精品解析：河北省石家庄市正定县2024-2025学年七年级下学期期中数学试题

正定县2024－2025学年度第二学期期中教学质量检测七年级 数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 清代·袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 2. 下列方程是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中：①同一平面内，两条直线有相交、垂直、平行三种不同的位置关系；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④同位角相等；⑤同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；⑥垂线段最短．属于真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 6. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，在直角三角形中，，将三角形沿边所在直线向右平移x个单位，得到三角形，连接．当x的值是多少时，（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程．过程如图所示，合作中，出现错误的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 11. 如图，直线，是直角三角形，，顶点A在直线b上，边交直线a于点D，边交直线a于点E，若，则的度数为（　　） A. 100° B. 105° C. 110° D. 120° 12. 如图，约定上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．有以下两个结论，结论Ⅰ：若m的值为3，则y的值为4；结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值一定为3．下列说法正确的是（ ） A. Ⅰ，Ⅱ都对 B. Ⅰ对，Ⅱ不对 C. Ⅰ不对，Ⅱ对 D. Ⅰ，Ⅱ都不对 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 已知是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为______． 14. 如果是一个完全平方式，那么的值是______． 15. 《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为______． 16. 已知，，平分交于点，，，当时，则的度数______． 三、解答题（本大题共6小题，共52分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）解方程组： （2）先化简，再求值：，其中； （3）用简便方法计算： （4）计算：． 18. 仔细观察下列等式： 第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个：； … （1）请你写出第5个等式：______； （2）请写出第n个等式，并加以验证； （3）运用上述规律，计算：______． 19. 在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示，现将平移，使点B平移到点，点A，C平移后的对应点分别是点，． （1）在给定方格纸中画出平移后的． （2）连接线段、，则线段与的关系是______． （3）的面积是______． 20. 如图，于点B，于点F，，试说明．请补充完整下面的说理过程： 证明：，理由如下：因为， 所以（① ） 所以， 所以（② ） 所以（③ ） 又因为（④ ） 所以⑤ （等量代换） 所以（⑥ ） 21. 为增进学生体质健康，某校开展了“阳光大课间”活动，各班可自主购买运动器材．七年级有两个班级以相同的价格在体育用品商店购买了一些跳绳和篮球，请根据对话解决下列问题： （1）求出跳绳和篮球的单价； （2）由于篮球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再购进篮球个（）和跳绳（）根，已知每个篮球进价为元，跳绳每根的进价为元，且恰好花费元，求该体育用品商店有哪几种购进方案？ （3）若（）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（）中的相同，为了使销售获利最多，应选择那种购进方案？ 22. 如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，． （1）请说明的理由． （2）将线段沿着直线平移得到线段，连接． 如图，当时，求的度数； 在整个运动中，当时，则的度数______． 在整个运动中，直接写出之间的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 正定县2024－2025学年度第二学期期中教学质量检测七年级 数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 清代·袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：0.0000084=． 故选：B 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键． 2. 下列方程是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1次的方程；根据二元一次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、符合二元一次方程的定义，故是二元一次方程，符合题意； B、是一元一次方程，故不符合题意； C、有两个未知数，但含未知数的项的次数是二次的，不是二元一次方程，故不符合题意； D、方程左边不是整式，不是二元一次方程，故不符合题意； 故选：A． 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本本题考查整式的运算，涉及完全平方公式、同底数幂除法、幂的乘方、单项式乘法等知识点，解题关键在于熟练掌握并区分不同运算的法则，避免混淆指数运算规则，逐一计算各选项，判断其是否正确即可． 【详解】解：A、，因此选项A错误； B、，因此选项B正确； C、，因此选项C错误； D、，因此选项D错误． 故选：B． 4. 下列命题中：①同一平面内，两条直线有相交、垂直、平行三种不同的位置关系；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④同位角相等；⑤同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；⑥垂线段最短．属于真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定，垂线段最短，熟知相关知识是解题的关键．根据相关性质定理逐个判断，即可解题． 【详解】解：同一平面内，两条直线有相交和平行两种不同的位置关系，①是假命题； 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②错误； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，③是假命题； 两直线平行，同位角相等，④是假命题； 只有⑤⑥是真命题． 故选： B． 5. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．，根据“内错角相等，两直线平行”可判断； B．，无法判断； C．，根据“同位角相等，两直线平行”可判断； D．，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判断． 6. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 7. 两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：由题意，得把，代入②，得， 解得， 把，代入①，得， 解得， 所以，． 故选C． 8. 如图，在直角三角形中，，将三角形沿边所在直线向右平移x个单位，得到三角形，连接．当x的值是多少时，（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质和三角形的面积公式，熟练掌握平移的性质是解决问题的关键．过点B作于点H，利用三角形面积公式求出，由平移的性质得，可得，由，求出即可求得答案． 【详解】解：过点B作于点H， ∵在直角三角形中，， ∴， ∴， 由平移的性质得， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据长方形的面积=长×宽，求出长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形的面积是多少，判断出需要A类、B类、C类卡片各多少张即可． 【详解】长为（2a+3b），宽为（a+2b）的长方形的面积为： （2a+3b）（a+2b）=2a2+4ab+3ab+6b2=2a2+7ab+6b2， ∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab， ∴需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7张． 故选D． 【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 10. 老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程．过程如图所示，合作中，出现错误的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用代入消元法解二元一次方程组．解二元一次方程组的关键思想是消元，把二元一次方程转化为一元一次方程，解决本题的关键是注意在去分线、移项、合并同类项的、系数化为的过程中是否出现错误． 【详解】解：由， 移项可得：， 方程两边同时乘以可得：， 故甲计算正确， A选项不符合题意； 把代入得：， 故乙计算正确， B选项不符合题意； 去分母可得：， 去括号可得：， 故丙计算错误， C选项符合题意； 丁看到的是， 移项可得：， 合并同类项得：， 解得：， 把代入可得：， 故丁计算正确， D选项不符合题意． 故应选：C． 11. 如图，直线，是直角三角形，，顶点A在直线b上，边交直线a于点D，边交直线a于点E，若，则的度数为（　　） A. 100° B. 105° C. 110° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】延长交直线b于点F，根据，，可得，根据平行线的性质可得，再根据对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：延长交直线b于点F，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 12. 如图，约定上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．有以下两个结论，结论Ⅰ：若m的值为3，则y的值为4；结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值一定为3．下列说法正确的是（ ） A. Ⅰ，Ⅱ都对 B. Ⅰ对，Ⅱ不对 C. Ⅰ不对，Ⅱ对 D. Ⅰ，Ⅱ都不对 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用， 结论I：根据题意得，求得，再由题意列二元一次方程组求解即可； 结论Ⅱ：由题意得，，从而可得，再根据，可得，进行求解即可． 【详解】解：当时，， 解得， ∴， 解得，故结论I不正确； 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即不论m，n取何值，的值一定为2，故结论Ⅱ不正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 已知是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解；把代入二元一次方程中，即可求解． 【详解】解：由于是关于x，y的二元一次方程的一组解， 所以， 解得：； 故答案为：． 14. 如果是一个完全平方式，那么的值是______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】这里首末两项是和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和3的积的2倍，据此求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 15. 《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据“牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金”，分别列方程即可． 【详解】解：由“牛5头和羊2只共值10金”可得， 由“牛2头和羊5只共值8金” 可得， 所以可以方程组为， 故答案为：． 16. 已知，，平分交于点，，，当时，则的度数______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 先证得出，即可求出的度数，于是得出的度数，根据角平分线的定义得出，即可得出的度数，再证，得出，然后根据平行线的性质即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共52分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）解方程组： （2）先化简，再求值：，其中； （3）用简便方法计算： （4）计算：． 【答案】（1）；（2），41；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，整式的混合运算及化简求值，零次幂，负整数次幂，正确计算是解题的关键． （1）利用加减消元法求解； （2）先计算多项式乘多项式，再合并同类项，最后将代入求值； （3）将原式变形为，再根据积的乘方的逆运算求解； （4）先计算乘方，零次幂，负整数次幂，再进行加减运算． 【详解】解：（1） 得：， 解得， 将代入，得：， 解得， 因此该方程组的解为； （2） ， 当时，原式； （3） ； （4） ． 18. 仔细观察下列等式： 第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个：； … （1）请你写出第5个等式：______； （2）请写出第n个等式，并加以验证； （3）运用上述规律，计算：______． 【答案】（1） （2） （3）2024 【解析】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是得到第个等式． （1）根据题意即可得第5个等式； （2）结合（1）即可得第个等式，并利用平方差公式进行验证即可； （3）利用（2）的结论即可进行计算． 【小问1详解】 解：由题意可得，第5个等式：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，第个等式：， ∵左边 右边， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 故答案为：2024． 19. 在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示，现将平移，使点B平移到点，点A，C平移后的对应点分别是点，． （1）在给定方格纸中画出平移后的． （2）连接线段、，则线段与的关系是______． （3）的面积是______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）平等且相等 （3）8 【解析】 【分析】本题主要考查平移作图及平移的性质，熟练掌握平移的性质及割补法求三角形的面积是解题关键． （1）由点B及其对应点得出平移方式为：先向左移7格，再向下移1格，据此作出点，点，再顺次连接即可； （2）根据平移变换的性质，即可解题． （3）利用格点找出底和高，根据三角形面积公式求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由平移变换的性质可知，线段与的关系是平等且相等， 故答案为：平等且相等． 【小问3详解】 解：， 故答案为：8． 20. 如图，于点B，于点F，，试说明．请补充完整下面的说理过程： 证明：，理由如下：因为， 所以（① ） 所以， 所以（② ） 所以（③ ） 又因为（④ ） 所以⑤ （等量代换） 所以（⑥ ） 【答案】垂直定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了垂直的意义，平行线的判定和性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握平行线的判定方法．根据垂直的定义，平行线的判定方法判断出，再利用平行线的性质找到相等的角，最后等量代换利用平行线的判定方法证明即可． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴（垂直定义） ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） 故答案为：垂直定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；；内错角相等，两直线平行 21. 为增进学生体质健康，某校开展了“阳光大课间”活动，各班可自主购买运动器材．七年级有两个班级以相同的价格在体育用品商店购买了一些跳绳和篮球，请根据对话解决下列问题： （1）求出跳绳和篮球的单价； （2）由于篮球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再购进篮球个（）和跳绳（）根，已知每个篮球进价为元，跳绳每根的进价为元，且恰好花费元，求该体育用品商店有哪几种购进方案？ （3）若（）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（）中的相同，为了使销售获利最多，应选择那种购进方案？ 【答案】（1）购买一根跳绳需要元，购买一个篮球需要元； （2）该体育用品商店有种购进方案，分别是篮球个、跳绳根；篮球个，跳绳根； （3）为了使销售获利最多，应选择购买篮球个、跳绳根． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、列代数式、二元一次方程组的应用，解题时要能根据题意列出方程组或不等式是解题的关键． （）设购买一根跳绳需要元，购买一个篮球需要元，由题意列出二元一次方程组，然后解方程组即可； （）依据题意得，则，又，，从而 ，结合为整数，故为偶数，进而可以判断得解； （）依据题意，可得利润，从而利润分别为（元），（元），进而结合为了使销售获利最多，即可判断得解． 【小问1详解】 解：设购买一根跳绳需要元，购买一个篮球需要元， 由题意得，解得：， 答：购买一根跳绳需要元，购买一个篮球需要元； 【小问2详解】 解：由题意得， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又∵为整数， ∴为偶数， ∴或， ∴或， 答：该体育用品商店有种购进方案，分别是篮球个、跳绳根；或篮球个，跳绳根； 【小问3详解】 解：由题意可得利润， ∴当购进篮球个、跳绳根时，利润为（元）； 当购进篮球个，跳绳根时，利润为（元）， ∴为了使销售获利最多，应选择购买篮球个、跳绳根． 22. 如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，． （1）请说明的理由． （2）将线段沿着直线平移得到线段，连接． 如图，当时，求的度数； 在整个运动中，当时，则的度数______． 在整个运动中，直接写出之间的等量关系． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）；或；或或． 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，掌握平行线的判定与性质及正确作出辅助线是解题的关键． （）根据平行线的性质得到，等量代换得到，然后通过平行线的判定即可得到结论； （）如图，过作交于，根据平行线的性质即可得到结论； 过作交于，根据平行线的性质即可得到结论； 结合即可得在整个运动中，之间的等量关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过作交于， ∵线段沿着直线平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，过作交于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴； 如图，过作交于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，或； 如图，∵，， ∴， ∴，， ∴，即； 如图，∵，， ∴， ∴，， ∴，即； 同理，当在下方时， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $