精品解析：天津市第五十四中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

天津市第五十四中学高一第二学期阶段性质检测 数学试题 一、选择题(每题3分，共30分) 1. 设有直线，，和平面，，下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间线面的平行与垂直的判定和性质进行逐项判断. 【详解】对A：平行于同一个平面的两条直线的位置关系可以相交，异面，平行，故A错； 对B：分别与两个平行平面平行的直线的位置关系可以相交，异面，平行，故B错； 对C：两个平面互相垂直，其中一个平面的任一直线和另一平面的位置关系可以相交，平行，故C错； 对D：两个平面互相垂直，其中一个平面的垂线与另一个平面平行或在另一平面内，又明确知道直线不在另一平面内，所以直线和另一平面平行，故D正确. 故选：D 2. 一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得的截面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对角线组成的面称为对角面，易得正方体的对角面是一个矩形，而球截面在矩形正中间，与矩形的两条边相切，据此即可判断 【详解】由组合体的结构特征可知球与正方体的各面相切，而与各棱相离，所以截面图形中的圆与上下底面的对角线相切，与两侧棱相离，只有B符合 故选：B 3. 水平放置的图形直观图如图所示，其中，，那么原图形是一个（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 三边互不相等的三角形 D. 三边中只有两边相等的等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则还原平面图求解即可. 【详解】因为直观图中，，， 所以原如图，，， 所以，即是等边三角形. 故选：A 4. 已知某圆柱的表面积是其下底面面积的4倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆柱的表面积公式计算即可求解． 【详解】设圆柱的底面半径为，母线为，则， 所以，所以， 故选：B． 5. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间内的影视作品数量. 【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间内的影视作品数量为. 故选：D. 6. 12名跳高运动员参加一项校际比赛，成绩分别为1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.59，1.60，1.67，1.74，1.78，1.55，1.75（单位：m），则比赛成绩的75%分位数是（ ） A. 1.72 B. 1.73 C. 1.74 D. 1.75 【答案】B 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，在根据百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】由题意，将12名学生的成绩，从小到大排序：1.55, 1.59，1.60，1.65，1.67，1.68，1.69，1.70， 1.72， 1.74，1.758，1.78，又由，所以这组数据的第75%分位数是. 故选：B. 7. 《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线夹角的定义，在图中明确夹角，根据正四棱台的几何性质以及体积公式，求得夹角所在的直角三角形的边长，结合锐角三角函数的定义，可得答案. 【详解】连接，过作平面，其中垂足为，连接，如下图： 在正四棱台中，易知，， 则，所以， 因为平面，平面，所以，， 易知，所以， 因为，，所以，则， 故， 因为分别为的中点，所以， 则异面直线与的夹角为， 因为平面，平面，所以， 在正方形中，，同理可得， 在等腰梯形中，易知， 在正四棱台中，上下底面面积分别为，， 正四棱台的体积， 则，解得 在中，，. 故选：D. 8. 已知某圆台的体积为，其轴截面为梯形，，，则在该圆台的侧面上，从点到的最短路径的长度为（ ） A B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由体积公式与已知数据待定圆台母线与高，再利用侧面展开图中距离求解最短路径长即可. 【详解】由圆台轴截面为等腰梯形，故对边不是母线，分别是下、上底面圆的直径. 故由，得圆台下底面的半径为，上底面的半径为， 设圆台的高为，由圆台的体积为， 得，解得. 在梯形中，则，即母线长为. 如图，由圆台性质，延长交于点， 由与相似，得，解得. 设该圆台的侧面展开图的圆心角为， 则，所以， 连结，则从点到的最短路径为线段， 又在中，，， 由余弦定理得 所以. 验证知，由，得，， 此时，恰与扇形弧所在圆相切，满足题意. 故选：B. 9. 已知三棱锥，面面，，，，则三棱锥外接球的表面积（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，取的中点，连接、，推导出平面，可知球心在直线上，然后在中由勾股定理可求得外接球的半径，则外接球的表面积可求. 【详解】如下图所示，取的中点，连接、， ，为的中点，， 平面平面，交线，平面， 平面，,为外接圆圆心， 则球心在直线上，设三棱锥外接球的半径为， 则，，则，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 因此，三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解答的关键在于找出球心的位置，并通过列等式计算球的半径，考查计算能力，属于中等题. 10. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先取正方形的中心，连接，由知为异面直线与所成的角，再在中求的正弦即可. 【详解】连，相交于点，连、， 因为为的中点，为的中点，有，可得或其补角为异面直线与所成的角， 不妨设正方形中，，则，由平面，可得， 则，， 因为，为的中点，所以，． 故选：C. 【点睛】方法点睛： 求空间角的常用方法： （1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 二、填空题(每题4分，共24分) 11. 某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为______. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：设应抽取的男生人数为为，所以有，应抽取25人 考点：分层抽样 12. 如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意分别求得底面积和高，然后求解其体积即可. 【详解】 如图所示，连结，交于点，很明显平面， 则是四棱锥的高，且， ， 结合四棱锥体积公式可得其体积为 ， 故答案为. 点睛：本题主要考查棱锥体积的计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 13. 已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的表面积公式计算得解. 【详解】依题意，该正六棱柱的两底面面积和为，侧面积为， 所以该正六棱柱表面积为. 故答案为： 14. 已知m，n为直线，α，β为平面，给出下列命题： ①；②； ③；④. 其中正确的是______.(写出所有正确命题的序号) 【答案】②③ 【解析】 【分析】对于①②③：根据线面垂直的性质分析判断；对于④：根据面面平行的概念及性质分析判断. 【详解】对①，若，，则，或，故①错误； 对②，若，，由直线与平面垂直的性质定理可得，故②正确； 对③，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行知，若，，则，故③正确； 对④，若，，，则或m与n异面，故④错误． 故答案为：②③ 15. 为了解人们对环保知识的认知情况，某调查机构对A地区随机选取n个居民进行了环保知识问卷调查(满分为100分)，并根据问卷成绩(不低于60分记为及格)绘制成如图所示的频率分布直方图(分为，，，，，六组)，若问卷成绩最后三组频数之和为360，则下列结论正确的是______. ① ②问卷成绩在内的频率为0.3 ③ ④以样本估计总体，若对地区5000人进行问卷调查，则约有1250人不及格 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的小矩形的面积之和为1求出的值，进而求得n的值判断选项①③；由图求出问卷成绩在的小矩形的面积，得到对应的频率判断②；求出不及格的频率即可求解判断④. 【详解】由，得， ，①错误，③正确； 成绩在内的频率为，②正确. 若对A地区5000人进行问卷调查，则约有人不及格，④正确. 故答案为：②③④ 16. 如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形，如果三棱柱的体积为圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据正弦定理求出正三角形边长与圆柱底面半径的关系，然后根据三棱柱体积求出圆柱底面半径，进而根据圆柱侧面积公式求出侧面积的值. 【详解】设底面正三角形的边长为，则正三角形的高为. 由于直三棱柱的底面是正三角形且在圆柱底面内，可知正三角形的外接圆半径为. 所以根据正弦定理，所以. 易知圆柱母线， 所以三棱柱的体积为. 所以. 那么圆柱的侧面积为. 故答案为：. 三、解答题(共46分) 17. 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图； （1）求高一参赛学生的成绩的众数、中位数； （2）求高一参赛学生的平均成绩． 【答案】（1）众数：65；中位数：65；（2）67. 【解析】 【分析】（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，即可得出众数，利用中位数的两边频率相等，即可求得中位数； （2）利用各小组底边的中点值乘以本组对应的频率求和，即可求得成绩的平均值． 【详解】（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值为65，所以众数为65， 又因为第一个小矩形的面积为0.3， 第二个小矩形的面积是0.4， ，所以中位数在第二组， 设中位数为，则，解得：， 所以中位数为65. （2）依题意，利用平均数的计算公式， 可得平均成绩为： ， 所以参赛学生的平均成绩为67分． 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的众数、中位数和平均数的计算方法是解答的关键，着重考查了识图与运算能力，属于基础题． 18. 如图，在四棱锥中，，，，平面底面，E和F分别是和的中点，求证： （1）平面； （2）平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明平面；(2)先根据平面与平面垂直的性质定理证明平面，再根据线面垂直的判定定理证明平面． 【小问1详解】 因为E是的中点，， 所以， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为平面底面，平面底面， ，底面， 所以平面，又， 所以平面，平面， 所以，，， 因为，所以， 因为E和F分别是和的中点，所以，又， 所以，，平面， 所以平面． 19. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，E，F，G分别是棱，，DA的中点．求证： （1）平面平面； （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质及线面平行的判定定理得平面，又平面，最后利用面面平行的判定定理证明即可； （2）先根据线面垂直的判定定理得平面，再根据线面垂直的性质定理证明即可. 【小问1详解】 ，F分别是和的中点，且． 四边形是平行四边形，． 又平面，平面，平面． 是中位线，． 又平面，平面，平面． 又，平面平面． 【小问2详解】 连接BD，，底面是正方形，． ，，平面． 平面，． 20. 如图，在三棱锥中，底面ABC，，，点D为线段AC的中点，点E为线段PC上一点． （1）求证：平面平面PAC； （2）当平面BDE时，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）线面垂直的性质有，等腰三角形性质有，再根据线面垂直、面面垂直的判定即可证结论. （2）由线面平行性质有，进而可得E为PC的中点，又P与A到面BDE的距离相等，再由即可求体积. 【小问1详解】 因为底面ABC，底面ABC，所以， 因为，且D为线段AC的中点，所以， 又，面PAC，所以平面PAC， 又面BDE，所以面面PAC. 【小问2详解】 因为面BDE，面PAC，面面，所以， 因为D为AC的中点，所以E为PC的中点， 由题意知：P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等， 所以 所以三棱锥的体积为. 21. 如图，在四棱锥中， 为等边三角形，平面平面，，，，， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为.若存在，求出值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）首先证明为直线与平面所成的角，再由线面角的定义进行求解即可； （3）取中点，利用线面垂直的性质结合即可确定为二面角的平面角，最后结合余弦定理求解即可. 【小问1详解】 取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 又平面，所以平面， 又平面，故， 又已知，，又平面， 所以平面. 【小问2详解】 连接， 由（1）中平面， 可知为直线与平面所成的角， 因为为等边三角形，且为的中点， 所以， 又，在中，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 取中点，连接，， 在中，， 因为平面，又平面， 所以，在中，， 所以，所以，又点为中点， 所以，同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在中，， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理可得：， 即：， 化简得到：， 所以或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为， 此时. 【点睛】关键点点睛：本题第3小题的解决关键是，利用三线合一分析得为二面角的平面角，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第五十四中学高一第二学期阶段性质检测 数学试题 一、选择题(每题3分，共30分) 1. 设有直线，，和平面，，下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，则 D. 若，，，则 2. 一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得的截面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 水平放置的图形直观图如图所示，其中，，那么原图形是一个（ ） A. 等边三角形 B 直角三角形 C. 三边互不相等的三角形 D. 三边中只有两边相等的等腰三角形 4. 已知某圆柱的表面积是其下底面面积的4倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为（ ） A. B. C. D. 5. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（ ） A. B. C. D. 6. 12名跳高运动员参加一项校际比赛，成绩分别为1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.59，1.60，1.67，1.74，1.78，1.55，1.75（单位：m），则比赛成绩的75%分位数是（ ） A. 1.72 B. 1.73 C. 1.74 D. 1.75 7. 《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知某圆台的体积为，其轴截面为梯形，，，则在该圆台的侧面上，从点到的最短路径的长度为（ ） A. B. C. 6 D. 9. 已知三棱锥，面面，，，，则三棱锥外接球表面积（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(每题4分，共24分) 11. 某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为______. 12. 如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________． 13. 已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为______. 14. 已知m，n为直线，α，β为平面，给出下列命题： ①；②； ③；④. 其中正确是______.(写出所有正确命题的序号) 15. 为了解人们对环保知识的认知情况，某调查机构对A地区随机选取n个居民进行了环保知识问卷调查(满分为100分)，并根据问卷成绩(不低于60分记为及格)绘制成如图所示的频率分布直方图(分为，，，，，六组)，若问卷成绩最后三组频数之和为360，则下列结论正确的是______. ① ②问卷成绩在内的频率为0.3 ③ ④以样本估计总体，若对地区5000人进行问卷调查，则约有1250人不及格 16. 如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱底面在圆柱底面内，且底面是正三角形，如果三棱柱的体积为圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为______. 三、解答题(共46分) 17. 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图； （1）求高一参赛学生的成绩的众数、中位数； （2）求高一参赛学生的平均成绩． 18. 如图，在四棱锥中，，，，平面底面，E和F分别是和的中点，求证： （1）平面； （2）平面． 19. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，E，F，G分别是棱，，DA的中点．求证： （1）平面平面； （2）． 20. 如图，在三棱锥中，底面ABC，，，点D为线段AC中点，点E为线段PC上一点． （1）求证：平面平面PAC； （2）当平面BDE时，求三棱锥的体积． 21. 如图，在四棱锥中， 为等边三角形，平面平面，，，，， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为.若存在，求出值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $