第18周 导数的运算-【周测必刷】2025-2026学年高二数学选择性必修1+2（人教A版2019）

— 70 — 第十八周 导数的运算 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第11题.该题主要考查导数四则运算法则的实际应用,考查考生将所学知识应用到 实际生活中,从而提高学生的应用能力,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共60分) 考点一 基本初等函数的求导公式 1.求下列函数的导数: (1)y=2025;(2)y= 13 x2 ;(3)y=4x;(4)y=log3x. 2.求下列函数的导数: (1)y=x0(x≠0);(2)y= 13 x ;(3)y=lgx;(4)y=x 2 x ;(5)y=2cos2x2-1. 考点二 导数公式的应用 3.求函数f(x)=100x 的导数f'(x),并求f'(1),f'(2),f'(3). 4.若质点P 的运动方程是s(t)= 3 t2(s的单位为 m,t的单位为s),求质点P 在t=8s时的瞬时 速度. 考点三 利用导数研究曲线的切线方程 5.(2025·湖州·阶段练习)已知曲线y=1x. (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程; (2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程. 6.已知曲线y=lnx,点P(e,1)是曲线上一点,求曲线在点P 处的切线方程. 考点四 f(x)±g(x)的导数 7.求下列函数的导数: (1)f=x2+sinx;(2)g=x3-x2-x+2. 8.求下列函数的导数: (1)y=x5-x3+cosx;(2)y=lgx-ex. 考点五 f(x)g(x)和f (x) g(x) 的导数 9.求下列函数的导数: (1)y=(x2+1)(x-1);(2)y=x2+tanx;(3)y= e x x+1. — 69 — — 72 — 10.(2025·盐城·阶段练习)求下列函数的导数: (1)y=x2+xlnx;(2)y=lnxx2 ;(3)y=e x x ;(4)y=(2x2-1)(3x+1). 考点六 导数四则运算法则的应用 11.日常生活中的饮用水通常都是经过净化的,随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知 1t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为c(x)=4000100-x (80<x<100).那么净化到纯 净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是 ( ) A.-40元/t B.-10元/t C.10元/t D.40元/t 12.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=e x+2sinx 1+x2 ,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所 围成的三角形的面积为 ( ) A.16 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 考点七 复合函数的概念 13.(多选)下列哪些函数是复合函数 ( ) A.y=xlnx B.y=(3x+6)2 C.y=esinx D.y=sin 12x+π3 考点八 复合函数的导数的应用 14.我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”,实施“以直代曲”的近似计算,用正n边形进行“内 外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值,这是我国最优秀的传统科学文化之一.借 用“以直代曲”的近似计算方法,在切点附近,可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲 线来近似计算.设f(x)=ex 2 ,则f'(x)= ,其在点(0,1)处的切线方程为 . 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 复合函数的导数 已知下列函数: (1)y= 1(1-3x)4 ;(2)y=cosx2;(3)y=log2(2x+1);(4)y=e3x+2. 探究问题: 分别求其导函数. 【综合·一练到底】(共25分) 1.已知A,B,C三点在曲线y= x上,其横坐标依次为1,m,4(1<m<4),则当 △ABC的面积最大时,m 的值为 . 2.(2025·洛阳·阶段练习)设函数f(x)=ax-bx ,曲线y=f(x)在点(2,f(2)) 处的切线方程为7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式; (2)证明曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为定值,并求此 定值. 3.已知函数f(x)= axx2+b ,且f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若P(x0,y0)为f(x)图象上的任意一点,直线l与f(x)的图象切于P 点,求直线l的斜率k的 取值范围. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·陕西西安·阶段练习)(1)已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,求 曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)已知曲线y=cosωx+π3 在点 π2,0 处的切线斜率为k,若|k|<1,求ω的值. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 71 — —112 — 【方法技巧】 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求位移改变量Δy=s(t0+Δt)-s(t0). (2)求平均速度􀭵v=ΔyΔt. (3)求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时,ΔyΔt 无限趋近于的常数v 即为瞬时速度,即v=lim Δt→0 Δy Δt. 5.解 f(2+Δx)-f(2)=(2+Δx)2-(2+Δx)-2 =3Δx+(Δx)2, 所以切线的斜率k=lim Δx→0 f(2+Δx)-f(2) Δx =lim Δx→0 3Δx+(Δx)2 Δx =limΔx→0 (3+Δx)=3. 则切线方程为y-2=3(x-2),即3x-y-4=0. 6.解 由f (1+Δx)-f(1) Δx = (1+Δx)2-2(1+Δx)+3-2 Δx =Δx , 可得切线的斜率为k=lim Δx→0 Δx=0. 所以切线的方程为y-2=0×(x-1),即y=2. 7.解 (1)∵f(x)=-6x , ∴f(1)=-6,f(1.5)=-4,f(1.1)=-6011 , ∴该函 数 在 区 间[1,1.5]上 的 平 均 变 化 率 为f (1.5)-f(1) 1.5-1 = 2 0.5=4 , 在区间[1,1.1]上的平均变化率为f (1.1)-f(1) 1.1-1 = -6011+6 0.1 = 60 11. (2)函数f(x)在x=1处的瞬时变化率为 lim Δx→0 f(1+Δx)-f(1) Δx =limΔx→0 - 61+Δx- (-6) Δx =lim Δx→0 6Δx 1+Δx Δx =limΔx→0 6 1+Δx=6. 8.解 (1)∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0) =2(x0+Δx)2+1-2x20-1=2Δx(2x0+Δx), ∴函数 f(x)在 区 间[x0,x0 +Δx]上 的 平 均 变 化 率 为 Δy Δx = 2Δx(2x0+Δx) Δx =4x0+2Δx. (2)由(1)可知ΔyΔx=4x0+2Δx , 当x0=2,Δx=0.01时, Δy Δx=4×2+2×0.01=8.02 , 即函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率为8.02. (3)Δy=f(2+Δx)-f(2)=2(2+Δx)2+1-(2×22+1)=2(Δx)2+ 8Δx. ∴ΔyΔx=2Δx+8. 故函数f(x)在x=2处的瞬时变化率为lim Δx→0 Δy Δx=limΔx→0 (2Δx+8)= 8. 9.D [因为ΔyΔx= f(m+Δx)-f(m) Δx = 2 m+Δx- 2 m Δx = -2 m(m+Δx) , 所以f'(m)=lim Δx→0 -2 m(m+Δx)=- 2 m2 , 所以-2 m2 =-12 ,m2=4,解得m=±2.] 10.解 当0≤t<3时,s(t)=3t2, Δy Δt= s(1+Δt)-s(1) Δt =3 (1+Δt)2-3 Δt =6+3Δt , ∴s'(1)=lim Δt→0 Δy Δt=limΔt→0 (6+3Δt)=6. 当t≥3时,s(t)=15+3(t-1)2, Δy Δt= s(4+Δt)-s(4) Δt = 15+3(4+Δt-1)2- 15+3× 4-1 2 Δt =18+3Δt, ∴s'(4)=lim Δt→0 Δy Δt=limΔt→0 (18+3Δt)=18. s'(1)=6说明在第1分钟时,该昆虫的爬行速度大约为6米/分, s'(4)=18说明在第4分钟时,该昆虫的爬行速度大约为18米 /分. 11.解 (1)∵P(2,4)在曲线y=13x 3+43 上, ∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为 k=lim Δx→0 1 3 (2+Δx)3+43- 1 3×2 2+43 Δx =lim Δx→0 4+2Δx+13 (Δx)2 =4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0. (2)设曲 线 y= 13x 3+ 43 与 过 点 P(2,4)的 切 线 相 切 于 点 A x0, 1 3x 3 0+ 4 3 ,则切线的斜率为k=limΔx→0 1 3 (x0+Δx)3- 1 3x 3 0 Δx = x20, ∴切线方程为y- 13x 3 0+ 4 3 =x20(x-x0), 即y=x20·x- 2 3x 3 0+ 4 3. ∵点P(2,4)在切线上, ∴4=2x20- 2 3x 3 0+ 4 3 ,即x30-3x20+4=0. ∴x30+x20-4x20+4=0, ∴x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, ∴(x0+1)(x0-2)2=0, 解得x0=-1或x0=2. 故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0. 【方法技巧】 求曲线过某点的切线方程,首先应设出切点坐标, 然后根据导数的几何意义列出等式,求出切点坐标,进而求出切 线方程. 12.B [由 图 象 可 知,函 数 在 区 间(0,+∞)上 的 增 长 越 来 越 快, ∴f'(1)<f'(2),∵f (2)-f(1) 2-1 =a ,∴通过作切线与割线可得 f'(1)<a<f'(2),故选B.] 【方法技巧】 导数的几何意义就是切线的斜率,所以比较导数大 小的问题可以用数形结合思想来解决. (1)曲线f(x)在x0 附近的变化情况可通过x0 处的切线刻画. f'(x0)>0说明曲线在x0 处的切线的斜率为正值,从而得出在x0 附近曲线是上升的;f'(x0)<0说明在x0 附近曲线是下降的. (2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变 化情况,由切线的倾斜程度,可以判断出曲线升降的快慢. 【探究·一举突破】 探究路径 解 (1)∵Δy=f(x+Δx)-f(x) =(Δx)2+2x·Δx-12Δx , ∴ΔyΔx=2x+Δx- 1 2. ∴f'(x)=lim Δx→0 Δy Δx=2x- 1 2. (2)f'(1)=2×1-12= 3 2. 【综合·一练到底】 1.解 设P(x0,y0)是满足条件的点,曲线f(x)=x2 在点P(x0,y0) 处切线的斜率为 k=lim Δx→0 f(x0+Δx)-f(x0) Δx =lim Δx→0 (2x0+Δx)=2x0. (1)∵切线与直线y=4x-5平行, ∴2x0=4,x0=2, y0=4,即P(2,4)是满足条件的点. (2)∵切线与直线2x-6y+5=0垂直, ∴2x0× 1 3=-1 , 得x0=- 3 2 ,y0= 9 4 , 即P -32 ,9 4 是满足条件的点. (3)因为切线的倾斜角为135°,所以其斜率为-1,即2x0=-1,得 x0=- 1 2 ,y0= 1 4 ,即P -12 ,1 4 是满足条件的点. 2.解 因为y=f(x)=80x2+20,0≤x≤1, 所以Δy Δx= f(0.25+Δx)-f(0.25) Δx =80 (0.25+Δx)2+20-(80×0.252+20) Δx =40Δx+80 (Δx)2 Δx =40+80Δx. 所以f'(0.25)=lim Δx→0 (40+80Δx)=40. 它表示在第0.25h附近,沥青的温度大约以40℃/h的速率上升. 3.解 因为y'=lim Δx→0 Δy Δx =lim Δx→0 (x+Δx)2+(x+Δx)-2-(x2+x-2) Δx =2x+1 ,所以y'|x=1 =3, 所以直线l1 的方程为y=3(x-1), 即y=3x-3, 设直线l2 与曲线相切于点P(x0,x20+x0-2), 则直线l2 的方程为 y-(x20+x0-2)=(2x0+1)(x-x0). 因为l1⊥l2,所以2x0+1=- 1 3 ,x0=- 2 3 , 所以直线l2 的方程为3x+9y+22=0. 【选做·一飞冲天】 解 (1)f'(x)=lim Δt→0 f(x+Δx)-f(x) Δx =-x 2+4x-3. 由-x2+4x-3=-3,解得x=0或x=4. 又f(0)=1,f(4)=-13. ∴所求切线方程为y-1=-3x或y+13=-3 (x-4), 即3x+y-1=0或9x+3y-35=0. (2)∵f'(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1≤1, ∴当x=2时,切线的斜率取得最大值1, 此时点P 的坐标为 2,13 . 由题意,设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0), 则直线l的方程为xa + y b =1 (a>0,b>0),∴2a+ 1 3b=1. S△OAB= 1 2ab= 1 2ab 2 a+ 1 3b 2 =2ba + a 18b+ 2 3≥2 2b a · a 18b+ 2 3= 4 3 ,当且仅当2b a = a 18b ,即a=6b时 取“=”.将a=6b代 入 2 a+ 1 3b=1 ,解得a=4,b=23. ∴△AOB 面积的最小值为43. 第十八周 导数的运算 【考点·一应俱全】 1.解 (1)因为y=2025, 所以y'=(2025)'=0. (2)因为y= 13 x2 =x- 2 3, 所以y'=-23x -23-1=-23x -53. (3)因为y=4x, 所以y'=4xln4. (4)因为y=log3x, 所以y'= 1xln3. 2.解 (1)y'=0. (2)y'= 13 x ln13=- 1 3 x ln3. (3)y'= 1xln10. (4)∵y=x 2 x =x 3 2, ∴y'=(x 3 2)'=32x 1 2=32 x. (5)∵y=2cos2 x2-1=cosx , ∴y'=(cosx)'=-sinx. 【方法技巧】 (1)若所求函数符合基本初等函数的导数公式,则 直接利用公式求导. (2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式,则通 过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导. (3)要特别注意“1x 与lnx”,“ax 与logax”,“sinx与cosx”的导 数区别. 3.解 f'(x)=-100x2 , f'(1)=-100, f'(2)=-1004 =-25 , f'(3)=-1009 . 4.解 s(t)= 3 t2,故s'(t)=23t -13, s'(8)=23×8 -13=13 , 故质点P 在t=8s时的瞬时速度为13 m /s. 5.解 因为y=1x ,所以y'=-1x2 . (1)显然P(1,1)是曲线上的点,所以P 为切点,所求切线斜率为函 数y=1x 在点P(1,1)的导数,即k=f'(1)=-1. 所以曲线在 P(1,1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即y= -x+2. (2)显然Q(1,0)不在曲线y=1x 上, 则可设过该点的切线的切点为A a,1a , 那么该切线斜率为k=f'(a)=-1a2 . 则切线方程为y-1a=- 1 a2 (x-a).① 将Q(1,0)代入方程得0-1a=- 1 a2 (1-a). 解得a=12 ,代入方程①整理可得切线方程为y=-4x+4. 6.解 ∵y'=1x , ∴切线的斜率k=y'|x=e= 1 e , ∴切线方程为y-1=1e (x-e),即x-ey=0. 【方法技巧】 解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元 素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也 是解题的关键,务必做到准确. (3)分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上,则要设出切点,这 是解题时的易错点. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 111 — —114 — 7.解 (1)∵f=x2+sinx, ∴f'(x)=2x+cosx. (2)∵g(x)=x3-x2-x+2, ∴g'(x)=3x2-2x-1. 8.解 (1)y'=(x5)'-(x3)'+(cosx)' =5x4-3x2-sinx. (2)y'=(lgx-ex)'=(lgx)'-(ex)'= 1xln10-e x. 9.解 (1)∵y=(x2+1)(x-1)=x3-x2+x-1, ∴y'=3x2-2x+1. (2)∵y=x2+sinxcosx , ∴y'=(x2)'+ sinxcosx ' =2x+cos 2x-sinx(-sinx) cos2x =2x+ 1 cos2x . (3)y'= (ex)'(x+1)-(x+1)'ex (x+1)2 =e x(x+1)-ex (x+1)2 = xe x (x+1)2 . 10.解 (1)y'=(x2+xlnx)'=(x2)'+(xlnx)' =2x+(x)'lnx+x(lnx)' =2x+lnx+x·1x =2x+lnx+1. (2)y'= lnx x2 '=(lnx)'·x 2-lnx(x2)' x4 = 1 xx 2-2xlnx x4 =1-2lnx x3 . (3)y'= e x x '=(e x)'x-ex(x)' x2 =e x·x-ex x2 . (4)方法一 y'=[(2x2-1)(3x+1)]' =(2x2-1)'·(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)' =4x(3x+1)+(2x2-1)×3 =12x2+4x+6x2-3 =18x2+4x-3. 方法二 ∵y=(2x2-1)(3x+1) =6x3+2x2-3x-1, ∴y'=(6x3+2x2-3x-1)' =(6x3)'+(2x2)'-(3x)'-(1)' =18x2+4x-3. 【方法技巧】 利用导数运算法则的策略 (1)分析待求导式子符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种 基本初等函数组合成的,确定所需的求导法则和基本公式. (2)如果求导式子比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的 变形有乘积式展开变为和式求导,商式变乘积式求导,三角函数 恒等变换后求导等. (3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和 差的求导法则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导. 11.D [净 化 费 用 的 瞬 时 变 化 率 就 是 净 化 费 用 函 数 的 导 数,因 为 c(x)= 4000100-x (80<x<100).所 以 c'(x)= 4000100-x '= 4000 (100-x)2 ,又因为c'(90)= 4000(100-90)2 =40,所以净化到纯净度 为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/t.] 12.A [f'(x)= (ex+2cosx)(1+x2)-(ex+2sinx)·2x (1+x2)2 , 则f'(0)= (e0+2cos0)×(1+0)-(e0+2sin0)×0 (1+0)2 =3, 即该切线方程为y-1=3x,即y=3x+1, 令x=0,则y=1, 令y=0,则x=-13 , 故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 S=12×1× - 1 3 = 1 6. ] 13.BCD [A 不是复合函数;BCD都是复合函数.] 14.2xex 2 ;y=1 [∵f(x)=ex 2 ,故f'(x)=(x2)'ex 2 =2xex 2 ,则 f'(0)=0.故曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=1.] 【探究·一举突破】 探究路径 解 (1)令u=1-3x,则y=1u4 =u-4, 所以y'u=-4u-5,u'x=-3. 所以y'x=y'u·u'x=12u-5= 12 (1-3x)5 . (2)令u=x2,则y=cosu, 所以y'x=y'u·u'x=-sinu·2x=-2xsinx2. (3)设y=log2u,u=2x+1, 则y'x=y'u·u'x= 2 uln2= 2 (2x+1)ln2. (4)设y=eu,u=3x+2, 则y'x=(eu)'·(3x+2)'=3eu=3e3x+2. 【易错提醒】 (1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点:①分解的函数通常为基本初等 函数;②求导时分清是对哪个变量求导;③计算结果尽量简洁. 【综合·一练到底】 1.94 [如图,在△ABC 中,边AC 是确定的,要使△ABC 的面积最 大,则点B 到直线AC 的距离应最大,可以将直线 AC 作平行移 动,显然当直线AC与曲线相切时,距离达到最大,即当过点B 的 切线平行于直线AC 时,△ABC的面积最大.∵y'|x=m= 1 2 m ,点 A 坐标为(1,1),点C 坐标为(4,2),∴kAC = 2-1 4-1= 1 3 ,∴ 1 2 m = 1 3 ,∴m=94. ] 2.解 (1)由7x-4y-12=0得y=74x-3. 当x=2时,y=12 ,∴f(2)=2a-b2= 1 2 , ① 又f'(x)=a+bx2 ,∴f'(2)=a+b4= 7 4. ② 由①②得 4a-b=1 , 4a+b=7 解得 a=1,b=3. 故f(x)=x-3x. (2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由y'=1+ 3 x2 知,曲线在点 P (x0,y0)处的切线方程为y-y0= 1+ 3 x20 (x-x0), 即y- x0- 3 x0 = 1+3x20 (x-x0). 令x=0得 y= - 6x0 ,从 而 得 切 线 与 直 线 x=0的 交 点 坐 标 为 0,-6x0 . 令y=x 得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x 的交点坐标为 (2x0,2x0). ∴点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积 为1 2 - 6 x0 |2x0|=6. 故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三 角形的面积为定值,此定值为6. 3.解 (1)由题意得 f'(x)= (ax)'(x2+b)-ax(x2+b)' (x2+b)2 =a (x2+b)-2ax2 (x2+b)2 =-ax 2+ab (x2+b)2 , 因为f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切, 所以 f'(1)=-a+ab(1+b)2=0 , f(1)= a1+b=2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=4 , b=1, 则f(x)= 4xx2+1 . (2)由(1)可得,f'(x)=-4x 2+4 (x2+1)2 , 所以直线l的斜率 k=f'(x0)= 4-4x20 (x20+1)2 =4 2(x20+1)2 - 1x20+1 , 令t= 1 x20+1 ,则t∈(0,1], 所以k=4(2t2-t)=8- t-14 2 -12 , 则在对称轴t=14 处取到最小值-12 ,在t=1处取到最大值4, 所以直线l的斜率k 的取值范围是 -12 ,4 . 【选做·一飞冲天】 解 (1)方法一 f'(x)=2f'(2-x)(2-x)'-2x+8=-2f'(2- x)-2x+8, 则f'(1)=-2f'(1)-2+8,得f'(1)=2. 又f(1)=2f(1)-1+8-8,得f(1)=1, 故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=2(x-1), 即y=2x-1. 方法二 ∵f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8, ① ∴f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8. ② 把②代入①得f(x)=x2, ∴f(1)=1,f'(x)=2x, ∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率k=f'(1)=2, 故所求切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1. (2)∵曲线y=cosωx+π3 过点 π2,0 , ∴cosω·π2+ π 3 =0, ∴ω·π2+ π 3=nπ+ π 2 (n∈Z), ∴ω=2n+13 (n∈Z), 又y'=-ωsinωx+π3 , ∴k=y'|x=π2=- 2n+ 1 3 sin 2n+13 ×π2+π3 =- 2n+13 sinnπ+π2 =± 2n+13 ,n∈Z. ∵|k|<1,∴ 2n+13 <1 ,∴n=0,即ω=13. 第十九周 导数在研究函数中的应用 【考点·一应俱全】 1.解 (1)因为f(x)=x2-2x+alnx,x∈(0,+∞), 所以f'(x)=2x-2+ax = 2x2-2x+a x ,对于y=2x2-2x+a,a> 1 2 ,Δ=4-8a=8 12-a <0,故有y=2x2-2x+a>0恒成立, 即f'(x)>0, 所以f(x)=x2-2x+alnx在(0,+∞)上单调递增. (2)因为f(x)=lnxx ,x>e, 所以f'(x)=x (lnx)'-x'lnx x2 =1-lnx x2 <0, 所以f(x)=lnxx 在(e,+∞)上单调递减. 2.解 (1)因为f(x)=13x 3-x2+2x-5,所以f'(x)=x2-2x+ 2=(x-1)2+1>0,所以函数f(x)=13x 3-x2+2x-5在 R上单 调递增. (2)因为f(x)=x-1x-lnx ,x∈(0,+∞), 所以f'(x)=1+1x2 -1x = x2-x+1 x2 = x-12 2 +34 x2 >0,所以 f(x)=x-1x-lnx 在(0,+∞)上单调递增. (3)因为f(x)=x-ex,x∈(0,+∞), 所以f'(x)=1-ex<0,所 以f(x)=x-ex 在(0,+∞)上 单 调 递减. 【方法技巧】 利用导数判断函数单调性的步骤:确定函数的定义 域;求导数f'(x);确定f'(x)在定义域内的符号,在此过程中,需 要对导函数进行通分、因式分解等变形;得出结论. 3.解 (1)易知函数的定义域为 R. f'(x)=(x2)'e-x+x2(e-x)'=2xe-x-x2e-x=e-x·(2x-x2), 令f'(x)=0,得x=0或x=2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情 况如表: x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x) 单调递减 f(0) 单调递增 f(2) 单调递减 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间 为(0,2). (2)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). f'(x)=1-1x2 ,令f'(x)=0,得x=-1或x=1,当x 变 化 时, f'(x),f(x)的变化情况如表: x (-∞,-1) -1 (-1,0) (0,1) 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - - 0 + f(x)单调递增 f(-1)单调递减 单调递减f(1)单调递增 所以函数f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1),单调递增区间 为(-∞,-1)和(1,+∞). 4.解 (1)易知函数f(x)的定义域为(0,+∞).f'(x)=6x-2x = 6x2-2 x = 2(3x+1)(3x-1) x ,令f'(x)=0,解 得x= 33 或x= - 33 (舍去),x= 33 把函数f(x)的定义域划分为两个区间,f'(x) 在各区间上的正负以及f(x)的单调性如表所示, x 0,33 33 33,+∞ f'(x) - 0 + f(x) 单调递减 f 33 单调递增 故函 数 f(x)的 单 调 递 减 区 间 为 0,33 ,单 调 递 增 区 间 为 3 3 ,+∞ . (2)f'(x)=6x2+6x-36=6(x+3)(x-2). 令f'(x)=0,解得x=-3或x=2, x=-3和x=2把函数的定义域划分为三个区间, f'(x)在各个区间上的正负以及f(x)的单调性如表, x (-∞,-3) -3 (-3,2) 2 (2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 f(-3)单调递减 f(2)单调递增 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 113 —