专题21.6 公式法和因式分解法（4大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解）基础知识专项突破讲与练-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

专题21.6 公式法和因式分解法（4大知识点9类题型） （知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程； 2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程； 3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． 二、【知识梳理】 【知识点1】一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 【知识点2】一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：. ①当，原方程有两个不相等的实数根; ②当，原方程有两个相等的实数根; ③当，原方程没有实数根. 【知识点3】用公式法解一元二次方程的步骤 　用公式法解关于的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般式； ②确定、、的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实数根. 【知识点4】因式分解法解一元二次方程 1. 用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 三、【题型目录】 【夯实基础】 【题型一】根据判别式判断一元二次方程根的情况........................................2 【题型二】根据元二次方程根的情况求参数..............................................4 【题型三】公式法解一元二次方程......................................................5 【题型四】因式分解法解一元二次方程..................................................7 【题型五】换元法解一元二次方程......................................................9 【拓展延伸】 【题型六】选择合适的方法解一元二次方程.............................................11 【题型七】利用根的判别式进行证明与求参数取值范围...................................13 【题型八】解一元二次方程与几何综合.................................................16 【题型九】解一元二次方程与函数综合.................................................20 四、【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前带“★”难度系数0.85，“★★”难度系数0.65，“★★★”难度系数0.4. 【夯实基础】 【题型一】根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★【例题1】（2025·河北唐山·二模）已知整式． （1）化简； （2）若，利用判别式判断此方程实数根的情况． 【答案】（1）；（2）此方程有两个不相等的实数根． 【分析】本题考查的是整式的加减运算，根据根的判别式判断方程根的情况； （1）去括号，合并同类项即可； （2）由题意可得，再利用根的判别式判断即可． 解：（1）解：∵， ∴． （2）解：当时，． ； 此方程有两个不相等的实数根． ★【变式1】（2025·河南平顶山·模拟预测）已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，数轴，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 由数轴得：，，先计算根的判别式即可． 解：由数轴得：，， ． ． 该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． ★【变式2】（2025·河南焦作·二模）定义运算：，例如，则不解方程，判断方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不等实数根 【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，理解新定义的运算，得出方程是解题的关键． 先利用新定义得到，再把方程化为一般式，进而判断判别式的符号，求解即可． 解：∵， ， 即， ∵ ∴ ∴方程有两个不等实数根， 故答案为：有两个不等实数根． 【题型二】根据元二次方程根的情况求参数 ★【例题2】（2025·北京·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若为正整数，且方程的根均为整数，求此时的值． 【答案】（1）；（2）或5 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法等知识，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围； （2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值． 解：（1）解：由题意，得， 解得； ∴实数的取值范围是； （2）解：∵k为正整数，且方程的根均为整数， ∴是平方数 ∴是平方数 ∴或5 当时，方程 解得，都是整数，符合题意； 当时，方程 解得，都是整数，符合题意； 综上所述，或5． ★【变式1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B．，且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由一元二次方程解的情况求参数，根据一元二次方程定义得到，再由关于的一元二次方程无实数根，得到，解不等式即可得到答案．熟记一元二次方程定义及一元二次方程判别式与根的情况是解决问题的关键． 解：关于的一元二次方程无实数根， ，， 解得， 故选：A． ★【变式2】（2025·广东广州·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则代数式化简的结果是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及二次根式的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式及二次根式的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据二次根式的性质进行化简即可． 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 【题型三】公式法解一元二次方程 ★【例题3】（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列各方程： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属基础题． （1）把代入求根公式计算即可； （2）把代入求根公式计算即可； （3）先把方程化为一般形式得：，再把代入求根公式计算即可． 解：（1）解： ． （2）解： ． （3）解：整理，得， ． ★【变式1】（22-23九年级上·辽宁辽阳·期中）若方程是一元二次方程，则方程的根是（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，列出关于的式子，解出的值，代入原方程，求解一元二次方程即可． 解：方程是一元二次方程， , 解得：， 即， ， ， 方程有两个不相等的实数根 ； 故选：B． 【点拨】此题考查了一元二次方程的概念与解法，熟练掌握一元二次方程的概念与用公式法、因式分解法或配方法求解一元二次方程是解题的关键． ★【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 本题考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式确定出方程即可． 解：根据题意得：， 则该一元二次方程是， 故答案为：． 【题型四】因式分解法解一元二次方程 ★【例题4】（23-24九年级上·四川南充·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）将原方程整理为，然后利用因式分解法求解即可； （2）将原方程整理为，然后利用因式分解法求解即可． 解：（1）解：， ， ∴， ∴； （2）解：， ， ∴， ∴． ★【变式1】（2025·广东茂名·模拟预测）一元二次方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可得到答案． 解：∵， ∴ ∴， ∴或， 解得， 故选C． ★【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知x是实数，且满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了换元法解一元二次方程，先设，再把原方程变形为，再根据因式分解法求出的值，即可得出的值．在解题时要注意当时，此方程无解，解题的关键是利用换元法将原方程变形． 解：设， 则原方程可变形为： ， ， 或 解得，， 则，， 当时，，故该方程无实数根， 当时，，故该方程有两根实数根， 所以， 故答案为：3． 【题型五】换元法解一元二次方程 ★【例题5】（24-25八年级下·重庆·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）设，则原方程化为，得到或，当时，解得；当时，方程无实数解；即可得到答案； （2）整理方程得到，用因式分解法解方程即可． 解：（1）解： 设，则原方程化为， 解得或， 当时，解得； 当时，方程无实数解； ； （2）解： 或 解得：． ★【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元思想是解题的关键．根据题意可知，用替换了原方程中的，结合换元思想即可解决问题． 解：由题知， 将一元二次方程中的“”用“”替换， 可得方程， 因为一元二次方程的两根分别为，1， 所以或1， 解得或2， 即方程的两根分别为，． 故选：D． ★【变式2】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查利用换元法解一元二次方程，解题关键是要根据方程的特点灵活选用合适的方法．设，把原方程变形并求得的值，结合是非负数，即可得出答案． 解：设，则原方程为， 整理得， ∴， 解得， ∵是非负数， ∴． 故答案为：2． 【拓展延伸】 【题型六】选择合适的方法解一元二次方程 ★★【例题6】（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）按要求解下列方程： （1）（用适当方法）； （2）（公式法）； （3）（用适当方法）； （4）（用适当方法） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可； （4）利用直接开平方的方法解方程即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； （4）解：∵， ∴， 解得． ★★【变式1】（23-24九年级上·四川广安·阶段练习）用适当方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查采用适当的方法解一元二次方程， （1）采用公式法求解一元二次方程即可； （2）利用平方差公式和因式分解法求解即可． 解：（1）解：， ， ， ； （2）解：原式整理得：， ， ． ★★【变式2】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）选择适当方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2），；（3），；（4）， 【分析】此题考查了解一元二次方程， （1）利用开平方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 解：（1）解：， ∴， 则， 解得； （2）， 由题意得，， 则， ∴， 即，； （3）， 由题意得，， 则， ∴， 即，； （4）， ∴， 则或， 解得，． 【题型七】利用根的判别式进行证明与求参数取值范围 ★★【例题7】（24-25八年级下·北京·期中）关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程只有一个根小于0，求的取值范围． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证； （2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 解：（1）证明：关于x的一元二次方程， ∴ ∵ ， ∴此方程总有两个实数根； （2）∵ ∵ ∴ 解得：， ∵方程只有一个根小于0， ∴， 解得：． ★★【变式1】（24-25八年级下·浙江·期中）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的范围； （2）设方程的两个实数根是，，若，试求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解， （1）根据方程的根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围；（2）根据一元二次方程的解，可得出，，将其代入，可得出，再结合（1）中的取值范围即可得到的取值范围； 解题的关键：（1）利用根的判别式可确定的取值范围；（2）利用一元二次方程的解得出，． 解：（1）解：∵关于的一元二次方程即有两个实数根， ∴， ∴解得：， ∴的范围是； （2）∵，是方程的两个实数根 ∴，， ∴ ∵， ∴． ★★【变式2】（24-25八年级下·重庆·期末）关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及方程根的应用．解题的关键是利用判别式确定参数的取值范围，并通过代入相同根求解方程中的未知参数，同时要注意一元二次方程二次项系数不为零的条件． （1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，，分别代入一元二次方程求出对应的m，同时满足即可． 解：（1）解：x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵； ∴k的最大整数为2， 方程则为， 解得，， ∵与方程有一个相同的根， ∴当时，， 解得； 当时，， 解得， 而， ∴m的值为． 【题型八】解一元二次方程与几何综合 ★★【例题8】（2025八年级下·全国·专题练习）已知E，F分别是正方形的边上的点，若．那么的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长至点G使，连接．证明．则．证明．则．设，得到，由勾股定理得到．令，得到．根据存在得到．即可求出． 解：如图，延长至点G使，连接． ∵四边形是正方形， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴． ∴． 设， ∴． 在中，， ∴． ∴． 令， ∴． ∴． ∴． ∵存在， ∴a有实数解． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 【点拨】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程根的判别式等知识，构造全等三角形是解题的关键． ★★【变式1】（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在中，是锐角，，，，，连结．若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】设，通过作辅助线构造平行四边形，可用x表示出，最后分别在和中利用勾股定理得到用x表示的式子，建立方程后，求出x，进而即可求出的长． 解：设，则在中有， 如图，延长至点G使，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵平行四边形中， ∴三点共线， ∴． ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍）， ∴， ∴，负值舍去． 故答案为：4． 【点拨】本题综合考查平行四边形的性质与判定、线段的垂直平分线的性质与判定、勾股定理、一元二次方程的应用等内容，要求学生能够通过作辅助线构造平行四边形或等腰三角形，能利用勾股定理建立方程求出线段的长，本题综合性较强，运用了数形结合思想，考查了学生的综合分析能力． ★★【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分为菱形时，则为（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了菱形的性质和正方形的性质、勾股定理等知识，得出是解题关键．利用菱形的性质结合正方形的性质得出，进而利用勾股定理得出答案． 解：如图所示： ∵四边形是菱形， ， ∵边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移， ∴， ∴，则， ∵平行于， ∴， ∴， ∴设，则， 在中，， 解得：（不合题意舍去）， ∴， ∴， 故选：D． 【题型九】解一元二次方程与函数综合 ★★【例题9】（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，一次函数的图象与坐标轴相交于A、B两点，点C的坐标为，D是线段上一点，直线过点C和点D． （1）若，求直线的函数关系式，并求出的面积； （2）当是以为底边的等腰三角形时，求直线的函数关系式． 【答案】（1），3；（2） 【分析】（1）将代入中，求出：，再分别求出点A和点B的坐标，再利用三角形面积公式计算； （2）分析得出，设，求出和，得出方程，解之可得点D坐标，再利用待定系数法求解即可． 解：（1）解：当时，：， 将代入中，得， 解得：， ∴：， 在中， 令，则，即， 令，则，即， 联立：，解得：， ∴， ∴； （2）∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∵直线过点D， 设， ∵，， ∴， 解得：（舍）或， ∴， 将C，D代入中， 得：，解得：， ∴直线的函数关系式为． 【点拨】本题是一次函数综合题，考查了一次函数解析式，三角形面积，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是注意根据图象进行分析，将点的坐标与线段长度联系起来． ★★【变式1】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点，重合），过点分别作和的垂线，垂足为，．点的坐标为（   ）时，矩形的面积为2． A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及解一元二次方程，利用一次函数图象上点的坐标特征及矩形的面积，找出关于的一元二次方程是解题的关键．由点在线段上可设点的坐标为，进而可得出，，结合矩形的面积为2，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再将其代入点的坐标中即可求出结论． 解：点在线段上不与点，重合，且直线的解析式为， 设点的坐标为， ，． 矩形的面积为2， ， ∴， ，， 点的坐标为或． 故选：D． ★★【变式2】（2025·河南商丘·模拟预测）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上．点在直线上，其中点在轴上，点在轴上，且．将正方形绕点旋转，当点的对应点恰好落在直线上时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】过点D作轴于点G，过点C作轴于点H，证明，同理可证，，后利用待定系数法，两点间距离公式，旋转的性质，解答即可． 解：如图，过点D作轴于点G，过点C作轴于点H， ∵正方形的顶点，分别在轴，轴上， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴，， ∴，， 故，， ∵， 不妨设，，且直线的解析式为， ， 解得， 故， 由点在直线上， ∴， 解得， 故直线的解析式为， 设， 根据题意，得， ∴， 整理，得， 解得， 当时，，此时； 当时，，此时； 故答案为：或． 【点拨】本题考查了待定系数法，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，正方形的性质，两点间距离公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.6 公式法和因式分解法（4大知识点9类题型） （知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程； 2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程； 3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． 二、【知识梳理】 【知识点1】一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 【知识点2】一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：. ①当，原方程有两个不相等的实数根; ②当，原方程有两个相等的实数根; ③当，原方程没有实数根. 【知识点3】用公式法解一元二次方程的步骤 　用公式法解关于的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般式； ②确定、、的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实数根. 【知识点4】因式分解法解一元二次方程 1. 用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法 　 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 三、【题型目录】 【夯实基础】 【题型一】根据判别式判断一元二次方程根的情况........................................2 【题型二】根据元二次方程根的情况求参数..............................................2 【题型三】公式法解一元二次方程......................................................3 【题型四】因式分解法解一元二次方程..................................................3 【题型五】换元法解一元二次方程......................................................3 【拓展延伸】 【题型六】选择合适的方法解一元二次方程..............................................4 【题型七】利用根的判别式进行证明与求参数取值范围....................................4 【题型八】解一元二次方程与几何综合..................................................5 【题型九】解一元二次方程与函数综合..................................................5 四、【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前带“★”难度系数0.85，“★★”难度系数0.65，“★★★”难度系数0.4. 【夯实基础】 【题型一】根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★【例题1】（2025·河北唐山·二模）已知整式． （1）化简； （2）若，利用判别式判断此方程实数根的情况． ★【变式1】（2025·河南平顶山·模拟预测）已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 ★【变式2】（2025·河南焦作·二模）定义运算：，例如，则不解方程，判断方程的根的情况是 ． 【题型二】根据元二次方程根的情况求参数 ★【例题2】（2025·北京·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若为正整数，且方程的根均为整数，求此时的值． ★【变式1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B．，且 C． D． ★【变式2】（2025·广东广州·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则代数式化简的结果是 ． 【题型三】公式法解一元二次方程 ★【例题3】（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列各方程： （1） （2） （3） ★【变式1】（22-23九年级上·辽宁辽阳·期中）若方程是一元二次方程，则方程的根是（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 ★【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【题型四】因式分解法解一元二次方程 ★【例题4】（23-24九年级上·四川南充·期中）解方程： （1）； （2）． ★【变式1】（2025·广东茂名·模拟预测）一元二次方程的根是（    ） A． B． C．， D．， ★【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知x是实数，且满足，则的值为 ． 【题型五】换元法解一元二次方程 ★【例题5】（24-25八年级下·重庆·期末）计算： （1） （2） ★【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， ★【变式2】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）若，则 ． 【拓展延伸】 【题型六】选择合适的方法解一元二次方程 ★★【例题6】（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）按要求解下列方程： （1）（用适当方法）； （2）（公式法）； （3）（用适当方法）； （4）（用适当方法） ★★【变式1】（23-24九年级上·四川广安·阶段练习）用适当方法解方程： （1）； （2）． ★★【变式2】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）选择适当方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【题型七】利用根的判别式进行证明与求参数取值范围 ★★【例题7】（24-25八年级下·北京·期中）关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程只有一个根小于0，求的取值范围． ★★【变式1】（24-25八年级下·浙江·期中）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的范围； （2）设方程的两个实数根是，，若，试求的取值范围． ★★【变式2】（24-25八年级下·重庆·期末）关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值． 【题型八】解一元二次方程与几何综合 ★★【例题8】（2025八年级下·全国·专题练习）已知E，F分别是正方形的边上的点，若．那么的最小值为 ． ★★【变式1】（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在中，是锐角，，，，，连结．若，则的长为 ． ★★【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分为菱形时，则为（　　） A．3 B．4 C． D． 【题型九】解一元二次方程与函数综合 ★★【例题9】（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，一次函数的图象与坐标轴相交于A、B两点，点C的坐标为，D是线段上一点，直线过点C和点D． （1）若，求直线的函数关系式，并求出的面积； （2）当是以为底边的等腰三角形时，求直线的函数关系式． ★★【变式1】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点，重合），过点分别作和的垂线，垂足为，．点的坐标为（   ）时，矩形的面积为2． A． B．或 C． D．或 ★★【变式2】（2025·河南商丘·模拟预测）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上．点在直线上，其中点在轴上，点在轴上，且．将正方形绕点旋转，当点的对应点恰好落在直线上时，点的坐标为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$