专题21.7 公式法和因式分解法（专项练习）（夯实基础篇）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题21.7 公式法和因式分解法（专项练习）（夯实基础篇） 【试题信息】本专项练习分选择题10题，填空题8题，解答题6题，满分120分. 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（2025·福建厦门·模拟预测）一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）若矩形的两邻边边长分别为一元二次方程的两个实数根，则矩形的对角线长为（   ） A． B．4 C．5 D．10 4．（24-25八年级下·北京·期中）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B．6 C．或 D．或 6．（2023·河南信阳·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“美妙方程”．已知是“美妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（2025·四川绵阳·三模）若关于的方程与有一个解相同，则的值为（    ） A．6 B． C．6或 D．或2 8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点，，，，且，则m的值（   ） A． B． C．或 D．或 9．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）若关于x的一元二次方程的一个根为0，则一次函数的图像经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在一个自动化的物流分拣系统中，有这样一个程序来处理货物的分类信息．当输入一元二次方程的根x（这个根代表着货物的某种特征编码）时，输出结果y（决定货物的分拣方向）的值为（   ） A．或 B． C．3 D．或3 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24九年级上·四川南充·期中）方程的解是 ． 12．（2025·湖南益阳·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 13．（24-25八年级下·上海·阶段练习）方程的解为 ． 14．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）如果，那么 ． 15．（2025·陕西西安·模拟预测）定义新运算：对于任意实数a，b，c，有．如．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 16．（24-25八年级下·浙江温州·期中）刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如，把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数，则的值是 ． 17．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）科学研究表明，当雕塑的上部与下部的高度比，等于下部与全部的高度比时，雕塑看起来最美，我们把这个比叫做黄金分割数，如何求黄金分割数．把上面问题一般化，如图，线段的长为1，线段上的点C满足关系式，则线段的长度为 ．（用含有根号的式子表示） 18．（2024·山东淄博·一模）如图，小明同学在观察图案中“◎”“★”的排列方式时，通过研究每个图案中它们数量的规律，发现第n个图案中“★”的个数是“◎”的个数的2倍，则n的值为     三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级下·山东泰安·期中）解方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 20．（本小题满分8分）（2025·北京昌平·二模）已知关于的一元二次方程有实根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求该方程的两个根． 21．（本小题满分10分）（2025·广东清远·二模）已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简分式，并求出其取值范围． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知关于的一元二次方程． （1）证明：当取不为0的任何值时，方程总有实数根； （2）为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·山东临沂·期中）如图所示，它是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，…… （1）第一行有1个点，前两行点数和是3，前三行点数和是6，请问前四行的点数和是 ，前行的点数和是 ； （2）探究发现，120是前 行的点数和； （3）三角点阵中前行的点数和能是600吗？如果能请求出；如果不能，试用一元二次方程说明理由． 24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·河北保定·期中）阅读材料：各类方程的解法解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式，求解二元一次方程组；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，所以解分式方程必须检验，各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想—转化用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）问题：方程的解是，__________，__________；（请写出过程） （2）拓展：用“转化”思想求方程的解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.7 公式法和因式分解法（专项练习）（夯实基础篇） 【试题信息】本专项练习分选择题10题，填空题8题，解答题6题，满分120分. 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（2025·福建厦门·模拟预测）一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法及步骤是解题的关键．根据因式分解法法求解即可． 解： ， 一元二次方程的根为：，， 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．根据公式法解一元二次方程即可求解． 解：A、，则，故该选项不正确，不符合题意； B、，则，故该选项不正确，不符合题意； C、，则，故该选项不正确，不符合题意； D、，则，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）若矩形的两邻边边长分别为一元二次方程的两个实数根，则矩形的对角线长为（   ） A． B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解法及矩形的性质。首先通过解方程求得方程的两个根，即可得出矩形的两边长，然后利用勾股定理即可求得对角线的长. 解：方程， 即， 解得：=3，=4， ∴矩形的两邻边边长分别为3和4， 由勾股定理得 矩形ABCD的对角线长是：=5． 故选：C． 4．（24-25八年级下·北京·期中）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，则或，据此求解即可． 解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是，， ∴方程的解是， ∴或， 解得， ∴程的解是， 故选：B． 5．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B．6 C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出的值即可． 解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 即， 开方得：或， 解得：或． 故选：D． 6．（2023·河南信阳·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“美妙方程”．已知是“美妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，理解“美妙方程”的定义是解答本题的关键．由“美妙方程”的定义得，根据方程有两个相等的实数根得，把代入即可求解． 解：∵是“美妙方程”， ∴， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得， ∴． 故选C． 7．（2025·四川绵阳·三模）若关于的方程与有一个解相同，则的值为（    ） A．6 B． C．6或 D．或2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，分式方程的解法，解题关键能正确求出方程的解． 先求出一元二次方程的解，再将解代入分式方程中，转化为关于待求字母参数的方程求解． 解：方程，解得：，， 当时，将代入，得，解得：； 当时，此时分母，分式方程无意义，所以不是方程的解． 故选： B． 8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点，，，，且，则m的值（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，解一元二次方程，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 解：，，， ∴， ∵， ∴ 解得：或 故选：C． 9．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）若关于x的一元二次方程的一个根为0，则一次函数的图像经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解及其定义、利用因式分解法解一元二次方程、以及一次函数的性质等知识点． 先根据一元二次方程的定义可得，再根据方程的根的定义可得一个关于m的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程求出m的值，代入一次函数解析式，再根据一次函数的性质判断即可． 解：由一元二次方程的定义得：， 解得， 关于x的一元二次方程有一个根为0， ∴， 解得，（与不符，舍去）， ∴， ∵， ∴的图像经过第一、二、四象限． 故选C． 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在一个自动化的物流分拣系统中，有这样一个程序来处理货物的分类信息．当输入一元二次方程的根x（这个根代表着货物的某种特征编码）时，输出结果y（决定货物的分拣方向）的值为（   ） A．或 B． C．3 D．或3 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先利用因式分解法求出一元二次方程的两个解，再根据流程图代值计算即可得到答案． 解：∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∴或， 故选：A． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24九年级上·四川南充·期中）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解． 解：， 则， ∴， ∴或， 解得：， 故答案为：． 12．（2025·湖南益阳·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个相等的实数根，得到，列出方程进行求解即可． 解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 13．（24-25八年级下·上海·阶段练习）方程的解为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了二次根式有意的条件，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握利用因式分解求解方程． 解：， 或， 解得：， 故答案为：3或． 14．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）如果，那么 ． 【答案】/0.5 【分析】此题考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则． 令，则原方程可化为，然后展开利用因式分解法求解即可． 解：令， 则原方程可化为， 整理得，， 或 解得或m， ∴或（无意义，舍去）， 故答案为：． 15．（2025·陕西西安·模拟预测）定义新运算：对于任意实数a，b，c，有．如．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是：根据题意正确列式．根据题意得到，再由方程有两个不相等的实数根得到，即可得到答案． 解：∵，， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·浙江温州·期中）刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如，把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数，则的值是 ． 【答案】0或2 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解新定义的运算方法是解题的关键． 按照相应的运算方法与顺序，让得到的含的一元二次方程的结果为，列式求值即可． 解：由题意得：， ， ， 解得：或． 故答案为：0或2 ． 17．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）科学研究表明，当雕塑的上部与下部的高度比，等于下部与全部的高度比时，雕塑看起来最美，我们把这个比叫做黄金分割数，如何求黄金分割数．把上面问题一般化，如图，线段的长为1，线段上的点C满足关系式，则线段的长度为 ．（用含有根号的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据，结合线段的长为1，，进行求解即可． 解：∵，，， ∴， 解得：或（舍去）； 故答案为：． 18．（2024·山东淄博·一模）如图，小明同学在观察图案中“◎”“★”的排列方式时，通过研究每个图案中它们数量的规律，发现第n个图案中“★”的个数是“◎”的个数的2倍，则n的值为     【答案】11 【分析】本题考查的是图形类的规律探究，一元二次方程的解法，先归纳得到第n个图案中“◎”的个数为，第n个图案中“★”的个数为，再建立方程求解即可． 解：∵图案中“◎”的个数依次为：，，， ∴第n个图案中“◎”的个数为， ∵图案中“★”的个数依次为：，，，， ∴第n个图案中“★”的个数为， ∴由题意得：， 解得：（不符合题意的根舍去）， 故答案为：； 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级下·山东泰安·期中）解方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用配方法解方程即可． （2）利用公式法解方程即可． 解：（1）解：， ， （2）解： 整理得： 20．（本小题满分8分）（2025·北京昌平·二模）已知关于的一元二次方程有实根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求该方程的两个根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程． （1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可； （2）由（1）求出k，代入原方程，解方程即可． 解：（1）解：一元二次方程有实根， ， 即， ， ； （2）解：取最大整数， ， 原方程为， ∴， 解得：． 21．（本小题满分10分）（2025·广东清远·二模）已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简分式，并求出其取值范围． 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，分式化简，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合关于的方程有两个不相等的实数根，得出，进行化简计算，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，结合（1）的结论进行作答即可． 解：（1）解： 关于的方程有两个不等的实数根， ， 解得． （2）解：原式． 由（1）得． ， 即． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知关于的一元二次方程． （1）证明：当取不为0的任何值时，方程总有实数根； （2）为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据关于的一元二次方程，则，且，即可作答． （2）运用因式分解法得或，结合方程有两个不相等的正整数根，为整数，即可作答． 解：（1）解：∵关于的一元二次方程， ∴，且 当取不为0的任何值时，总有， 所以方程总有实数根； （2）解：， ， 或， 由题意方程有两个不相等的正整数根， 即是正整数，且为整数，， ∴， ∴． 23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·山东临沂·期中）如图所示，它是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，…… （1）第一行有1个点，前两行点数和是3，前三行点数和是6，请问前四行的点数和是 ，前行的点数和是 ； （2）探究发现，120是前 行的点数和； （3）三角点阵中前行的点数和能是600吗？如果能请求出；如果不能，试用一元二次方程说明理由． 【答案】（1）10；；（2）15；（3）三角形点阵中前行的点数和不能是600，理由见分析 【分析】本题考查了与实数相关的规律题，一元二次方程，用代数式表示数；通过所给图形列出正确代数式是解决问题的关键． （1）由于第一行有个点，第二行有个点…第行有个点， 则前四行共有个点， 前行共有＝个点． （2）令=，的值即为所求． （3）令，整理为， 通过判别式判断值是否为整数，进而判断点数能不能为． 解：（1）由于第一行有个点，第二行有个点…第行有个点， 则前四行共有 个点， 前行共有个点， 可以把第一行和最后一行点加起来是， 第二行和倒数第二行加起来是， 以此类推，一共有行， 所以前行共有=个点． 故前四行点数和为；前行点数和为． （2）根据题意可得：， 整理得， 求得． （3）根据题意可得：， 整理得，． ， 而，即． 不是一个完全平方数，即方程的两根均为无理数． 三角形点阵中前行的点数和不能是600． 24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·河北保定·期中）阅读材料：各类方程的解法解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式，求解二元一次方程组；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，所以解分式方程必须检验，各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想—转化用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）问题：方程的解是，__________，__________；（请写出过程） （2）拓展：用“转化”思想求方程的解． 【答案】（1）1，；（2）． 【分析】本题考查解一元二次方程、含二次根式的方程； （1）解一元二次方程即可得到答案； （2）两边同时平方，将原方程转化为一元二次方程，求出解后再代入原式检验即可． 解：（1）解：方程，整理得， ∴，， 因式分解，得：， 解得：，； 故答案为：1，； （2）解：， 两边平方，得：， 移项，得：， 因式分解，得：， 解得：，， 经检验，为增根，应舍去． 原方程的解为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$