第8周 圆的方程-【周测必刷】2025-2026学年高二数学选择性必修1+2（人教A版2019）

— 30 — 第八周 圆的方程 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第12题.该题主要考查圆的轨迹问题,考查考生结合向量的线性运算解决轨迹问 题,从而提高学生的灵活运用知识解决问题的能力,区别轨迹与轨迹方程的不同,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共60分) 考点一 圆的标准方程 1.与y轴相切,且圆心坐标为(-5,-3)的圆的标准方程为 . 2.求满足下列条件的圆的标准方程: (1)圆心是(4,0),且过点(2,2); (2)4圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4). 考点二 点与圆的位置关系 3.已知a,b是方程x2-x- 2=0的两个不相等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2+y2=8的位置关 系是 ( ) A.点P 在圆C 内 B.点P 在圆C 外 C.点P 在圆C 上 D.无法确定 4.已知点A(1,2)和圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2,试分别求满足下列条件的实数a的取值范围: (1)点A 在圆的内部; (2)点A 在圆上; (3)点A 在圆的外部. 考点三 求圆的标准方程 5.(2025·广东韶关·阶段练习)过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方 程是 ( ) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 6.(2025·柳州·阶段练习)求经过点P(1,1)和坐标原点O,并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆 的标准方程. 考点四 圆的一般方程的辨析 7.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 . 8.若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆. (1)求实数m 的取值范围; (2)写出圆心坐标和半径. 考点五 求圆的一般方程 9.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为 2,求圆的一般方程. 10.已知△ABC的三边BC,CA,AB 的中点分别是D(5,3),E(4,2),F(1,1). (1)求△ABC的边AB 所在直线的方程及点A 的坐标; (2)求△ABC的外接圆的方程. — 29 — — 32 — 考点六 圆的轨迹问题 11.已知△ABC的边AB 长为4,若BC边上的中线为定长3,求顶点C的轨迹方程. 12.已知圆C经过(2,6),(5,3),(2,0)三点. (1)求圆C的方程; (2)设点A 在圆C 上运动,点B(2,3),且点 M 满足AM → =2MB →,求点 M 的轨迹方程. 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 与圆有关的最值问题 已知圆心在x轴上的圆C 与x 轴交于两点A(1,0),B(5,0). 探究问题: (1)求此圆的标准方程; (2)设P(x,y)为圆C上任意一点,试求x2+(y-4)2 的最值. 【综合·一练到底】(共25分) 1.(多选)(2025·安庆·阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,坐标轴将边长为 4的大正方形ABCD 分割成四个小正方形.若大圆为正方形ABCD 的外接圆, 四个小圆分别为四个小正方形的内切圆,则下列方程是图中某个圆的方程的 是 ( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y-1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=1 D.x2+y2=4 2.已知正方形ABCD 的边长为2,点 M 在以C 为圆心,1为半径的圆上,则2|MB|+|MD|的最小 值为 ( ) A.152 B.15 C. 17 2 D.17 3.已知某400m标准跑道的内圈如图所示,其中左右两边均是半径为36m的半圆 弧.(设400m标准跑道最内圈周长为400m) (1)求每条直道的长度; (2)建立平面直角坐标系Oxy,写出该跑道内圈上半部分对应的函数解析式. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·山东淄博·阶段练习)在平面直角坐标系Oxy中,长度为2的线段EF 的两端点E,F 分 别在两坐标轴上运动. (1)求线段EF的中点G 的轨迹C 的方程; (2)设轨迹C与x 轴交于A1,A2 两点,P 是轨迹C 上异于A1,A2 的任意一点,直线PA1 交直线l: x=3于点 M,直线PA2 交直线l于点N,求证:以 MN 为直径的圆总过定点,并求出定点坐标. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 31 — —92 — 【选做·一飞冲天】 解 (1)G 到直线x-y-2=0的距离为2 2 = 2, 由重心的性质可知, G 到直线x-y-2=0的距离为A 到直线x-y-2=0的13 , 所以三角形BC边上的高为3 2, 故S△ABC= 1 2×3 2×3 2=9. (2)假设存在B 满足条件, 设B(a,a-2)(a-2<0),C(3+a,1+a),A(x,y), a+3+a+x=3,x=-2a,a-2+1+a+y=3,y=4-2a, kAB= 4-2a-a+2 -2a-a =- 6-3a 3a =1- 2 a , AB 所在直线的方程为 y-a+2= 1-2a (x-a), 令y=0,解得x=0, 直线AB 与x 轴的交点M(0,0), 直线x-y-2=0与x轴的交点N(2,0), MN=2, S△BMN = 1 2MN ·(2-a)=12×2× (2-a)=2-a=92 ,即a= -52 , 所以B -52 ,-92 , 这时A 在x 轴上方,满足题意, 即存在B -52 ,-92 满足条件. 第八周 圆的方程 【考点·一应俱全】 1.(x+5)2+(y+3)2=25 [∵圆心坐标为(-5,-3),又与y轴相 切,∴该圆的半径为5,∴该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2= 25.] 2.解 (1)r2=(2-4)2+(2-0)2=8, ∴圆的标准方程为(x-4)2+y2=8. (2)设圆心为C(0,b),则(3-0)2+(-4-b)2=52, ∴b=0或b=-8,∴圆心为(0,0)或(0,-8), 又r=5, ∴圆的标准方程为x2+y2=25或 x2+(y+8)2=25. 3.A [由题意,得a+b=1,ab=- 2,∴a2+b2=(a+b)2-2ab= 1+2 2<8,∴点P 在圆C 内.] 4.解 (1)因为点A 在圆的内部, 所以(1-a)2+(2+a)2<2a2, 且a不为0,解得a<-52. (2)因为点A 在圆上,所以(1-a)2+(2+a)2=2a2, 解得a=-52. (3)因为点A 在圆的外部,所以(1-a)2+(2+a)2>2a2, 且a不为0,解得a>-52 且a≠0. 【方法技巧】 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法:利用点到圆心的距离与半径比较大小,并作出判断. (2)代数法:把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的大 小,并作出判断. 5.C [方法一 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则有 (1-a)2+(-1-b)2=r2, (-1-a)2+(1-b)2=r2, a+b-2=0, 解得 a=1, b=1, r=2, 即圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 方法二 因为kAB= 1+1 -1-1=-1 ,线段AB 的中点坐标为(0,0). 所以线段AB 的垂直平分线的方程为y=x. 由 y=x, x+y-2=0, 解得 x=1,y=1, 所以圆心坐标为(1,1),半径为2, 所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.] 6.解 方法一 (待定系数法) 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 则有 a2+b2=r2, (1-a)2+(1-b)2=r2, 2a+3b+1=0, 解得 a=4, b=-3, r=5. 即圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25. 方法二 (几何法) 由题意知OP 是圆的弦,其垂直平分线为x+y-1=0. ∵弦的垂直平分线过圆心, ∴ 2x+3y+1=0 , x+y-1=0, 得 x=4,y=-3, 即圆心坐标为(4,-3), 半径为r= 42+(-3)2=5. 即圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25. 【方法技巧】 求圆的标准方程的两种方法 (1)几何法:利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的 圆心和半径,从而得到圆的标准方程. (2)待定系数法:由三个独立条件得到三个方程,解方程组得到圆 的标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程. 7.(-2,-4) 5 [方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆, 则a2=a+2,故a=-1或2.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+ 8y+10=0,即x2+y2+x+2y+52=0 ,亦即 x+12 2 +(y+1)2= -54 ,不成立,故舍去;当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y- 5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心坐标为(-2,-4),半径 为5.] 8.解 (1)由表示圆的充要条件, 得(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0, 解得m<15 ,即实数m 的取值范围为 -∞,15 . (2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+ m)2+(y-1)2 =1-5m,故 圆 心 坐 标 为(-m,1),半 径 r= 1-5m. 【方法技巧】 圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义,若D2+E2-4F>0成立,则表示圆, 否则不表示圆. (2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解. 9.解 圆心C -D2 ,-E2 , ∵圆心在直线x+y-1=0上, ∴-D2- E 2-1=0 , 即D+E=-2.① 又∵半径长r= D 2+E2-12 2 = 2 , ∴D2+E2=20.② 由①②可得 D=2 , E=-4, 或 D=-4,E=2. 又∵圆心在第二象限, ∴-D2<0 ,即D>0.则 D=2 , E=-4. 故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0. 10.解 (1)由题意可知kED =kAB= 3-2 5-4=1 , 又F(1,1)为AB 的中点, ∴AB 所在直线的方程为y-1=1·(x-1),即x-y=0.① 同理CA 所在直线的方程为x-2y=0,② 联立①②,得A(0,0). 因此直线AB 的方程为x-y=0,点A 的坐标为(0,0). (2)由线段AB 的中点F(1,1)及 A(0,0)得B(2,2),由线段 AC 的中点E(4,2)及A(0,0)得C(8,4), 设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A,B, C的坐标代入圆的方程可得 F=0, 4+4+2D+2E+F=0, 64+16+8D+4E+F=0, 解方程组可得 D=-16, E=12, F=0, ∴圆的方程为x2+y2-16x+12y=0. 11.解 以直线AB 为x 轴,AB 的中垂线为y 轴 建立平面直角坐标系(如图), 则A(-2,0),B(2,0),设 C(x,y),BC 中 点D(x0,y0). ∴ 2+x 2 =x0 , 0+y 2 =y0. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ① ∵|AD|=3,∴(x0+2)2+y20=9. ② 将①代入②,整理得(x+6)2+y2=36. ∵点C不能在x 轴上,∴y≠0. 综上,点C 的 轨 迹 是 以(-6,0)为 圆 心,6为 半 径 的 圆,去 掉 (-12,0)和(0,0)两点. 轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y≠0). 12.解 (1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由题意得 22+62+2D+6E+F=0, 52+32+5D+3E+F=0, 22+02+2D+F=0, 解得 D=-4, E=-6, F=4, 则圆C的方程为x2+y2-4x-6y+4=0. (2)设 M(x,y),A(xA,yA), 则AM→=(x-xA,y-yA),MB→=(2-x,3-y), 由AM→=2MB→,得 x-xA=4-2x , y-yA=6-2y, 解得 xA=3x-4 , yA=3y-6, 由点A 在圆C 上,得(3x-4)2+(3y-6)2-4(3x-4)-6(3y- 6)+4=0, 即x2+y2-4x-6y+12=0, 故点 M 的轨迹方程为x2+y2-4x-6y+12=0. 【方法技巧】 求与圆有关的轨迹问题的方程 (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:根据圆、直线等定义列方程. (3)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系 式. 【探究·一举突破】 探究路径 解 (1)由已知得,圆心C(3,0),半径r=12|AB|=2 , ∴圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4. (2)x2+(y-4)2 表示点 M(0,4)与圆C 上任意一点P(x,y)的平 方,即|PM|2 的距离. 由(0-3)2+42>4知点 M(0,4)在圆C外部. 又|MC|= (3-0)2+(0-4)2=5, ∴|PM|max=5+2=7,|PM|min=5-2=3. ∴|PM|2max=49,|PM|2min=9. 即x2+(y-4)2 的最大值为49,最小值为9. 【综合·一练到底】 1.ABC [由题可知小正方形边长为2,则内切圆半径为1,可得第一 象限的小圆的圆心为(1,1),方程为(x-1)2+(y-1)2=1,A选项 正确;第二象限的小圆的圆心为(-1,1),方程为(x+1)2+(y- 1)2=1,B选项正确;第三象限的小圆的圆心为(-1,-1),方程为 (x+1)2+(y+1)2=1,C选项正确;第四象限的小圆的圆心为(1, -1),方程为(x-1)2+(y+1)2=1,没有选项符合;外接圆圆心为 (0,0),半径为2 2,方程为x2+y2=8,没有选项符合.] 2.D [依题意,以点C 为原点,直线CB,CD 分 别为x,y 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系,则 B(2, 0),D(0,2),如图,取点E 0,12 ,设 M'(x, y),当|M'D|=2|M'E|时, x2+(y-2)2= 2 x2+ y-12 2 ,化简整理得x2+y2=1, 即点 M'的轨迹是以C 为圆心,1为半径的圆,而点 M 在以C 为圆 心,1为半径的圆上,因此|MD|=2|ME|,显然点B在圆C:x2+y2= 1外,则2|MB|+|MD|=2|MB|+2|ME|=2(|MB|+|ME|)≥ 2|BE|,当且仅当 M 为线段BE与圆C的交点时取等号,而|BE|= 22+ 12 2 = 172 , 所以2|MB|+|MD|的最小值为2|BE|= 17.] 3.解 (1)依题意知,一个半圆弧的长为36πm 所以每条直道的长度为(400-2×36π)÷2=(200-36π)m. (2)如图,设两个半圆的圆心分别为A,B,AB 的中点为O, 以O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直 角坐标系, 则A(18π-100,0),B(100-18π,0), 所以圆A的方程为(x-18π+100)2+y2=1296, 圆B的方程为(x+18π-100)2+y2=1296, 所以该跑道内圈上半部分对应的函数解析式为 y= 1296-(x-18π+100)2,18π-136≤x≤18π-100, 36,18π-100<x<100-18π, 1296-(x+18π-100)2,100-18π≤x≤136-18π. 【选做·一飞冲天】 解 (1)设G(x,y),由中点坐标公式得E(2x,0),F(0,2y), ∴|EF|= (2x)2+(-2y)2=2, 整理得x2+y2=1, ∴线段EF 的中点G 的轨迹C 的方程为 x2+y2=1. (2)由已知得A1(-1,0),A2(1,0), 设P(x0,y0),x0≠±1,x20+y20=1, 直线PA1 的方程为y= y0 x0+1 (x+1), 令x=3,得y= 4y0 x0+1 ,则 M 3, 4y0 x0+1 , 同理,可求 N 3, 2y0 x0-1 ,MN 的中点坐标为 3,1-3x0y0 , |MN|= 4y0x0+1 - 2y0 x0-1 =2 3-x0 y0 , ∴以 MN 为直径的圆的方程为 (x-3)2+ y- 1-3x0 y0 2 = (3-x0)2 y20 . 令y=0,得(x-3)2=- 1-3x0 y0 2 + (3-x0)2 y20 = 8-8x20 y20 =8. ∴x=3±2 2, ∴该圆总过定点,定点坐标为(3+2 2,0)或(3-2 2,0). 第九周 直线与圆、圆与圆的位置关系 【考点·一应俱全】 1.解 方法一 将 直 线 mx-y-m-1=0代 入 圆 的 方 程 化 简 整 理得, (1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0. 则Δ=4m(3m+4). (1)当Δ>0,即m>0或m<-43 时,直线与圆相交,即直线与圆有 两个公共点. (2)当Δ=0,即m=0或m=-43 时,直线与圆相切,即直线与圆只 有一个公共点. (3)当Δ<0,即-43<m<0 时,直线与圆相离,即直线与圆没有公 共点. 方法二 已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4, 即圆心为C(2,1),半径r=2. 圆心C(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离 d=|2m-1-m-1| 1+m2 =|m-2| 1+m2 . (1)当d<2,即m>0或m<-43 时,直线与圆相交,即直线与圆有 两个公共点. (2)当d=2,即m=0或m=-43 时,直线与圆相切,即直线与圆只 有一个公共点. (3)当d>2,即-43<m<0 时,直线与圆相离,即直线与圆没有公 共点. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 91 —