第19周 导数在研究函数中的应用-【周测必刷】2025-2026学年高二数学选择性必修1+2（人教A版2019）

— 74 — 第十九周 导数在研究函数中的应用 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第12题.该题主要考查根据最值求参数的值或范围,考查考生分类讨论参数范围, 是否做到不重不漏,从而提高学生的逻辑思维能力,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共60分) 考点一 函数的单调性与导数的关系 1.利用导数判断下列函数的单调性. (1)f(x)=x2-2x+alnxa>12 ;(2)f(x)=lnxx (x>e). 2.利用导数判断下列函数的单调性: (1)f(x)=13x 3-x2+2x-5;(2)f(x)=x-1x-lnx ;(3)f(x)=x-ex(x>0). 考点二 利用导数求函数的单调区间 3.求下列函数的单调区间. (1)f(x)=x2·e-x;(2)f(x)=x+1x. 4.求下列函数的单调区间. (1)f(x)=3x2-2lnx;(2)f(x)=2x3+3x2-36x+1. 考点三 求含参数的函数的单调区间 5.(2025·无锡·阶段练习)讨论函数f(x)=12ax 2+x-(a+1)lnx(a≥0)的单调性. 考点四 由导数的信息画函数的大致图象 6.设函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为 ( ) 考点五 求函数的极值 7.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)在区 间(a,b)上的极小值点的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断: ①函数y=f(x)在区间(3,5)上单调递增; ②函数y=f(x)在区间 -12 ,3 上单调递减; ③函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增; ④当x=-12 时,函数y=f(x)有极大值; ⑤当x=2时,函数y=f(x)有极大值. 则上述判断中正确的序号是 . 考点六 含参数的函数的极值问题 9.(2025·芜湖·阶段练习)已知函数f(x)=x-alnx(a∈R),讨论函数f(x)的极值. — 73 — — 76 — 考点七 根据极值求参数的值或范围 10.(2025·长沙·阶段练习)已知函数f(x)=13x 3-12 (m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m 为常数),在 区间(1,+∞)上有两个极值点,求实数m 的取值范围. 考点八 极值与最值的关系 11.(1)如图是函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象,写出函数的极大值、极小 值、最大值和最小值. (2)求函数f(x)=2x3-12x,x∈[-2,3]的最值. 考点九 根据最值求参数的值或范围 12.(2025·九江·阶段练习)已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为 -29,求a,b的值. 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 求含参数的函数的最值 已知函数f(x)=x3-ax2-a2x. 探究问题: 求函数f(x)在[0,+∞)上的最小值. 【综合·一练到底】(共25分) 1.已知函数f(x)=x3+ax2-a2x+2. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数f(x)的单调区间. 2.(2025·淮安·阶段练习)设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a. (1)求f(x)的极值; (2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点? 3.(2025·阜阳·阶段练习)已知f(x)=ax-lnx,a∈R. (1)当a=1时,求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)是否存在实数a,使f(x)在区间(0,e]上的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明 理由. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 75 — —114 — 7.解 (1)∵f=x2+sinx, ∴f'(x)=2x+cosx. (2)∵g(x)=x3-x2-x+2, ∴g'(x)=3x2-2x-1. 8.解 (1)y'=(x5)'-(x3)'+(cosx)' =5x4-3x2-sinx. (2)y'=(lgx-ex)'=(lgx)'-(ex)'= 1xln10-e x. 9.解 (1)∵y=(x2+1)(x-1)=x3-x2+x-1, ∴y'=3x2-2x+1. (2)∵y=x2+sinxcosx , ∴y'=(x2)'+ sinxcosx ' =2x+cos 2x-sinx(-sinx) cos2x =2x+ 1 cos2x . (3)y'= (ex)'(x+1)-(x+1)'ex (x+1)2 =e x(x+1)-ex (x+1)2 = xe x (x+1)2 . 10.解 (1)y'=(x2+xlnx)'=(x2)'+(xlnx)' =2x+(x)'lnx+x(lnx)' =2x+lnx+x·1x =2x+lnx+1. (2)y'= lnx x2 '=(lnx)'·x 2-lnx(x2)' x4 = 1 xx 2-2xlnx x4 =1-2lnx x3 . (3)y'= e x x '=(e x)'x-ex(x)' x2 =e x·x-ex x2 . (4)方法一 y'=[(2x2-1)(3x+1)]' =(2x2-1)'·(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)' =4x(3x+1)+(2x2-1)×3 =12x2+4x+6x2-3 =18x2+4x-3. 方法二 ∵y=(2x2-1)(3x+1) =6x3+2x2-3x-1, ∴y'=(6x3+2x2-3x-1)' =(6x3)'+(2x2)'-(3x)'-(1)' =18x2+4x-3. 【方法技巧】 利用导数运算法则的策略 (1)分析待求导式子符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种 基本初等函数组合成的,确定所需的求导法则和基本公式. (2)如果求导式子比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的 变形有乘积式展开变为和式求导,商式变乘积式求导,三角函数 恒等变换后求导等. (3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和 差的求导法则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导. 11.D [净 化 费 用 的 瞬 时 变 化 率 就 是 净 化 费 用 函 数 的 导 数,因 为 c(x)= 4000100-x (80<x<100).所 以 c'(x)= 4000100-x '= 4000 (100-x)2 ,又因为c'(90)= 4000(100-90)2 =40,所以净化到纯净度 为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/t.] 12.A [f'(x)= (ex+2cosx)(1+x2)-(ex+2sinx)·2x (1+x2)2 , 则f'(0)= (e0+2cos0)×(1+0)-(e0+2sin0)×0 (1+0)2 =3, 即该切线方程为y-1=3x,即y=3x+1, 令x=0,则y=1, 令y=0,则x=-13 , 故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 S=12×1× - 1 3 = 1 6. ] 13.BCD [A 不是复合函数;BCD都是复合函数.] 14.2xex 2 ;y=1 [∵f(x)=ex 2 ,故f'(x)=(x2)'ex 2 =2xex 2 ,则 f'(0)=0.故曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=1.] 【探究·一举突破】 探究路径 解 (1)令u=1-3x,则y=1u4 =u-4, 所以y'u=-4u-5,u'x=-3. 所以y'x=y'u·u'x=12u-5= 12 (1-3x)5 . (2)令u=x2,则y=cosu, 所以y'x=y'u·u'x=-sinu·2x=-2xsinx2. (3)设y=log2u,u=2x+1, 则y'x=y'u·u'x= 2 uln2= 2 (2x+1)ln2. (4)设y=eu,u=3x+2, 则y'x=(eu)'·(3x+2)'=3eu=3e3x+2. 【易错提醒】 (1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点:①分解的函数通常为基本初等 函数;②求导时分清是对哪个变量求导;③计算结果尽量简洁. 【综合·一练到底】 1.94 [如图,在△ABC 中,边AC 是确定的,要使△ABC 的面积最 大,则点B 到直线AC 的距离应最大,可以将直线 AC 作平行移 动,显然当直线AC与曲线相切时,距离达到最大,即当过点B 的 切线平行于直线AC 时,△ABC的面积最大.∵y'|x=m= 1 2 m ,点 A 坐标为(1,1),点C 坐标为(4,2),∴kAC = 2-1 4-1= 1 3 ,∴ 1 2 m = 1 3 ,∴m=94. ] 2.解 (1)由7x-4y-12=0得y=74x-3. 当x=2时,y=12 ,∴f(2)=2a-b2= 1 2 , ① 又f'(x)=a+bx2 ,∴f'(2)=a+b4= 7 4. ② 由①②得 4a-b=1 , 4a+b=7 解得 a=1,b=3. 故f(x)=x-3x. (2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由y'=1+ 3 x2 知,曲线在点 P (x0,y0)处的切线方程为y-y0= 1+ 3 x20 (x-x0), 即y- x0- 3 x0 = 1+3x20 (x-x0). 令x=0得 y= - 6x0 ,从 而 得 切 线 与 直 线 x=0的 交 点 坐 标 为 0,-6x0 . 令y=x 得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x 的交点坐标为 (2x0,2x0). ∴点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积 为1 2 - 6 x0 |2x0|=6. 故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三 角形的面积为定值,此定值为6. 3.解 (1)由题意得 f'(x)= (ax)'(x2+b)-ax(x2+b)' (x2+b)2 =a (x2+b)-2ax2 (x2+b)2 =-ax 2+ab (x2+b)2 , 因为f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切, 所以 f'(1)=-a+ab(1+b)2=0 , f(1)= a1+b=2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=4 , b=1, 则f(x)= 4xx2+1 . (2)由(1)可得,f'(x)=-4x 2+4 (x2+1)2 , 所以直线l的斜率 k=f'(x0)= 4-4x20 (x20+1)2 =4 2(x20+1)2 - 1x20+1 , 令t= 1 x20+1 ,则t∈(0,1], 所以k=4(2t2-t)=8- t-14 2 -12 , 则在对称轴t=14 处取到最小值-12 ,在t=1处取到最大值4, 所以直线l的斜率k 的取值范围是 -12 ,4 . 【选做·一飞冲天】 解 (1)方法一 f'(x)=2f'(2-x)(2-x)'-2x+8=-2f'(2- x)-2x+8, 则f'(1)=-2f'(1)-2+8,得f'(1)=2. 又f(1)=2f(1)-1+8-8,得f(1)=1, 故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=2(x-1), 即y=2x-1. 方法二 ∵f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8, ① ∴f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8. ② 把②代入①得f(x)=x2, ∴f(1)=1,f'(x)=2x, ∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率k=f'(1)=2, 故所求切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1. (2)∵曲线y=cosωx+π3 过点 π2,0 , ∴cosω·π2+ π 3 =0, ∴ω·π2+ π 3=nπ+ π 2 (n∈Z), ∴ω=2n+13 (n∈Z), 又y'=-ωsinωx+π3 , ∴k=y'|x=π2=- 2n+ 1 3 sin 2n+13 ×π2+π3 =- 2n+13 sinnπ+π2 =± 2n+13 ,n∈Z. ∵|k|<1,∴ 2n+13 <1 ,∴n=0,即ω=13. 第十九周 导数在研究函数中的应用 【考点·一应俱全】 1.解 (1)因为f(x)=x2-2x+alnx,x∈(0,+∞), 所以f'(x)=2x-2+ax = 2x2-2x+a x ,对于y=2x2-2x+a,a> 1 2 ,Δ=4-8a=8 12-a <0,故有y=2x2-2x+a>0恒成立, 即f'(x)>0, 所以f(x)=x2-2x+alnx在(0,+∞)上单调递增. (2)因为f(x)=lnxx ,x>e, 所以f'(x)=x (lnx)'-x'lnx x2 =1-lnx x2 <0, 所以f(x)=lnxx 在(e,+∞)上单调递减. 2.解 (1)因为f(x)=13x 3-x2+2x-5,所以f'(x)=x2-2x+ 2=(x-1)2+1>0,所以函数f(x)=13x 3-x2+2x-5在 R上单 调递增. (2)因为f(x)=x-1x-lnx ,x∈(0,+∞), 所以f'(x)=1+1x2 -1x = x2-x+1 x2 = x-12 2 +34 x2 >0,所以 f(x)=x-1x-lnx 在(0,+∞)上单调递增. (3)因为f(x)=x-ex,x∈(0,+∞), 所以f'(x)=1-ex<0,所 以f(x)=x-ex 在(0,+∞)上 单 调 递减. 【方法技巧】 利用导数判断函数单调性的步骤:确定函数的定义 域;求导数f'(x);确定f'(x)在定义域内的符号,在此过程中,需 要对导函数进行通分、因式分解等变形;得出结论. 3.解 (1)易知函数的定义域为 R. f'(x)=(x2)'e-x+x2(e-x)'=2xe-x-x2e-x=e-x·(2x-x2), 令f'(x)=0,得x=0或x=2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情 况如表: x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x) 单调递减 f(0) 单调递增 f(2) 单调递减 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间 为(0,2). (2)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). f'(x)=1-1x2 ,令f'(x)=0,得x=-1或x=1,当x 变 化 时, f'(x),f(x)的变化情况如表: x (-∞,-1) -1 (-1,0) (0,1) 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - - 0 + f(x)单调递增 f(-1)单调递减 单调递减f(1)单调递增 所以函数f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1),单调递增区间 为(-∞,-1)和(1,+∞). 4.解 (1)易知函数f(x)的定义域为(0,+∞).f'(x)=6x-2x = 6x2-2 x = 2(3x+1)(3x-1) x ,令f'(x)=0,解 得x= 33 或x= - 33 (舍去),x= 33 把函数f(x)的定义域划分为两个区间,f'(x) 在各区间上的正负以及f(x)的单调性如表所示, x 0,33 33 33,+∞ f'(x) - 0 + f(x) 单调递减 f 33 单调递增 故函 数 f(x)的 单 调 递 减 区 间 为 0,33 ,单 调 递 增 区 间 为 3 3 ,+∞ . (2)f'(x)=6x2+6x-36=6(x+3)(x-2). 令f'(x)=0,解得x=-3或x=2, x=-3和x=2把函数的定义域划分为三个区间, f'(x)在各个区间上的正负以及f(x)的单调性如表, x (-∞,-3) -3 (-3,2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 f(-3)单调递减 f(2)单调递增 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 113 — —116 — 故f(x)的单调递增区间是(-∞,-3),(2,+∞); 单调递减区间是(-3,2). 【方法技巧】 利用导数求函数的单调区间的一般步骤 (1)确定函数y=f(x)的定义域. (2)求出导数f'(x)的零点. (3)用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给 出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)的单调区间. 5.解 函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=ax+1-a+1x = ax2+x-(a+1) x . ①当a=0时,f'(x)=x-1x , 由f'(x)>0,得x>1; 由f'(x)<0,得0<x<1. ∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. ②当a>0时,f'(x)= a x+a+1a (x-1) x , ∵a>0,∴a+1a >0. 由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0<x<1. ∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单 调递增. 【方法技巧】 (1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不 等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时,要在函数的定义域内讨论,还要确定 导数为0的点和函数的间断点. 6.C [∵f(x)在(-∞,1),(4,+∞)上单调递减,在(1,4)上单调递 增,∴当x<1或x>4时,f'(x)<0;当1<x<4时,f'(x)>0.] 7.A [由图象,设y=f'(x)的图象与x 轴负 半轴的两个交点的横坐标分别为c,d,其中 c<d,知在(-∞,c),(d,b)上f'(x)≥0,所 以此时函数f(x)在(-∞,c),(d,b)上单调 递增,在(c,d)上,f'(x)<0,此时f(x)在(c,d)上单调递减,所以 当x=c时,函数取得极大值,当x=d时,函数取得极小值.则函数 y=f(x)的极小值点的个数为1.] 8.③⑤ [对于①,当x∈(3,4)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈ (4,5)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以①错误;对于②,当x∈ -12 ,2 时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(2,3)时,f'(x)< 0,f(x)单调递减,所以②错误;对于③,当x∈(-2,2)时,f'(x)> 0,f(x)单调递增,所以③正确;对于④,当x∈(-2,2)时,f'(x)> 0,f(x)单调递增,故当x=-12 时,f -12 不是极大值,所以④ 错误;对于⑤,由②知当x=2时,函数y=f(x)取得极大值,所以 ⑤正确.] 9.解 函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=1-ax = x-a x , ①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,函数 f(x)无极值; ②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a. 又当x∈(0,a)时,f'(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,从而函 数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极 大值. 综上,当a≤0时,函数f(x)无极值; 当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值. 10.解 f'(x)=x2-(m+3)x+m+6. 因为函数f(x)在(1,+∞)上有两个极值点, 所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6的图象在 (1,+∞)上与x 轴有两个不 同 的 交 点,如 图 所示. 所以 Δ=(m+3)2-4(m+6)>0, f'(1)=1-(m+3)+m+6>0, m+3 2 >1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得m>3. 故实数m 的取值范围是(3,+∞). 【易错提醒】 已知函数的极值求参数的方法 (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题,解题的切入点是极 值存在的条件:极值点处的导数值为0,极值点两侧的导数值 异号. 注意:求出参数后,一定要验证是否满足题目的条件. (2)对于函数无极值的问题,往往转化为其导函数的值非负或非 正在某区间内恒成立的问题,即转化为f'(x)≥0或f'(x)≤0在 某区间内恒成立的问题,此时需注意不等式中的等号是否成立. 11.解 (1)由题图可知,y=f(x)在x1,x3 处取得极小值,在x2 处取 得极大值,所以极小值为f(x1),f(x3),极大值为f(x2);比较极 值和端点值可知函数的最小值是f(x3),最大值在b处取得,最大 值为f(b). (2)因为f(x)=2x3-12x,x∈[-2,3], 所以f'(x)=6x2-12 =6(x+ 2)(x- 2), 令f'(x)=0, 解得x=- 2或x= 2. 因为f(-2)=8,f(3)=18, f(2)=-8 2,f(- 2)=8 2, 所以当x= 2时, f(x)取得最小值-8 2; 当x=3时, f(x)取得最大值18. 12.解 由题设知a≠0,否则f(x)=b为常数函数,与题设矛盾. 求导得f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4), 令f'(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去). ①当a>0,且当x变化时, f'(x),f(x)的变化情况如表: x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2 f'(x) + 0 - f(x)-7a+b 单调递增 b 单调递减 -16a+b 由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,也就是函数在[-1,2] 上的最大值, ∴f(0)=b=3. 又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1), ∴f(2)=-16a+3=-29, 解得a=2. ②当a<0时,同理可得,当x=0时,f(x)取得极小值b,也就是 函数在[-1,2]上的最小值, ∴f(0)=b=-29. 又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1), ∴f(2)=-16a-29=3,解得a=-2. 综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29. 【方法技巧】 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围) 是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的 单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解 决问题. 【探究·一举突破】 探究路径 解 f'(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a), 令f'(x)=0,得x1=- a 3 ,x2=a. ①当a>0时,f(x)在[0,a)上单调递减,在[a,+∞)上单调递增. 所以f(x)min=f(a)=-a3. ②当a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以 f(x)min=f(0)=0. ③当a<0时,f(x)在 0,-a3 上单调递减, 在 -a3 ,+∞ 上单调递增. 所以f(x)min=f - a 3 =527a3. 综上所述,当a>0时,f(x)的最小值为-a3; 当a=0时,f(x)的最小值为0; 当a<0时,f(x)的最小值为527a 3. 【综合·一练到底】 1.解 (1)∵a=1,∴f(x)=x3+x2-x+2, ∴f'(x)=3x2+2x-1,∴f'(1)=4. 又f(1)=3,∴切点坐标为(1,3), ∴所求切线方程为y-3=4(x-1), 即4x-y-1=0. (2)f'(x)=3x2+2ax-a2=(x+a)(3x-a), 由f'(x)=0得x=-a或x=a3. 当a>0时,由f'(x)<0,得-a<x<a3 , 由f'(x)>0,得x<-a或x>a3 , 故f(x)的 单 调 递 减 区 间 为 -a,a3 ,单 调 递 增 区 间 为(-∞, -a)和 a3 ,+∞ . 当a=0时,f'(x)=3x2≥0恒成立,故f(x)在 R上单调递增; 当a<0时,由f'(x)<0,得a3<x<-a , 由f'(x)>0,得x<a3 或x>-a, 故f(x)的单调递减区间为 a3 ,-a , 单调递增区间为 -∞,a3 和(-a,+∞). 综上所述:当a>0时,f(x)的单调递减区间为 -a,a3 ,单调递 增区间为(-∞,-a)和 a3 ,+∞ ; 当a<0时,f(x)的单调递减区间为 a3 ,-a ,单调递增区间为 -∞,a3 和(-a,+∞). 当a=0时,f(x)在 R上单调递增. 2.解 (1)f'(x)=3x2-2x-1. 令f'(x)=0,得x=-13 或x=1. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表: x -∞,-13 -13 -13,1 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∴f(x)的极大值是f -13 =527+a, 极小值是f(1)=a-1. (2)函数f(x)=x3-x2-x+a =(x-1)2(x+1)+a-1, 由此可知,x取足够大的正数时,有f(x)>0, x取足够小的负数时,有f(x)<0, ∴曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点. 由(1)知f(x)的极大值为f -13 =527+a, f(x)的极小值为f(1)=a-1. ∵曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点, ∴527+a<0 或a-1>0, ∴a<-527 或a>1, ∴当a∈ -∞,-527 ∪(1,+∞)时,曲线y=f(x)与x 轴仅有 一个交点. 3.解 (1)当a=1时,f(x)=x-lnx,f'(x)=1-1x= x-1 x , ∴所求切线的斜率为f'(2)=12 ,切点为(2,2-ln2), ∴所求切线的方程为y-(2-ln2)=12 (x-2), 即x-2y+2-2ln2=0. (2)假设存在实数a,使f(x)=ax-lnx在区间(0,e]上的最小值 是3, f'(x)=a-1x= ax-1 x . ①当a≤0时,f(x)在(0,e]上单调递减,故f(x)min=f(e)=ae-1= 3,解得a=4e (舍去),所以此时不存在符合题意的实数a; ②当0< 1a <e ,即a> 1e 时,f(x)在 0,1a 上 单 调 递 减,在 1 a ,e 上单调递增,故f(x)min=f 1a =1+lna=3,解得a= e2,满足条件; ③当1a≥e ,即0<a≤1e 时,f(x)在(0,e]上单调递减,故f(x)min= f(e)=ae-1=3,解得a=4e (舍去),所以此时不存在符合题意的 实数a. 综上,存在实数a=e2,使f(x)在区间(0,e]上的最小值是3. 【选做·一飞冲天】 解 (1)当a=1时,则f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1, 可得f(1)=e-2,f'(1)=e-1, 即切点坐标为(1,e-2),切线斜率k=e-1, 所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1), 即(e-1)x-y-1=0. (2)方法一 因为f(x)的定义域为 R, 且f'(x)=ex-a, 若a≤0,则f'(x)>0对任意x∈R恒成立, 可知f(x)在 R上单调递增, 无极值,不符合题意; 若a>0,令f'(x)>0,解得x>lna, 令f'(x)<0,解得x<lna, 可知f(x)在(-∞,lna)上单调递减, 在(lna,+∞)上单调递增, 则f(x)有极小值f(lna)=a-alna-a3,无极大值, 由题意可得,f(lna)=a-alna-a3<0, 即a2+lna-1>0,令g(a)=a2+lna-1,a>0, 则g'(a)=2a+1a>0 , 可知g(a)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0, 不等式a2+lna-1>0等价于g(a)>g(1), 解得a>1,所以a的取值范围为(1,+∞). 方法二 因为f(x)的定义域为 R,且f'(x)=ex-a, 若f(x)有极小值,则f'(x)=ex-a有零点, 令f'(x)=ex-a=0,可得ex=a, 可知y=ex 与y=a有交点,则a>0, 令f'(x)>0,解得x>lna; 令f'(x)<0,解得x<lna, 可知f(x)在(-∞,lna)上单调递减, 在(lna,+∞)上单调递增, 则f(x)有极小值f(lna)=a-alna-a3, 无极大值,符合题意, 由题意可得,f(lna)=a-alna-a3<0, 即a2+lna-1>0,令g(a)=a2+lna-1,a>0, 因为y=a2,y=lna-1在(0,+∞)上均单调递增, 所以g(a)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0, 不等式a2+lna-1>0等价于g(a)>g(1), 解得a>1,所以a的取值范围为(1,+∞). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 115 —