精品解析：上海市嘉定区上海师范大学附属嘉定高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

上师嘉高2024学年第二学期高一年级数学学科期末试卷 满分:150分考试时间:120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果】 1 已知复数，则______． 2. 函数的最小正周期为__________. 3. 已知，，若，则______． 4. 在中，，则_______ 5. 如图是水平放置的的直观图，其中，，，则的周长为____________. 6. 若，，且与的夹角为，则___________. 7. 已知向量，，若平面上任意向量都可以唯一地表示为与的线性组合，则实数的取值范围是______. 8. 设点是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆按顺时针方向转动角后到达点，然后继续沿着单位圆按顺时针方向转动角到达点，若点的纵坐标为，则点的坐标为________ 9. 在中，已知、、分别为角、、的对边，且，若，且，则边的长等于______. 10. 设，，将函数的图象左移个单位得到的图像，若对任意，都有，则___________. 11. 如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面_________米处观看?（精确到0.1米）. 12. 在中，，点满足，且对任意，恒成立，则值为______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13-14题每题4分，15-16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分】 13. 已知纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 0 14. 向量在上的投影为（ ） A. B. C. D. 15. 定义平面向量的正弦积（其中为，的夹角）.已知中，，则此三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 16. 如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（ ）． A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤】 17. 已知向量，； （1）求，的夹角； （2）若，求实数的值. 18. 已知关于的实系数一元二次方程. （1）若一根为，求，的值； （2）设，是虚数根，记，，在复平面上对应点分别为，，，求的值. 19. 在长方体中，，，，、分别为线段、上的点，且，． （1）求证：直线与为异面直线； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 20. 如图，扇形是一块半径（单位：千米），圆心角的风景区，点在弧上（不与，重合）.现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道与垂直于点，街道与垂直于点，线段表示第三条街道.记. （1）若点是弧的中点，求三条街道的总长度； （2）通过计算说明街道的长度是否会随的变化而变化； （3）由于环境的原因，三条街道、、每年能产生的经济效益分别为每千米300、200、400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值.（精确到1万元） 21. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，求当且，的值； （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上师嘉高2024学年第二学期高一年级数学学科期末试卷 满分:150分考试时间:120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果】 1. 已知复数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的概念可得结果. 【详解】，故. 故答案为：. 2. 函数的最小正周期为__________. 【答案】 【解析】 【详解】利用正切型函数的最小正周期公式可知： 函数的最小正周期为. 3. 已知，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程，求解即可得出答案. 【详解】因为，，，所以，所以. 故答案：. 4. 在中，，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积的运算即可得到答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 5. 如图是水平放置的的直观图，其中，，，则的周长为____________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据直观图复原原图，根据斜二测画法的规则，确定相关线段的长，可求得答案. 【详解】如图，根据直观图复原原图， 则 , 故的周长为 ， 故答案为;12 6. 若，，且与的夹角为，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由向量模的公式计算即把模平方转化为数量积的运算． 【详解】解：， 故答案为：2. 7. 已知向量，，若平面上任意向量都可以唯一地表示为与的线性组合，则实数的取值范围是______. 【答案】，，． 【解析】 【分析】由平面向量基本定理以及基底的定义，可知与为不共线的非零向量，由此求解即可． 【详解】解：因为平面上任意向量都可以唯一地表示为与的线性组合， 则与为平面向量的一组基底，故与为不共线的非零向量， 所以，所以， 故实数的取值范围是，，． 故答案为：，，． 8. 设点是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆按顺时针方向转动角后到达点，然后继续沿着单位圆按顺时针方向转动角到达点，若点的纵坐标为，则点的坐标为________ 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的定义可得，利用两角差的正弦、余弦公式可求得、的值，即可得出点的坐标. 【详解】由三角函数的定义可知，点的纵坐标为，即，故. 因为，则， 若，则，不合乎题意； 若，则，合乎题意. 故，所以，. 所以，， ， 而，. 因此，点的坐标为. 故答案为：. 9. 在中，已知、、分别为角、、的对边，且，若，且，则边的长等于______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理角化边，再结合三角形的面积公式，求，再结合余弦定理求的值. 【详解】若，由正弦定理可知，， ，所以，得， 根据余弦定理, 所以. 故答案为： 10. 设，，将函数的图象左移个单位得到的图像，若对任意，都有，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图象平移可得，然后根据偶函数的特征，即可求解. 【详解】函数的图象左移个单位得到的，对任意，都有，可知为偶函数，故，所以,由于，所以 故答案为： 11. 如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面_________米处观看?（精确到0.1米）. 【答案】3.2 【解析】 【分析】作于，设，根据两角差的正切公式，结合不等式求的最大值，并确定对应的即可. 【详解】如图：作于，设， 则，. 所以（当且仅当时取“”） 又，故（米）， 故答案为：3.2 12. 在中，，点满足，且对任意，恒成立，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设，则，由向量模的定义以及向量减法的几何意义分析可得，即，进而可得、的值，结合余弦定理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，在中，点满足. 设，则. ∵，且表示起点为，终点在平行于且过点直线上的向量，如下图中的，且随变化在直线上运动， ∴对任意，恒成立，即恒成立，只需即可， ∴，即， ∵ ∴， ∴. ∴ 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13-14题每题4分，15-16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分】 13. 已知纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数为纯虚数的条件可列出方程及不等式，即可求得答案. 【详解】因为为纯虚数， 故，则，解得. 故选：B 14. 向量在上的投影为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用数量积的坐标运算及向量的模长公式得，，再利用投影向量的定义，即可求解. 【详解】因为，，则，， 所以向量在上的投影为， 故选：B. 15. 定义平面向量的正弦积（其中为，的夹角）.已知中，，则此三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定的定义，结合正弦定理、二倍角的正弦公式化简判断即得. 【详解】在中，由，得， 则，由正弦定理得， 即， 而，因此， 又，于是， 所以是等腰三角形. 故选：A 16. 如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体的性质判断点是否共面，并应用平面的性质画出截面即可判断. 【详解】由正方体性质，选项A，B，C中，A，B，C，D四点显然不共面． 对于D选项，如下图取E，F为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF， 易知ADCEBF平面正六边形，所以A，B，C，D四点共面． 故选：D 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤】 17. 已知向量，； （1）求，的夹角； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由，再由向量坐标求解数量积和模长代入求解即可； （2）由，可得，进而由坐标运算可得解. 【详解】（1）设与的夹角为，因为向量，， 所以，， ，又，所以. 所以，的夹角为； （2）因，，又，所以， 所以，解得. 18. 已知关于的实系数一元二次方程. （1）若一根为，求，的值； （2）设，是虚数根，记，，在复平面上对应点分别为，，，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由实系数一元二次方程的一个虚数根即可得到另一虚数根，明确两根后，根据韦达定理求出，的值； （2）解出方程的根，分别代入，，，利用复数在复平面上对应的点得到，，，再将三点坐标代入所求向量式即可. 【小问1详解】 依题意可知，实系数一元二次方程的两根为，， 根据韦达定理，，解得，. 【小问2详解】 若，则方程的根为，， 若，则，，则，，， 所以； 若，则，，则，，， 所以； 故. 19. 在长方体中，，，，、分别为线段、上的点，且，． （1）求证：直线与为异面直线； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据异面直线的判定定理分析证明；（2）根据异面直线的夹角结合两角差的余弦公式运算求解. 【小问1详解】 连接，设， 由题意可得：，，则为平行四边形，即四点共面， ∵平面，平面，， ∴直线与为异面直线. 【小问2详解】 由（1）可得：为平行四边形，则， 由题意可得：，则， ∴， 即为锐角，故异面直线与所成的角为，其余弦值为. 20. 如图，扇形是一块半径（单位：千米），圆心角的风景区，点在弧上（不与，重合）.现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道与垂直于点，街道与垂直于点，线段表示第三条街道.记. （1）若点是弧的中点，求三条街道的总长度； （2）通过计算说明街道的长度是否会随的变化而变化； （3）由于环境的原因，三条街道、、每年能产生的经济效益分别为每千米300、200、400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值.（精确到1万元） 【答案】（1） （2），不随的变化而变化，为定值 （3）约为1222万元 【解析】 【分析】（1）若点是弧的中点，则位于的角平分线上，根据直角三角形的边角关系进行计算即可． （2）设，利用余弦定理求出，然后进行化简判断即可． （3）求出经济总效益的表达式，利用辅助角公式进行化简，利用三角函数最值性质进行求解即可． 【小问1详解】 若是弧的中点，位于的角平分线上， ，， 中，， ， 同理，， ，为等边三角形， 则， 三条街道的总长度． 【小问2详解】 ，， 则，， ， 中，由余弦定理可知： ， 则，为定值，即的长度不会随的变化而变化． 【小问3详解】 设三条街道每年能产生的经济总效益， ， 设，，则， 则， 当时，取最大值，最大值为， 即三条街道每年能产生的经济总效益最高约为1222万元． 21. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，求当且，的值； （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简函数得，根据题意可可得特征向量；（2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果；（3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可. 【详解】解：（1） 的相伴特征向量. （2）向量的相伴函数为， ，. ，，. . （3）由为相伴特征向量知： . 所以. 设，， ，， 又，. ， ，， . 又， 当且仅当时，和同时等于，这时式成立. 在图像上存在点，使得. 【点睛】关键点点睛：熟练使用三角函数诱导公式、三角恒等变换是本题的关键.本题还考查了三角函数图象变换后的解析式以及向量垂直的数量积关系，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$