期末考试测控卷-【三清必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

—106 — 所以y=f(x)的单调增区间为 kπ-5π12,kπ+π12 ,k∈Z. (3)由题意可得y=f(x)的周期T=π,则ω=2, 所以f(x)=sin(2x+φ),又f(x)≤f π2 恒成立, 所以f π2 =1,即sin 2×π2+φ =1,即sinφ=-1, 又0≤φ<2π,所以φ= 3π 2 , 所以f(x)=sin 2x+3π2 =-cos2x. 16.解 (1)因为f(x)=2cos 2x+π6 + 3, 令2x+π6=kπ ,k∈Z,解得x=-π12+ kπ 2 ,k∈Z, 所以f(x)的对称轴方程为x=-π12+ kπ 2 ,k∈Z, 令2x+π6=kπ+ π 2 ,k∈Z,可得x=kπ2+ π 6 ,k∈Z, 可得函数f(x)图象的对称中心的坐标为 kπ2+π6,3 ,k∈Z. (2)因为x∈ π12,5π6 ,所以2x+π6∈ π3,116π , 令2x+π6=π ,解得x=512π , 所以f(x)在 π12,5π12 上单调递减,在 5π12,5π6 上单调递增, 所以f(x)min=f 5π12 =-2+ 3, 又由f π12 =2cosπ3+3=3+1,f 56π =2cos116π+3=23, 所以f(x)max=2 3. 【破题技巧】 (1)因为f(x)=2cos 2x+π6 + 2,根据正弦函 数的图像与性质,即可求解; (2)由x∈ π12,5π6 ,所以2x+π6∈ π3,116π ,得到函数f(x) 的单调性,进而求得函数f(x)的最值. 17.解 (1)f(x)=2 3sinx·cosx+2cos2x= 3sin2x+cos2x+1 =2sin 2x+π6 +1 故T=2π2=π ; 由f(x)=2sin 2x+ π6 +1,令- π2+2kπ≤2x+ π6≤ π2+ 2kπ,k∈Z,则-π3+kπ≤x≤ π 6+kπ ,k∈Z, 故函数f(x)的单调递增区间为 -π3+kπ,π6+kπ ,k∈Z; (2)当x∈ -π6,5π12 时,2x+π6∈ -π6,π , 则sin 2x+π6 ∈ -12,1 ,即f(x)∈[0,3], 即f(x)在区间 -π6,5π12 上的最小值和最大值分别为0,3, 即2x+π6=- π 6 时,即x=-π6 时,f(x)有最小值0, 当2x+π6= π 2 ,即x=π6 时,f(x)有最大值3. 18.解 (1)∵f(x)=2cosx· 12sinx+ 32cosx -2 3cos2x+ 32= sinxcosx-3cos2x+ 32= 1 2sin2x- 3 2cos2x=sin 2x-π3 , 令2x-π3=kπ+ π 2 ,k∈Z,解得x=12kπ+ 5 12π ,k∈Z, 所以对称轴为x=12kπ+ 5 12π ,k∈Z; 令2x-π3=kπ ,k∈Z,解得x=12kπ+ 1 6π ,k∈Z 所以对称中心为 kπ2+π6,0 ,k∈Z. (2)∵0≤x≤π2 ,∴-π3≤2x- π 3≤ 2π 3 , ∴- 32≤sin 2x-π3 ≤1, 所以f(x)=sin 2x-π3 的最大值1,最小值- 32. (3)由(1)得f(x)=sin 2x-π3 , 令-π2+2kπ≤2x- π 3≤ π 2+2kπ ,k∈Z, 得-π12+kπ≤x≤ 5π 12+kπ ,k∈Z,又因为x∈[0,π],所以f(x)的 单调递增区间为 0,5π12 和 11π12,π . 【破题技巧】 (1)用两角和的正弦公式、二倍角公式、降幂公式 及辅助角公式化简为f(x)=sin 2x-π3 ,再用整体的思想求 解函数的对称中心与对称轴; (2)先求2x-π3 的范围,再结合正弦函数的图象求函数f(x)的 最值; (3)先求f(x)在R上的单调递区间,再取与区间[0,π]上的交集 部分即可. 19.解 (1)f(x)=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x =1-12sin 22x=1-12 ·1-cos4x 2 = 1 4cos4x+ 3 4 , 令4x=π2+kπ ,k∈Z,得x=π8+ k 4π ,k∈Z, 所以f(x)的对称中心为 π8+k4π,34 ,k∈Z. (2)由f(x)=14cos4x+ 3 4 , 将函数y=f(x)的图象上所有的点向下平行移动34 个单位长度, 然后保持各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍, 得g(x)=14cos2x , (ⅰ)y=14cos4x+ 3 4+ 1 4cos 2x+π2 =14cos4x- 1 4sin2x+ 3 4 =14 (1-2sin22x)-14sin2x+ 3 4 =14 (-2sin22x-sin2x+4), 令sin2x=t,t∈[-1,1],则y=14 (-2t2-t+4)=-12 t+ 1 4 2 +3332 ,其对称轴为t=-14 , 故当t=-14 时,ymax= 33 32 ;当t=1时,ymin= 1 4 , 所以函数的值域为 14,3332 . (ⅱ)原不等式等价于2a·14cos 2x+π3 +14cos 2x-π6 > 1 4a-1 , 也即2a·14cos 2x+π3 +14sin 2x+π3 >14a-1, 即∀x∈ -π6,π3 ,2acos 2x+π3 +sin 2x+π3 >a-4恒 成立, ①当a=0时,sin 2x+π3 >-4恒成立,显然成立,故a=0符 合题意, ②当a>0时,令t=2x+π3 ,由x∈ -π6,π3 可得t∈[0,π], 此时-1≤cost≤1,0≤sint≤1, 所以2acost+sint≥-1·2a+0=-2a, 当且仅当cost=-1且sint=0即t=π时等号成立, 所以2acos 2x+π3 +sin 2x+π3 的最小值为-2a, 若要满足不等式恒成立则-2a>a-4,得a<43 ,则0<a<43 , ③当a<0时,同理可得2acost+sint≥1·2a+0=2a, 当且仅当cost=1且sint=0即t=0时等号成立, 所以2acos 2x+π3 +sin 2x+π3 的最小值为2a, 若要满足不等式恒成立则2a>a-4,得a>-4, 则-4<a<0,综上所述,a的取值范围为 -4,43 . 【技法点拨】 利用换元法,由二次函数的性质即可求得函数的 值域;分三种情况讨论不等式恒成立的条件,即可得到实数a的 取值范围. 期末考试测控卷 1.D [由题意,A={2,6},因为A∩B=B,所以B⊆A,若a=0,则 B=⌀,满足题意;若a≠0,则B= 1a ,因为B⊆A,所以1a =2 或1 a=6 ,则a=12 或a=16. 综上:a=0或a=12 或a=16. 故 选D.] 2.B [由题知,xx-3≥0 ,所以 x(x-3)≥0 x-3≠0 ,解得x≤0,或x>3,对 于A,能成为 xx-3≥0 的充分必要条件;对于B,能成为 xx-3≥0 的充分不必要条件;对于C,能成为 xx-3≥0 的既不充分也不必要 条件;对于D,能成为 xx-3≥0 的既不充分也不必要条件;故选B.] 3.C [①a=0时,f(x)= x+1,值域为[0,+∞),满足题意;②a≠0 时,若 f (x)= ax2+x+1 的 值 域 为 [0,+ ∞ ),则 a>0 Δ=12-4a≥0 ,解得0<a≤14,综上,0≤a≤14.故选C.] 【破题技巧】 对a分a=0,a≠0两种情况讨论,分别根据一次 函数、二次函数的性质,结合值域求参数取值范围即可. 4.C [因 为y= 3-x2,x∈[-1,1] x2+1,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞) , 可得函数的大致图像如图所示,将其向左、向下分 别平移2个、3个单位长度,所得函数图像为C选 项中的图像.故选C.] 【破题技巧】 根据题意,将函数化为分段函数的形式,得到其大 致图像,即可判断平移之后的函数图像. 5.A [由sin π4 -α = 35,0<α< π2,可 得cos π4 -α = 1-sin2 π4-α =45,又由sin 5π4-α -sin 5π4+α =sin π+ π4-α -sin 3π2- π4-α =-sin π4-α +cos π4-α = -35+ 4 5= 1 5. 故选A.] 【破题技巧】 根据题意,利用三角函数的基本关系式,求得cos π4-α =45,再结合三角函数的诱导公式,化简得到sin 5π4- α -sin 5π4+α =-sin π4-α +cos π4-α ,即可求解. 6.D [由f(-x)+f(x)=0,可得f(x)为R上的奇函数,且f(0)= 0.因为f(x)在(-∞,0)上是减函数,所以f(x)在(0,+∞)上是 减函数.又 f(-1)=0,所 以 f(1)=0.由 f(lnx)<0,可 得 lnx<0 lnx>-1 或 lnx>0lnx>1 ,解 得 1e <x<1或 x>e.所 以 不 等 式 f(lnx)<0的解集为 1e,1 ∪(e,+∞).故选D.] 7.C [由 正 弦 函 数 性 质 有 A - φω ,0 , B(0,sinφ),C π-φω ,0 ,由△ABC 是 直 角三角形,可得 AB⊥BC,结合 BO⊥AC 有|OB|2=|OA|×|OC|,∴ π-φω φω = sin2φ,∴(ωsinφ) 2=(π-φ)φ= 2π 9 ,解得φ= π 3 或φ= 2π 3 (舍去), ∴ω= 2π 3 sinφ = 2π 3 sinπ3 = 2π3 × 2 3 =2 6π9 ,∴f(x)=sin 2 6π9 x+ π 3 ,∴f 3 62 =sin 2 6π9 ×3 62 + π3 =sin 2π+ π3 = sinπ3= 3 2. 故选C.] 【破题技巧】 由正弦函数性质得A,B,C 三点坐标,再由AB⊥ BC,结合BO⊥AC有|OB|2=|OA|×|OC|,建立方程即可求出 ω,φ,最后将x= 3 6 2 代入函数解析式即可得解. 8.B [由图知,A=2,f(0)=-1,则2sinφ=-1,即sinφ=- 1 2 ,因 为-π<φ<- π 2 ,所以φ=- 5π 6. 因为x=5π6 为f(x)的零点,则 5πω 6 - 5π 6=kπ (k∈Z),得ω=1+6k5 (k∈Z).由图知,5π6<T= 2π ω< 2π,则1<ω<125 ,所 以k=1,ω=115 ,从 而f(x)=2sin 115x- 5π 6 .由题设,g(x)=2sin 115×1011x-5π6 =2sin 2x-5π6 ,由 x∈ 0,π2 ,则2x-5π6∈ -5π6,π6 ,-2≤g(x)≤2×12=1,或 观察图形便知A错误;g(x)的最小正周期 T=2π2=π ,所以B正 确;当x=π2 时,2x-5π6= π 6≠ π 2 ,则g(x)的图象不关于直线x= π 2 对称,所以C错误;当x∈ 7π12,π 时,2x-5π6∈ π3,7π6 ,因为 y=sinx在 π3,7π6 上不单调,所以g(x)在 7π12,π 上不单调,所 以D错误.故选B.] 【破题技巧】 由函数图象可知A=2,f(0)=-1,则可求出φ, 由x=5π6 为f(x)的零点,结合ω的范围,可求出ω,从而可求出 f(x)的解析式,再利用三角函数图象变换规律求出g(x),然后 逐个分析判断. 9.ABD [对于A:因为f(x)是 R上的奇函数,故f(0)=20+b=0, 解得b=-1,故A正确;对于BC:f(-3)=-f(3)=-(23+2× 3-1)=-13,故B正确,C错误;对于D:当x>0时,f(x)=2x+ 2x-1;因为y=2x 是增函数,y=2x-1也是增函数,故f(x)在 (0,+∞)上也是单调增函数,f(x)为奇函数,故f(x)在 R上是单 调增函数,至多有一个零点;又f(0)=0,故f(x)仅有一个零点,D 正确;故选ABD.] 10.ABD [对于A,2tanαcosαsinα = 2sinα sinα ,故A正确;对于B, 1-2sin10°·cos10° sin10°- 1-sin210° = (cos10°-sin10°)2 sin10°-cos10° = cos10°-sin10° sin10°-cos10°=- 1,故B正确;对于C,若tanx=12 ,则 2sinx cosx-sinx= 2tanx 1-tanx= 2×12 1-12 =2,故C错误;对于D,若sinθcosθ=12 ,则tanθ+cosθsinθ= sinθ cosθ+ cosθ sinθ= sin2θ+cos2θ sinθcosθ = 1 1 2 =2,故D正确.故选ABD.] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 105 — —108 — 11.BC [由已知,x2>x1>0,x1x2[f(x1)-f(x2)]+x1-x2>0,所 以f(x1)-f(x2)+ 1 x2 -1x1 >0,即f(x1)- 1 x1 >f(x2)- 1 x2 ,所以 y=f(x)-1x 在(0,+∞)上单调递减,又f(x)是定义在{x|x≠0} 上的奇函数,所以y=f(x)-1x 在(-∞,0)上单调递减,故 A错 误;因为x2>x1>0,所以 1 x1 >1x2 >0,所以f(x1)-f(x2)> 1 x1 - 1 x2 >0,所以y=f(x)在(0,+∞)上单调递减,故B正确;因为 x2>x1>0时,f(x1)- 1 x1 >f(x2)- 1 x2 恒成立,所以令x1=2, x2=3代入上式得f(2)- 1 2>f (3)-13 ,即f(2)-f(3)>12- 1 3= 1 6 ,又因为f(x)是定义在{x|x≠0}上的奇函数,所以f(3)= f(-3),所以f(2)+f(-3)>16 ,故选项C正确,选项D错误. 故选BC.] 12.(-∞,2 2] [函数y=log3x,x≥1最小值为0,设h(x)=x2+ (a-2)x-a+3,x<1,所以只要满足h(x)≥0恒成立,函数对称 轴为x=-a-22 = 2-a 2 ,且h(1)=1+a-2-a+3=2,①2-a2 ≥1 , 即a≤0时,满足题意;②2-a2 <1 ,即a>0时,需满足h 2-a2 = 2-a2 2 +(a-2)· (2-a) 2 -a+3≥0 ,即a2≤8,得-2 2≤a≤ 2 2,此时实数a的取值范围是(0,2 2].综上,实数a的取值范 围是(-∞,2 2]. 故答案为:(-∞,2 2].] 13.2-12 m 2 [如 图,连 接 OC,设 ∠COB=θ,则 0°<θ<45°,因 ∠DOA=45°,OC=1, 则OB=cosθ,OA=AD=BC=sin θ,则AB=OB-OA=cosθ-sinθ, 故S矩形ABCD =AB·BC=(cosθ- sinθ)·sinθ=-sin2θ+sinθcosθ =-12 (1-cos2θ)+12sin2θ= 1 2 (sin2θ+cos2θ)-12 = 22sin (2θ+45°)-12. 因0°<θ<45°,则45°<2θ+45°<135°, 故当2θ+45°=90°,即当θ=22.5°时,(S矩形ABCD)max= 2-1 2 , 即割出的长方形桌面的最大面积为 2-1 2 m 2.] 【破题技巧】 设∠COB=θ,用θ的三角函数分别表示矩形的长 和宽,利用降幂公式和辅助角公式将矩形面积解析式化成正弦 型函数,最后结合三角函数的图象即可求得矩形面积最大值. 14.12 [因 为f(x+1)为 偶 函 数,则f(-x+1)=f(x+1),故 f(-x)=f(x+2),又f(x)是定义在 R上的奇函数,则f(x)= -f(-x),所以f(x)=-f(x+2),故f(x+2)=-f(x+4),即 有f(x)=f(x+4),所以f(x)是周期为4,且关于x=1对称的奇 函数,又f(x)在[0,1]上单调递减,结合上 述分析知:f(x)在[1,3]上递增,[3,5]上 递减,[5,6]上递增,所以f(x)在[0,6]的 大致图像如图:要使f(x)=m 在[0,6]上 恰好有4个不同的实数根,即f(x)与y= m 的图像有4个交点,所以必有两对交点 分别关于x=1,x=5对称,则x1+x2+x3+x4=2×1+2×5= 12.故答案为:12.] 15.解 (1)解法1:因为f(x)=2 x+m 2x+1 为定义在 R上的奇函数, 所以f(-x)=-f(x),所以f(-x)=2 -x+m 2-x+1 =1+m ·2x 1+2x =-2 x+m 2x+1 ,得1+m·2x=-2x-m,即(m+1)(2x+1)=0. 因为2x+1>0,所以m+1=0,即m=-1. 解法2:因为f(x)=2 x+m 2x+1 为定义在 R上的奇函数, 所以f(0)=2 0+m 20+1 =0,m=-1. 当m=-1时,f(-x)=2 -x-1 2-x+1 =1-2 x 1+2x =-2 x-1 2x+1 =-f(x), 所以m=-1. (2)f(x)在 R上单调递增.由(1)得f(x)=1- 22x+1 . 任 取 x1 <x2,f(x1)-f(x2)= 2 2x2+1 - 2 2x1+1 =2× 2x1-2x2 (2x1+1)(2x2+1) ,由于2x1<2x2,又2x1+1>0,2x2+1>0,所以 f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2),所以f(x)在 R上单调递增. (3)由(2)得函数f(x)在 R上单调递增,且为奇函数, 所以不等式f(x2-x)+f(a-ax)<0等价于f(x2-x)<-f(a-ax) 等价于f(x2-x)<f(ax-a), 等价于x2-x<ax-a, 等价于x2-(a+1)x+a<0,(x-1)(x-a)<0 所以,当a>1时,原不等式的解集为(1,a); 当a<1时,原不等式的解集为(a,1); 当a=1时,原不等式的解集为空集. 16.解 (1)当x≥2时,y=loga(x+c)+b, 由图表数据可得loga(2+c)+b=3.5, loga(3+c)+b=4.5,loga(5+c)+b=5.5, 联立上式,解方程可得a=2,b=3.5,c=-1, 则y=log2(x-1)+3.5; 当x≥2时,y=m x+n+k, 由图表数据可得m 2+n+k=3.5, m 3+n+k=4.5,m 5+n+k=5.5 联立上式,解方程可得m= 2,n=-158 ,k=3 则y= 2 x-158+3 ; (2)考虑①y=log2(x-1)+3.5,由x=9, 可得y=log28+3.5=6.5,而 |6.5-6.2|=0.3<0.5, 可得模型①y=log2(x-1)+3.5是“理想函数模型”; 考虑②y= 2 x-158+3 ,由x=9,可得 y= 2× 9-158+3= 57 2 +3≈3.8+3=6.8 而|6.8-6.2|=0.6>0.5, 所以模型②不是“理想函数模型”; (3)由(2)可得x=17时, y=log2(17-1)+3.5=4+3.5=7.5(百万个) 17.解 (1)由题意可知 5+x>05-x>0 ,解得-5<x<5, 所以函数f(x)的定义域为(-5,5); (2)函数f(x)为奇函数; 证明:因为f(x)=loga(5+x)-loga(5-x)的定义域为(-5,5), 设∀x∈(-5,5),则-x∈(-5,5), 所以f(-x)=loga(5-x)-loga(5+x)=-f(x) 所以函数f(x)为奇函数; (3)因为f(x)=loga(5+x)-loga(5-x)=loga 5+x 5-x , 当a>1时,若f(x)>0,则loga 5+x 5-x>0 , 即5+x 5-x>1 且x∈(-5,5),解得x∈(0,5); 当0<a<1时,若f(x)>0,则loga 5+x 5-x>0 , 即0<5+x5-x<1 且x∈(-5,5),解得x∈(-5,0); 综上所述,当a>1时,使f(x)>0的x的取值范围为(0,5); 当0<a<1时,使f(x)>0的x的取值范围为(-5,0). 18.解 (1)由函数f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x = 3sin2x+cos2x+1=2sin 2x+π6 +1, 所以函数f(x)的最小正周期为T=2πω=π. (2)由(1)知f(x)=2sin 2x+π6 +1, 令-π2+2kπ≤2x+ π 6≤ π 2+2kπ ,k∈Z,解得-π3+kπ≤x≤ π 6+ kπ,k∈Z, 所以函数f(x)的单调递增区间 -π3+kπ,π6+kπ ,k∈Z. (3)由x∈ -π12,11π12 ,可得2x+π6∈[0,2π], 列表: 2x+π6 0 π 2 π 3π 2 2π x -π12 π 6 5π 12 2π 3 11π 12 f(x) 1 3 1 -1 1 描点、连线 由函数g(x)=k+1-f(x)在 0,2π3 内有两个相异的零点, 即f(x)=k+1在 0,2π3 内有两个相异的实根, 即y=f(x)和y=k+1的图象在 0,2π3 内有两个不同的交点, 因为x∈ 0,2π3 ,可得2x+π6∈ π6,3π2 , 当2x+π6= π 6 时,即x=0,可得f(x)=2; 当2x+π6= π 2 时,即x=π6 ,可得f(x)=3; 当2x+π6= 3π 2 时,即x=2π3 ,可得f(x)=-1, 要使得y=f(x)和y=k+1的图象在 0,2π3 内有两个不同的交 点,结合图象,可得2≤k+1<3,解得1≤k<2,即实数k的取值 范围为[1,2). 【破题技巧】 (1)化简函数为f(x)=2sin 2x+π6 +1,结合 最小正周期的公式,即可求解; (2)由(1)知f(x)=2sin 2x+π6 +1,结合三角函数的性质, 即可求解; (3)根据五点作图法,画出函数y=f(x)的图象,根据题意,转化 为y=f(x)和y=k+1的图象在 0,2π3 内有两个不同的交点, 结合图象,即可求解. 19.解 (1)由题意可得: f(x)=4sin ωx+π12 sin 5π12-ωx +1=4sin ωx+π12 sin π2- π12+ωx +1=4sin ωx+π12 cos ωx+π12 +1 =2sin 2ωx+π6 +1; 因为f(x1)≤f(x)≤f(x2),|x1-x2|min= π 2 ,可知f(x)最小正 周期T=2×π2=π ,且ω>0,则2π2ω=π ,解得:ω=1, 所以f(x)=2sin 2x+π6 +1; 令2x+π6=kπ (k∈Z),解得:x=-π12+ kπ 2 (k∈Z), 此时f(x)=1,所以f(x)的对称中心为 -π12+kπ2,1 (k∈Z). (2)由题意可知:g(x)=f x-π6 =2sin 2ω x-π6 +π6 + 1=2sin 2ωx+1-2ω6 π +1; 因为g π3 =2sin 2π3ω+1-2ω6 π +1=2sin π3ω+π6 +1=0, 可得sin π3ω+π6 =-12, 则π 3ω+ π 6= 7π 6+2kπ (k∈Z)或π3ω+ π 6= 11π 6 +2kπ (k∈Z), 解得:ω=3+6k(k∈Z)或ω=5+6k(k∈Z), 又因为2<ω<4,可得k=0,ω=3, 所以g(x)=2sin 6x-5π6 +1,其最小正周期T=2π6=π3; 令g(x)=2sin 6x-5π6 +1=0,即sin 6x-5π6 =-12, 则6x-5π6=- π 6+2k1π (k1∈Z)或6x- 5π 6=- 5π 6+2k2π (k2∈Z), 解得:x=π9+ k1π 3 (k1∈Z)或x= k2π 3 (k2∈Z); 若g(x)在[m,n]上恰有8个零点,则3T<n-m<5T, 要使n-m 最小,则m,n恰好为g(x)的零点, 所以(n-m)min=3× π 3+ π 9= 10π 9 . (3)由(2)知:g(x)=2sin 6x-5π6 +1, 设h(x)在 0,π4 上的值域为A;g(x)在 0,π4 上的值域为B, 若对任意x1∈ 0,π4 ,存在x2∈ 0,π4 ,使得h(x1)=g(x2) 成立,则A⊆B; 当x∈ 0,π4 时,则6x-5π6∈ -5π6,2π3 , 可得sin 6x-5π6 ∈[-1,1],所以B=[-1,3]; 当x∈ 0,π4 时,则2x-π6∈ -π6,π3 , 可得cos 2x-π6 ∈ 12,1 ,所以A= -a,-32a ; 由A⊆B 可得: -a≥-1 -32a≤3 ,且a<0,解得-2≤a<0, 所以实数a的取值范围为[-2,0). 【破题技巧】 (1)根据三角恒等变换整理可得f(x)=2sin 2ωx+ π 6 +1,结合周期可得ω=1,进而可求对称中心; (2)根据图象变换结合零点可得ω=3,再结合周期性以及正弦 函数零点分析求解; (3)由(2)可得:g(x)=2sin 6x-5π6 +1,分析A⊆B 可知,结 合三角函数的值域分析求解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 107 — — 82 — 期末考试测控卷 [范围:必修第一册] (时间:120分钟 满分:150分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 教研员推好题 第13题.该题是一道三角函数应用题,主要考查降幂公式、辅助角公式和三角 函数的图象以及面积最值等问题,题目灵活,对能力要求较高,值得推荐. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.(2025·全国·专题练习)设A={x|x2-8x+12=0},B={x|ax-1=0},若A∩B=B,则实数a 的值不可以是 ( ) A.0 B.16 C. 1 2 D.2 2.(2025·辽宁·大连质量检测)给出的下列条件中能成为 xx-3≥0 的充分不必要条件是 ( ) A.x≤0或x>3 B.x<-1或x>3 C.x≤-1或x≥3 D.x≥0 3.(2025·云南曲靖·阶段练习)若函数f(x)= ax2+x+1的值域为[0,+∞),则实数a的取值范 围为 ( ) A. 0,14 B.{0}∪ 14,+∞ C. 0,14 D. 14,+∞ 4.(2025·甘肃武威·质量检测)将函数y=|-x2+1|+2向左、向下分别平移2个、3个单位长度, 所得图像为 ( ) 5.(2025·陕西西安·阶段练习)已知sin π4-α =35,0<α<π2,则sin 5π4-α -sin 5π4+α 的值为 ( ) A.15 B. 7 5 C.0 D.- 1 5 6.(2025·湖北荆门质量检测)设函数f(x)在定义域 R上满足f(-x)+f(x)=0,若f(x)在 (-∞,0)上是减函数,且f(-1)=0,则不等式f(lnx)<0的解集为 ( ) A. 0,1e ∪(e,+∞) B.(0,1)∪(1,e) C. 0,1e ∪(1,e) D. 1e,1 (e,+∞) 7.(2025·广东广州·阶段练习)已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ< π 2 )的部 分图象如图所示,点A,B,C是f(x)与坐标轴的交点,若△ABC是直角三角形, 且ωsinφ= 2π 3 ,则f 3 62 = ( ) A.12 B. 2 2 C. 3 2 D.1 8.(2025·江苏无锡·质量检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0, -π<φ<- π 2 的部分图象如图所示,把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸 长为原来的11 10 倍,得到函数y=g(x)的图象,则下列说法正确的是 ( ) A.g(x)在 0,π2 值域为[-1,1] B.g(x)的最小正周期是π C.g(x)的图象关于直线x=π2 对称 D.g(x)在区间 7π12,π 上单调递减 — 81 — — 84 — 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.(2025·全国专题练习)设f(x)为定义在 R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常 数),则 ( ) A.b=-1 B.f(-3)=-13 C.f(-3)=-558 D. 函数f(x)仅有一个零点 10.(2025·江苏盐城·阶段练习)下列计算或化简,结果正确的是 ( ) A.2tanαcosαsinα =2 B. 1-2sin10°·cos10° sin10°- 1-sin210° =-1 C.若tanx=12 ,则 2sinx cosx-sinx=1 D. 若sinθcosθ=12 ,则tanθ+cosθsinθ=2 11.(2025·广东梅州·质量检测)已知f(x)是定义在{x|x≠0}上的奇函数,当x2>x1>0时, x1x2[f(x1)-f(x2)]+x1-x2>0恒成立,则 ( ) A.y=f(x)-1x 在(-∞,0)上单调递增 B.y=f(x)在(0,+∞)上单调递减 C.f(2)+f(-3)>16 D.f (2)-f(-3)>16 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.(2025·陕西宝鸡·质量检测)已知函数f(x)= x2+(a-2)x-a+3,x<1 log3x,x≥1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 的最小值为0,则实 数a的取值范围是 . 13.(2025·全国专题练习)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块 一边在半径上的内接长方形桌面,若扇形的半径长为1m,求割出的长方形桌 面的最大面积(如图)是 . 14.(2025·广东广州·质量检测)已知f(x)是定义R上的奇函数,且f(x)在[0,1]上单调递减,且 f(x+1)为偶函数,若f(x)=m 在[0,6]上恰好有4个不同实数根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+ x4= . 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(2025·新疆塔城·乌苏市第一中学校考)函数f(x)=2 x+m 2x+1 定义在R上的奇函数. (1)求m 的值; (2)判断f(x)的单调性,并用定义证明; (3)解关于x的不等式f(x2-x)+f(a-ax)<0. — 83 — — 86 — 16.(15分)(2025·广东清远·质量检测)在无菌培养环境中,某类细菌的繁殖在初期会较快,随着 单位体积内细菌数量的增加,繁殖速度又会减慢,在一次实验中,检测到这类细菌在培养皿中的 数量y(单位:百万个)与培养时间x(单位:小时)的3组数据如下表所示. x 2 3 5 y 3.5 4.5 5.5 (1)当x≥2时,根据表中数据分别用模型y=loga(x+c)+b和y=m x+n+k建立y 关于x 的 函数解析式. (2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量,则当实际的细菌数量与 用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时,称该函数模型为“理想函数模型”, 已知当培养时间为9小时时,检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个,你认为(1)中哪 个函数模型为“理想函数模型”? 说明理由.(参考数据:57≈7.6) (3)请用(2)中的“理想函数模型”估计17小时后,该类细菌在培养皿中的数量. 17.(15分)(2025·河南许昌质量检测)已知函数f(x)=loga(5+x)-loga(5-x)(a>0且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域. (2)判断函数f(x)的奇偶性并给出证明. (3)求使f(x)>0成立的x的取值范围. — 85 — — 88 — 18.(17分)(2025·上海·虹口质量检测)已知函数f(x)=2 3sinxcosx+2cos2x(x∈R). (1)化简y=f(x)的解析式,并写出函数y=f(x)的最小正周期; (2)求函数y=f(x)的单调增区间; (3)用五点法画出函数y=f(x),x∈ -π12,11π12 的图像;若函数g(x)=k+1-f(x)在 0,2π3 内有两个相异的零点,求实数k的取值范围. 19.(17分)(2025·辽宁朝阳·阶段练习)已知函数f(x)=4sin ωx+π12 sin 5π12-ωx +1,其中ω>0. (1)若f(x1)≤f(x)≤f(x2),|x1-x2|min= π 2 ,求f(x)的对称中心; (2)若2<ω<4,函数f(x)图象向右平移π6 个单位,得到函数g(x)的图象,x=π3 是g(x)的一个 零点,若函数g(x)在[m,n](m,n∈R且m<n)上恰好有8个零点,求n-m 的最小值; (3)已知函数h(x)=acos 2x-π6 -2a(a<0),在第(2)问条件下,若对任意x1∈ 0,π4 ,存在 x2∈ 0,π4 ,使得h(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围. — 87 —