专题02方程（组）与不等式（组）（14题型）（山东专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题02 方程（组）与不等式（组） 题型概览 题型01 等式与不等式的性质 题型02 解一次方程（组） 题型03 一次方程（组）中的含参问题 题型04 一次方程（组）的实际问题 题型05 解分式方程 题型06 分式方程的含参问题 题型07 分式方程的实际问题 题型08 解一元二次方程 题型09 一元二次方程根的判别式 题型10 一元二次方程根与系数的关系 题型11 一元二次方程的实际问题 题型12 解一元一次不等式（组） 题型13 不等式（组）的含参问题 题型14 一元一次不等式（组）的实际问题 01等式与不等式的性质 1．（2025·山东东营·二模）如果，那么下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东菏泽·二模）要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·山东·二模）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东淄博·二模）已知“若，则”是真命题，请写出一个满足条件的c的值是 ． 02解一次方程（组） 5．（2025·山东潍坊·二模）方程组的解为 ． 6．（2025·山东滨州·二模）（1）解方程：； （2）解不等式组：. 03一次方程（组）的含参问题 7．（2025·山东泰安·二模）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x＋y＞1，则k的取值范围是 . 8．（2025·山东临沂·二模）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 04一次方程（组）的实际问题 9．（2025·山东聊城·二模）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少尺？设绳长x尺，长木长y尺，依题意得方程（    ） A． B． C． D． 10．（2025·山东淄博·二模）我国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一道题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？其大意为：用绳子测量井的深度，如果将绳子折成三等份，则一份绳长比井深多4尺，如果将绳子折成四等份，则一份绳长比井深多1尺，则绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深y尺，则下列所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·山东威海·二模）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 12．（2025·山东滨州·二模）《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有 间客房，来了 房客． 13．（2025·山东青岛·二模）如图是一张长为，宽为的长方形硬纸板，在四个直角处分别剪去边长为的正方形和中间的一个正方形，剩余部分（阴影部分）可制作两个大小完全相等的底面是正方形的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计），则的值为 ． 14．（2025·山东威海·二模）某景区的起点是一段上坡路，走过上坡路后便是一段通往终点的平路．如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从起点到终点需要，从终点返回到起点需要．求该景区起点到终点的路程． 05解分式方程 15．（2025·山东枣庄·二模）分式方程的解为 ． 16．（2025·山东聊城·二模）方程的解为 ． 17．（2025·山东济宁·二模）（1）解方程：； （2）解不等式组： 18．（2025·山东日照·二模）（1）计算： （2）解方程： 06分式方程的含参问题 19．（2025·山东济宁·二模）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 20．（2025·山东济南·二模）分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 21．（2025·山东枣庄·二模）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 07分式方程的实际问题 22．（2025·山东青岛·二模）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目大意是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·山东德州·二模）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产800件的时间与改造前生产600件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（   ） A．200 B．300 C．400 D．500 24．（2025·山东聊城·二模）数学课上，甲乙丙丁四位同学对于题目“甲、乙两地相距360，张老师、王老师分别从甲地乘早7时出发的普通客车和8时15分出发的豪华客车去乙地，两车恰好同时到达．已知豪华客车与普通客车的平均速度的比是，两车的平均速度分别是多少？”列出了如下方程： ①设豪华客车的平均速度是，则甲列的方程为：；乙列的方程为：； ②设普通客车的平均速度是，则丙列的方程为：；丁列的方程为：； 则四位同学列出的方程正确的是（    ） A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁 25．（2025·山东青岛·二模）五一期间，来自四面八方的游客来青岛游玩，一家实体店购进两种纪念品进行销售．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵7元；用450元购进甲种纪念品的数量是用500元购进乙种纪念品的数量的倍．若设甲种纪念品的进价为x元，则可列方程为 ． 26．（2025·山东菏泽·二模）丰县为了落实中央的“精准扶贫政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合做天，那么余下的工程由甲队单独完成还需天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 08解一元二次方程 27．（2025·山东日照·二模）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 28．（2025·山东泰安·二模）若一元二次方程式的两根为、，且，则之值为何？（ ） A．22 B．28 C．34 D．40 29．（2025·山东威海·二模）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 30．（2025·山东德州·二模）是方程的一个根，则代数式的值是 ． 31．（2025·山东滨州·二模）（1）解方程：； （2）解不等式组． 32．（2025·山东济南·二模）（1）计算：； （2）解方程：． 09一元二次方程根的判别式 33．（2025·山东济南·二模）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（　　） A． B． C．1 D．2 34．（2025·山东聊城·二模）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 35．（2025·山东淄博·二模）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 36．（2025·山东日照·二模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 37．（2025·山东菏泽·二模）（1）计算：． （2）已知关于的一元二次方程．如果此方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的的值，并求此时方程的根． 10一元二次方程根与系数的关系 38．（2025·山东潍坊·二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为（    ） A．b=﹣1，c=2 B．b=1，c=﹣2 C．b=1，c=2 D．b=﹣1，c=﹣2 39．（2025·山东临沂·二模）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两个实根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围在数轴上表示为（ ） A．   B．   C．   D．   40．（2025·山东泰安·二模）已知两个不相等的实数，，满足：，，则 ． 41．（2025·山东淄博·二模）若、是一元二次方程的两根，则的值为 ． 42．（2025·山东临沂·二模）已知m，n是关于x的方程的两个根，则 ． 43．（2025·山东泰安·二模）若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是 ． 11一元二次方程实际问题 44．（2025·山东滨州·二模）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 45．（2025·山东潍坊·二模）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ． 46．（2025·山东青岛·二模）重庆某建筑公司承包了一项某网红景点的改造工程，聘请了甲队和乙队共同参与．已知乙队的工作效率是甲队的 ，甲队先单独做了天，之后甲队和乙队又合作了天，刚好如期完成了整项工程的改造． (1)求甲队单独完成整项工程需要多少天？ (2)改造工程结束后，该景点负责人为提升景点人气，立即发售代表该景点的特色套装纪念品，每套纪念品进价元，为合理定价，发售前进行市场调查，售价元时，每天可卖套，而售价每涨元，日销售量就减少套，若想每天获利元，且售价不超过元，那么该纪念品的售价应为多少元？ 12解一元一次不等式（组） 47．（2025·山东东营·二模）下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（    ） A． B． C． D． 48．（2025·山东日照·二模）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 49．（2025·山东淄博·二模）不等式组的整数解为 ． 50．（2025·山东济南·二模）解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 51．（2025·山东淄博·二模）解不等式组，请把解集在下面的数轴上表示出来，并求所有整数解的和． 13不等式（组）的含参问题 52．（2025·山东青岛·二模）若不等式组无解，则的取值范围是 . 53．（2025·山东威海·二模）若不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 14一元一次不等式（组）的实际问题 54．（2025·山东临沂·二模）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为226元时，立减20元．甲在该商场单笔购买3件A商品，立减了30元；乙在该商场单笔购买3件A商品与1件B商品，立减了40元．若B商品的单价是整数元，则它的最小值是（   ） A．199元 B．101元 C．99元 D．1元 55．（2025·山东泰安·二模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 根据他们的对话得到以下四个结论：①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 56．（2025·山东德州·二模）某校在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元． (1)问购买一个A品牌，一个B品牌的篮球各需多少元？ (2)该校决定再次购进A，B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 57．（2025·山东济南·二模）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 1．（2025·山东淄博·二模）已知关于，的二元一次方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 2．（2025·山东济宁·二模）若实数a，b，c（a，b，c均不为0）满足，且，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2025·山东聊城·二模）已知实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（2025·山东枣庄·二模）定义新运算：，例如：．则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 5．（2025·山东济宁·二模）关于x的一元二次方程在实数范围内有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 6．（2025·山东济南·二模）定义新运算：，例如：，若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山东临沂·二模）为支持全民健身活动，某体育用品店正举办特惠活动，下图为活动说明． 全民健身特惠活动 任选两副球拍，第二副打六折 活动说明： 两副球拍定价不同时以低价者折扣， 此活动不得与折价券合并使用。 晓东打算在该店同时购买一副乒乓球拍及一副羽毛球拍，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券．若晓东计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差50元，则下列说法正确的是（） A．参加特惠活动的花费较少，且两副球拍的定价相差100元 B．参加特惠活动的花费较少，且两副球拍的定价相差250元 C．使用折价券的花费较少，且两副球拍的定价相差100元 D．使用折价券的花费较少，且两副球拍的定价相差250元 8．（2025·山东聊城·二模）若实数满足不等式组，则的最小值是 ． 9．（2025·山东滨州·二模）已知，则 . 10．（2025·山东临沂·二模）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 11．（2025·山东威海·二模）若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．（2025·山东济宁·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若则的值是 ． 13．（2025·山东潍坊·二模）从，，三个数中，选取1个数作为的值代入方程．若该方程有两个正实数根，则选取的的值为 ． 14．（2025·山东菏泽·二模）若关于y的不等式组无解，且关于的分式方程的解为负数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 15．（2025·山东济南·二模）《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶比一个种哪吒玩偶价格贵10元，玩具店用2500元购进A种哪吒玩偶的数量是用1500元购进B种哪吒玩偶数量的2.5倍． (1)求购进A，B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)六一将至，该玩具店决定用不超过3000元再次购进A，B两种哪吒玩偶共120个进行销售，且将每个种哪吒玩偶售价定为32元，每个种哪吒玩偶售价定为45元，那么，B两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多？最大利润是多少元？ 16．（2025·山东青岛·二模）年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点，某公司计划购买、两种机器人进行销售．已知购买个种机器人和个种机器人共需万元，购买个种机器人和个种机器人共需万元． (1)求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过万元再购进第二批、两种机器人共个，且种机器人数量不超过种机器人数量的倍．据市场销售分析，当种机器人提价，种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 方程（组）与不等式（组） 题型概览 题型01 等式与不等式的性质 题型02 解一次方程（组） 题型03 一次方程（组）中的含参问题 题型04 一次方程（组）的实际问题 题型05 解分式方程 题型06 分式方程的含参问题 题型07 分式方程的实际问题 题型08 解一元二次方程 题型09 一元二次方程根的判别式 题型10 一元二次方程根与系数的关系 题型11 一元二次方程的实际问题 题型12 解一元一次不等式（组） 题型13 不等式（组）的含参问题 题型14 一元一次不等式（组）的实际问题 01等式与不等式的性质 1．（2025·山东东营·二模）如果，那么下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； B．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意； D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2025·山东菏泽·二模）要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】根据有理数的大小比较法则判断即可． 【详解】解：当，时，，而， ∴命题“若，则”是假命题， 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的知识，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 3．（2025·山东·二模）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，以及不等式的性质．根据实数a，b，c在数轴上对应点的位置和不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：由数轴知， A、∵， ∴，故本选项不符合题意； B、∵，， ∴，故本选项不符合题意； C、∵，， ∴，故本选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（2025·山东淄博·二模）已知“若，则”是真命题，请写出一个满足条件的c的值是 ． 【答案】（答案不唯一，负数即可） 【知识点】不等式的性质、举例说明假（真）命题 【分析】当，要使符号变号，则只需不等式两边同时乘同一个负数即可． 【详解】当，要使成立，即不等式两边同时乘一个符号会变号，则使是负数即可，则可使． 【点睛】本题考查了真命题和不等式的性质知识点，不等式符号要变号，就使不等式两边同时乘或除同一个负数即可，这一性质是解题的关键． 02解一次方程（组） 5．（2025·山东潍坊·二模）方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． 根据方程组中的系数的特点，可求出的值，再把代入①即可求解． 【详解】解：， 得，， ， ， 把代入①得，， ， ∴原方程组的解为， 故答案为： ． 6．（2025·山东滨州·二模）（1）解方程：； （2）解不等式组：. 【答案】（1）；（2） 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程和解一元一次不等式组的步骤． （1）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可； （2）利用解一元一次不等式组的步骤求解即可． 【详解】解：（1）去分母，得 ， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， （2） 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为：. 03一次方程（组）的含参问题 7．（2025·山东泰安·二模）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x＋y＞1，则k的取值范围是 . 【答案】k＞2 【知识点】求一元一次不等式的解集、二元一次方程组的特殊解法 【分析】解关于x，y的方程组，用k表示出x，y的值，再把x，y的值代入x+y＞1即可得到关于k的不等式，求出k的取值范围即可： 【详解】解： 得． ∵x+y＞1， ∴2k－k－1＞1， 解得k＞2． 故答案为：k＞2． 8．（2025·山东临沂·二模）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解得情况，求参数的取值范围．将两个二元一次方程相加，得到的值，根据，求出的取值范围即可． 【详解】解：， 得：，即：； ∵， ∴，解得：； 故答案为：． 04一次方程（组）的实际问题 9．（2025·山东聊城·二模）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少尺？设绳长x尺，长木长y尺，依题意得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 故选：C． 10．（2025·山东淄博·二模）我国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一道题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？其大意为：用绳子测量井的深度，如果将绳子折成三等份，则一份绳长比井深多4尺，如果将绳子折成四等份，则一份绳长比井深多1尺，则绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深y尺，则下列所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设绳长x尺，井深y尺，根据将绳子折成三等份，则一份绳长比井深多4尺可得方程，根据将绳子折成四等份，则一份绳长比井深多1尺可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 11．（2025·山东威海·二模）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】B 【知识点】二元一次方程的解、三元一次方程组的应用 【分析】设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中且均为整数，根据题意得， ， 整理得，， ①当时，， ∴ ∵且均为整数， ∴当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； ②当时，， ∴ ∵且均为整数， ∴当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 综上，此次共有6种采购方案， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键． 12．（2025·山东滨州·二模）《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有 间客房，来了 房客． 【答案】 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理清题意，根据等量关系列方程是解题关键． 设有间客房，位房客，根据等量关系建立二元一次方程组，解方程，即可求解． 【详解】解：设李三公家的店有间客房，来了位房客， 根据题意，得，解得：， 李三公家有间客房，来了位房客． 故答案为：，． 13．（2025·山东青岛·二模）如图是一张长为，宽为的长方形硬纸板，在四个直角处分别剪去边长为的正方形和中间的一个正方形，剩余部分（阴影部分）可制作两个大小完全相等的底面是正方形的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计），则的值为 ． 【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正方形的边长为，根据图形列出方程组即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， 由图形可得，， 解得， ∴的值为， 故答案为：． 14．（2025·山东威海·二模）某景区的起点是一段上坡路，走过上坡路后便是一段通往终点的平路．如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从起点到终点需要，从终点返回到起点需要．求该景区起点到终点的路程． 【答案】该景区起点到终点的路程是 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，根据时间等于路程除以速度建立方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，则从乙地到甲地的下坡长为，平路长为， 由题意得：， 解得， 则甲地到乙地全程是． 05解分式方程 15．（2025·山东枣庄·二模）分式方程的解为 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程．方程两边乘以将分式方程化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 16．（2025·山东聊城·二模）方程的解为 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解是， 故答案为：． 17．（2025·山东济宁·二模）（1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握相关求解方法是解题关键，需注意分式方程要验根． （1）通过变形得，确定最简公分母为，去分母，转化为整式方程，解方程即可； （2）逐一求得不等式的解集，再确定不等式组的公共解集即可． 【详解】（1）解：， ， 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的解． （2）解：， 由①得：， 由②得：， 原不等式组的解集为：． 18．（2025·山东日照·二模）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1），（2） 【知识点】二次根式的混合运算、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算和解分式方程，掌握相关运算法则和计算方法是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先把方程两边同时乘以，把分式方程转化成整式方程，去括号、整理即可求出的值，最后检验即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）方程两边乘，得 ， 整理得， 解得， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． 06分式方程的含参问题 19．（2025·山东济宁·二模）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】此题考查了分式方程的解，由于我们的目的是求m的取值范围，根据方程的解列出关于m的不等式，另外，解答本题时，易漏掉分母不等于0这个隐含的条件，这应引起足够重视． 先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围，再根据分母不等于0，即可解答． 【详解】解：由得 ， ∴ ∵x的方程的解是正数， ∴且， ∴且， 解得且． 故选D． 20．（2025·山东济南·二模）分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴的取值范围为且， 故选：． 21．（2025·山东枣庄·二模）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】根据分式方程的增根的定义解决此题． 【详解】解：， 去分母，得m+4=3x+2(x-3)， 去括号，得m+4=3x+2x-6， 移项、合并得5x=10+m， 系数化为1，得， ∵分式方程有增根， ∴， 解得m=5， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根的定义是解决本题的关键． 07分式方程的实际问题 22．（2025·山东青岛·二模）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目大意是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设绫布有x尺， 则根据题意可列方程为：， 故选：B． 23．（2025·山东德州·二模）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产800件的时间与改造前生产600件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（   ） A．200 B．300 C．400 D．500 【答案】C 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的运用，理解数量关系，掌握分式方程的运用是关键． 设改造后每天生产的产品件数为件，则改造前每个生产的件数为件，由此列式求解即可． 【详解】解：某工厂将生产线改造后比改造前每天多生产100件， ∴设改造后每天生产的产品件数为件，则改造前每个生产的件数为件， ∵改造后生产800件的时间与改造前生产600件的时间相同， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴是原分式方程的解， ∴改造后每天生产的产品件数为件， 故选：C ． 24．（2025·山东聊城·二模）数学课上，甲乙丙丁四位同学对于题目“甲、乙两地相距360，张老师、王老师分别从甲地乘早7时出发的普通客车和8时15分出发的豪华客车去乙地，两车恰好同时到达．已知豪华客车与普通客车的平均速度的比是，两车的平均速度分别是多少？”列出了如下方程： ①设豪华客车的平均速度是，则甲列的方程为：；乙列的方程为：； ②设普通客车的平均速度是，则丙列的方程为：；丁列的方程为：； 则四位同学列出的方程正确的是（    ） A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁 【答案】B 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查分式方程的应用，准确理解题意并根据题意正确列出分式方程是解题的关键．本题依据题目所给等量关系逐个分析四位同学的方程是否符合题意． 【详解】解：设豪华客车的平均速度是，则普通客车的平均速度是， 由题意可得：，故甲列的方程是正确的； 设普通客车的平均速度是，则豪华客车的平均速度是， 由题意可得：，故丁列的方程是正确的； 综上，则四位同学列出的方程正确的是甲、丁． 故选：B． 25．（2025·山东青岛·二模）五一期间，来自四面八方的游客来青岛游玩，一家实体店购进两种纪念品进行销售．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵7元；用450元购进甲种纪念品的数量是用500元购进乙种纪念品的数量的倍．若设甲种纪念品的进价为x元，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了列分式方程，根据已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵7元，设甲种纪念品的进价为x元，得每个乙种纪念品的进价为元，再根据用450元购进甲种纪念品的数量是用500元购进乙种纪念品的数量的倍，得，即可作答． 【详解】解：∵设甲种纪念品的进价为x元，乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵7元； ∴每个乙种纪念品的进价为元， ∵用450元购进甲种纪念品的数量是用500元购进乙种纪念品的数量的倍， ∴． 故答案为：． 26．（2025·山东菏泽·二模）丰县为了落实中央的“精准扶贫政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合做天，那么余下的工程由甲队单独完成还需天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 【答案】(1)天 (2)元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、分式方程的工程问题 【分析】本题考查分式方程的应用，有理数混合运算的实际应用， （1）设这项工程的规定时间是天，根据甲、乙队先合做天，余下的工程由甲队单独需要天完成，可得出方程，解出即可； （2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可； 正确理解题意并建立方程是解题的关键．解答工程类问题，经常设工作量为“单位1”． 【详解】（1）解：设这项工程的规定时间是天， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解且符合题意， 答：这项工程的规定时间是天； （2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：（天）， 则该工程施工费用是：（元）， 答：该工程的费用为元． 08解一元二次方程 27．（2025·山东日照·二模）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为， 满足一元二次方程， ， 解得，． 故答案为：． 28．（2025·山东泰安·二模）若一元二次方程式的两根为、，且，则之值为何？（ ） A．22 B．28 C．34 D．40 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】配方得出（2x+3）2=1156，推出2x+3=34，2x+3=﹣34，求出x的值，求出a、b的值，代入3a+b求出即可． 【详解】解：4x2+12x﹣1147=0， 移项得：4x2+12x=1147， 4x2+12x+9=1147+9， 即（2x+3）2=1156， 2x+3=34，2x+3=﹣34， 解得：x=，x=， ∵一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b， ∴a=，b=， ∴3a+b=3×+（）=28， 故选B． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算和解一元二次方程的应用，能求出a、b的值是解此题的关键，主要培养学生解一元二次方程的能力，题型较好，难度适中． 29．（2025·山东威海·二模）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义求解即可． 【详解】解：将代入， 得，即， ∵， ∴， 故答案为：1． 30．（2025·山东德州·二模）是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，以及考查了整体代入思想． 先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解： a是方程的一个根， ，即， ． 故答案为：． 31．（2025·山东滨州·二模）（1）解方程：； （2）解不等式组． 【答案】（1），；（2） 【知识点】公式法解一元二次方程、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，即不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的基本方法． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）， 移项得：， ， ， ∴，； （2）， 解不等式①得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为：． 32．（2025·山东济南·二模）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】含乘方的有理数混合运算、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方和括号内，再把除法化为乘法，然后运算乘法，最后运算加法，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）原方程可变形为， ， ， 或， ． 09一元二次方程根的判别式 33．（2025·山东济南·二模）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知关于的一元二次方程：，是解本题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系可知，即可得出答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， 解得：， ∴方程的另一个根是1， 故选：C． 34．（2025·山东聊城·二模）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式，先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义进行判断． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 35．（2025·山东淄博·二模）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：； ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴且， 故选：C 36．（2025·山东日照·二模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】/ 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，根据一元二次方程有两个相等的实数根，则，即可得关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 故答案为：． 37．（2025·山东菏泽·二模）（1）计算：． （2）已知关于的一元二次方程．如果此方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的的值，并求此时方程的根． 【答案】（1） （2）， 【知识点】实数的混合运算、因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了含特殊角度的三角函数值的混合运算，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式化简、绝对值化简计算即可； （2）由一元二次方程根的判别式得，化简得，所以，不妨令，则一元二次方程为，解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）原式； （2）一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 即， ， ， 不妨令，则一元二次方程为， ， ， 故一元二次方程为的解为． 10一元二次方程根与系数的关系 38．（2025·山东潍坊·二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为（    ） A．b=﹣1，c=2 B．b=1，c=﹣2 C．b=1，c=2 D．b=﹣1，c=﹣2 【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2， ∴x1+x2=b=1+（﹣2）=﹣1，x1•x2=c=1×（﹣2）=﹣2． ∴b=﹣1，c=﹣2． 故选：D． 39．（2025·山东临沂·二模）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两个实根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围在数轴上表示为（ ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【详解】试题分析：根据根的判别式和根与系数的关系列出不等式，求出解集． 解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0有两个实根， ∴△≥0， ∴4﹣4（k+1）≥0， 解得k≤0， ∵x1+x2=﹣2，x1•x2=k+1， ∴﹣2﹣（k+1）＜﹣1， 解得k＞﹣2， 不等式组的解集为﹣2＜k≤0， 在数轴上表示为：    故选D． 点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，在数轴上找到公共部分是解题的关键． 40．（2025·山东泰安·二模）已知两个不相等的实数，，满足：，，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可得实数，是关于x的方程的两个不相等的实数根，则由根与系数的关系可得答案． 【详解】解：∵两个不相等的实数，，满足：，， ∴实数，是关于x的方程的两个不相等的实数根， ∴， 故答案为：． 41．（2025·山东淄博·二模）若、是一元二次方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系，得，再代入即可解决此题． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ， 则 ， 故答案为：． 42．（2025·山东临沂·二模）已知m，n是关于x的方程的两个根，则 ． 【答案】19 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，由一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系可得出，，然后将变形成，然后代入求解即可． 【详解】解：∵m，n是关于x的方程的两个根， ， ∴， ∴ 故答案为：19． 43．（2025·山东泰安·二模）若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是 ． 【答案】8 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 11一元二次方程实际问题 44．（2025·山东滨州·二模）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为， 根据题意可得， 故选：B． 45．（2025·山东潍坊·二模）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 由题意，得：， 解得：，（舍去）； 故答案为：． 46．（2025·山东青岛·二模）重庆某建筑公司承包了一项某网红景点的改造工程，聘请了甲队和乙队共同参与．已知乙队的工作效率是甲队的 ，甲队先单独做了天，之后甲队和乙队又合作了天，刚好如期完成了整项工程的改造． (1)求甲队单独完成整项工程需要多少天？ (2)改造工程结束后，该景点负责人为提升景点人气，立即发售代表该景点的特色套装纪念品，每套纪念品进价元，为合理定价，发售前进行市场调查，售价元时，每天可卖套，而售价每涨元，日销售量就减少套，若想每天获利元，且售价不超过元，那么该纪念品的售价应为多少元？ 【答案】(1)天 (2)元 【知识点】分式方程的工程问题、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了分式方程和一元二次方程：（1）工程问题，设甲队单独完成整项工程需要天，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，利用工作量之和等于总工程量列方程；（2）利润问题，设该纪念品的售价为元，根据题意，利用总利润公式列方程． 【详解】（1）解：设甲队单独完成整项工程需要天，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是 由题意得：． 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲队单独完成整项工程需要天． （2）解：设该纪念品的售价为元，由题意得： 整理得： 解得：， ∵ ∴ 答：该纪念品的售价为元． 12解一元一次不等式（组） 47．（2025·山东东营·二模）下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】找到未知数系数为负数，并且不等式的解为x≤5的即为所求． 【详解】解：A、，解得x≤5，未知数系数为正数，不符合题意； B、，未知数系数为正数，不符合题意； C、-2x≥-10，解得x≤5，符合题意； D、-2x≤-10，解得x≥5，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 48．（2025·山东日照·二模）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及将解集表示在数轴上，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先分别求出两个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集，再将不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：解，得， 解，得， 该不等式组的解集为， 其解集在数轴上表示如下： 故选：D． 49．（2025·山东淄博·二模）不等式组的整数解为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为， 则不等式组的整数解为， 故答案为：． 50．（2025·山东济南·二模）解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 【答案】，不等式组的正整数解为1，2，3 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大小，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定出不等式组的解集，再在解集范围内确定出所有正整数解． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． ∴不等式组的正整数解为：1，2，3． 51．（2025·山东淄博·二模）解不等式组，请把解集在下面的数轴上表示出来，并求所有整数解的和． 【答案】，不等式所有整数解的和为0 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以，原不等式组的解集为， 该不等式的解集在数轴上可表示为： 该不等式所有整数解的和为：． 13不等式（组）的含参问题 52．（2025·山东青岛·二模）若不等式组无解，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组无解即可得出a的取值范围． 【详解】解：解一元一次不等式组， 得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法、一元一次不等式的解法，会根据不等式组无解求解参数a的取值范围是解答的关键． 53．（2025·山东威海·二模）若不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题主要考查了不等式组中的含参问题，熟练掌握找不等式组的解集是解题的关键． 先求出原不等式组中每一个不等式的解集，再根据已知的不等式组的解集为，确定的范围． 【详解】解：， 由①得：，由②得：， ∵原不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 14一元一次不等式（组）的实际问题 54．（2025·山东临沂·二模）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为226元时，立减20元．甲在该商场单笔购买3件A商品，立减了30元；乙在该商场单笔购买3件A商品与1件B商品，立减了40元．若B商品的单价是整数元，则它的最小值是（   ） A．199元 B．101元 C．99元 D．1元 【答案】D 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了不等式的性质．本题可先根据甲的消费情况确定商品的价格范围，再结合乙的消费情况列出不等式，进而求出B商品单价的最小值． 【详解】解：∵单笔消费金额每满100元立减10元， ∴3件商品的原价满足：， ∵乙在该商场单笔购买3件商品与1件商品，立减了40元，说明消费金额满了4个100元， ∴， ∴时，B有最小值为1； 故选：D． 55．（2025·山东泰安·二模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 根据他们的对话得到以下四个结论：①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【知识点】分式方程和差倍分问题、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，设甲车载客量为人，乙车载客量为人，列出方程得出甲车载客量为 45人，乙车载客量为 30 人，即可判断①，设租甲车辆，则租乙车辆，根据题意列出不等式组，得出，进而判断②③④，即可求解． 【详解】解：设甲车载客量为人，乙车载客量为人， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴甲车载客量为45人，乙车载客量为 30 人， ∴若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量人；故①正确； 设租甲车辆，则租乙车辆， 根据题意得，， 解得：， 或5， ∴方案一：租甲车 4 辆，则租乙车 2 辆， 方案二：租甲车 5 辆，则租乙车 1 辆， ∴共有两种租车方案，故②正确； 依题意，甲车的费用为400元/辆，乙车的费用为元/辆， 方案一费用：元， 方案二费用：元， 租车最低费用是 2160 元，故③正确；④不正确； 故选：B． 56．（2025·山东德州·二模）某校在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元． (1)问购买一个A品牌，一个B品牌的篮球各需多少元？ (2)该校决定再次购进A，B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 【答案】(1)购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元 (2)该校此次最多可购买20个B品牌篮球 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用： （1）设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，根据等量关系列出方程，解方程并检验即可求解； （2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，根据不等关系列出不等式并解不等式即可求解； 理清题意，根据等量关系列出方程及根据不等关系列出不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元 （2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个， 依题意得：， 解得：， 答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球． 57．（2025·山东济南·二模）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 (2)购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， (元)． 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元． （2）设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． 根据题意，得， 解得． 设共花费w元，则， ∵， ∴w随m的减小而减小， ∵， ∴当时，w值最小． ， (台)． 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 1．（2025·山东淄博·二模）已知关于，的二元一次方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法，根据二元一次方程组整理得到，进而求出的值，即可解题． 【详解】解：， 由得：③， 由得：， 故选：C． 2．（2025·山东济宁·二模）若实数a，b，c（a，b，c均不为0）满足，且，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】不等式的性质、判断命题真假、等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了代数式求值，不等式的性质，真、假命题．解题的关键在于对等式进行合理的等量代换．由，，可得，进而可判断A的真假；由，可得，，则，整理得，，进而可判断B的真假；由，且，，可得，整理得，，计算求解，可判断C的真假；由，整理得，，由，可得，进而可判断D的真假． 【详解】解：∵，， ∴，正确，A为真命题，故不符合要求； ∵， ∴，， ∴，整理得，，正确，B为真命题，故不符合要求； ∵，且，， ∴，整理得，，解得或，错误，C为假命题，故符合要求； ∵，且， ∴，整理得，， ∵， ∴，正确，D为真命题，故不符合要求； 故选：C． 3．（2025·山东聊城·二模）已知实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】等式的性质1、不等式的性质、配方法的应用 【分析】本题考查的是不等式的性质，配方法的应用，先由条件可得，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ； ∴， 故选：A 4．（2025·山东枣庄·二模）定义新运算：，例如：．则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、新定义下的实数运算 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的情况是解题的关键，根据题中新定义的运算方法，得到关于x的一元二次方程，再利用判断根的情况，即可得到答案． 【详解】解：由题可得：， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 5．（2025·山东济宁·二模）关于x的一元二次方程在实数范围内有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据一元二次方程的定义得到，根据一元二次方程有实数根得到，即可求出m的取值范围． 【详解】解：关于x的一元二次方程在实数范围内有实数根， ， 解得：且． 故选：A． 6．（2025·山东济南·二模）定义新运算：，例如：，若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】新定义下的实数运算、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵该方程有实数根， ∴， 解得：． 故选：D． 7．（2025·山东临沂·二模）为支持全民健身活动，某体育用品店正举办特惠活动，下图为活动说明． 全民健身特惠活动 任选两副球拍，第二副打六折 活动说明： 两副球拍定价不同时以低价者折扣， 此活动不得与折价券合并使用。 晓东打算在该店同时购买一副乒乓球拍及一副羽毛球拍，且他有一张所有购买的商品定价皆打8折的折价券．若晓东计算后发现使用折价券与参加特惠活动两者的花费相差50元，则下列说法正确的是（） A．参加特惠活动的花费较少，且两副球拍的定价相差100元 B．参加特惠活动的花费较少，且两副球拍的定价相差250元 C．使用折价券的花费较少，且两副球拍的定价相差100元 D．使用折价券的花费较少，且两副球拍的定价相差250元 【答案】B 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查整式加减的应用，解题的关键是理解题意；设定价高的为x元，定价低的为y元，然后列代数比较大小，并根据差额为50元求出解答即可． 【详解】解：设定价高的为x元，定价低的为y元， 则， ∴， ∴， 故选：B． 8．（2025·山东聊城·二模）若实数满足不等式组，则的最小值是 ． 【答案】3 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集，再将取最小值即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 的最小值是3， 故答案为：3． 9．（2025·山东滨州·二模）已知，则 . 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】根据得继而得到，根据，变形计算即可. 本题考查了已知式子的值求代数式的值，熟练变形是解题的关键. 【详解】解：，得，， 故， 故， 故答案为：. 10．（2025·山东临沂·二模）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则 ∴ 故答案为：4 11．（2025·山东威海·二模）若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】先求出的解为，从而推出，整理不等式组可得整理得：，根据不等式组无解得到，则，再由整数k和是自然数进行求解即可． 本题主要考查了解一元一次方程，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【详解】解：由，得， 方程的解为正整数，， 解得：， 解①得， 解②得， ， 不等式组无解， ， 即整数， 为正整数，， 则符合条件的整数的值的和为． 故选：A． 12．（2025·山东济宁·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若则的值是 ． 【答案】2 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据韦达定理结合判别式即可得出答案． 【详解】根据题意可得：， ∴ 解得：m=2或m=-1 又，解得 故答案为m=2． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，难度适中，易错点在于直接根据韦达定理求出m的值，而忽略了当m=-1时方程有两个相等的实数根，不符合题意． 13．（2025·山东潍坊·二模）从，，三个数中，选取1个数作为的值代入方程．若该方程有两个正实数根，则选取的的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根据题意分别将，，代入原方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵方程有两个正实数根 ∴ ∴或 当时，原方程无实数根，不合题意， 当时，原方程为 解得都小于，不合题意， 当时，原方程为 解得：都大于，符合题意， 故答案为：． 14．（2025·山东菏泽·二模）若关于y的不等式组无解，且关于的分式方程的解为负数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题、求一元一次不等式组的整数解、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程的知识，解题的关键是先求出不等式组，根据不等式无解求出的值，再根据分式方程的解为负数，求出，根据为整数，确定的值，即可． 【详解】由不等式组， 解不等式：，， 解不等式：， ∵不等式无解， ∴； ， 解得：， ∵分式方程的解为负数， ∴， 解得：； ∴的取值范围为：， ∵为整数， ∴的值为：，， ∴整数的值之和为：． 故答案为：． 15．（2025·山东济南·二模）《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶比一个种哪吒玩偶价格贵10元，玩具店用2500元购进A种哪吒玩偶的数量是用1500元购进B种哪吒玩偶数量的2.5倍． (1)求购进A，B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)六一将至，该玩具店决定用不超过3000元再次购进A，B两种哪吒玩偶共120个进行销售，且将每个种哪吒玩偶售价定为32元，每个种哪吒玩偶售价定为45元，那么，B两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种哪吒玩偶的单价为20元，则B种哪吒玩偶的单价为30元 (2)购买A种玩偶60个，购买B种玩偶60个时，最大利润为1620元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设种哪吒玩偶的单价为元，则种哪吒玩偶的单价为（）元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）设玩具店购买种玩偶个，则购买种哪吒玩偶（）个，根据题意得，解得，再设总获利为元，得，运用一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设种哪吒玩偶的单价为元，则种哪吒玩偶的单价为（）元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）， 答：A种哪吒玩偶的单价为20元，则B种哪吒玩偶的单价为30元； （2）解：设玩具店购买种玩偶个，则购买种哪吒玩偶（）个， 根据题意得：， 解得， 设总获利为元， 则， ∵， 随的增大而减小， 当时，最大为元， 此时， 答：购买A种玩偶60个，购买B种玩偶60个时，最大利润为1620元． 16．（2025·山东青岛·二模）年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点，某公司计划购买、两种机器人进行销售．已知购买个种机器人和个种机器人共需万元，购买个种机器人和个种机器人共需万元． (1)求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过万元再购进第二批、两种机器人共个，且种机器人数量不超过种机器人数量的倍．据市场销售分析，当种机器人提价，种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 【答案】(1)种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元； (2)安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、不等式组的经济问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． 设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，根据购买个种机器人和个种机器人共需万元，购买个种机器人和个种机器人共需万元，可列二元一次方程组，解方程组可得两种机器人的单价； 的售价为：万元，的售价为：万元，设购买的数量为个，则的数量为个，根据总费用不超过万元，共购买个机器人，可列不等式组，解不等式组求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元， 根据题意可得：， 解得：， 答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元； （2）解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元， 设购买的数量为个，则的数量为个， 由题意可得：， 解得： ， 利润， 利润随着m的增大而减小， 把代入可得， 最大利润为：万，此时购进了种机器人个，种机器人个． 答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$