第3周 常用逻辑用语-【周测必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

— 10 — 第三周 常用逻辑用语 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第5题.该题主要考查根据充分条件、必要条件求参数,题目设置紧扣概念,考查学 生对数学问题的转化能力,对学生的理解应用能力要求较高,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共50分) 考点一 判断命题的真假 1.(2025·上海闵行·质量检测)下列命题中: ①关于x的方程mx2-2x+3=0是一元二次方程; ②空集是任意非空集合的真子集; ③如果x>3,那么x≥0; ④两个实数的和是有理数,那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有 ( ) A.①②③ B.②③ C.②③④ D.①②④ 考点二 充分条件、必要条件的判断 2.(2025·湖北荆州·质量检测)“x=3”是“x2-8x+15=0”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2025·湖北·质量检测)设x∈R,则“0<x<5”是“x-2 <1”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2025·宁夏吴忠·质量检测)“-1<x<1”是“x2<1”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点三 根据充分性,必要性求参数 5.(2025·广西南宁·阶段练习)已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q 的必要 不充分条件,则实数m 的取值范围为 ( ) A.0<m≤3 B.0≤m≤3 C.m<3 D.m≤3 6.(多选)(2025·陕西渭南·质量检测)若“x<k或x>k+2”是“-4<x<1”的必要不充分条件,则 实数k的值可以是 ( ) A.-8 B.-5 C.-3 D.1 考点四 全称量词命题与存在量词命题 7.(多选)(2025·广东惠州·阶段练习)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是 ( ) A.矩形的对角线互相平分且相等 B.对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b C.有些菱形不是平行四边形 D.对任意实数x,不等式x2-3x+7≥0恒成立 考点五 全称量词命题与存在量词命题的否定 8.(2025下·青海西宁·阶段练习)命题“∃x>0,x2-2x-7>0”的否定是 ( ) A.∃x≤0,x2-2x-7≤0 B.∃x>0,x2-2x-7≤0 C.∀x>0,x2-2x-7>0 D.∀x>0,x2-2x-7≤0 考点六 根据命题的真假求参数 9.(2025·湖南长沙·阶段练习)若命题“∀x∈R,x2-4x+a≠0”为假命题,则实数a的取值范围是 ( ) A.a≤4 B.a<4 C.a<-4 D.a≥-4 10.(2025·浙江·阶段练习)若命题P:∃x∈R,x2+2x+2-m<0是假命题,则实数m 的取值范 围是 ( ) A.m>1 B.m≤1 C.m<1 D.m≥1 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 根据充分性、必要性求参数 (2025· 海 南 三 亚 · 质 量 检 测)已 知 命 题 p:A = x2a-1<x<3a+1 ,命 题 q:B = x -1<x<4 . 探究问题: (1)若p是q的充分条件,求实数a的取值范围. (2)是否存在实数a,使得p是q的充要条件? 若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. — 9 — — 12 — 【综合·一练到底】(35分) 1.(2025·湖南·质量检测)已知命题p:“∃x∈R,x2-ax+1=0”为假命题,设实数a的所有取值 构成的集合为A. (1)求集合A; (2)设集合B= x m+1<x<2m+1 ,若t∈A 是t∈B 的必要不充分条件,求实数 m 的取值 范围. 2.(2025·云南大理质量检测)已知集合A= x -2<x≤1 ,集合B= x2a-1≤x≤a+1 . (1)若x∈A 是x∈B 的必要不充分条件,求实数a的取值范围; (2)若A∩B=⌀,求实数a的取值范围. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·云南昆明·质量检测)已知集合A= x|-2≤x≤6 ,B= x|1-m≤x≤1+m ,m>0. 请在①充分条件,②必要条件,③充要条件这三个条件中任选一个,补充在下面问题(2)中,若问 题(2)中的实数m 存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由. (1)若A∪B=A,求实数m 的取值范围; (2)若x∈A 是x∈B 的 条件,判断实数m 是否存在? 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 11 — —80 — (2)若m=65 ,M= x 65≤x≤ 17 10 , 要使集合 M∪N 的“长度”大于35 ,故n-35< 17 10- 3 5 或n>65+ 3 5 ,即n<1710 或n>95 ,又8 5≤n≤2 ,故n∈ 85,1710 ∪ 95,2 . 故答案为:1 10 ; 85,1710 ∪ 95,2 . 【点睛】 本题的关键是充分理解区间长度的定义得到关于m,n 的不等式组,再根据交并集的含义得到不等式组,结合分类讨论 的思想即可. 第三周 常用逻辑用语 考点·一应俱全 1.B [①:当m=0时,方程变为-2x+3=0,显然不是一元二次方 程,因此本序号命题不是真命题;②:因为空集是任何非空集合的 真子集,所以本序号命题是真命题;③:由x>3显然能推出x≥0, 所以本序号命题是真命题;④:因为2+ 3与2- 3的和是有理数 4,但是2+ 3和2- 3都不是有理数,所以本序号命题不是真命 题,故选B.] 2.A [将x=3代入x2-8x+15=0中,得9-24+15=0,所以“x= 3”是“x2-8x+15=0”的充分条件;由x2-8x+15=0,得(x-3) (x-5)=0,即x=3或x=5,∴“x=3”不是“x2-8x+15=0”的必 要条件,∴“x=3”是“x2-8x+15=0”的 充 分 不 必 要 条 件.故 选A.] 3.B [由 x-2 <1可得1<x<3,由“0<x<5”不能推出“1<x< 3”,但由“1<x<3”可 以 推 出“0<x<5”.故“0<x<5”是 “x-1 <1”的必要而不充分条件.故选B.] 4.C [先证-1<x<1⇒x2<1;因为-1<x<1,所以x-1<0,x+1 >0,故(x-1)(x+1)<0,即x2-1<0,故x2<1;再证-1<x<1 ⇐x2<1;因为x2<1,所以x2-1<0,即(x-1)(x+1)<0,故-1 <x<1;综上:“-1<x<1”是“x2<1”的充分必要条件.故选C.] 【破题技巧】 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法:根据p⇒q,q⇒p是否成立进行判断. (2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行 判断. (3)等价转化法:对所给题目的条件进行一系列的等价转化,直 到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止. 5.A [设A= x -2≤x≤10 , B= x 1-m≤x≤1+m ,因为p 是q 的必要不充分条件,所以 B⫋A,所以 m>0 1-m≥-2 1+m≤10 ,解得0<m≤3,当 m=3时,B={x|-2 ≤x≤4},成立,所以0<m≤3.故选A.] 【破题技巧】 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系, 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组) 求解. (2)要注意区间端点值的检验. 6.AD [若“x<k或x>k+2”是“-4<x<1”的必要不充分条件,则 k≥1或k+2≤-4,解得k≤-6或k≥1,所以 AD选项符合,BC 选项不符合.故选AD.] 7.ABD [A选项,矩形的对角线互相平分且相等,为全称量词命题, 且是真命题,A正确;B选项,对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b, 为全称命题,且是真命题,B正确;C选项,有些菱形不是平行四边 形为存在量词命题,C错误;D选项,对任意实数x,不等式x2-3x +7≥0恒成立,为全称量词命题,因为Δ=(-3)2-4×7<0,故不 等式x2-3x+7≥0恒成立,为真命题,D正确.故选ABD.] 【破题技巧】 含量词命题的解题策略 判定全称量词命题是真命题,需证明都成立;要判定存在量词命 题是真命题,只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判 定时,可以先判断其否定的真假. 8.D [命题“∃x>0,x2-2x-7>0”为存在量词命题,其否定为: ∀x>0,x2-2x-7≤0.故选D.] 9.A [易知:∃x∈R,x2-4x+a=0是上述原命题的否定形式,故 其为真命题,则方程x2-4x+a=0有实数根,即Δ=16-4a≥0⇒ a≤4.故选A.] 10.B [x2+2x+2-m<0⇔m>x2+2x+2=(x+1)2+1,P 是假 命题,则其否定∀x∈R,m≤(x+1)2+1恒成立为真,又[(x+ 1)2+1]min=1,故m≤1,故选B.] 【破题技巧】 由命题真假求参数的范围,一是直接由命题的真 假求参数的范围;二是可利用等价命题求参数的范围. 探究·一举突破 探究路径 (1)集合A= x 2a-1<x<3a-1 ,集合B= x -1<x<4 . 因为p是q的充分条件,所以A⊆B, ∴集合A 可以分为A=⌀或A≠⌀两种情况来讨论: 当A=⌀时,满足题意,此时2a-1≥3a+1,解得:a≤-2; 当A≠⌀时,要使A⊆B 成立, 需满足 2a-1≥-1 3a+1≤4 2a-1<3a+1 ⇒0≤a≤1, 综上所得,实数a的取值范围.a≤-2或0≤a≤1 (2)假设存在实数a,使得p是q的充要条件,那么A=B, 则必有 2a-1=-1 3a+1=4 ,解得 a=0a=1 ,综合得a无解. 故不存在实数a,使得A=B, 即不存在实数a,使得p是q的充要条件. 参考答案 (1)a≤-2或0≤a≤1 (2)不存在,理由见解析. 综合·一练到底 1.解 (1)因为命题p 为假命题,故关于x的一元二次方程x2-ax +1=0无解,即Δ=(-a)2-4=a2-4<0,解得-2<a<2,故集 合A= a -2<a<2 ; (2)由t∈A 是t∈B 的必要不充分条件,可知B⫋A, 当B=⌀时,既m+1≥2m+1,解得m≤0,此时满足B⫋A, 当B≠⌀时,如图所示, 故 m>0 2m+1≤2 m+1≥-2 且等号不同时成立,解得0<m≤12, 综上所述,m 的取值范围是 m m≤12 . 【破题技巧】 (1)p为假命题时,既可转化为关于x的一元二次 方程无解,然后利用判别式即可; (2)由t∈A 是t∈B 的必要不充分条件可得B 是A 的真子集, 然后分B 为空集和非空集两种情况讨论即可. 2.解 (1)∵x∈A 是x∈B 的必要不充分条件,∴B 是A 的真子集. ①当B=⌀时,2a-1>a+1⇒a>2, ②当B≠⌀时,∴ 2a-1≤a+1 2a-1>-2 a+1≤1 ,解得-12<a≤0. ∴实数a的取值范围为 -12,0 ∪(2,+∞). (2)由A∩B=⌀,则①当B=⌀时,2a-1>a+1⇒a>2, ②当B≠⌀时,可得 2a-1≤a+1a+1≤-2 或 2a-1≤a+12a-1>1 , 解得a≤-3或1<a≤2. ∴实数a的取值范围为(-∞,-3]∪(1,+∞). 选做·一飞冲天 解 (1)若A∪B=A,则B⊆A, 则 m>0 1+m≤6 1-m≥-2 ,解得0<m≤3, 所以实数m 的取值范围是0<m≤3. (2)若选择条件①,即x∈A 是x∈B 的充分条件,则A⊆B, 所以 1+m≥6 1-m≤-2 ,解得m≥5, 所以实数m 的取值范围是m≥5; 若选择条件②,即x∈A 是x∈B 的必要条件,则B⊆A, 所以 1+m≤6 1-m≥-2 ,解得m≤3. 又m>0,所以0<m≤3,所以实数m 的取值范围是0<m≤3; 若选择条件③,即x∈A 是x∈B 的充要条件,则A=B, 所以 1+m=6 1-m=-2 ,方程组无解,所以不存在满足条件的实数m. 第四周 等式性质与不等式性质、基本不等式 考点·一应俱全 1.90 [设改造前的窗户面积为x,窗户增加的面积为y,x>0,y>0, 依题意 x 180≤ x+y 180+2y ,即180x+2xy≤180x+180y,2xy≤180y,x ≤90,所以改造前的窗户面积最大为90平方米.故答案为:90.] 2.B [对于A,当c=0时,c2=0,若a>b,则ac2=bc2=0,故 A错 误;对于B,因为a c2 >b c2 ,所以c2≠0,即c2>0,所以a>b,故B正 确;对于C,当a=1,b=0,c=-1,d=-2时,满足a>b,c>d,但 是ac<bd,故C错误;对于D,当c=0时,a+cb+c= a b ,故D错误.故 选B.] 3.AD [对于A,由0>c>d和不等式性质可得c2<cd,故 A正确; 对于B,因a>b>0>c>d,若取a=2,b=1,c=-1,d=-2,则a -c=3,b-d=3,所以a-c=b-d,故B错误;对于C,因a>b>0 >c>d,若取a=2,b=1,c=-1,d=-2,则ac=-2,bd=-2,所 以ac=bd,故C错误;对于D,因为a>b>0,则0<1a< 1 b ,又因0 >c>d则0<-c<-d,由不等式的同向皆正可乘性得,-ca < -db ,故c a - d b >0 ,故D正确.故选AD.] 4.C [Q-P=a+mb+m- a b = ab+bm-ab-am b(b+m) = m(b-a) b(b+m) ,∵a,b为 正数,且a<b,m>0,则m (b-a) b(b+m)>0 ,∴Q-P>0,∴P<Q,故 选C.] 【破题技巧】 比较大小的常用方法 (1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论. (2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出 结论. (3)构造函数,利用函数的单调性比较大小. 5.A [设3x-2y=m(x+y)-n(x-y)=(m-n)x+(m+n)y,所 以 m-n=3 m+n=-2 ,解 得 m=12 n=-52 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,即 可 得3x-2y= 12(x+y)+ 5 2 (x-y),因为-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,所以2≤3x-2y=12 (x+y)+52 (x-y)≤8,故选A.] 【破题技巧】 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质. (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围,解 决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关 系,然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 6.C [对 于 A,因 为 x2+5>0,所 以 x2+5+ 1 x2+5 ≥ 2 x2+5· 1 x2+5 =2,当且仅当 x2+5= 1 x2+5 ,即x2= -4,故等号不成立,故A不符合;对于B,因为x2+2>0,所以x2 +2+ 1 x2+2 ≥2 (x2+2)· 1x2+2 =2,当且仅当x2+2= 1 x2+2 , 即x2=-1,故等号不成立,故B不符合;对于C,因为x2>0,所以 x2+1 x2 ≥2 x2·1x2 =2,当且仅当x2=1 x2 ,即x=±1时取等号, 故C符合;对 于 D,因 为 x +3>0,所 以 x +3+ 1x +3≥ 2 (x +3)· 1x +3=2 ,当 且 仅 当 x +3= 1x +3 ,即 x =-2,故等号不成立,故D不符合.故选C.] 【破题技巧】 对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面: 一正:符合基本不等式a+b 2 ≥ ab 成立的前提条件为a>0,b> 0;二定:不等式的一边转换为定值;三相等:必须存在取等号的 条件,即等号成立.以上三点缺一不可. 7.AD [设甲,乙两地之间的距离为s,则全程所需的时间为sa + s b ,所以v= 2ss a + s b =2aba+b ,因 为b>a>0,由 基 本 不 等 式 可 得 ab<a+b2 ,v= 2aba+b< 2ab 2 ab = ab,另 一 方 面 v= 2aba+b< 2· a+b2 2 a+b = a+b 2 ,v-a=2aba+b-a= ab-a2 a+b > a2-a2 a+b =0 ,所以v >a,则a<v< ab,故选AD.] 【技法点拨】 设甲、乙两地之间的距离为s,则全程所需的时间 为s a + s b ,计算全程平均速度v,然后利用基本不等式得出v, ab,a+b2 的大小关系,并利用作差法比较v与a 大小,从而得 到正确选项. 8.A [已知0<x<23 ,则x(2-3x)=13× (3x)(2-3x)≤13× 3x+2-3x2 2 =13. 当且仅当3x=2-3x,即x=13 等号成立.故 x(2-3x)的最大值是13. 故选A.] 9.A [因 为 10>x>0,故 x+ (10-x)≥2 x(10-x),即 x(10-x)≤5,当 且 仅 当 x=5 时,等 号 成 立,所 以 2- x(10-x)≥2-5=-3.故选A.] 10.B [由x>0,得x 2-x+4 x =x+ 4 x -1≥2 x ·4 x -1=3 ,当且 仅当x=4x ,即x=2时等号成立,所以x 2-x+4 x 的最小值为3. 故选B.] 探究·一举突破 探究路径 (1)由题意,当x=0时,t=10,可得10=15-k2 ,解得k=10,所以 t=15- 10x+2 ,因为每件商品的销售价格为2×40+10tt 元, 所以y=2t×40+10tt -40-10t-x=10t+40-x=190- 100 x+2-x ,x≥0. (2)因为x≥0,所以100x+2+x+2≥2 100 x+2 ·(x+2)=20, 当且仅当100 x+2=x+2 时,即x=8时,等号成立, 所以100 x+2+x≥18 ,所以y=190-100x+2-x≤190-18=172 , 故当促销费用x=8(万元),该商家能够获得利润最大,此时利润 最大值为172(万元). 参考答案 (1)y=190-100x+2-x ,x≥0 (2)8万元,172万元 综合·一练到底 1.解 (1)因为x>1,所以x-1>0,4x-1>0 , 所以y= 4x-1+x= 4 x-1+x-1+1≥2 4 x-1 ·(x-1)+1=5, 当且仅当 4 x-1=x-1 ,即x=3时,取等号, 所以函数y= 4x-1+x 的最小值为5; (2)因为x>0,y>0,所以1x>0 ,1 y>0 , 所以 1 x + 1 y = 1x + 1y (4x+y)=4+ yx +4xy +1≥5+ 2 yx ·4x y =9 ,当且仅当 y x = 4x y 4x+y=1 ,即 x=16 y=13 时,取等号, 所以1 x+ 1 y 的最小值为9. 【破题技巧】 (1)通过配凑,然后利用基本不等式直接求解 可得. (2)利用基本不等式“1”的妙用求解可得. 2.解 (1)由x+y=2,得x2+ y 2=1 ,又x>0,y>0, 所以1 x + 9 y = x2 + y2 1x + 9y =5+ y2x+9x2y≥5+ 2 y2x ·9x 2y=8 ,当且仅当y 2x= 9x 2y ,即x=12 ,y=32 时等号成立, 所以1 x+ 9 y 的最小值为8; (2)由4x+1-mxy≥0恒成立,得m≤4x+1xy 恒成立,又x+y=2, 所以4x+1 xy = 4x+12 (x+y) xy = 9x+y 2xy = 1 2 1x+9y , 由(1)可知1x+ 9 y≥8 ,所以1 2 1x +9y ≥4,当且仅当y2x=9x2y, 即x=12 ,y=32 时等号成立,即4x+1 xy ≥4 ,故m 的最大值是4. 选做·一飞冲天 解 因为正实数a,b满足a+2b+5=ab, m2a+b≥ 10-2ab a+2b+5 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 79 —