第12周 抛物线-【周测必刷】2025-2026学年高二数学选择性必修1+2（人教A版2019）

— 46 — 第十二周 抛物线 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第9题.该题主要考查抛物线几何性质的应用,性质的应用主要体现在四个方面,考 查考生知识综合应用水平,从而提高学生的应用能力,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共60分) 考点一 抛物线的定义与标准方程 1.若动点P 到点(3,0)的距离和它到直线x=-3的距离相等,则动点P 的轨迹是 ( ) A.椭圆 B.抛物线 C.直线 D.双曲线 2.根据下列条件分别求出抛物线的标准方程: (1)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5; (2)经过点(-3,-1). 考点二 抛物线定义的应用 3.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|= 5 4x0 ,则x0 等于 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 4.(2025·佛山·阶段练习)已知点P 是抛物线C:x2=12y上的一点,过点P 作直线y=-1的垂 线,垂足为 M,若G(4,0),则|PG|+|PM|的最小值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 考点三 抛物线的实际应用问题 5.如图,某桥的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h,跨径为a,则桥形对应的抛 物线的焦点到准线的距离为 ( ) A.a 2 8h B. a2 4h C. a2 2h D. a2 h 6.河上有抛物线型拱桥,当水面距拱顶5米时,水面宽为8米,一小船宽4米,高2米,载货后船露出 水面上的部分高0.75米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船开始不能通航? 考点四 抛物线的几何性质 7.边长为1的等边三角形AOB,O为坐标原点,AB⊥x轴,以O为顶点且过A,B 的抛物线方程是 ( ) A.y2= 36x B.y 2=- 33x C.y2=± 36x D.y 2=± 33x 8.抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距 离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程. 考点五 抛物线的几何性质的应用 9.(多选)(2025·沈阳·阶段练习)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点 M 在抛物线C 上, |MF|=5,若y轴上存在点A(0,2),使得AM →·AF → =0,则p的值可以为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 10.已知抛物线C的方程为y2=2px(p>0),若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F,与抛物线 交于A,B 两点,且|AF|=3|BF|,则直线l的倾斜角为 . 考点六 直线与抛物线的位置关系 11.已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时,l与C:只有一个公共点;有两个公共 点;没有公共点. 考点七 弦长问题 12.(2025·昆明·阶段练习)已知抛物线方程为y2=2px(p>0),过此抛物线的焦点的直线与抛物 线交于A,B 两点,且|AB|=52p ,求AB 所在的直线方程. — 45 — — 48 — 考点八 抛物线的中点弦问题 13.(2025·晋安·阶段练习)过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被点Q 所平分,求AB 所在 直线的方程. 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 与抛物线有关的综合问题 已知抛物线的方程是y2=4x,直线l交抛物线于A,B 两点,设A(x1,y1),B(x2,y2). 探究问题: (1)若弦AB 的中点为(3,3),求直线l的方程; (2)若y1y2=-12,求证:直线l过定点. 【综合·一练到底】(共25分) 1.(2025·厦门·阶段练习)已知抛物线Z:x2=4y的焦点为F,圆F:x2+(y-1)2=4与抛物线Z 在第一象限的交点为P m,m 2 4 ,直线l:x=t(0<t<m)与抛物线Z的交点为A,直线l与圆F 在 第一象限的交点为B,则m= ;△FAB 周长的取值范围为 . 2.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线 对称轴的方向射出.现有抛物线y2=2px(p>0),如图,一平行于x轴的光线射 向抛物线上的点P,反射后又射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行于x轴的 方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,则抛物线的方程为 . 3.(2025·温州·阶段练习)已知抛物线y2=8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;(4分) (2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F 是△OAB 的重心,求△OAB 的周长.(8分) 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·常州·阶段练习)如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若 过点F且斜率为l的直线与抛物线相交于M,N 两点,且|MN|=8. (1)求抛物线C的方程; (2)设直线l为抛物线C 的切线,且l∥MN,P 为l上一点,求PM →·PN → 的最 小值. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 47 — —100 — 由题意得 b a = 4 3 , 9 a2- 12 b2=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a 2=94 , b2=4. ∴所求双曲线的标准方程为x 2 9 4 -y 2 4=1. (2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y=±12x. 当焦点在x轴上时,设所求双曲线的标准方程为x 2 a2 -y 2 b2 =1(a> 0,b>0), 则b a = 1 2.① ∵点A(2,-3)在双曲线上,∴4 a2 -9 b2 =1.② ①②联立,无解. 当焦点在y轴上时,设所求双曲线的标准方程为y 2 a2 -x 2 b2 =1(a> 0,b>0), 则a b = 1 2.③ ∵点A(2,-3)在双曲线上,∴9 a2 -4 b2 =1.④ 联立③④,解得a2=8,b2=32. ∴所求双曲线的标准方程为y 2 8- x2 32=1. 方法二 由双曲线的渐近线方程为y=±12x ,可设双曲线方程 为x 2 22 -y2=λ(λ≠0), ∵A(2,-3)在双曲线上, ∴2 2 22 -(-3)2=λ,即λ=-8. ∴所求双曲线的标准方程为y 2 8- x2 32=1. 【方法技巧】 由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数 法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程 的形式. (2)巧设双曲线方程的技巧 ①与双曲线x 2 a2 -y 2 b2 =1具有相同渐近线的双曲线方程可设为 x2 a2 -y 2 b2 =λ(λ≠0). ②渐近 线 方 程 为 Ax±By=0的 双 曲 线 方 程 可 设 为 A2x2- B2y2=λ(λ≠0). 11.解 ①当l垂直于x 轴时,直线l与 双 曲 线C 相 切,有 一 个 公 共点. ②当l与x 轴不垂直时,设直线l的方程为y-2=k(x-1), 代入双曲线C 的 方 程,得(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k- 6=0. 当k2=2,即k= 2或- 2时,方程有一个解. 当k2≠2时,Δ=48-32k, 令Δ=0,可得k=32 ;令Δ>0,可得k<32 且k≠± 2;令Δ<0, 可得k>32. 综上所述,当直线l的斜率k∈ 2,- 2,32 或直线l的斜率不 存在时,直线l与双曲线C 有一个公共点; 当直线l的斜率k∈ -∞,- 2 ∪ - 2,2 ∪ 2,32 时, 直线l与双曲线C 有两个公共点; 当直线l的 斜 率k∈ 32 ,+∞ 时,直 线l与 双 曲 线C 没 有 公 共点. 12.解 (1)设直线l的方程为y=x+m, 代入双曲线方程, 得3x2+8mx+4(m2+1)=0, Δ=(8m)2-4×3×4(m2+1)=16(m2-3)>0, ∴m2>3. 设直线l与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则x1+x2=- 8 3m ,x1x2= 4(m2+1) 3 . 由弦长公式得|AB|= 1+k2|x1-x2| = 2 -83m 2 -16 (m2+1) 3 = 8 11 3 , ∴4 2 m 2-3 3 = 8 11 3 , 即m=±5,满足m2>3, ∴直线l的方程为y=x±5. (2)设直线l'与双曲线交于A'(x3,y3),B'(x4,y4)两点, 点P(3,1)为A'B'的中点, 则x3+x4=6,y3+y4=2. 由x23-4y23=4,x24-4y24=4, 两式相减得(x3+x4)(x3-x4)-4(y3+y4)(y3-y4)=0, ∴y3-y4x3-x4 =34 , ∴l'的方程为y-1=34 (x-3), 即3x-4y-5=0. 把此方程代入双曲线方程, 整理得5y2-10y+114=0 , 满足Δ>0, 即所求直线l'的方程为3x-4y-5=0. 【探究·一举突破】 探究路径 解 方法一 设被点 B(1,1)平分的弦所在的 直 线 方 程 为y= k(x-1)+1,代入双曲线方程x2-y 2 2=1 ,得(k2-2)x2-2k(k- 1)x+k2-2k+3=0, ∴k2-2≠0,且Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)>0, 解得k<32 ,且k≠± 2. 设弦的两端点为 M(x1,y1),N(x2,y2), 则x1+x2= 2k(k-1) k2-2 . ∵点B(1,1)是弦的中点, ∴k (k-1) k2-2 =1,∴k=2>32. 故双曲线上不存在被点B(1,1)平分的弦. 方法二 设双曲线上存在被点B 平分的弦MN,且点 M(x1,y1), N(x2,y2), 则x1+x2=2,y1+y2=2, 且 x21- y21 2=1 , ①, x22- y22 2=1 , ② 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 由①-②得(x1+x2)(x1-x2)- 1 2 (y1+y2)(y1-y2)=0, ∴kMN = y1-y2 x1-x2 =2, ∴直线 MN 的方程为y-1=2(x-1), 即y=2x-1. 由 y=2x-1, x2-y 2 2=1 , 消去y,得2x2-4x+3=0. 又Δ=-8<0,∴直线 MN 与双曲线不相交, 故双曲线上不存在被点B 平分的弦. 【综合·一练到底】 1.3-1;2 [椭圆、双曲线都关于x 轴、y轴 对称,所以只需考虑第一象限内的情况.记 双曲线 N 的一条渐近线与椭圆 M 在第一 象限的交点为P,椭圆左焦点为Q,右焦点 为F,连接PQ,如图.由题意知,△OPF 为 正三角形,边长设为2,则高为 3,所以椭圆 半焦距为2,2a=|PQ|+|PF|=2 3+2,a= 3+1,椭圆 M 的离 心率为 2 3+1 =3-1.双曲线N 的一条渐近线斜率为nm =tan60°= 3,e2=m 2+n2 m2 =1+n 2 m2 =4,所以双曲线 N 的离心率为2.] 2.解 (1)因为 1 2|OF →|·|FQ→|sin(π-θ)=2 6, |OF→|·|FQ→|cosθ=m, 所以tanθ=4 6m , 又 6<m<4 6,所以1<tanθ<4, 即tanθ的取值范围为(1,4). (2)设双曲线的标准方程为x 2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0), Q(x1,y1),则FQ →=(x1-c,y1), 所以S△OFQ= 1 2|OF →|·|y1|=2 6, 则y1=± 4 6 c ,又OF→·FQ→=m. 即(c,0)·(x1-c,y1)= 64-1 c2,解得x1= 64c, 所以|OQ→|= x21+y21= 38c 2+96c2 ≥ 12=2 3, 当且仅当c=4时取等号,|OQ→|最小, 此时Q 的坐标为(6,6)或(6,- 6). 因此 6 a2- 6 b2=1 , a2+b2=16, 所以 a 2=4, b2=12, 所以双曲线的标准方程为x 2 4- y2 12=1. 3.解 (1)如图,以 O 为原点,OB 所在直线 为x 轴,OC所在直线为y 轴,建立平面直 角坐标系.设敌舰艇的位置为P(x,y),由 题意可知|PB|-|PA|=v0· 4 v0 =4. 由双曲线的定义可知,敌舰艇的轨迹是以 A,B 为 焦 点 的 双 曲 线 的 左 支,且2a=4, c=3, 所以b= 5,所以轨迹方程为x 2 4- y2 5=1 , 令y=0,得x=±2, 又轨迹为双曲线的左支,所以x≤-2, 所以敌舰艇的轨迹方程为x 2 4- y2 5=1 (x≤-2). (2)设方程x 2 4- y2 5=1 (x≤-2)上一点 M(x0,y0), 由题意知 x20 4- y20 5=1 (x0≤-2),即x20=4+ 4 5y 2 0, 又C(0,3),所以|MC|= x20+(y0-3)2= 4+ 4 5y 2 0+(y0-3)2= 9 5y 2 0-6y0+13= 9 5 y0- 5 3 2 +8(y0∈R), 所以当y0= 5 3 时,|MC|min=2 2, 即无人机飞行的距离最小是2 2. 【选做·一飞冲天】 (1)解 由题知 e=ca = 3 , S△AF1F2= 1 2×2c×2=2 6 , a2+b2=c2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 a= 2, b=2, c= 6, ∴双曲线C的标准方程为x 2 2- y2 4=1. (2)证明 将l:x=my+1代入双曲线C:x 2 2- y2 4=1 , 得(2m2-1)y2+4my-2=0. 设E(x1,y1),F(x2,y2), 则2m2-1≠0,Δ=32m2-8>0, y1+y2=- 4m 2m2-1 , y1y2=- 2 2m2-1 . 直线AE 的方程为y=y1 -2 x1-2 (x-2)+2, 令x=1,得yM= 2-y1 x1-2 +2; 直线AF 的方程为y=y2 -2 x2-2 (x-2)+2, 令x=1,得yN= 2-y2 x2-2 +2. ∵ 2-y1 x1-2 + 2-y2 x2-2 = -2my1y2+(2m+1)(y1+y2)-4 (my1-1)(my2-1) =-4, ∴yM+yN=0, 又B(1,0), ∴|BM|=|BN|,即B 是MN 的中点. 第十二周 抛物线 【考点·一应俱全】 1.B [由抛物线定义知,动点P 的轨迹是抛物线,故选B.] 2.解 (1)已知抛物线的焦点在y 轴上,可设方程为x2=2my(m≠ 0),由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=±5,所以满足条件 的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y. (2)∵点(-3,-1)在第三象限,∴设所求 抛 物 线 的 标 准 方 程 为 y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0). 若抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则由(-1)2=-2p× (-3),解得p=16 ; 若抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),则由(-3)2=-2p× (-1),解得p=92. ∴所求抛物线的标准方程为y2=-13x 或x2=-9y. 【规律总结】 (1)用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 (2)当抛物线的焦点位置没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠ 0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数. (3)求焦点坐标与准线方程时,一般先将所给方程化为标准形式, 由方程得到参数p,从而得到焦点坐标与准线方程. 3.A [∵14+x0= 5 4x0 ,∴x0=1.] 4.A [由抛物线C:x2=12y 可知其焦点坐标 为(0,3),准线方程为y=-3,记抛物线C 的 焦点为F(0,3),所以|PG|+|PM|=|PG|+ |PF|-2≥|FG|-2= 42+32-2=3,当且 仅当点P 为线段FG 与抛物线的交点时等号 成立,所以|PG|+|PM|的最小值为3.] 5.A [如图所示,以桥顶为坐标原点,桥形的对称 轴为y轴建立平面直角坐标系Oxy.设抛物线的 方程为x2=-2py(p>0),结合题意可知,该抛 物线经过点 a 2 ,-h ,则a 2 4=2ph ,解得p=a 2 8h , 故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p=a 2 8h. ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 99 — —102 — 6.解 如图,建立坐标系,设拱桥抛物线方程为 x2=-2py(p>0),由题意,将B(4,-5)代入 方程得p=85 ,∴抛物线方程为x2=-165y. 当船的两侧和拱桥接触时船不能通航, 设此时船面宽为AA',则A(2,yA), 由22=-165yA ,得yA=- 5 4. 又知船露出水面上部分为3 4 米,设水面与抛物线拱顶相距为h,则 h=|yA|+ 3 4=2 (米),即水面上涨到距抛物线拱顶2米时,小船 不能通航. 【方法技巧】 涉及拱桥、隧道的问题,通常需建立适当的平面直 角坐标系,利用抛物线的标准方程进行求解. 7.C [设抛物线方程为y2=ax(a≠0). 又A ± 32 ,1 2 (取点A 在x 轴上方), 则有1 4=± 3 2a , 解得a=± 36 , 所以抛物线方程为y2=± 36x. ] 8.解 椭圆的方程可化为x 2 4+ y2 9=1 ,其短轴在x轴上, ∴抛物线的对称轴为x轴, ∴设抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3, 即p 2=3 ,∴p=6, ∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x, 其准线方程分别为x=-3和x=3. 9.AD [由题意可得,以 MF 为直径的圆过点(0,2),设点 M(x,y), 由抛物线定义知|MF|=x+p2=5 ,可得x=5-p2. 因为圆心是 MF 的 中 点,所 以 根 据 中 点 坐 标 公 式 可 得,圆 心 横 坐 标 为 5-p2+ p 2 2 = 5 2 ,由已知可得圆的半径也为5 2 ,据此可知该圆与y 轴相切于点A(0,2),故圆心纵坐标为2,则 M 点纵坐标为4,即点 M 5-p2 ,4 ,代入抛物线方程得p2-10p+16=0,解得p=2或 p=8.] 10.60° [如图,直线m 为抛物线的准线, 过点A,B 分别作AM,BN 垂直于m, 垂足为 M,N,作BE⊥AM 于点E, 因为|AF|=|AM|,|BF|=|BN|, 且|AF|=3|BF|,所以|AM|=3|BN|, 则|AB|=4|BF|,|AE|=|AM|-|ME|= 2|BF|, 所以cos∠BAE=12 , 则∠BAE=60°,即直线l的倾斜角为60°.] 11.解 联立 y =kx+1, y2=4x, 消去y, 得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*) 当k=0时,(*)式只有一个解x=14 , 此时直线l与C 只有一个公共点 14 ,1 , 此时直线l平行于x 轴. 当k≠0时,(*)式是一个一元二次方程, Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k). ①当Δ>0,即k<1,且k≠0时, l与C 有两个公共点,此时直线l与C 相交; ②当Δ=0,即k=1时,l与C 有 一 个 公 共 点,此 时 直 线l与C 相切; ③当Δ<0,即k>1时,l与C 没有公共点,此时直线l与C 相离. 综上所述,当k=1或0时,l与C 有一个公共点; 当k<1,且k≠0时,l与C 有两个公共点; 当k>1时,l与C 没有公共点. 【方法技巧】 判断直线与抛物线的位置关系的方法:联立方程组 消元,当二次项系数不等于零时,用判别式Δ来判定;当二次项系 数等于零时,直线与抛物线相交于一点. 12.解 方法一 因为过焦点的弦长为|AB|=52p , 所以弦所在的直线的斜率存在且不为0, 设直线方程为y=k x-p2 , 联立 y=k x- p 2 , y2=2px, 消去y可得k2x2-(k2p+2p)x+14k 2p2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2= k2p+2p k2 , 所以|AB|=x1+x2+p= k2p+2p k2 +p=5p2 , 所以k=±2, 所以所求直线方程为2x-y-p=0或2x+y-p=0. 方法二 由题意知焦点F p2 ,0 , 设A(x1,y1),B(x2,y2), 若AB⊥x轴,则|AB|=2p≠52p ,不满足题意. 所以直线AB 的斜率存在,设为k, 则直线AB 的方程为y=k x-p2 ,k≠0. 由 y=k x- p 2 , y2=2px, 消去x,整理得ky2-2py-kp2=0. 由根与系数的关系得y1+y2= 2p k ,y1y2=-p2. 所以|AB|= 1+1k2 ·(y1-y2)2 = 1+1k2 · (y1+y2)2-4y1y2 =2p 1+ 1 k2 =52p, 解得k=±2. 所以AB 所在的直线方程为2x-y-p=0 或2x+y-p=0. 13.解 方法一 (点差法)设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x1,y1),B(x2,y2),则有y21=8x1,y22=8x2, ∴(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2). 又y1+y2=2,∴y1-y2=4(x1-x2), 即y1-y2 x1-x2 =4,∴kAB=4, ∴AB 所在直线的方程为y-1=4(x-4),即4x-y-15=0. 方法二 (一般法)由题意知 AB 所在直线斜率存在,设 A(x1, y1),B(x2,y2),弦AB 所在直线的方程为y=k(x-4)+1. 联立 y 2=8x, y=k(x-4)+1, 消去x得ky2-8y-32k+8=0, 此方程的两根就是线段端点A,B 的纵坐标. 由根与系数的关系得y1+y2= 8 k , 又y1+y2=2,∴k=4, ∴AB 所在直线的方程为y=4(x-4)+1,即4x-y-15=0. 【方法技巧】 解决中点弦问题常用方法 【探究·一举突破】 探究路径 解 (1)因为抛物线的方程为y2=4x,则有y21=4x1,y22=4x2,因 为弦AB 的中点为(3,3),所以x1≠x2. 两式相减得y21-y22=4x1-4x2, 所以y1-y2 x1-x2 = 4y1+y2 =23 , 所以直线l的方程为y-3=23 (x-3),即y=23x+1. (2)证明:当l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+b,代入抛物线 方程,整理,得ky2-4y+4b=0,y1y2= 4b k =-12 ,b=-3k, l的方程为y=kx-3k=k(x-3),过定点(3,0). 当l的斜率不存在时,y1y2=-12,则x1=x2=3,l过定点(3,0). 综上,l过定点(3,0). 【综合·一练到底】 1.2;(4,6) [如图所示,设直线l与抛物线Z 的准线交于点C,由 x2=4y, x2+(y-1)2=4, x>0,y>0,) 解得 x=2, y=1, 所 以 m =2.由 x=t,x2=4y, 解 得 x=t, y=t 2 4 , 所 以 A t,t24 , 由 x=t, x2+(y-1)2=4, x>0,y>0, 解得 x=t,y=1+ 4-t2, 所以B(t,1+ 4-t2), 由抛物 线 的 定 义 得|AF|=|AC|,所 以△FAB 周 长=|FA|+ |FB|+|AB|=|AC|+|AB|+|BF|=|BC|+2= 4-t2+4.因 为t∈(0,2),所以 4-t2+4∈(4,6).] 2.y2=3x [由抛物线的光学性质可得,PQ 必 过 抛 物 线 的 焦 点F p 2 ,0 .当直线PQ 的斜率不存在时,易得|PQ|=2p;当直线PQ 的斜率存在时,设PQ 的方程为y=k x-p2 ,P(x1,y1),Q(x2, y2),联 立 y=k x-p2 , y2=2px, 得 k2 x2-px+p 2 4 =2px,整 理 得 4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0,所 以x1+x2=p+ 2p k2 ,x1x2= p2 4. 所以|PQ|=x1+x2+p=2p 1+ 1 k2 >2p.综上,当直线PQ 与x 轴垂直时,弦长最短,又因为两平行光线间的最小距离为3, 故2p=3,所以抛物线的方程为y2=3x.] 3.解 (1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的 范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0. (2)如图所 示,由|OA|=|OB|可 知 AB⊥x 轴,垂足为点 M, 又焦点F 是△OAB 的重心, 则|OF|=23|OM|. 因为F(2,0), 所以|OM|=32|OF|=3 ,所以M(3,0). 故设A(3,m), 代入y2=8x得m2=24, 所以m=2 6或m=-2 6, 所以A(3,2 6),B(3,-2 6), 所以|OA|=|OB|= 33, 所以△OAB 的周长为2 33+4 6. 【选做·一飞冲天】 解 (1)由题意可知F p2 ,0 , 则该直线方程为y=x-p2 , 代入y2=2px(p>0), 得x2-3px+p 2 4=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则有x1+x2=3p. ∵|MN|=8, ∴x1+x2+p=8, 即3p+p=8,解得p=2, ∴抛物线C的方程为y2=4x. (2)设直线l的方程为y=x+b,代入y2=4x, 得x2+(2b-4)x+b2=0. ∵直线l为抛物线C 的切线, ∴Δ=0,解得b=1. ∴直线l的方程为y=x+1. 由(1)可知x1+x2=6,x1x2=1. 设P(m,m+1), 则PM→=(x1-m,y1-(m+1)), PN→=(x2-m,y2-(m+1)), ∴PM→·PN→=(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)]·[y2-(m+1)]= x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2. ∵x1+x2=6,x1x2=1, ∴(y1y2)2=16x1x2=16,y1y2=-4. ∵y21-y22=4(x1-x2), ∴y1+y2=4× x1-x2 y1-y2 =4, ∴PM→·PN→=1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2=2(m2- 4m-3)=2[(m-2)2-7]≥-14,当且仅当 m=2,即点P 的坐标 为(2,3)时,PM→·PN→取得最小值,最小值为-14. 第十三周 数列的概念 【考点·一应俱全】 1.B [紧扣数列的有关概念,验证每一个说法是否符合条件.因为 {0,1,2,3,4,5}是集合,而不是数列,故A错误;所有有理数能构成 数列,故B正确;当x代表数时,它是项数为7的数列;当x不代表 数时,它不是数列,故C错误;数列1,2,3,4,…,2n,共有2n项,是 有穷数列,所以D错误.] 2.(5)是有穷数列 (1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列 (2)是递增数列 (1)(4)(5)是递减数列 (3)是常数列 (6)是摆动数列 3.(1)提示:按照1,3,5,7,…,1的顺序分布. (2)提示:f(1)=1=2×1×0+1, f(2)=1+3+1=2×2×1+1, f(3)=1+3+5+3+1=2×3×2+1, f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×4×3+1, 故f(n)=2n(n-1)+1. 当n=6时,f(6)=2×6×5+1=61. 4.解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数,并且奇数项 为负,偶数项为正, 所以它的一个通项公式为an= (-1)n n ,n∈N*. (2)数列中的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数 再观察:1 2 ,4 2 ,9 2 ,16 2 ,…, 所以它的一个通项公式为an= n2 2 ,n∈N*. (3)这个数列中的项是0与1交替出现,奇数项都是0,偶数项都是 1,所以通项公式可以写成an= 0,n为奇数 1,n为偶数 由第(1)题也可以写成 an= 1+(-1)n 2 (n∈N*)或an= 1+cosnπ 2 (n∈N*). (4)各项加1后,变为10,100,1000,10000,…,此数列的通项公式 为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1,n∈N*. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 101 —