第7周 直线的交点坐标与距离公式-【周测必刷】2025-2026学年高二数学选择性必修1+2（人教A版2019）

—90 — 又∵点D 在中线CD:x-2y+1=0上, ∴x+12 -2×2+1=0 ,解得x=5, ∴B 点坐标为(5,1). 同理可求出C点的坐标是(-3,-1). 故可求出△ABC三边AB,BC,AC所在直线的方程分别为x+2y- 7=0,x-4y-1=0和x-y+2=0. 3.解 ∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形, ∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0. 若l在两坐标轴上的截距相等,且设为a(a≠0), 则直线方程为x a + y a =1 ,即x+y-a=0. ∵12|a| ·|a|=18,即a2=36, ∴a=±6, ∴直线l的方程为x+y±6=0. 若l在两坐标轴上的截距互为相反数,不妨设在x 轴上的截距为 a,则在y轴上的截距为-a(a≠0), 故直线方程为x a + y -a=1 ,即x-y-a=0. ∵12|-a| ·|a|=18,即a2=36, ∴a=±6, ∴直线的方程为x-y±6=0. 综上所述,直线l的方程为x+y±6=0或x-y±6=0. 【选做·一飞冲天】 (1)解 由题意,当直线PQ 的斜率不存在时, t=10-t,故t=5,此时P(5,5),Q(5,0), 直线PQ 不经过点M(6,1); 当直线PQ 的斜率存在时,t≠5, kPQ= t 2t-10 , 直线PQ 的方程为(2t-10)y=t(x+t-10). 假设直线PQ 过点M(6,1), 则2t-10=t(6+t-10),即t2-6t+10=0, Δ=-4<0,方程无实根,故直线PQ 不经过点M(6,1). 综上,直线PQ 不经过点M(6,1). (2)①证明 由题意设点A(a,0),B(2a,0),C(2a,a),D(a,a), 点C(2a,a)满足y=12x , 故顶点C一定在直线y=12x 上. ②解 直线PQ 的方程为(2t-10)y=t(x+t-10), 因为P(t,t),Q(0,10-t), 设阴影部分的面积为S, 则S=S△OPQ-S正方形ABCD = 1 2t (10-t)-a2(0<t<10). 因为点C(2a,a)在直线PQ 上, 则(2t-10)a=t(2a+t-10), 所以a=110t (10-t). 所以S=5a-a2=- a-52 2 +254. 所以当a=52 ,即t=5时, 图中阴影部分的面积取得最大值,Smax= 25 4 , 此时点A 52 ,0 ,B(5,0),C 5,52 ,D 52,52 . 第七周 直线的交点坐标与距离公式 【考点·一应俱全】 1.解 (1)由题意得 x-2y+4=0 , x+y-2=0, 解得 x=0, y=2, 则P(0,2). (2)方法一 ∵所求直线与直线l3: 3x-4y+5=0平行, ∴所求直线的斜率为34 , 又直线过点P(0,2), 故所求直线方程为y-2=34 (x-0), 即3x-4y+8=0. 方法二 设所求直线的方程为(x-2y+4)+λ(x+y-2)=0, 即(λ+1)x+(λ-2)y+4-2λ=0,① ∵所求直线与直线l3:3x-4y+5=0平行, ∴-λ+1λ-2= 3 4 , 解得λ=27 ,代入①式并整理可得, 所求直线方程为3x-4y+8=0. (3)方法一 设所求直线为l, ∵直线l与直线l3 垂直且直线l3 的斜率为 3 4 , ∴直线l的斜率为-43. 又直线过点P(0,2), ∴直线l的方程为y-2=-43 (x-0), 即4x+3y-6=0. 方法二 设所求直线l的方程为 (x-2y+4)+λ(x+y-2)=0, 即(λ+1)x+(λ-2)y+4-2λ=0, ∵直线l与直线l3 垂直且直线l3 的斜率为 3 4 , ∴-λ+1λ-2× 3 4=-1 ,解得λ=11. ∴直线l的方程为x-2y+4+11(x+y-2)=0,即4x+3y- 6=0. 【方法技巧】 求过两条直线交点的直线方程的两种方法 (1)先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程. (2)利用过两条直线交点的直线系方程,通过待定系数法求解. 2.A [方程mx-3y+2m+3=0可化为 m(x+2)-3y+3=0,令 x+2=0, 3-3y=0, 得 x=-2,y=1, 即直线mx-3y+2m+3=0过定点(-2, 1),故选A.] 3.证明 将直线方程整理为 a(3x-y)+(-x+2y-1)=0, 因为直线3x-y=0与x-2y+1=0的交点为 15 ,3 5 , 即直线系恒过第一象限内的定点 1 5 ,3 5 , 所以无论a为何值,直线总经过第一象限. 4.A [由 两 点 间 的 距 离 公 式 及 |AB| = |AC| 得, (a+2)2+(2+3)2= (a-1)2+(2-6)2,解得a=-2.] 5.解 方法一 ∵|AB|= (3+3)2+(-3-1)2= 52=2 13, |AC|= (1+3)2+(7-1)2= 52=2 13, 又|BC|= (1-3)2+(7+3)2= 104=2 26, ∴|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|, ∴△ABC是等腰直角三角形. 方法二 ∵kAC= 7-1 1-(-3)= 3 2 , kAB= -3-1 3-(-3)=- 2 3 , ∴kAC·kAB=-1, ∴AC⊥AB. 又|AC|= (1+3)2+(7-1)2= 52=2 13, |AB|= (3+3)2+(-3-1)2= 52=2 13, ∴|AC|=|AB|, ∴△ABC是等腰直角三角形. 【方法技巧】 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2), |P1P2|= (x2-x1)2+(y2-y1)2. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况,可直接利用距离公 式的特殊情况|y2-y1|或|x2-x1|求解. 6.证明 如图,以A 为原点,边 AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,其中D,E 分别为边AC 和BC的中点. 设A(0,0),B(c,0),C(m,n), 则|AB|=|c|. 由中点坐标公式,得D m2 ,n 2 ,E c+m2 ,n2 , ∴|DE|= c+m2 - m 2 = c 2 , ∴|DE|=12|AB| , 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 7.证明 如图所示,以AC所在的直线为x 轴,点 D 为坐标原点,建 立平面直角坐标系xDy. 设B(b,c),C(a,0),依题意得A(-a,0). |AB|2+|BC|2-12|AC| 2 =(a+b)2+c2+(a-b)2+c2-12 (2a)2 =2a2+2b2+2c2-2a2=2b2+2c2, 2|BD|2=2(b2+c2)=2b2+2c2, 所以|AB|2+|BC|2-12|AC| 2=2|BD|2. 8.5 [d= |-5| 12+22 = 5.] 9.解 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,符合题意; 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x-2),即 kx-y-2k-1=0, 由点到直线的距离公式得|-2k-1| 1+k2 =2, 解得k=34 , 所以直线l的方程为3x-4y-10=0. 故直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0. 10.解 l1:2x-4y+7=0即x-2y+ 7 2=0 , 所以l1,l2 间的距离为 d= 5-72 12+22 = 3 2 5 =3 510. 11.解 当直线l1,l2 斜率存在时,设直线l1,l2 的斜率为k,由斜截式 得l1 的方程为y=kx+1,即kx-y+1=0,由点斜式得l2 的方程 为y=k(x-5),即kx-y-5k=0,在直线l1 上取一点A(0,1), 则点A 到直线l2 的 距 离d= |1+5k| 1+k2 =5,∴25k2+10k+1= 25k2+25,∴k=125 , ∴l1 的方程为12x-5y+5=0,l2 的方程为12x-5y-60=0. 若直线l1,l2 的斜率不存在,则l1 的 方 程 为x=0,l2 的 方 程 为 x=5,它们之间的距离为5,同样满足条件. 综上可知,满足条件的直线方程有两组,即l1:12x-5y+5=0, l2:12x-5y-60=0或l1:x=0,l2:x=5. 【方法技巧】 求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法:将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到 另一条直线的距离,即化线线距为点线距来求. (2)公式法:设直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则 两条平行直线间的距离d=|C1-C2| A2+B2 . 12.x+2y-3=0 [当两条平行直线与A,B 两点的连线垂直时,两 条平行直线间的距离最大.因为A(1,1),B(0,-1).所以kAB = -1-1 0-1 =2 ,所以两条平行直线的斜率为-12 ,所以直线l1 的方 程为y-1=-12 (x-1),即x+2y-3=0.] 13.解 (1)如图,显然有0<d≤|AB|. 而|AB|= (6+3)2+(2+1)2 = 3 10. 故所求的d的变化范围为(0,3 10]. (2)由图可知,当d 取最大值时,两直线 与AB 垂直. 而kAB= 2-(-1) 6-(-3)= 1 3 , 所以所求直线的斜率为-3. 故所求的直线方程分别为 y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3), 即3x+y-20=0和3x+y+10=0. 【方法技巧】 通过数形结合,运用运动变化的方法,把握住题中 的已知点不动,而两条平行线可以绕点转动,我们很容易直观感 受到两平行线间距离的变化情况,从而求出两平行线间的距离的 取值范围. 【探究·一举突破】 探究路径 解 (1)设点P 关于直线l的对称点为P'(x',y'),则线段PP'的 中点在直线l上,且直线PP'垂直于直线l, 即 y'+5 2 =3× x'+4 2 +3 , y'-5 x'-4×3=-1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x'=-2 , y'=7. ∴P'点坐标为(-2,7). (2)解方程组 y=3x+3 , y=x-2, 得 x=-52 , y=-92 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 则点 -52 ,-92 在所求直线上. 在直线y=x-2上任取一点 M(2,0), 设点 M 关于直线l的对称点为M'(x0,y0), 则 y0 2=3× x0+2 2 +3 , y0 x0-2 ×3=-1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x0=- 17 5 , y0= 9 5. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 点 M' -175 ,9 5 也在所求直线上. 由两点式得直线方程为 y+92 9 5+ 9 2 = x+52 -175+ 5 2 , 化简得7x+y+22=0,即为所求直线方程. (3)在直线l上取两点E(0,3),F(-1,0), 则E,F 关于点A(3,2)的对称点分别为E'(6,1),F'(7,4). 因为点E',F'在所求直线上, 所以由两点式得所求直线方程为y-1 4-1= x-6 7-6 , 即3x-y-17=0. 【综合·一练到底】 1.ABC [直线y=3x+3与x轴的交点为A(-1,0),与y轴的交点 为B(0,3),而C(3,0),故抛物线的对称轴为x=1.设Q(1,a),当 AB=AQ 时, (-1-0)2+(0-3)2= (-1-1)2+(0-a)2,解 得a=± 6,所以 Q(1,- 6)或 Q(1,6),所以 A选项正 确;当 BA=BQ 时, (-1-0)2+(0-3)2= (0-1)2+(3-a)2,解得 a=0或a=6,由 于 点(1,6)在 直 线y=3x+3上,故 舍 去,所 以 Q(1,0),所 以 B 选 项 正 确,D 选 项 错 误;当 QA =QB 时, (-1-1)2+(0-a)2= (0-1)2+(3-a)2,解 得a=1,所 以 Q(1,1),所以C选项正确.] 2.3 2+2 [点P(3,3)到直线l:xcosθ+ysinθ-2=0的距离d= |3cosθ+3sinθ-2| cos2θ+sin2θ = 3 2sinθ+π4 -2 ,当sin θ+π4 = -1,即θ=2kπ+5π4 ,k∈Z时,d有最大值3 2+2.] 3.解 (1)若l1∥l2,则m≠0, ∴12=- 3-m m ,∴m=6, ∴l1:x-2y-1=0,l2:x-2y-6=0, ∴l1,l2 之间的距离d= 5 1+4 = 5. (2)由题意,得 m>0 , 3-m>0, ∴0<m<3, 直线l2 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积 S=12m (3-m)=-12 m- 3 2 2 +98 , ∴当m=32 时,S的最大值为98 , 此时直线l2 的方程为2x+2y-3=0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 89 — —92 — 【选做·一飞冲天】 解 (1)G 到直线x-y-2=0的距离为2 2 = 2, 由重心的性质可知, G 到直线x-y-2=0的距离为A 到直线x-y-2=0的13 , 所以三角形BC边上的高为3 2, 故S△ABC= 1 2×3 2×3 2=9. (2)假设存在B 满足条件, 设B(a,a-2)(a-2<0),C(3+a,1+a),A(x,y), a+3+a+x=3,x=-2a,a-2+1+a+y=3,y=4-2a, kAB= 4-2a-a+2 -2a-a =- 6-3a 3a =1- 2 a , AB 所在直线的方程为 y-a+2= 1-2a (x-a), 令y=0,解得x=0, 直线AB 与x 轴的交点M(0,0), 直线x-y-2=0与x轴的交点N(2,0), MN=2, S△BMN = 1 2MN ·(2-a)=12×2× (2-a)=2-a=92 ,即a= -52 , 所以B -52 ,-92 , 这时A 在x 轴上方,满足题意, 即存在B -52 ,-92 满足条件. 第八周 圆的方程 【考点·一应俱全】 1.(x+5)2+(y+3)2=25 [∵圆心坐标为(-5,-3),又与y轴相 切,∴该圆的半径为5,∴该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2= 25.] 2.解 (1)r2=(2-4)2+(2-0)2=8, ∴圆的标准方程为(x-4)2+y2=8. (2)设圆心为C(0,b),则(3-0)2+(-4-b)2=52, ∴b=0或b=-8,∴圆心为(0,0)或(0,-8), 又r=5, ∴圆的标准方程为x2+y2=25或 x2+(y+8)2=25. 3.A [由题意,得a+b=1,ab=- 2,∴a2+b2=(a+b)2-2ab= 1+2 2<8,∴点P 在圆C 内.] 4.解 (1)因为点A 在圆的内部, 所以(1-a)2+(2+a)2<2a2, 且a不为0,解得a<-52. (2)因为点A 在圆上,所以(1-a)2+(2+a)2=2a2, 解得a=-52. (3)因为点A 在圆的外部,所以(1-a)2+(2+a)2>2a2, 且a不为0,解得a>-52 且a≠0. 【方法技巧】 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法:利用点到圆心的距离与半径比较大小,并作出判断. (2)代数法:把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的大 小,并作出判断. 5.C [方法一 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则有 (1-a)2+(-1-b)2=r2, (-1-a)2+(1-b)2=r2, a+b-2=0, 解得 a=1, b=1, r=2, 即圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 方法二 因为kAB= 1+1 -1-1=-1 ,线段AB 的中点坐标为(0,0). 所以线段AB 的垂直平分线的方程为y=x. 由 y=x, x+y-2=0, 解得 x=1,y=1, 所以圆心坐标为(1,1),半径为2, 所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.] 6.解 方法一 (待定系数法) 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 则有 a2+b2=r2, (1-a)2+(1-b)2=r2, 2a+3b+1=0, 解得 a=4, b=-3, r=5. 即圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25. 方法二 (几何法) 由题意知OP 是圆的弦,其垂直平分线为x+y-1=0. ∵弦的垂直平分线过圆心, ∴ 2x+3y+1=0 , x+y-1=0, 得 x=4,y=-3, 即圆心坐标为(4,-3), 半径为r= 42+(-3)2=5. 即圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25. 【方法技巧】 求圆的标准方程的两种方法 (1)几何法:利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的 圆心和半径,从而得到圆的标准方程. (2)待定系数法:由三个独立条件得到三个方程,解方程组得到圆 的标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程. 7.(-2,-4) 5 [方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆, 则a2=a+2,故a=-1或2.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+ 8y+10=0,即x2+y2+x+2y+52=0 ,亦即 x+12 2 +(y+1)2= -54 ,不成立,故舍去;当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y- 5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心坐标为(-2,-4),半径 为5.] 8.解 (1)由表示圆的充要条件, 得(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0, 解得m<15 ,即实数m 的取值范围为 -∞,15 . (2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+ m)2+(y-1)2 =1-5m,故 圆 心 坐 标 为(-m,1),半 径 r= 1-5m. 【方法技巧】 圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义,若D2+E2-4F>0成立,则表示圆, 否则不表示圆. (2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解. 9.解 圆心C -D2 ,-E2 , ∵圆心在直线x+y-1=0上, ∴-D2- E 2-1=0 , 即D+E=-2.① 又∵半径长r= D 2+E2-12 2 = 2 , ∴D2+E2=20.② 由①②可得 D=2 , E=-4, 或 D=-4,E=2. 又∵圆心在第二象限, ∴-D2<0 ,即D>0.则 D=2 , E=-4. 故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0. 10.解 (1)由题意可知kED =kAB= 3-2 5-4=1 , 又F(1,1)为AB 的中点, ∴AB 所在直线的方程为y-1=1·(x-1),即x-y=0.① 同理CA 所在直线的方程为x-2y=0,② 联立①②,得A(0,0). 因此直线AB 的方程为x-y=0,点A 的坐标为(0,0). (2)由线段AB 的中点F(1,1)及 A(0,0)得B(2,2),由线段 AC 的中点E(4,2)及A(0,0)得C(8,4), 设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A,B, C的坐标代入圆的方程可得 F=0, 4+4+2D+2E+F=0, 64+16+8D+4E+F=0, 解方程组可得 D=-16, E=12, F=0, ∴圆的方程为x2+y2-16x+12y=0. 11.解 以直线AB 为x 轴,AB 的中垂线为y 轴 建立平面直角坐标系(如图), 则A(-2,0),B(2,0),设 C(x,y),BC 中 点D(x0,y0). ∴ 2+x 2 =x0 , 0+y 2 =y0. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ① ∵|AD|=3,∴(x0+2)2+y20=9. ② 将①代入②,整理得(x+6)2+y2=36. ∵点C不能在x 轴上,∴y≠0. 综上,点C 的 轨 迹 是 以(-6,0)为 圆 心,6为 半 径 的 圆,去 掉 (-12,0)和(0,0)两点. 轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y≠0). 12.解 (1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由题意得 22+62+2D+6E+F=0, 52+32+5D+3E+F=0, 22+02+2D+F=0, 解得 D=-4, E=-6, F=4, 则圆C的方程为x2+y2-4x-6y+4=0. (2)设 M(x,y),A(xA,yA), 则AM→=(x-xA,y-yA),MB→=(2-x,3-y), 由AM→=2MB→,得 x-xA=4-2x , y-yA=6-2y, 解得 xA=3x-4 , yA=3y-6, 由点A 在圆C 上,得(3x-4)2+(3y-6)2-4(3x-4)-6(3y- 6)+4=0, 即x2+y2-4x-6y+12=0, 故点 M 的轨迹方程为x2+y2-4x-6y+12=0. 【方法技巧】 求与圆有关的轨迹问题的方程 (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:根据圆、直线等定义列方程. (3)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系 式. 【探究·一举突破】 探究路径 解 (1)由已知得,圆心C(3,0),半径r=12|AB|=2 , ∴圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4. (2)x2+(y-4)2 表示点 M(0,4)与圆C 上任意一点P(x,y)的平 方,即|PM|2 的距离. 由(0-3)2+42>4知点 M(0,4)在圆C外部. 又|MC|= (3-0)2+(0-4)2=5, ∴|PM|max=5+2=7,|PM|min=5-2=3. ∴|PM|2max=49,|PM|2min=9. 即x2+(y-4)2 的最大值为49,最小值为9. 【综合·一练到底】 1.ABC [由题可知小正方形边长为2,则内切圆半径为1,可得第一 象限的小圆的圆心为(1,1),方程为(x-1)2+(y-1)2=1,A选项 正确;第二象限的小圆的圆心为(-1,1),方程为(x+1)2+(y- 1)2=1,B选项正确;第三象限的小圆的圆心为(-1,-1),方程为 (x+1)2+(y+1)2=1,C选项正确;第四象限的小圆的圆心为(1, -1),方程为(x-1)2+(y+1)2=1,没有选项符合;外接圆圆心为 (0,0),半径为2 2,方程为x2+y2=8,没有选项符合.] 2.D [依题意,以点C 为原点,直线CB,CD 分 别为x,y 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系,则 B(2, 0),D(0,2),如图,取点E 0,12 ,设 M'(x, y),当|M'D|=2|M'E|时, x2+(y-2)2= 2 x2+ y-12 2 ,化简整理得x2+y2=1, 即点 M'的轨迹是以C 为圆心,1为半径的圆,而点 M 在以C 为圆 心,1为半径的圆上,因此|MD|=2|ME|,显然点B在圆C:x2+y2= 1外,则2|MB|+|MD|=2|MB|+2|ME|=2(|MB|+|ME|)≥ 2|BE|,当且仅当 M 为线段BE与圆C的交点时取等号,而|BE|= 22+ 12 2 = 172 , 所以2|MB|+|MD|的最小值为2|BE|= 17.] 3.解 (1)依题意知,一个半圆弧的长为36πm 所以每条直道的长度为(400-2×36π)÷2=(200-36π)m. (2)如图,设两个半圆的圆心分别为A,B,AB 的中点为O, 以O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直 角坐标系, 则A(18π-100,0),B(100-18π,0), 所以圆A的方程为(x-18π+100)2+y2=1296, 圆B的方程为(x+18π-100)2+y2=1296, 所以该跑道内圈上半部分对应的函数解析式为 y= 1296-(x-18π+100)2,18π-136≤x≤18π-100, 36,18π-100<x<100-18π, 1296-(x+18π-100)2,100-18π≤x≤136-18π. 【选做·一飞冲天】 解 (1)设G(x,y),由中点坐标公式得E(2x,0),F(0,2y), ∴|EF|= (2x)2+(-2y)2=2, 整理得x2+y2=1, ∴线段EF 的中点G 的轨迹C 的方程为 x2+y2=1. (2)由已知得A1(-1,0),A2(1,0), 设P(x0,y0),x0≠±1,x20+y20=1, 直线PA1 的方程为y= y0 x0+1 (x+1), 令x=3,得y= 4y0 x0+1 ,则 M 3, 4y0 x0+1 , 同理,可求 N 3, 2y0 x0-1 ,MN 的中点坐标为 3,1-3x0y0 , |MN|= 4y0x0+1 - 2y0 x0-1 =2 3-x0 y0 , ∴以 MN 为直径的圆的方程为 (x-3)2+ y- 1-3x0 y0 2 = (3-x0)2 y20 . 令y=0,得(x-3)2=- 1-3x0 y0 2 + (3-x0)2 y20 = 8-8x20 y20 =8. ∴x=3±2 2, ∴该圆总过定点,定点坐标为(3+2 2,0)或(3-2 2,0). 第九周 直线与圆、圆与圆的位置关系 【考点·一应俱全】 1.解 方法一 将 直 线 mx-y-m-1=0代 入 圆 的 方 程 化 简 整 理得, (1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0. 则Δ=4m(3m+4). (1)当Δ>0,即m>0或m<-43 时,直线与圆相交,即直线与圆有 两个公共点. (2)当Δ=0,即m=0或m=-43 时,直线与圆相切,即直线与圆只 有一个公共点. (3)当Δ<0,即-43<m<0 时,直线与圆相离,即直线与圆没有公 共点. 方法二 已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4, 即圆心为C(2,1),半径r=2. 圆心C(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离 d=|2m-1-m-1| 1+m2 =|m-2| 1+m2 . (1)当d<2,即m>0或m<-43 时,直线与圆相交,即直线与圆有 两个公共点. (2)当d=2,即m=0或m=-43 时,直线与圆相切,即直线与圆只 有一个公共点. (3)当d>2,即-43<m<0 时,直线与圆相离,即直线与圆没有公 共点. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 91 — — 26 — 第七周 直线的交点坐标与距离公式 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第7题.该题主要考查坐标法的用法,利用数形结合坐标法求出数量间的等量关系, 考查考生运用运动变化的方法求解,从而提高学生的逻辑思维能力,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共60分) 考点一 求相交直线的交点坐标 1.(2025·河北石家庄·质量检测)设直线l1:x-2y+4=0与l2:x+y-2=0相交于点P, (1)求点P 的坐标; (2)求过点P 且与直线l3:3x-4y+5=0平行的直线; (3)求过点P 且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线. 考点二 直线过定点问题 2.直线mx-3y+2m+3=0,当m 变动时,所有直线都经过的定点坐标为 ( ) A.(-2,1) B.(1,2) C.(1,-2) D.(2,1) 3.已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1,求证:无论a为何值,直线总经过第一象限. 考点三 两点之间的距离公式 4.已知A(a,2),B(-2,-3),C(1,6)三点,且|AB|=|AC|,则实数a的值为 ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 5.(2025·山东泰安·质量检测)已知△ABC 的三个顶点A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断 △ABC的形状. 考点四 坐标法的应用 6.求证:三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 7.如图所示,已知BD 是△ABC 边AC 上的中线,建立适当的平面直角坐标系,证 明:|AB|2+|BC|2-12|AC| 2=2|BD|2. 考点五 点到直线的距离公式 8.原点到直线x+2y-5=0的距离d= . 9.已知点P(2,-1),求过点P 且与原点距离为2的直线l的方程. 考点六 两条平行直线间的距离 10.已知两条直线l1:2x-4y+7=0,l2:x-2y+5=0.求l1,l2 间的距离. — 25 — — 28 — 11.已知直线l1 过点A(0,1),l2 过点B(5,0),如果l1∥l2,且l1 与l2 之间的距离为5,求l1,l2 的 方程. 考点七 平行直线间的距离的最值问题 12.已知直线l1,l2 是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2 间的距离最大时, 直线l1 的方程是 . 13.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着A,B 旋转,如果两条平行 直线间的距离为d.求: (1)d的变化范围; (2)当d取最大值时,两条直线的方程. 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 对称问题 已知直线l:y=3x+3. 探究问题: 求:(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标; (2)直线y=x-2关于l的对称直线的方程; (3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程. 【综合·一练到底】(共25分) 1.(多选)如图,已知直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于点B,过A,B 两点 的抛物线交x 轴于另一点C(3,0).若该抛物线的对称轴上存在点Q 满足 △ABQ 是等腰三角形,则点Q 的坐标可以是 ( ) A.(1,- 6) B.(1,0) C.(1,1) D.(1,6) 2.点P(3,3)到直线l:xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最大值等于 . 3.(2025·暨南·质量检测)设直线l1:x-2y-1=0与l2:(3-m)x+my+m2-3m=0. (1)若l1∥l2,求l1,l2 之间的距离; (2)求直线l2 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大时的直线l2 的方程. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·天津滨海新·阶段练习)已知△ABC的重心G(1,1),B,C在直线x- y-2=0上运动,且BC=3 2. (1)求S△ABC; (2)B 点是否存在一个位置,使得△ABC的面积被x 轴平分,若存在求出B 点 坐标;若不存在,说明理由. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 27 —