精品解析：河南省周口市2024-2025学年高二下学期6月期末摸底考试数学试题

2024-2025学年（下）高二年级摸底考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是奇函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 30 B. 24 C. 18 D. 12 6. 若函数的图象与直线相切，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在数列中，，，，则中的最大项是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某社区组织开展牙科、眼科义诊活动，其中某个星期内两个项目的参与人数记录如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 牙科 11 12 10 14 12 18 20 眼科 12 13 9 11 14 19 20 则（ ） A. 牙科参与人数的众数为12，中位数为13 B. 眼科参与人数的极差为11，平均数为14 C. 用频率估计概率，牙科任意1天参与人数不低于14的概率为 D. 从这7天中任意取出连续的2天，这2天眼科参与人数均不低于14的概率为 10. 如图所示，圆锥的轴截面是面积为的正三角形，用平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截面圆与，分别交于点，，且，则（ ） A. 圆锥的表面积为 B. 圆台的高为 C. 圆锥的体积为 D. 从点出发沿着该圆锥侧面到达中点的最短路程为5 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，且在第一象限，在上的射影为，线段与的交点为，在上的射影为，且，过点作的切线与轴交于点，则（ ） A. 为线段的中点 B. C. D. 是等边三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，则向量与的夹角为________. 13. 在平面直角坐标系中，已知点与点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是________. 14. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内恰有3个最值点，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为正项数列的前项和，且. （1）求，； （2）求的通项公式； （3）求数列的前项和. 16. 为加强消防安全管理，某公司组织全体员工进行消防安全知识考试，所有考试成绩（单位：分）按照分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于60分为合格. （1）求图中的值； （2）按照各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取20人，求抽取的成绩不合格的员工人数； （3）公司对成绩不合格的员工进行培训后补考，假设成绩在内的员工有的概率补考合格，成绩在内的员工有的概率补考合格，且每个人补考是否合格相互独立，设（2）中抽取的成绩不合格的员工中补考合格的人数为，求的分布列和数学期望. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，在棱上，且平面. （1）设，求的值； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆过点，且离心率，过点的直线与交于，两点，直线，与直线分别交于点，. （1）求的方程. （2）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. （3）是否存在实数，使得（表示面积）恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数，，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若，证明：，； （3）设函数若在曲线上存在两点，，在轴上存在一点，使得四边形为矩形（为坐标原点），求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年（下）高二年级摸底考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：C 2. 已知复数的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对进行复数的除法运算整理为的形式，则z即可求解. 【详解】依题意，所以. 故选：A. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用半角公式求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 故选：C 4. 已知是奇函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数的定义列式求解. 【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得， 即，则. 故选：B 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 30 B. 24 C. 18 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式计算得解. 【详解】的展开式中含的项是从6个多项式中取5个都用，余下1个用2相乘的积， 即的展开式中含的项是， 所以所求系数为12. 故选：D 6. 若函数的图象与直线相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出切点，由导函数几何意义得到方程，得到，故切点为，将其代入中，可求得的值. 【详解】设的图象与直线相切于点， 由题意知直线的斜率为2，，故， 解得，故切点纵坐标为， 又在上，故， 即，解得， 故. 故选：B. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到直线的方程为，设，根据的面积为，列出方程，求得，得到，由，结合双曲线的定义，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，所以， 过点且倾斜角为的直线的方程为， 设，因为的面积为，所以， 因为点在第一象限，所以，可得， 又由，可得，所以， 又因为，所以， 可得. 故选：A. 8. 已知在数列中，，，，则中的最大项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 记，整理得出的通项公式，分析当时和当时，即可得出中的最大项为. 【详解】记，由题意得， 整理可得， 得，即， 又，，所以，则是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 当时，，即， 当时，，即， 所以， 故中的最大项为. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某社区组织开展牙科、眼科义诊活动，其中某个星期内两个项目的参与人数记录如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 牙科 11 12 10 14 12 18 20 眼科 12 13 9 11 14 19 20 则（ ） A. 牙科参与人数的众数为12，中位数为13 B. 眼科参与人数的极差为11，平均数为14 C. 用频率估计概率，牙科任意1天参与人数不低于14的概率为 D. 从这7天中任意取出连续的2天，这2天眼科参与人数均不低于14的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据众数和中位数概念可判断A；根据极差和平均数概念可判断B；利用古典概型概率公式求解可判断C、D. 【详解】命题透析 本题考查样本的数字特征，以及古典概型的概率. 解析 对于A，将牙科参与人数由小到大排列：10，11，12，12，14，18，20， 其众数为12，中位数为12，故A错误； 对于B，眼科参与人数的极差为， 平均数为，故B正确； 对于C，牙科这7天参与人数不低于14的频率为， 故估计任意1天参与人数不低于14的概率为，故C正确； 对于D，从这7天中取出连续的2天共有6种取法， 其中连续2天参与人数均不低于14的有（星期五，星期六），（星期六，星期日），共2种，概率为，故D错误. 故选：BC. 10. 如图所示，圆锥的轴截面是面积为的正三角形，用平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截面圆与，分别交于点，，且，则（ ） A. 圆锥的表面积为 B. 圆台的高为 C. 圆锥的体积为 D. 从点出发沿着该圆锥侧面到达中点的最短路程为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】由轴截面面积求出底面半径，再由圆锥表面积公式得解判断A，根据平行线分线段成比例可得判断B，由圆锥的体积公式求解判断C，利用侧面展开图转化为线段求解判断D. 【详解】对于A，设的边长为，由已知得，解得， 所以圆锥的表面积为，故A正确； 对于B，因为，所以，又， 所以，故B正确； 对于C，圆锥的体积为，故C错误； 对于D，由已知得圆锥的侧面展开图的圆心角，设的中点为，连接，如图， 可得，，，则，故D正确. 故选：ABD 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，且在第一象限，在上的射影为，线段与的交点为，在上的射影为，且，过点作的切线与轴交于点，则（ ） A. 为线段的中点 B. C. D. 是等边三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线定义计算判断A，应用图形特征集合角的关系得出B，C，D. 【详解】对于A，因为，所以，根据抛物线的定义知，所以，因此不是线段的中点，故A错误； 对于B，设，因为，轴， 所以，又，， 所以，即，故B正确； 对于C，由抛物线的光学性质知，光线经抛物线反射，反射光线与轴平行，所以， 因为，所以，又，所以，故C正确； 对于D，由B可知，而，所以，得，所以， 又，所以， 因为，，所以，因此是等边三角形，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，则向量与的夹角为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先将模平方求出向量的数量积，然后根据向量数量积的定义求出向量的夹角. 【详解】设向量，的夹角为， 由题意知， 解得，所以. 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，已知点与点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由可得，问题转化为圆与圆有公共点，由圆与圆的位置关系列式求解. 【详解】设，因为， 所以，化简得， 则圆与圆有公共点，所以，即，解得. 故答案为：. 14. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内恰有3个最值点，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由图象变换可得，由正弦型函数的性质结合内恰有3个最值点，列出等式及不等式即可求出最大值. 【详解】，则. 因为在区间内恰有3个最值点，根据正弦曲线的伸缩变化的特点， 当满足条件且取最大值时，一定是的一个最值点， 令，得. 从往左数4个最值点依次为，，，， 则，解得，所以当时，取得最大值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为正项数列的前项和，且. （1）求，； （2）求的通项公式； （3）求数列的前项和. 【答案】（1），. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别令、，由可求，； （2）根据关系式利用的关系式可证明是常数列，可求得的通项公式； （3）利用错位相减法计算可得结果. 【小问1详解】 当时，，又，故， 当时，，将代入，得. 【小问2详解】 因为，所以， 两式相减，得，即， 故，于是是常数列， 所以，故. 【小问3详解】 ， 故， ， 两式相减，得. 16. 为加强消防安全管理，某公司组织全体员工进行消防安全知识考试，所有考试成绩（单位：分）按照分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于60分为合格. （1）求图中的值； （2）按照各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取20人，求抽取的成绩不合格的员工人数； （3）公司对成绩不合格的员工进行培训后补考，假设成绩在内的员工有的概率补考合格，成绩在内的员工有的概率补考合格，且每个人补考是否合格相互独立，设（2）中抽取的成绩不合格的员工中补考合格的人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）4 （3）分布列： 0 1 2 3 4 数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中的各组频率之和为1进行求解即可. （2）首先计算成绩不合格的员工频率，然后根据样本量求出成绩不合格的员工人数. （3）首先确定抽取的成绩不合格的员工中，成绩在内的有1人，在内的有3人，求出的所有可能取值，然后针对每个取值求出对应的概率值，最后列出分布列，求取数学期望即可. 【小问1详解】 由已知条件可得， 所以. 【小问2详解】 因为低于60分的成绩为不合格，根据频率分布直方图， 成绩不合格的员工频率为， 故抽取的成绩不合格的员工人数为. 【小问3详解】 因为与的频率之比为， 所以抽取的成绩不合格的员工中，成绩在内的有1人，在内的有3人. 的所有可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， . 所以的分布列为 0 1 2 3 4 . 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，在棱上，且平面. （1）设，求的值； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，由平面，可得，求出向量的坐标，运算得解； （2）求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求解. 【小问1详解】 因为平面，且， 故以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 所以，，则， 所以，. 因为平面，平面，所以， 所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以，. 设平面的法向量为， 则，取，则. 由（1）得，平面的一个法向量为. 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆过点，且离心率，过点的直线与交于，两点，直线，与直线分别交于点，. （1）求的方程. （2）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. （3）是否存在实数，使得（表示面积）恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明：如图， 显然直线的斜率存在，设直线. 联立得，消去并整理，得， 所以，得. 设，，则，.（*） 因为，且时，，所以直线与相切， 由椭圆的对称性可知，，. ， ， 将（*）代入，得为定值. （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据过点，且离心率，由，且求解. （2）易知直线的斜率存在，设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，由求解； （3）分别由，求得点P，Q的坐标，结合（2）得到点，到直线的距离相等证明即可. 【小问1详解】 因为过点，且离心率， 所以，且， 即解得，， 所以的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设存在实数，使得恒成立. 由，得，由得. 由（2）可知， 所以点，到直线的距离相等， 所以，即. 19. 已知函数，，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若，证明：，； （3）设函数若在曲线上存在两点，，在轴上存在一点，使得四边形为矩形（为坐标原点），求的取值范围. 【答案】（1） （2） 若，则. 因为，所以（仅当，时取等号）. 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即（仅当时取等号） 所以，即，. （3）. 【解析】 【分析】（1） 求出函数的导数，计算,，根据点斜式即可求出切线方程. （2）问题转化为，又有，将其放缩为，记，求解即可. (3)设，，可得，讨论分析的范围即可得出答案. 【小问1详解】 由题意知， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得 因为四边形为矩形，所以，在轴的两侧，，且，的横坐标互为相反数. 不妨设，，则.（*） 若，则方程（*）为，化简得，此方程无解； 若，则，点在轴上，不合题意； 若，则方程（*）为，即. 设，则， 当时，，即在上单调递增， 又，当时，，所以的值域为， 又当时，，所以方程（*）总有解， 因此，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $