第02讲 5.2导数的运算（知识清单+9类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第02讲 5.2导数的运算 课程标准 学习目标 ①能根据定义求函数的导数。 ②能熟练应用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数。 ③理解并熟练掌握函数的和、差、积、商的求导法则。 ④了解复合函数的概念，熟练掌握复合函数的求导法则。 1.掌握基本初等函数的求导； 2.熟练掌握导数的运算公式； 3.能准确应用公式计算函数的导数； 4.会求简单的复合函数的导数； 5.能解决与切线、切点、斜率、待定参数相关的问题. 知识点01：基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 (为常数) 知识点02：导数的四则运算法则 1、两个函数和的和（或差）的导数法则： . 2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . 3、由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 【即学即练1】（多选）（24-25高二下·全国·随堂练习）（多选）下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 知识点03：复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 【即学即练2】（多选）（24-25高二下·全国·随堂练习）（多选）函数的复合过程正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 知识点04：切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【即学即练3】（23-24高二下·广东茂名·期中）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【即学即练4】（23-24高二·湖南·课后作业）求曲线过点的切线方程. 题型01 导数公式与运算法则的简单应用 【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·期中）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． 【变式1】（23-24高二下·全国·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·全国·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的导函数． (1)； (2)； 题型02利用导数公式与运算法则求复合函数的导数 【典例1】（23-24高二下·北京·期中）已知下列四个命题，其中正确的个数有（    ） ① ，  ② ， ③ ， ④. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【典例2】（多选）（24-25高二下·全国·课前预习）下列函数是复合函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二下·贵州黔西·阶段练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式1】（多选）（24-25高二下·全国·课堂例题）（多选）下列函数是复合函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三·上海·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【变式3】（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． (4)； 题型03解析式中含的导数问题 【典例1】（23-24高二下·河北·期末）已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【典例2】（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【典例3】（23-24高二下·吉林·期中）曲线在点处的切线方程为 ． 【变式1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·天津河东·期中）已知函数，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知，求（    ） A． B． C． D． 题型04求切线斜率(倾斜角） 【典例1】（23-24高二下·河北承德·阶段练习）曲线在点处的切线的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．120° D．135° 【典例2】（2023·河北唐山·模拟预测）已知曲线在处的切线为，则的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【典例3】（23-24高二下·云南昭通）设点是曲线上的任意一点，曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围是 .（用区间表示） 【变式1】（23-24高二上·广东深圳·期末）曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．0 B．1 C．e D． 【变式2】（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高三上·四川南充·阶段练习）过函数图象上一动点作函数图象的切线，则切线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05求切线方程（在型） 【典例1】（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二下·上海·期中）函数，则函数在点处的切线方程为 . 【变式1】（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）函数在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·广东惠州·期中）已知函数，则函数的图像在处的切线方程为 ． 题型06求切线方程（过型） 【典例1】（多选）（23-24高二下·广东江门·期中）已知曲线.则曲线过点P（1，3）的切线方程为.（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）过点且与曲线相切的直线方程为 . 【典例3】（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）已知函数. (1)曲线在点处的切线方程； (2)曲线过点的切线方程. 【变式1】（23-24高二上·广东梅州）过原点且与相切的直线方程是 . 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）过点且与曲线相切的直线方程为 ． 题型07根据切线条件求参数 【典例1】（23-24高二下·湖北孝感·期中）设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）若曲线存在垂直于轴的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高二下·全国·课后作业）直线与曲线相切于点，则 ． 【变式1】（23-24高三下·江西赣州·期中）已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式2】（23-24高二上·天津南开·期中）已知函数的图象在点处的切线方程是，则 ． 【变式3】（23-24高二下·广东汕头·期中）若直线是曲线的一条切线，则实数的值为 题型08公切线问题 【典例1】（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知函数与存在公切线，则实数a的最小值（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（23-24高二下·河北石家庄）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可能是（    ） A．1.2 B．4 C．5.6 D． 【典例3】（23-24高二下·广东中山·阶段练习）已知曲线：和曲线：，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是 . 【变式1】（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知直线是曲线与的公切线，则 ． 【变式2】（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，则 ，切线方程为 ． 题型09利用相切关系求最小距离 【典例1】（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·安徽亳州）曲线上的点到直线的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高三上·江苏·阶段练习）设，，则的最小值为 ． 【变式1】（23-24高二下·福建宁德·阶段练习）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式2】（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式3】（23-247高二下·辽宁葫芦岛）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 . A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二下·江西上饶·期末）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南京·二模）曲线在原点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·山东威海·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·北京·开学考试）已知，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D．1 7．（23-24高二下·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，且满足，则的最大值为（    ） A． B．0 C． D．1 8．（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则（    ） A．0或 B．0或 C．1或 D．0 二、多选题 9．（23-24高二下·甘肃白银·阶段练习）已知，且，则a的值为（    ） A． B．0 C． D． 10．（23-24高二下·陕西渭南·期中）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知函数，则 . 12．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知函数，，若直线是曲线与的公切线，则 . 四、解答题 13．（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)： (5) 14．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求曲线过点的切线方程． B能力提升 1．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，其中，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（   ） A． B． C．2 D． 2．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知，则 . 3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数． (1)当时，若直线与曲线相切，求； (2)若直线与曲线恰有两个公共点，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 5.2导数的运算 课程标准 学习目标 ①能根据定义求函数的导数。 ②能熟练应用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数。 ③理解并熟练掌握函数的和、差、积、商的求导法则。 ④了解复合函数的概念，熟练掌握复合函数的求导法则。 1.掌握基本初等函数的求导； 2.熟练掌握导数的运算公式； 3.能准确应用公式计算函数的导数； 4.会求简单的复合函数的导数； 5.能解决与切线、切点、斜率、待定参数相关的问题. 知识点01：基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 (为常数) 知识点02：导数的四则运算法则 1、两个函数和的和（或差）的导数法则： . 2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . 3、由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 【即学即练1】（多选）（24-25高二下·全国·随堂练习）（多选）下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】运用基本初等函数导数公式计算即可. 【详解】对于A,若，则,故A错误; 对于B, 若，则，故B正确; 对于C, 若，则，故C正确; 对于D, 若，则，故D正确. 故选：BCD. 知识点03：复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 【即学即练2】（多选）（24-25高二下·全国·随堂练习）（多选）函数的复合过程正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【知识点】简单复合函数的导数 【分析】根据复合函数的特征即可求解. 【详解】可由幂函数和二次函数复合而成， 故选：AD 知识点04：切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【即学即练3】（23-24高二下·广东茂名·期中）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求导后将代入，求出斜率，再得到切点，运用点斜式即可. 【详解】求导得到, ，将代入原函数，得到，即切点； 将代入导函数，得到，即切线斜率．运用点斜式得到切线方程为，化简得到一般式. 故选：B. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【即学即练4】（23-24高二·湖南·课后作业）求曲线过点的切线方程. 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】设切点坐标，求出导数后得切线斜率，写出切线方程．代入所过点的坐标，得切点坐标，从而得切线方程． 【详解】设切点为． 由已知，时，， 所以切线方程是， 切线过点，则，解得， 所以切线方程为，即 题型01 导数公式与运算法则的简单应用 【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·期中）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】根据基本函数导数公式及运算法则判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 【典例2】（多选）（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】根据基本初等函数的求导公式判断即可. 【详解】对于A，，A错误，故A满足题意； 对于B，，B错误，故B满足题意； 对于C，，C正确，故C不满足题意； 对于D，，D错误，故D满足题意. 故选：ABD. 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】导数的乘除法、导数的加减法 【分析】利用导数的求导法则以及基本初等函数的导数公式逐个求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以； （3）因为， 所以， 所以. 【变式1】（23-24高二下·全国·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】导数的乘除法、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】根据导数的运算法则即可求解. 【详解】对于A，，故A错误， 对于B，，故B错误， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D错误． 故选：C． 【变式2】（23-24高二下·全国·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】根据基本初等函数的求导公式以及导数运算法则即可求解. 【详解】（1） . （2）. （3）. （4）方法一 ： . 方法二 ： ， . 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的导函数． (1)； (2)； 【答案】(1)； (2). 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的乘除法 【分析】（1）利用函数积与差的导数法则求导化简即得； （2）利用函数的商的导数法则求导化简即得. 【详解】（1）由求导得， ； （2）由求导得，. 题型02利用导数公式与运算法则求复合函数的导数 【典例1】（23-24高二下·北京·期中）已知下列四个命题，其中正确的个数有（    ） ① ，  ② ， ③ ， ④. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】根据求导公式及运算律，简单复合函数导数逐项求导验证即可 【详解】因为,所以①错, 因为,所以②错, 因为,所以③错. 因为,所以④错, 故选：A. 【典例2】（多选）（24-25高二下·全国·课前预习）下列函数是复合函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】简单复合函数的导数 【分析】根据复合函数的定义逐一分析即可. 【详解】是由对数函数和一次函数复合而成，故符合题意； 是由二次函数和反比例函数相加得到，故不符合题意； 是由指数函数和对数函数复合而成，故符合题意； 是由余弦函数和一次函数复合而成，故符合题意； 故选：. 【典例3】（23-24高二下·贵州黔西·阶段练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】结合复合函数导数以及导数运算求得函数的导数. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 所以. （3）因为， 所以 . （4）因为， 所以. 【变式1】（多选）（24-25高二下·全国·课堂例题）（多选）下列函数是复合函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】简单复合函数的导数 【分析】根据复合函数的定义判断即可. 【详解】根据复合函数的定义可知 对于A,为两个基本初等函数相乘，不是复合函数； 对于B，可以看成和两个函数复合而成； 对于C，可以看成和两个函数复合而成； 对于D，可以看成和两个函数复合而成， 所以选项A不是复合函数，BCD都是复合函数. 故选：BCD. 【变式2】（24-25高三·上海·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】（1）先对函数化简后，再利用求导法则求导； （2）（3）直接利用导数的求导法则计算化简即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2） （3） ． 【变式3】（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】根据导数的四则运算公式和复合函数的求导公式进行求解. 【详解】（1），则； （2），则 （3）设，对求导为， 由，对求导为， 根据复合函数的求导法则， 于是 （4）函数，设， 则， 根据复合函数的求导法则， 则； 题型03解析式中含的导数问题 【典例1】（23-24高二下·河北·期末）已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】求某点处的导数值 【分析】求出，令，代入即可求解. 【详解】由题意得，令，则，得. 故选：A 【典例2】（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】对函数求导，再令，得，即可求解． 【详解】， 令，得，得， 则，得， 故选：C 【典例3】（23-24高二下·吉林·期中）曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】求出函数的导数，并求出的值，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由，求导得，则， 解得，于是，， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 【变式1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】对求导，注意是常数，令代入导函数中，可求得，进而可求，可得在处的切线方程. 【详解】，令，可得， ， 所以在处的切线方程为. 故选：B 【变式2】（23-24高二下·天津河东·期中）已知函数，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】导数的运算法则 【分析】求出的导数，，令，即可求得的值. 【详解】因为， 则， 所以， 解得. 故选：A. 【变式3】（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知，求（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】求出函数导数，令即可得解. 【详解】因为， 所以，解得. 故选：A 题型04求切线斜率(倾斜角） 【典例1】（23-24高二下·河北承德·阶段练习）曲线在点处的切线的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．120° D．135° 【答案】D 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数的几何意义求斜率，再求倾斜角. 【详解】因为，则，所以， 所以曲线在点处的切线的倾斜角为. 故选：D． 【典例2】（2023·河北唐山·模拟预测）已知曲线在处的切线为，则的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】由导数的几何意义结合导数运算即可求解. 【详解】对求导得，，由题意曲线在处的切线的斜率为. 故选：A. 【典例3】（23-24高二下·云南昭通）设点是曲线上的任意一点，曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围是 .（用区间表示） 【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】求出导数确定斜率的取值范围，由此得倾斜角的范围． 【详解】因为， 所以曲线上点处的切线的斜率的取值范围为，即， 又， 所以的取值范围是. 故答案为：． 【变式1】（23-24高二上·广东深圳·期末）曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．0 B．1 C．e D． 【答案】B 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】因为，所以， 根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线的斜率为1. 故选：B 【变式2】（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角. 【详解】由，则，即直线的斜率为， 根据倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为. 故选：C 【变式3】（23-24高三上·四川南充·阶段练习）过函数图象上一动点作函数图象的切线，则切线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】利用导数求得切线的斜率的范围，进而求得倾斜角的范围. 【详解】依题意，，则， 即切线的斜率的取值范围是， 所以倾斜角的取值范围是. 故选：B 题型05求切线方程（在型） 【典例1】（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】由求出，再利用导数的几何意义计算即可. 【详解】依题意，，则，解得， 则， 所以，即切线经过点， 则该切线的方程为， 即. 故选：C. 【典例2】（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，得， 则，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故选：D 【典例3】（23-24高二下·上海·期中）函数，则函数在点处的切线方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据题意，求出函数的导数以及的值，由函数导数的几何意义可得切线方程. 【详解】根据题意，， 则， 又因为， 所以由点斜式方程得， 化解得. 故答案为：. 【变式1】（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）函数在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求出函数的导数，把代入即可得到切线的斜率，然后根据与斜率写出切线方程即可. 【详解】由题可得：，所以切线的斜率，根据点斜式，可得切线方程为： 故选：A 【变式2】（23-24高二下·广东惠州·期中）已知函数，则函数的图像在处的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用导数的几何意义，在该点的导数等于该点切线的斜率即可求解. 【详解】由，得，则， 所以函数的图象在处的切线方程为，即． 故答案为：． 题型06求切线方程（过型） 【典例1】（多选）（23-24高二下·广东江门·期中）已知曲线.则曲线过点P（1，3）的切线方程为.（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】设切点为，写出切线方程，切线过点（1，3），求得即可. 【详解】解：设切点为， 则， 所以， 所以切线方程为， 因为切线过点（1，3）， 所以，即， 即， 解得或， 所以切线方程为或， 故选：AB 【典例2】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）过点且与曲线相切的直线方程为 . 【答案】或 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】设切点的横坐标为，利用导数构建关于的方程后求出，从而可求切线方程. 【详解】设切点为的横坐标为， 因为，故， 故，整理得到：， 故或，故切线的斜率为或， 故切线方程为或， 即或， 故答案为：或， 【典例3】（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）已知函数. (1)曲线在点处的切线方程； (2)曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程 【分析】（1）对求导，求得，，再由点斜式方程即可求出曲线在处的切线方程； （2）设切点为，求，，再由点斜式方程求得切线方程为，又切线过点，代入可得，带回方程即可得答案. 【详解】（1）解：因为，所以，又， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）解：设切点为，则， 所以切线方程为，      因为切线过点，所以，即，解得，        故所求切线方程为． 【变式1】（23-24高二上·广东梅州）过原点且与相切的直线方程是 . 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】 设切点为，利用导数的几何意义列方程组求出，即可取出切线方程. 【详解】 设切点为，且， 由题意可得：，解得： 过原点且与相切的直线方程是. 故答案为： 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）过点且与曲线相切的直线方程为 ． 【答案】或 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】设切点坐标为，求得，列出方程，求得的值，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，设切点坐标为，则， 又由函数，可得，可得，所以， 根据斜率公式和导数的几何意义，可得，即， 解得或，所以切线的斜率为或， 所以切线方程为或，即或. 故答案为：或. 题型07根据切线条件求参数 【典例1】（23-24高二下·湖北孝感·期中）设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知切线（斜率）求参数、已知直线垂直求参数 【分析】由垂直得切线斜率，再由导数的几何意义求解． 【详解】由题意题中切线的斜率为2， 由，则， 所以，， 故选：A． 【典例2】（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）若曲线存在垂直于轴的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】由在有解求解. 【详解】解：由题意，在有解， 则在有解， 因为在上单调增， 所以， 则， 故选：C． 【典例3】（24-25高二下·全国·课后作业）直线与曲线相切于点，则 ． 【答案】 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据点在直线上求出的值，对函数求导，根据切点斜率可求出值，代入点解方程，即得解 【详解】因为直线与曲线相切于点， 将代入可得，解， 因为，所以 由，解得，可得， 因为点在曲线上， 所以，解得． 故答案为： 【变式1】（23-24高三下·江西赣州·期中）已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线截距式方程及辨析、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求得函数在点处的切线方程，得到切线与坐标轴交点坐标，由面积求得. 【详解】易知，，且， 所以直线， 它与两坐标轴的交点坐标分别为和， 可得，又， 解得. 故选：C 【变式2】（23-24高二上·天津南开·期中）已知函数的图象在点处的切线方程是，则 ． 【答案】2 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】根据切点再切线上以及导数的几何意义求解即可. 【详解】由已知得，， . 故答案为：. 【变式3】（23-24高二下·广东汕头·期中）若直线是曲线的一条切线，则实数的值为 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】先设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义求解即可. 【详解】解：设直线与曲线的切点为， 对函数求导得， 因为直线是曲线的一条切线， 所以，解得， 所以， 因为切点为在直线上， 所以. 故答案为： 题型08公切线问题 【典例1】（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知函数与存在公切线，则实数a的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】分别求出函数与的导数，设出切点写出切线方程，利用对应系数相等列出方程，构造函数，利用导数判断出单调性求出最值，可得实数a的最小值． 【详解】， 设和的切点分别为，则和切线方程分别为， 即与存在公切线，则方程有解，即， 在上递减，在递增，在处取到最小值，∴的最小值为，即a的最小值为． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查导数研究函数的单调性和最值，解决本题的关键点是利用点斜式方程写出切线，列出方程，并构造函数求出导函数得出单调性和最值，可得a的最小值，考查学生计算能力，属于中档题． 【典例2】（多选）（23-24高二下·河北石家庄）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可能是（    ） A．1.2 B．4 C．5.6 D． 【答案】ABD 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】分别设切点分别为，，由导数的几何意义分别写出切线方程，由题意切线方程相同，从而可得出，设由导数求出其值域即可. 【详解】由，则，由，则 设切线与曲线相切于点，则斜率为， 所以切线方程为，即  ① 设切线与曲线相切于点，则斜率为：， 则切线方程为，即，② 根据题意方程①，②表示同一条直线，则 所以，令（）， 则，所以在上单调递增，在上单调递减，，由题意. 故答案为：ABD 【典例3】（23-24高二下·广东中山·阶段练习）已知曲线：和曲线：，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】分别求出两函数的导函数，再分别设直线与两曲线的切点的横坐标，由于斜率为1即导数值为1分别求出切点横坐标，可得切线方程，再根据切线方程系数相等得与的关系式，再根据二次函数性质可求出b的取值范围． 【详解】由题意得，， 设斜率为1的切线在，上的切点横坐标分别为，， 所以，则，， 两点处的切线方程分别为，， 所以，即， 所以b的取值范围为. 故答案为：. 【变式1】（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知直线是曲线与的公切线，则 ． 【答案】1 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出在切点处的切线方程，利用斜率相等及切线在轴上的截距相等即可求解. 【详解】设直线 与 的图象相切于点 与 的图象相切于点 , 又 , 且. 曲线 在点 处的切线方程为 , 曲线 在点 处的切线方程为 . 故， 解得 ， 故 故答案为：1 【变式2】（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，则 ，切线方程为 ． 【答案】 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【详解】解析：设两曲线的交点为，∵，，∴由题意可 得解得，，故，∴切线方程为． 题型09利用相切关系求最小距离 【典例1】（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】首先求平行于直线与曲线相切的切点坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数，可得，，令，解得、或（舍去）， 单调递增 单调递减 设，，所以图象向上凹， 如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线， 则， 即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为， ，所以切点在直线的左侧， 曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为． 故选：A 【典例2】（23-24高二下·安徽亳州）曲线上的点到直线的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求平行线间的距离 【分析】求曲线的切线方程，再求两平行线间距离. 【详解】 如图所示，设曲线上一点，且在该点处切线斜率为， ，所以斜率， 解得，故切点为， 切线方程为，即， 两直线间距离为， 故选：B. 【典例3】（23-24高三上·江苏·阶段练习）设，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】反函数的性质应用、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、用两点间的距离公式求函数最值 【分析】利用两点距离公式的几何意义将问题转化为求图像上的动点与图像上的动点最小距离，利用与关于的对称性，分别求出切点，则即为所求最小值. 【详解】由两点距离公式的几何意义可知表示点到的距离，表示点到的距离， 而是上的点，是上的点，是上的点，且与关于直线对称， 所以的最小值可转化为图像上的动点与图像上的动点最小距离， 显然，与平行的切线的切点，和与平行的切线的切点，它们之间的距离就是所求最小距离， 对于，设切点为，有，则，故，则，故， 对于，设切点为，有，则，故，则，故， 所以，所以题设式子的最小值为. 故答案为：. 【变式1】（23-24高二下·福建宁德·阶段练习）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】求的最小值转化为求到直线的最小距离，然后求曲线上斜率为1的切线方程式.进一步解析即可得出答案. 【详解】 和互为反函数，问题可以转化为直线到距离的两倍. 令得故切点为 由，所以. 故选：C. 【变式2】（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求点到直线的距离 【分析】问题转化为过点的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，利用导数的几何意义求得点的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案. 【详解】因为点是曲线上任意一点， 所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小． 因为直线的斜率等于1，曲线的导数， 令，可得或(舍去)， 所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为， 所以点P到直线的最小距离为. 故选：D. 【变式3】（23-247高二下·辽宁葫芦岛）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】反函数的性质应用、已知切线（斜率）求参数 【分析】根据与互为反函数，的最小值为P或Q中一个点到的最短距离的两倍，求其最小值即可得出答案. 【详解】由，得：，. 所以与互为反函数． 则它们的图象关于对称． 要使的距离最小，则线段垂直直线. 点在曲线上，点Q在曲线上， 设，. 又P，Q的距离为P或Q中一个点到的最短距离的两倍． 以Q点为例，Q点到直线的最短距离 所以当，即时，d取得最小值， 则的最小值等于. 故答案为： A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二下·江西上饶·期末）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数 【分析】利用基本初等函数的导数公式和复合函数的求导法则依次求导即可判断． 【详解】对于A项，因为是常数，所以，故A项错误； 对于B项，利用复合函数的求导法则，，故B项错误； 对于C项，，故C项错误； 对于D项，由求导法则易得，故D项正确． 故选：D． 2．（2024·江苏南京·二模）曲线在原点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、简单复合函数的导数、导数的运算法则 【分析】由题意原点在题述曲线上，故只需求得即可得解. 【详解】由题意，令，，则， 又，故切线方程为. 故选：D. 3．（23-24高二下·山东威海·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】求导可得，令，求解即可. 【详解】由，可得， 所以，解得. 故选：B. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、基本初等函数的导数公式 【分析】由基本函数的导数公式以及导数几何意义即可求解. 【详解】，． 设，则曲线在点P处的切线的斜率为，， ，． 故选：A. 5．（24-25高三上·北京·开学考试）已知，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、直线的点斜式方程及辨析 【分析】求导，即得斜率，然后表示出直线方程即可. 【详解】因为， 所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为， 即. 故选：C 6．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解即得. 【详解】函数，求导得， 依题意，，所以. 故选：D 7．（23-24高二下·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，且满足，则的最大值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【知识点】求二次函数的值域或最值、求某点处的导数值、导数的运算法则 【分析】对给定等式求导，求出，进而求出函数的解析式及最大值. 【详解】由，求导得， 令，则，即， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 8．（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则（    ） A．0或 B．0或 C．1或 D．0 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】利用导数求出切线方程，联立曲线和切线方程，根据方程只有一个解求解即可. 【详解】由，有， 当时，，即在点处的切线斜率为2， 由点斜式得切线方程，即， 联立，整理得， 因为切线与曲线只有一个公共点，所以方程只有一个根， 当时，方程为只有一个根，满足题意； 当时，有，即，解得， 综上或. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高二下·甘肃白银·阶段练习）已知，且，则a的值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】CD 【知识点】简单复合函数的导数、求某点处的导数值 【详解】由题意可得：， 则，整理可得，解得或. 结合选项可知AB错误，CD正确. 故选：CD. 10．（23-24高二下·陕西渭南·期中）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【分析】利用导数运算法则及求导公式，逐项计算即得. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 三、填空题 11．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知函数，则 . 【答案】 【知识点】求函数值、求某点处的导数值、导数的加减法 【分析】左右两侧同时求导得到，求出原函数后再求即可. 【详解】因为，则， 令得，解得， 则， 所以. 故答案为：. 12．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知函数，，若直线是曲线与的公切线，则 . 【答案】 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则 【分析】求出与的公切线，再求，的值即可． 【详解】设直线与的图象相切于点,，与的图象相切于点,， 又，，． 由点,在切线上，得； 由点,在切线上，得． 故，解得， 故 故答案为： 四、解答题 13．（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)： (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】根据导数的运算、复合函数的导数等知识求得正确答案. 【详解】（1）若，则. （2）若，则. （3）若，则. （4）若，则. （5）若，则. 14．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)4047； (2)； (3)或 【知识点】平均变化率、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程 【分析】（1）由平均变化率的公式即可求解； （2）依次求出的值，利用导数的几何意义即可求切线方程； （3）首先设出切点坐标，利用可求出切点坐标，可得切线方程． 【详解】（1）在区间上的平均变化率为 ． （2）由，有，从而，， 则切点坐标为，切线斜率为4， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （3）易知直线与曲线不相切， 故设切点为， 则由，可得，即，解得或， 当时，切点为，， 此时满足题意的切线方程为，显然它过点， 当时，切点为，， 此时满足题意的切线方程为，即，显然它过点， 综上所述，满足题意的切线方程为或． B能力提升 1．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，其中，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、简单复合函数的导数、由奇偶性求参数 【分析】先对函数求导，再由是奇函数，求出的值，然后求即可. 【详解】由，得， 因为是奇函数， 所以， 即， 化简整理得， ，解得， 所以， 所以， 即曲线在点处切线的斜率为. 故选：D 2．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知，则 . 【答案】24 【知识点】导数的乘除法 【分析】令，根据导数的运算可得，代入可得，即可求解. 【详解】令， 则， 所以， 所以. 故答案为：24. 3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数． (1)当时，若直线与曲线相切，求； (2)若直线与曲线恰有两个公共点，求． 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、导数的加减法、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】（1）此类问题，通过设切点坐标，求导数，利用切点处的导数等于切线斜率，以及切点在切线上也在曲线上，解联立方程组即可； （2）由已知问题等价于方程，即方程有两个不等实根，显然是方程的一个根，所以当时，方程可化为（*），它还有不等于的唯一根，根据一元二次方程的根的性质即可解决问题． 【详解】（1）当时，，， 因为直线与曲线相切， 设切点为，则切线斜率， 可得，解得或， 所以或． （2）因为直线与曲线恰有两个公共点， 所以方程， 即方程有两个不等实根， 因为是方程的一个根； 当时，方程可化为（*）， 依题意，方程（*）有不等于的唯一根， 因为，若，则（*）即，，满足条件； 若，则由，解得：． 综上所述，或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$