 ,不等式(ax-2)(2x-4)<0解得2<x<2a , 此时解集为 2,2a ;a=1时,2a=2,不等式(ax-2)(2x-4)<0 解集为⌀,a>1时,2a<2 ,不等式(ax-2)(2x-4)<0解得2a<x <2,此时解集为 2a,2 ;所以不等式(ax-2)(2x-4)<0的解集 不可能是(-∞,2)∪ 2a,+∞ .故选B.] 【破题技巧】 对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的 分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论. 5.D [因为关 于x 的 一 元 二 次 不 等 式ax2+bx-c<0的 解 集 为 x|3<x<5 ,所以a>0且方程ax2+bx-c=0的解为3,5,所以 -ba =8 ,-ca =15 ,所以b=-8a,c=-15a,则不等式cx2+bx- a>0,即为不等式-15ax2-8ax-a>0,则15x2+8x+1<0,解得 -13 <x< - 1 5 ,所 以 不 等 式 cx2 +bx-a>0 的 解 集 为 x -13<x<-15 .故选D.] 【技法点拨】 由题意可得a>0且方程ax2+bx-c=0的解为 3,5,利用韦达定理将b,c用a 表示,再根据一元二次不等式的 解法即可得解. 6.ABD [由 关 于 x 的 不 等 式 ax2 +bx+c>0 的 解 集 为 x x<-2 或x>3 ,知-2和3是方程ax2+bx+c=0的两个实 根,且a>0,故A正确;根据根与系数的关系知:-ba =-2+3=1 >0,ca =-2×3=-6<0 ,所以b=-a,c=-6a,a>0,选项B,不 等式bx+c>0化简为x+6<0,解得:x<-6,即不等式bx+c>0 的解集是{x x<-6},故B正确;选项C,由于a>0,故a+b+c= a-a-6a=-6a<0,故C不正确;选项D,不等式cx2-bx+a<0 化简为:6x2-x-1>0,解得:x∈ x x<-13或x>12 ,故D 正确;故选ABD.] 7.A [不等式 2x-1≤1 ,即3-x x-1≤0 ,等价于 (3-x)(x-1)≤0 x-1≠0 ,解 得x≥3或x<1,所以原不等式的解集为{x|x≥3或x<1}.故 选A.] 8. x -4<x≤12 [2x-1x+4≤0⇒(2x-1)(x+4)≤0且x+4≠ 0,(2x-1)(x+4)≤0⇒x∈ -4,12 ①,x+4≠0⇒x≠-4 ②,由①②可得2x-1x+4≤0 的 解 集 为: x -4<x≤12 .故 答 案 为: x -4<x≤12 .] 9.D [当a=0时,ax2+(a+2)x+9a=0即为2x=0,不符合题意; 故a≠0,ax2+(a+2)x+9a=0即为x2+ 1+2a x+9=0,令y =x2+ 1+2a x+9,由于关于x 的方程ax2+(a+2)x+9a=0 有两个不相等的实数根x1,x2,且x1<1<x2,则y=x2+(1+ 2 a ) x+9与x轴有两个交点,且分布在1的两侧,故x=1时,y<0,即 1+ 1+2a ×1+9<0,解得2a<-11,故-211<a<0,故选D.] 【技法点拨】 说明a=0时,不合题意,从而将ax2+(a+2)x+ 9a=0化为x2+ 1+2a x+9=0,令y=x2+ 1+2a x+9, 结合其与x轴有两个交点,且分布在1的两侧,可列不等式即可 求得答案. 10.m≤12 [当m=0时,方程为2x+2=0,有一个负根, 当m≠0时,mx2+2x+2=0为一元二次方程, 关于x的方程mx2+2x+2=0至少有一个负根,设根为x1,x2, 当Δ=4-8m=0时,即m=12 时,方程为1 2x 2+2x+2=0,解得 x=-2,满足题意,当Δ=4-8m>0,即m<12 时,且m≠0时, 若有一个负根,则x1x2= 2 m<0 ,解得m<0, 若有两个负根,则 x1+x2=- 2 m<0 x1x2= 2 m>0 ,解得0<m<12, 综上所述,则实数m 的取值范围是m≤12 故答案为m≤12. ] 【破题技巧】 一元二次方程根的分布 解决由一个一元二次方程根的分布情况,确定方程中系数的取 值范围问题,主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组) 进行求解. (1)判别式Δ的符号. (2)对称轴x=-b2a 与所给区间的位置关系. (3)区间端点处函数值的符号. 探究·一举突破 探究路径 (1)设该种玻璃的售价提高到x(x≥25)欧元/平方米, 由题知[80-2(x-25)]x≥2000,即x2-65x+1000≤0,解得25 ≤x≤40,所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. (2)由题意得mn≥2000+500+2m+53 (m2-600),整理得mn≥ 1500+2m+53m 2,两边同除以m 得n≥1500m + 5 3m+2. 又1500 m + 5 3m+2≥2 1500 m ·5 3m+2=102 ,当且仅当1500 m = 5 3m ,即m=30>25时取等号, 所以n≥102,故该种玻璃的销售量n(单位:万平方米)至少达到 102万平方米时,才可能使2025年的销售收入不低于2024年销 售收入与2025年投入之和,此时的售价为30欧元/平方米. 参考答案 (1)40 (2)102万平方米,30欧元/平方米 综合·一练到底 1.解 (1)因为f(x)<0的解集是 x 1<x<3 ,所以1和3为关 于x的方程(a+1)x2-8x+6=0的两根且a+1>0, 所以1×3= 6a+1 ,解得a=1. (2)由(1)可得关于x的不等式x2+mx+4≥0的解集为 R, 所以Δ=m2-4×4≤0,解得-4≤m≤4, 即m 的取值范围为-4≤m≤4. 2.解 (1)不等式y<0即为2x2-(a+2)x+a<0,∴(2x-a)(x-1)<0, 当a<2,即a2<1 时,不等式的解集为 x a2<x<1 , 当a=2,即a2=1 时,不等式的解集为⌀, 当a>2,即a2>1 时,不等式的解集为 x 1<x<a2 , 综上可知:当a<2时,不等式的解集为 x a2<x<1 , 当a=2时,不等式的解集为⌀, 当a>2时,不等式的解集为 x 1<x<a2 . (2)方程2x2-(a+2)x+a=x+1有两个正实数根x1,x2, 即2x2-(a+3)x+a-1=0有两个正实数根x1,x2 故 Δ=(a+3)2-8(a-1)≥0 x1+x2= a+3 2 >0 x1x2= a-1 2 >0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,解得a>1, 所以 x2 x1 + x1 x2 = x21+x22 x1x2 = (x1+x2)2-2x1x2 x1x2 =a 2+2a+13 2(a-1) 令t=a-1,则t>0,故x2x1 + x1 x2 =t2+ 8 t+2≥2+2 t 2 ·8 t =6 当且仅当t 2= 8 t 即t=4,a=5时取得等号, 故 x2 x1 + x1 x2 的最小值为6. 【破题技巧】 根据方程2x2-(a+2)x+a=x+1有两个正实 数根x1,x2 可得相应不等式组,进而表示出 x2 x1 + x1 x2 ,采用换元 法结合基本不等式即可求得答案. 选做·一飞冲天 解 (1)由题意知x2-x-3=x,即x2-2x-3=0,则(x-3)(x+ 1)=0, 解得x1=-1,x2=3,所以不动点为-1和3. (2)依题意,2x2-(3+a)x+a-1=x有两个不相等的正实数根, 即方程2x2-(4+a)x+a-1=0有两个不相等的正实数根, 所以 (4+a)2-8(a-1)>0 4+a 2 >0 a-1 2 >0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,解得a>1, 所以 x1 x2 + x2 x1 = x21+x22 x1·x2 = (x1+x2)2-2x1·x2 x1·x2 = (x1+x2)2 x1·x2 -2 = 4+a2 2 a-1 2 -2= (a+4)2 4 a-1 2 -2= (a-1+5)2 2(a-1) -2= (a-1)2+10(a-1)+25 2(a-1) -2= a-1 2 + 25 2(a-1)+3 , 因为a>1,所以a-1>0,所以a-12 + 25 2(a-1)+3≥ 2 a-12 · 25 2(a-1)+3=8 ,当且仅当a-1 2 = 25 2(a-1) ,即a=6时 等号成立,所以x1 x2 + x2 x1 的最小值为8. (3)由题知:ax2+(b+1)x+(b-1)=x(a≠0), 所以ax2+bx+(b-1)=0,由于函数y=ax2+(b+1)x+(b-1) (a≠0)恒有不动点, 所以Δ=b2-4a(b-1)≥0,即b2-4ab+4a≥0, 又因为b是任意实数,所以Δ'=(-4a)2-16a≤0,即a(a-1)≤0 (a≠0),解得0<a≤1,所以a的取值范围是(0,1]. 【破题技巧】 本题主要考查了新定义,解题关键是把握不动点 的定义,转化为一元二次方程根的问题,结合根与系数、判别式 来求解. 第六周 函数的概念、函数的表示法 考点·一应俱全 1.B [对于A,定义域为 x 0≤x≤1 ,定义域是M 的真子集,故错 误;对于B,定 义 域 为 x 0≤x≤2 ,值 域 为 y 0≤y≤2 ,且 图 像也满足函数定义,故正确;对于C,不满足“从定义域中任意取一 个x 有 唯 一 的 y 与 之 对 应”,故 错 误;对 于 D,定 义 域 为 x 0≤x<2 ,定义域是 M 的真子集,故错误;故选B.] 2.C [对 于 A,y=x 的 定 义 域 为 R,y=(x)2 的 定 义 域 为[0, +∞),定义域不同,不是同一函数,故 A错误;对于B,y= 3 x3= x,y= x2=|x|,表达式不同,不是同一函数,故B错误;对于C, 两函数的定义域,表达式和值域均相同,是同一函数,故C正确;对 于D,y=x-1的定义域为 R,y=x 2 x-1 的定义域为{x|x≠0},定 义域不同,不是同一函数,故D错误.故选C.] 【破题技巧】 函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 (1)函数概念中有两个要求:①A,B 是非空的实数集;②第一个 集合A 中的每个元素在第二个集合B 中有且只有一个元素与 之对应. (2)两个函数满足定义域和对应关系相同时,才是同一个函数. 3.1 [因为f(x)= x 2 1+x2 ,所以f(3)+f 13 = 3 2 1+32 + 1 32 1+1 32 = 9 10+ 1 9 10 9 =1.故答案为:1.] 4. x x≤1且x≠-74 [由题意得 1-x≥04x+7≠0 ,解得x≤1且x≠ - 74 ,∴ 函 数 的 定 义 域 为 x x≤1且x≠-74 .故 答 案 为: x x≤1且x≠-74 .] 5.C [因为函数y= kx2-6kx+9的定义域为 R,则kx2-6kx+9 ≥0恒成立.①当k<0时,函数f(x)=kx2-6kx+9是开口向下 的抛物线,不符合题意;②当k=0时,函数f(x)=9恒满足f(x) =kx2-6kx+9≥0,符合题意;③当k>0时,函数f(x)=kx2- 6kx+9满足f(x)=kx2-6kx+9≥0恒成立的条件是Δ=b2-4ac ≤0,即36k2-4×9k≤0,解得0<k≤1.由①②③知实数k的取值 范围是0≤k≤1;正确答案为C.] 6.[2,6] [由函数y=x2-2x+3=(x-1)2+2, 根据二次函数的性质,当x=1时,得到ymin=2;当x=3时,得到 ymax=6,所以函数y=x2-2x+3在[0,3]的值域为[2,6]. 故答案为:[2,6].] 7. 158,+∞ [令t= x-1,则t≥0,x=t2+1, y=f(x)=2(t2+1)-t=2 t-14 2 +158 , 当t=14 时,y=2(t2+1)-t取的最小值,最小值为158 , 则f(x)的值域为 158,+∞ .故答案为: 158,+∞ .] 【破题技巧】 换元后,转化为二次函数问题,求出值域. 8.f(x)= 2x,0≤x≤1 2,1<x<2 3,x≥2 [当0≤x≤1时,设f(x)=kx(k≠0),又图 象过点(1,2),故k=2,∴f(x)=2x; 当1<x<2时,f(x)=2;当x≥2时,f(x)=3. 综上,f(x)= 2x,0≤x≤1 2,1<x<2 3,x≥2 .故答案为:f(x)= 2x,0≤x≤1 2,1<x<2 3,x≥2 . ] 【破题技巧】 分0≤x≤1,1<x<2与x≥2三种情况,求出解 析式,得到答案. 9.A [f(x)= x+2 ,x≥0 1,x<0 ,则f[f(-1)]=f(1)=1+2=3.故选A.] 10.C [因 为 f(x)= x 2+2,x≤2 2x,x>2 ,又 f(m)=18,所 以 m≤2 m2+2=18 或 m>22m=18 ,解得m=-4或m=9.故选C.] 【技法点拨】 分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值:当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段 上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验. 探究·一举突破 探究路径 (1)当a=1时,由f(x)>0,即x2-2x+1>0,解得x≠1, 所以f(x)>0的解集为 x x≠1 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 81 — — 14 — 第四周 等式性质与不等式性质、基本不等式 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第7题.该题以物理问题为载体,主要考查利用不等式比较大小,题目设置紧扣概 念,考查学生的灵活性,对学生的应用能力要求较高,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共50分) 考点一 用不等式表示不等关系 1.(2025·山东菏泽·质量检测)“双节”遇上亚运会,民宿成为潮流趋势.民宿的改造中,窗户面积 与地板面积之比越大,采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户 和地板的面积,已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍,且民宿改造后的采光效果不逊于 改造前,则改造前的窗户面积最大为 平方米. 考点二 不等式的性质 2.(2025·内蒙古呼和浩特·质量检测)下列说法正确的是 ( ) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a c2 >b c2 ,则a>b C.若a>b,c>d,则ac>bd D.若b>a>0,则a+cb+c> a b 3.(多选)(2025·湖南长沙·质量检测)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确 的有 ( ) A.c2<cd B.a-c<b-d C.ac<bd D.ca- d b>0 考点三 作差法比大小 4.(2025·重庆长寿·质量检测)设a,b为正数,且a<b,记P=ab ,Q=a+mb+m (m>0),则 ( ) A.P=Q B.P>Q C.P<Q D.P,Q 大小关系不确定 考点四 利用不等式求值或取值范围 5.(2025·山东菏泽·阶段练习)已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,则3x-2y的取值范围是 ( ) A.2≤3x-2y≤8 B.3≤3x-2y≤8 C.2≤3x-2y≤7 D.5≤3x-2y≤10 考点五 对基本不等式的理解 6.(2025·上海普陀·质量检测)下列不等式中等号可以取到的是 ( ) A.x2+5+ 1 x2+5 ≥2 B.x2+2+ 1 x2+2 ≥2 C.x2+1 x2 ≥2 D.|x|+3+ 1|x|+3≥2 考点六 由基本不等式比较大小 7.(多选)(2025·广东茂名·质量检测)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和ba<b ,其全程 的平均速度为v,则 ( ) A.a<v< ab B.v= ab C.ab<v<a+b2 D.v= 2ab a+b 考点七 利用基本不等式求最值 8.(2025·广东潮州·质量检测)已知0<x<23 ,则x(2-3x)的最大值是 ( ) A.13 B. 1 4 C. 2 9 D. 1 6 9.(2025·广东韶关·阶段练习)已知10>x>0,则2- x(10-x)的最小值为 ( ) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 10.(2025·湖南娄底·质量检测)已知x>0,则x 2-x+4 x 的最小值为 ( ) A.5 B.3 C.-5 D.-5或3 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 基本不等式的应用 (2025·浙江·杭州质量检测)第19届亚洲运动会在杭州举行,某杭州纪念品商家为了迎合亚运 会拟举行促销活动.经调查测算,商品的年销售量t(万件)与年促销费用x(万元)x≥0 满足如 下关系:t=15- kx+2 (k为常数),如果不搞促销活动,则商品年销售量为10万件.已知商家每年 固定投入40万元(门店租赁、水电费用等),商品的进货价为10元/件,商家对商品的售价定为每 件产品的年平均成本的2倍(产品成本包括固定投入和产品进货投入). 探究问题: (1)将该产品的年利润y(万元)表示为促销费用x(万元)的函数(利润=销售额-产品成本-促 销费用); (2)当促销费用x(万元)为何值时,该商家能够获得利润最大? 此时利润最大值为多少? — 13 — — 16 — 【综合·一练到底】(35分) 1.(2025·广东韶关·阶段练习)(1)已知x>1,求函数y= 4x-1+x 的最小值; (2)已知正数x,y满足4x+y=1,求1x+ 1 y 的最小值. 2.(2025·青海海东·质量检测)已知x>0,y>0,且x+y=2. (1)求1x+ 9 y 的最小值; (2)若4x+1-mxy≥0恒成立,求m 的最大值. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·山西运城·质量检测)已知正实数a,b满足a+2b+5=ab,且不等式 m2a+b≥ 10-2ab a+2b+5 恒 成立,求实数m 的取值范围是. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 15 —