第1周 集合的概念，集合间的基本关系-【周测必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

— 2 — 高中同步周测卷 第一周 集合的概念、集合间的基本关系 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第9题.该题主要考查根据集合的运算结果求参数,题目设置紧扣概念,考查学生 的灵活性,对学生的理解应用能力要求较高,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共50分) 考点一 集合的含义 1.(2025·天津南开质量检测)下列给出的对象能构成集合的有 ( ) ①某校2025年入学的全体高一年级新生 ② 2的所有近似值 ③某个班级中学习成绩较好的 所有学生 ④不等式3x-10<0的所有正整数解 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点二 判断是否为同一集合 2.(2025·辽宁沈阳·阶段练习)下列关于集合相等的说法正确的有 ( ) ①{x|x2+1=0}= x 2x+4>0 x+3<0 ; ②{y|y=2x2+1}={x|y=2x2+1}; ③ xx=1-(-1) n 2 ,n∈N ={x|-1<x<2,x∈N}; ④{(x,y)|y= x-1+ 1-x}={0,1}. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 考点三 判断元素与集合的关系 3.(多选)(2025·全国·专题练习)非空集合A 具有如下性质:①若x,y∈A,则xy∈A ;②若x,y∈ A,则x+y∈A 下列判断中,正确的有 ( ) A.-1∉A B.20222023∈A C.若x,y∈A,则xy∈A D.若x,y∈A,则x-y∈A 考点四 判断两个集合的包含关系 4.(2025· 河 南 郑 州 · 阶 段 练 习)若 A= x x=k6+1,k∈Z ,B= x x=k3+12,k∈Z ,C= xx=2k3+12,k∈Z ,则这三个集合间的关系是 ( ) A.A⊆B⊆C B.A⊆C⊆B C.C⊆B⊆A D.C⊆A⊆B 考点五 判断子集(真子集)的个数 5.(2025·天津滨海新·阶段练习)设集合A= x∈Z 62+x∈N ,则集合A的真子集个数为 ( ) A.7个 B.8个 C.16个 D.15个 考点六 根据两个集合相等求参数 6.(2025·全国专题练习)已知集合A={a,aq,aq2},B={a-d,a,a+d},其中a≠0,a∈R,若A= B,则q= . 考点七 交集的概念及运算 7.(2025·河北保定·专题练习)设集合A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|x=3k+1,k∈Z},则A∩ B= ( ) A.⌀ B.{x|x=6k,k∈Z} C.{x|x=6k+1,k∈Z} D.{x|x=6k+2,k∈Z} 考点八 并集的概念及运算 8.(2025·湖南·质量检测)设集合A={x|2<x<4},B={x|1≤x≤3},则A∪B= ( ) A.{x|2<x≤3} B.{x|2<x≤3} C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4} 考点九 根据集合的运算结果求集合或参数 9.(多选)(2025·江西·赣州质量检测)设集合A={x|3x2-2x-1=0},B={x|ax-1=0},若A∪ B=A,则a的值可以为 ( ) A.1 B.0 C.-13 D.-3 10.(2025·辽宁大连专题练习)已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x<m},若A∩B=A,则实数 m 的取值范围为 . 考点十 补集的概念及运算 11.(2025·重庆渝中·阶段练习)已知集合A={2,3,4,6,8},集合B={1,3,4,5,9},集合 M={x| x∈N,1≤x≤10},则CM(A∪B)= ( ) A.{7,10} B.{3,4} C.{1,2,5,6} D.{8,9} 12.(2025·河南驻马店·专题练习)已知全集U={x|1≤x≤5},A={x|1≤x<a},若CUA={x| 2≤x≤5},则a= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 — 1 — — 4 — 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 元素与集合的关系 已知集合A 中的元素全为实数,且满足:若a∈A,则1+a1-a∈A. 探究问题: (1)若a=-3,求出A 中其他所有元素. (2)0是不是集合A 中的元素? 请你取一个实数a∈A(a≠-3),再求出A 中的元素. (3)根据(1)(2),你能得出什么结论? 【综合·一练到底】(共35分) 1.(2025·山东德州·阶段练习)已知集合A={2,6} (1)若集合B={a+1,a2-23},且A=B,求实数a的值 (2)若集合C={x|ax2-x+6=0},且C⊆A,求实数a的取值范围. 2.(2025·湖南怀化质量检测)已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|x2-5x+a=0}.若B⊆A, 求实数a的取值范围. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·全国·专题练习)已知集合A={x|-2≤x≤5}. (1)若B⊆A,B={x|m+1≤x≤2m-1,m 为常数},求实数m 的取值范围. (2)若A⊆B,B={x|m+1≤x≤2m-1,m 为常数},求实数m 的取值范围. (3)若B={x|m+1≤x≤2m-1,m 为常数},是否存在实数m,使得A=B? 若存在,求出m 的值; 若不存在,说明理由. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 3 — —78 — 参考答案 高中同步周测卷 第一周 集合的概念、集合间的基本关系 考点·一应俱全 1.B [对于①:某校2025年入学的全体高一年级新生,对象确定,能 构成集合,故①正确;对于②:2的所有近似值,根据精确度不一样 得到的近似值不一样,对象不确定,故不能构成集合,故②错误;对 于③:某个班级中学习成绩较好是相对的,故这些学生对象不确 定,不能构成集合,故③错误;对于④:不等式3x-10<0的所有正 整数解有1、2、3,能构成集合,故④正确;故选B.] 【破题技巧】 解决集合含义问题的关键点 (1)一是确定构成集合的元素. (2)确定元素的限制条件. (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题. 2.C [因为{x|x2+1=0}=⌀,x 2x+4>0x+3<0 =⌀,所以①正确; 因为{y|y=2x2+1}=[1,+∞),{x|y=2x2+1}=R,所以②不正 确;因为 x x=1- (-1)n 2 ,n∈N ={0,1},{x|-1<x<2,x∈ N}={0,1},故③正确;{(x,y)|y= x-1+ 1-x}={(1,0)}≠ {0,1},故④错误.故选C.] 3.ABC [对于A,假设-1∈A,则令x=y=-1,则xy =1∈A ,令x =-1,y=1,则x+y=0∈A,令x=1,y=0,不存在xy ,即y≠0, 矛盾,∴-1∉A,故A对;对于B,由题,1∈A,则1+1=2∈A,2+ 1=3∈A,…,2022∈A,2023∈A,∴20222023∈A ,故B对;对于C, ∵1∈A,x∈A,∴1x ∈A ,∵y∈A,1x ∈A ,∴ y1 x =xy∈A,故C 对;对于D,∵1∈A,2∈A,若x=1,y=2,则x-y=-1∉A,故D 错误.故选ABC.] 4.C [依题意,A= x x=k+66 ,k∈Z = x x=(k+3)+36 ,k∈Z , B = x x=2k+36 ,k∈Z ,C = x x=4k+36 ,k∈Z = x x=2×2k+36 ,k∈Z ,而{x|x=k+3,k∈Z}=Z,{偶数}={x |x=2k,k∈Z},因此集合C 中的任意元素都是集合B 中的元素, 即有C⊆B,集合B 中的每一个元素都是集合A 中的元素,即B⊆ A,所以C⊆B⊆A.故选C.] 5.D [由 62+x∈N 和x∈Z可得A={-1,0,1,4},所以集合A 的真 子集个数为24-1=15个.故选D.] 6.-2 [a-d+a+d=aq+aq2,即a(q+q2-2)=0,又a≠0,所以 q2+q-2=0,解得q1=1,q2=-2,当q=1时,a=aq,与元素的互 异性矛盾,所以q=-2.q=-2时,A={a,-2a,4a},符合要求,故 答案为:-2.] 7.C [设x∈A∩B,因为A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|x=3k+ 1,k∈Z},所以x=2k+1=3n+1,k,n∈Z,故2k=3n,故n=2s,s∈ Z,所以x=6s+1,s∈Z,所以 A∩B={x|x=6k+1,k∈Z}.故 选C.] 8.C [因为A={x|2<x<4},B={x|1≤x≤3},所以A∪B={x| 1≤x<4},故选C.] 9.ABD [A={x|3x2-2x-1=0}= -13,1 ,因为B⊆A,当a= 0时,B=⌀⊆A,当a≠0时,B={x|ax-1=0}= 1a ,则1a = -13 或1 a=1 ,所以a=-3或1,综上所述,a=-3或0或1.故 选ABD.] 【易错提醒】 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系问题 时,必须考虑空集的情况,否则易造成漏解. (2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素 或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数 轴、Venn图等来直观解决这类问题. 10.m≥3 [因为A∩B=A,所以A⊆B,则m≥3.故答案为:m≥3.] 11.A [由A∪B={1,2,3,4,5,6,8,9},所以,CM(A∪B)={7,10}. 故选A.] 12.B [由集合U={x|1≤x≤5},A={x|1≤x<a},因为CUA= {x|2≤x≤5},可得a=2.故选B.] 【易错提醒】 对于集合的交、并、补运算,如果集合中的元素是 离散的,可用Venn图表示;如果集合中的元素是连续的,可用 数轴表示,此时要注意端点的情况,以免出错. 探究·一举突破 探究路径 (1)由题意,可知-3∈A, 则1+(-3) 1-(-3)=- 1 2 ∈A , 1+ -12 1- -12 = 13 ∈A , 1+13 1-13 =2∈A, 1+2 1-2=-3∈A ,所以A 中其他所有元素为-12 ,1 3 ,2. (2)假设0∈A,则1+01-0=1∈A ,而当1∈A 时,1+a1-a 不存在,假设不 成立,所以0不是A 中的元素. 取a=3,则1+31-3=-2∈A ,1+(-2) 1-(-2)=- 1 3∈A , 1+ -13 1- -13 = 1 2∈A , 1+12 1-12 =3∈A,所以当3∈A 时,A 中的元素是3,-2, -13 ,1 2. (3)猜想:A 中没有元素-1,0,1;A 中有4个元素,其中2个元素 互为负倒数,另外2个元素也互为负倒数. 由(2)知0,1∉A,若-1∈A,则1+ (-1) 1-(-1)=0∈A ,与0∉A 矛盾, 则有-1∉A,即-1,0,1都不在集合A 中. 若实数a1∈A,则 1+a1 1-a1 =a2∈A,a3= 1+a2 1-a2 = 1+ 1+a1 1-a1 1- 1+a1 1-a1 =-1a1 ∈A, a4 = 1+a3 1-a3 = 1+ -1a1 1- -1a1 = a1-1 a1+1 = - 1a2 ∈A,a5 = 1+a4 1-a4 = 1+ a1-1 a1+1 1- a1-1 a1+1 =a1∈A. 结合集合中元素的互异性知,A 中最多只有4个元素a1,a2,a3,a4 且a1a3=-1,a2a4=-1. 显然a1≠a2,否则a1= 1+a1 1-a1 ,即a21=-1,无实数解. 同理,a1≠a4,即A 中有4个元素. 所以A 中没有元素-1,0,1;A 中有4个元素,其中2个元素互为 负倒数,另外2个元素也互为负倒数. 参考答案 (1)A 中其他所有元素为-12 ,1 3 ,2 (2)0不是A 中的元素,答案见解析 (3)A 中没有元素-1,0,1;A 中有4个元素,其中2个元素互为负 倒数,另外2个元素也互为负倒数. 综合·一练到底 1.解 (1)由集合A={2,6},B={a+1,a2-23},且A=B, 所以可得 a+1=2 a2-23=6 ,此时方程组无解; 或 a+1=6 a2-23=2 ,解得a=5; 所以实数a的值为5. (2)当集合C={x|ax2-x+6=0},且C⊆A,可知: 若C=⌀,则 a≠0(-1)2-24a<0 ,解得a>124 当C≠⌀时,若2∈C,则4a+4=0,a=-1,此时C={-3,2},不满 足C⊆A, 若6∈C,则a=0,此时C={6},满足C⊆A,符合题意; 综上可知,实数a的取值范围为a>124 或a=0. 2.解 由A={x|x2-5x+6=0},则A={2,3}. ∵B={x|x2-5x+a=0},∴B 为方程x2-5x+a=0的解集. ①若B≠⌀,则B⊆A,∴B={2}或B={3}或B={2,3}, 当B={2}时x2-5x+a=0有两个相等实根,即x1=x2=2,x1+ x2=4≠5不合题意,同理B≠{3}, 当B={2,3}时,2+3=5,a=2×3=6,符合题意; ②若B=⌀,则Δ=25-4a<0,即a>254 , 综上所述,实数a的取值范围为a=6或a>254. 【破题技巧】 由题意,求得A={2,3},再根据B⊆A,结合韦达 定理分B≠⌀和B=⌀两种情况讨论即可求出答案. 选做·一飞冲天 解 (1)①若B=⌀,满足B⊆A,则m+1>2m-1,解得m<2. ②若B≠⌀,满足B⊆A,则 2m-1≥m+1, m+1≥-2, 2m-1≤5, 解得2≤m≤3. 由①②可得,符合题意的实数m 的取值范围为{m|m≤3}. (2)若A⊆B,数轴表示如下: 依题意有 m+1≤-2, 2m-1≥5, m+1≤2m-1, 即 m≤-3, m≥3, m≥2 此时m 的取值范围是⌀. (3)假设存在满足题意的实数 m.若A=B,则必有 m+1=-2且 2m-1=5,此时无解,即不存在使得A=B 的实数m. 第二周 集合的运算 考点·一应俱全 1.D [由A={x|-2<x<0},B= x|-1≤x≤1 ,可知,A∪B= x -2<x≤1 .故选D.] 2.D [因为集合A 和集合B 没有公共元素,故A∩B=⌀.故选D.] 3.D [根据集合A 的定义,绝对值的意义可知,逐一带入x=0,1,2, 3,4到 x-2 <1中,只有x=2符合,于是A={2},所以∁UA= {0,1,3,4}.故选D.] 4.a=1或-2 [因为A∩B={1},所以1∈A,所以将x=1代入x2 +(a+1)x+a2-4=0,整理得a2+a-2=0,解得:a=1或-2,当 a=1时,A= 1,-3 ,B= 1,2 ,所以 A∩B= 1 ;当a=-2 时,A= 1,0 ,B= 1,2 ,所以A∩B= 1 ;经检验,a=1或-2 都满足条件.] 5.-13<m< 1 2 [由A∪B=B,则A⊆B,故有 1-m×(-3)>0 1-m×(-1)>0 1-m×2>0 , 解得 m>-13 m>-1 m<12 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,即- 1 3<m< 1 2. 故答案为:-13<m< 1 2. ] 【破题技巧】 结合并集定义可得A⊆B,将A 中所有元素代入 计算即可得. 6.2 [由题意得:①当 a+1=3a2+2a-3=a+3 时,解得:a=2 代入检验,得U={2,3,5},∁UA={5},满足条件 ②当 a+3=3a2+2a-3=a+1 时,无解 综上所述,a=2.] 7.D [因 为 方 程x2+(m+1)x+m=0的 判 别 式 Δ=(m+1)2 -4m=(m-1)2≥0,所 以 B≠⌀,根 据 题 意 得 到 集 合 A= x (x+1)(x+3)=0 ,B= x|(x+m)(x+1)=0 ,即 A = -1,-3 ,B= -1,-m ,因 为(∁UA)∩B=⌀;所 以 B ⊆A,所 以 B= -1 或 B= -1,-3 ,若 B= -1 ,则 Δ=0 -m=-1 ,解得m=1,若B= -1,-3 ,则 Δ>0 -m=-3 ,解得m =3,所以m=1或m=3.故选D.] 【破题技巧】 求出A 中方程的解确定A,再由A 的补集与B 的 交集为空集,确定A 与B 的包含关系进行分类讨论,即可确定 m 的值. 8.D [由 题 得:A= x -3<x<4 ,B= x 3<x<5 ,A∩B= x|3<x<4 ,∁RA={x|x≥4或x≤-3},∁RB={x|x≥5或x ≤3},所以(∁RB)∩A={x|-3<x≤3},故A错误;∁R(A∩B)= {x|x≥4或x≤3},故B错误;(∁RA)∪B={x|x≤-3或x>3}, 故C错误;所以(∁RA)∩B={x|4≤x<5},故D正确;故选D.] 【破题技巧】 对于集合的交、并、补运算,如果集合中的元素是离 散的,可用Venn图表示;如果集合中的元素是连续的,可用数轴 表示,此时要注意端点的情况. 9.70 [根据题意使用过“扫码支付”、“共享 单车”的人数用 Venn图表示如图,使用过 “共享单车”或“扫 码 支 付”的 学 生 共 有90 位,使用过“扫码支付”的学生共有80位, 则可得:只使用过“共享单车”但没使用过 “扫码支付”的学生有90-80=10人,又使 用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位,则使用过 “共享单车”的学生人数为10+60=70,故答案为:70.] 【破题技巧】 由题意结合 Venn图可知:只使用过“共享单车” 但没使用过“扫码支付”的学生有10人,再计算即可得解. 10.46 [设喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别为A, B,由题意可知n(A)=60,n(B)=82,n(A∪B)=96,则n(A∩B) =n(A)+n(B)-n(A∪B)=60+82-96=46,即该中学既喜欢 足球又喜欢游泳的学生数为46,故答案为:46.] 探究·一举突破 探究路径 (1)由题设A={1,2},又A∩B={2},故22+4(a+1)+a2-5= a2+4a+3=0,所以a=-1或a=-3, 当a=-1时,B={x|x2-4=0}={-2,2},满足题设; 当a=-3时,B={x|x2-4x+4=0}={2},满足题设; 综上,a=-1或a=-3. (2)由A∪B=A⇒B⊆A,而A={1,2}, 若B=⌀,则Δ=4(a+1)2-4(a2-5)<0⇒a<-3; 若B={1},则 -2 (a+1)=2 a2-5=1 ,无解; 若B={2},由(1)知a=-3; 若B={1,2},则 -2 (a+1)=3 a2-5=2 ,无解; 综上,a≤-3. (3)由(∁UB)∩A,则A∩B=⌀, 当B=⌀,则Δ=4(a+1)2-4(a2-5)<0⇒a<-3; 当B≠⌀,则 Δ=4(a+1)2-4(a2-5)≥0 22+4(a+1)+a2-5≠0 12+2(a+1)+a2-5≠0 ⇒a>-3且a≠-1且 a≠-1± 3, 所以a的取值范围为a≠-3且a≠-1且a≠-1± 3. 参考答案 (1)a=-1或a=-3 (2)a≤-3 (3)a≠-3且a≠-1且a≠-1± 3. 综合·一练到底 1.解 (1)由x-1>0得x>1,即B= x x>1 ; ∁RB={x|x≤1},∁RA={x|x≥2或x≤-1}; 所以A∪B= x x>-1 ,(∁RB)∩(∁RA)={x|x≤-1}. (2)根据定义可知,集合A-B 如图中的阴影部分所示. 由于 A-B= x x∈A 且x∉B ,又 A= x -1<x<2 ,B= x x>1 ,所以A-B= x -1<x≤1 . 【破题技巧】 (1)利用数轴以及集合的交集、并集、补集运算法 则即可求出结果; (2)根据A-B 的定义即可标出阴影,并根据其意义求得A-B = x -1<x≤1 . 2.解 (1)因为A= x -2≤x≤6 ,B= x|x≤-5 或x≥3 , 所以A∩B= x 3≤x≤6 , 则图中阴影部分表示∁A(A∩B)={x|-2≤x<3}. (2)因为C= x|10-a<x<2a+1 ,B= x|x≤-5 或x≥3 , 且(∁UB)∩C=⌀,因为∁UB={x|-5<x<3} 所以C⊆B,所以当C=⌀时,10-a≥2a+1,解得a≤3,符合题意; 当C≠⌀时,10-a<2a+12a+1≤-5 或者 10-a<2a+110-a≥3 , 此时不等式组 10-a<2a+1 2a+1≤-5 无解, 不等式组 10-a<2a+1 10-a≥3 的解为3<a≤7, 综上,a的取值范围为 a a≤7 . 选做·一飞冲天 解 (1)集合 M= x|m≤x≤m+12 ,N= x n-35≤x≤n , 且 M,N 都是集合{x|1≤x≤2}的子集, 由 m≥1 m+12≤2 ,可得1≤m≤32,由 n- 3 5≥1 n≤2 ,可得85≤n≤2. 要使 M∩N 的“长度”最小,只有当 m 取最小值、n取最大或m 取 最大、n取最小时才成立. 当m=1,n=2,M∩N= x 75≤x≤ 3 2 ,“长 度”为32-75= 1 10 ,当m=32 ,n=85 ,M∩N= x 32≤x≤ 8 5 ,“长度”为85- 3 2= 1 10 ,故集合 M∩N 的“长度”的最小值是110 ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 77 —