第2章 一元二次函数、方程和不等式检测卷-【三清必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

—90 — 参考答案 高中同步章末卷 第一章 集合与常用逻辑用语检测卷 1.B [A∪B={x|-1<x<9}.故选B.] 2.B [∵集合A={-1,0,1},集合B={0,1,2,3},∴A∩B={0, 1},A∪B={-1,0,1,2,3},∴A*B={(0,-1),(0,0),(0,1),(0, 2),(0,3),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3)},共有10个元素. 故选B.] 3.B [A={x|-1<x<2},B={x|-2<x<m},因为x∈B 的充分 条件是x∈A,所以A⊆B,则m≥2,故选B.] 4.D [因为A={(x,y)|x,y∈Z,且xy=4}={(1,4),(2,2),(4, 1),(-1,-4),(-2,-2),(-4,-1)},B={(x,y)|x≤y},所以 A∩B={(1,4),(2,2),(-2,-2),(-4,-1)},所以A∩B 的子集 个数为24=16.故选D.] 5.A [对任意的x∈R,记{x}=x-[x],则0≤{x}<1,若[x]> [y],则[x]≥[y]+1,即x-{x}≥y-{y}+1,则x-y≥{x}-{y}+ 1,因为0≤{x}<1,0≤{y}<1,则-1<-{y}≤0,由不等式的基 本性质可得-1<{x}-{y}<1,所以,0<{x}-{y}+1<2,所以, x-y≥{x}-{y}+1>0,即x>y,所以,“[x]>[y]”⇒“x>y”;若 x>y,如 取x=2.5,y=2.3,则[x]=[y]=2,故“[x]>[y]”⇐/ “x>y”.因此,“[x]>[y]”是“x>y”的充分不必要条件.故选A.] 【破题技巧】 对任意的x∈R,记{x}=x-[x],则0≤{x}<1, 利用题中定义、不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必 要条件的定义判断可得出结论. 6.A [因为命题“∃m∈R,A∩B≠⌀”为假命题,所以,命题“∀m∈ R,A∩B=⌀”为真命题,因为集合A={x|0≤x≤a},集合B={x| m2+3≤x≤m2+4},所以,当A={x|0≤x≤a}=⌀时,a<0,此时 A∩B=⌀成立,当A={x|0≤x≤a}≠⌀时,由“∀m∈R,A∩B= ⌀”得 a≥0a<m2+3 ,解得{a|0≤a<3},综上,实数a的取值范围为 {a|a<3}.故选A.] 7.B [由∃x∈[0,1],x2-2x-2+a>0,得∃x∈[0,1],a>-x2+ 2x+2,-x2+2x+2=-(x-1)2+3,x∈[0,1],则当x=0时, -x2+2x+2取最小值2,所以a>2,命题q:∀x∈R,x2-2x-a ≠0,则Δ=(-2)2+4a<0,即a<-1,若命题p,q均为假命题,则 a≤2且a≥-1,即-1≤a≤2,∴实数a的取值范围为[-1,2].故 选B.] 8.C [集合 M={-0.1,-1.1,2,2.5}中,2∈M,2.5∈M,则|2- 2.5|=0.5<1,即 M 的相伴数集中的最小数不是1,因此 M 不是 规范数集;集合N={-1.5,-0.5,0.5,1.5},|-1.5-(-0.5)|= 1,|-0.5-0.5|=1,|0.5-1.5|=1,|-1.5-0.5|=|-0.5- 1.5|=2,|-1.5-1.5|=3,即 N 的相伴数集中的最小数是1,因 此 N 是规范数集.故选C.] 9.AC [因为U= x∈N 12<x<152 ={1,2,3,4,5,6,7},M= {1,2,3},N={3,4,5,6},对于A,所以 M∩N={3},故A错误;对 于B,M∪N={1,2,3,4,5,6},故B正确;对于C,∁UM={4,5,6, 7},故C错误;对于D,∁UN={1,2,7},故D正确.故选AC.] 10.ACD [对于选项A:若A中只有一个元素,即方程ax2+2x+1= 0有一个根,或两个相等实根,当a=0时,原方程变为2x+1=0, 此时x=-12 符合题意,当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有两个 相等实根,所以Δ=4-4a=0,即a=1,所以当A 中只有一个元 素时,则a=0或a=1,故 A错误;对于选项B:若A 中至少有一 个元素,即A 中有一个元素或两个元素,当 A 中有一个元素时, 由前面可知,a=0或a=1;当A 中有两个元素时,方程ax2+2x +1=0有两个不等实根,所以 a≠0Δ=4-4a>0 即a<1且a≠0,所 以若A 中至少有一个元素,则a≤1,故B正确;对于选项C:若A 中至多有一个元素,即A 中有一个元素或没有元素,当A 中有一 个元素时,由前面可知,a=0或a=1;当A 中没有元素时,即方程 ax2+2x+1=0无实根,所以 a≠0Δ=4-4a<0 即a>1,所以若A 中 至多有一个元素,则a=0或a≥1,故C错误;对于选项D:若A 中恰 有两个元素,由前面可知,a<1且a≠0,故D错误;故选ACD.] 11.AB [∵A={x|x2-2x-3=0,x∈R},∴A={-1,3},∵A∪B= A,∴B⊆A,①当B=A,即B={-1,3}时,得-2 (a+1) a =2 ,a-2 a =-3,无解.②当B=⌀,即Δ=4(a+1)2-4a(a-2)=16a+4< 0⇒a<-14 ,③当B={-1},即16a+4=0,a-2a-2+a-2= 0,无解,④当B={3},即16a+4=0,9a+6a+6+a-2=0⇒a= -14. 所以a的取值范围为a≤-14. 故选AB.] 12.1(答案不唯一,1或2均可) [∀x∈Z,(x-1)2>x⇔∀x∈Z,x2 -3x+1>0⇔x>3+ 52 或x<3- 52 ,命题“∀x∈Z,(x-1)2> x”为假命题,所以x的值可取1或2.故答案为:1.] 13.27 [由韦恩图可知: a+6+c+35=60 a+6+b+28=51 b+c+6+26=50 ⇒2(a+b+c)+107= 161⇒a+b+c=27,故答案为:27.] 14.①②④ [集合A={x|x2-8x+15=0}={3,5},由A∩B=B 可 得B⊆A,则分B=⌀和B={3}或{5}或{3,5},当B=⌀时,满足 a=0即可;当B={3}时,满足3a-1=0,解得:a=13 ;当B={5} 时,满足5a-1=0,解得:a=15 ;当B={3,5}时,显然不符合条 件,所以a的值可以为0,13 ,1 5. 故答案为:①②④.] 【易错提醒】 若A∩B=B 或A∪B=A,则B=⌀时也成立,本 题要注意对集合B 进行分类讨论. 15.解 (1)当m=2时,B={x|1<x<9}, 所以A∪B={x|-3<x<9}. (2)当B=⌀时,m-1≥3m+3,解得m≤-2. 当B≠⌀时,m-1<3m+3 , 3m+3≤-3 或 m-1<3m+3,m-1≥4, 解得m≥5,综上,m≥5或m≤-2. 所以m 的取值范围是{m|m≥5或m≤-2}. 16.解 (1)因为A={x|2≤x≤6},B={x|1<x≤4}, 所以A∪B={x|1<x≤6}; (2)因为A∩C=C,所以C⊆A,又C={x|a<x<a+1}, 因为a<a+1,恒成立,故C≠⌀,则 a≥2a+1≤6 ,解得2≤a≤5,所 以实数a的取值范围是{a|2≤a≤5}. 17.解 (1)k=0时A={x|8x-16=0,x∈R},解得A={2}符合题 意;k≠0时令Δ=82-4k×(-16)=0解得k=-1, 此时A={x|-x2+8x-16=0,x∈R},解得A={4}符合题意, 故k=0或k=-1,A={2}或A={4} (2)若A 至少有两个子集,则A 至少有一个元素. 由(1)知k=0或k=-1时符合题意. 由题意可知k≠0时若Δ>0也符合题意. 即64-4×k(-16)>0解得k>-1且k≠0.综上k≥-1. 18.解 (1)当a=2时,集合A={x|1≤x≤5},B={x|-1≤x≤3}, 所以A∪B={x|-1≤x≤5},又因为∁RB={x|x<-1或x>3} 所以(∁RB)∩A={x|3<x≤5} (2)若选择①,A∪B=B,则A⊆B,当A=⌀时,a-1>2a+1,解 得:a<-2,当A≠⌀时,又A⊆B,B={x|-1≤x≤3}, 所以 a-1≤2a+1 a-1≥-1 2a+1≤3 ,得0≤a≤1, 所以实数a的取值范围是(-∞,-2)∪[0,1]. 若选择②,“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件, 则A⊆B(A≠⌀)且A≠B,因为B={x|-1≤x≤3}, a-1≤2a+1 a-1≥-1 2a+1<3 或 a-1≤2a+1 a-1>-1 2a+1≤3 ,解得:0≤a≤1, 由于 a-1=-1 2a+1=3 无解,A=B 不成立, 所以实数a的取值范围是[0,1].(不检验A≠B 扣1分) 若选择③,A∩B=⌀, 当A=⌀时,a-1>2a+1,解得:a<-2, 当A≠⌀时,又A∩B=⌀, 则 a-1≤2a+1 a-1>3或2a+1<-1 ,解得:-2≤a<-1或a>4, 所以实数a的取值范围是a<-1或a>4. 19.解 (1)若A∪B=B,则 A⊆B,又 A={x|x2+8x+15≤0}= {x|-5≤x≤-3},B={x|3m-2<x<2m+2} 所以 3m-2<-5 2m+2>-3 ,解得-52<m<-1; (2)因为A∩B≠⌀,所以 -5≤3m-2<-33m-2<2m+2 或 -5<2m+2≤-3 3m-2<2m+2 或 2m+2>-3 3m-2<-5 3m-2<2m+2 , 解得-1≤m<-13 或-72<m≤- 5 2 或-52<m<-1 , 所以-72<m<- 1 3 ; (3)若B={x|2m+1≤x≤3m-2},A={x|-5≤x≤-3}, 对∀x∈A,都有x∈B,则A⊆B,所以 2m+1≤-53m-2≥-3 ,该不等式无 解,故命题p:“∀x∈A,都有x∈B”为真命题不可能. 第二章 一元二次函数、方程和不等式检测卷 1.D [对于A,-2<-1<0,而-12>-1 ,A不成立;对于B,-2< -1<0,而(-2)×(-1)>(-1)2,B不成立;对于C,ba - a b = b2-a2 ab ,因为a<b<0,所以ab>0,a2>b2,ba - a b <0 ,即b a < a b , C不成立;对于 D,a+bb -1= a b ,因 为a<b<0,所 以 ab >0 ,即 a+b b >1 ,D成立.故选D.] 2.A [不等式(x+1)(x-3)<0的解为-1<x<3.故选A.] 3.A [因为x>0,由基本不等式可得x+9x≥2 x ·9 x =6 ,当且仅当 x=3时,等号成立,所以当x>0时,则x+9x 有最小值6.故选A.] 4.A [因为关于x的一元二次方程x2+2mx+(m+2)=0有两个 不同的正数实数根,则有 Δ=4m2-4(m+2)>0 -2m>0 m+2>0 ⇒-2<m<-1, 故选A.] 【破题技巧】 根据方程有两个不同的正实根,则两根之和大于 零,两根之积大于零及Δ>0,列出不等式组,解出即可. 5.B [由2x-ax-1≤-1 得 3 x-a+13 x-1 ≤0 ,因为不等式2x-a x-1≤-1 的解集是 x 23≤x<1 ,所以a+13 =23,解得a=1.故选B.] 6.D [根据题意,方程x2-ax+b=0的两根为2和3,则a=2+3= 5,b=2×3=6,则x2-bx+a<0为x2-6x+5<0,其解集为{x| 1<x<5}.故选D.] 【破题技巧】 根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程 的根之间的关系求出a、b的值,再解不等式. 7.D [因为x>0,y>0且4y + 1 x =1 ,所以x+y4= x+y4 · 4y+1x =2+4xy +y4x≥2+2 4xy ·y4x=4.当且仅当4xy =y4x, 即y=4x=8时等号成立,所以 m2-3m>4,即(m-4)(m+1)> 0,解得m<-1或m>4,所以m 的取值范围是{m|m<-1或m> 4}.故选D.] 【破题技巧】 利用乘“1”法及基本不等式求出x+y4 的最小值, 即可得到m2-3m>4,解一元二次不等式即可. 8.A [由x2-(m+2)x+2m<0,得(x-m)(x-2)<0,当m=2时, 不等式的解集为⌀,不符合题意,舍去;当 m<2时,不等式的解集 为{x|m<x<2},此时若有3个整数解,此时,解集中的三个整数 分别为1、0、-1,则需-2≤m<-1;当 m>2时,不等式的解集为 {x|2<x<m},此时若有3个整数解,此时,解集中的三个整数分 别为3、4、5,则需5<m≤6,综上:所以-2≤m<-1或5<m≤6, 故选A.] 【破题技巧】 含参解一元二次不等式,分类讨论m 的范围确定 整数解即可. 9.CD [对于A中,例如1>-2>-3,此时|1×(-2)|<|(-2)× (-3)|,所以A错误;对于B中,若1a< 1 b<0 ,可得b<a<0,则 ab<b2,所以B错误;对于C中,由a2x>a2y,可得a2(x-y)>0, 可得x-y>0,即x>y,所以C正确;对于D中,a>b>0,c>0,由 不等式的性质,可得a-c>b-c,所以D正确.故选CD.] 10.BD [对于A,因为ab=a+b≥2 ab,则 ab≥2,ab≥4,当且仅 当a=b=2时取“=”,所以ab的最小值为4,A错误;对于B,由 ab=a+b,得1a+ 1 b=1 ,(2a+b) 1a +1b =3+2ab +ba ≥3+ 2 2,当且仅当a=1+ 22 ,b=1+ 2时取“=”,B正确;对于C,(a +b) 1a+1b =2+ba +ab ≥4,当且仅当a=b=2时,取“=”, C错误;对于D,因为ab=a+b,所以(a-1)(b-1)=1,则 1a-1+ 1 b-1≥2 1 (a-1)(b-1)=2 ,当且仅当a=b=2时,取“=”,D正 确.故选BD.] 【破题技巧】 利用基本不等式结合“1”的代换判断. 11.ABD [由关于x的不等式a(x-1)(x+3)+ 2>0的解集是(x1,x2),其中x1<x2,所以 a<0,且x1,x2 是方程ax2+2ax+2-3a= 0的两 根,所 以 x1+x2= -2,x1·x2= 2-3a a = 2 a-3 ,所以x1+x2+2=0,x1x2+ 3=2a<0 ,故AB正确;又因为|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1·x2=2 4- 2 a>4 ,故C错误;作出y=a(x -1)(x+3)和y=-2的图象,则x1,x2 为两函数图象交点的横 坐标,由图象可知x1<-3<1<x2,故D正确;故选ABD.] 12.7≤3a-2b≤11 [设3a-2b=x(a+b)+y(a-b),所 以 x+y=3 x-y=-2 ,解得 x=12 y=52 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,即3a-2b=52(a-b)+ 1 2 (a+b), 因为2≤a-b≤3,所以5≤52 (a-b)≤152 ,又4≤a+b≤7,所以 2≤12 (a+b)≤72 ,所以3a-2b=52 (a-b)+12 (a+b),所以 7≤3a-2b≤11.故答案为:7≤3a-2b≤11.] 【破题技巧】 设3a-2b=x(a+b)+y(a-b),求出x、y,再根据 不等式的性质计算可得. 13.m m≤-52 [当m=0时,不等式为-5x≤0⇒x≥0,显然不 符合题意; 当m≠0时,因为关于x的不等式mx2-5x+m≤0的解集为 R, 所以有 m<0 Δ=(-5)2-4m2≤0 ⇒m≤-52, 所以实数m 的取值范围是 m m≤-52 . 故答案为:m m≤-52 .] 14.10 [实数a,b满足a>1,b>0且2a+2b-ab-2=0,∴ 1a-1+ 2 b=1 ,∴a+2b=a-1+2b+1=(a-1+2b) 1a-1+2b +1= 2(a-1) b + 2b a-1+6≥2 2(a-1) b 2b a-1+6=10 ,当 且 仅 当 2(a-1) b = 2b a-1 ,即a=4,b=3时取等号.故答案为:10.] 15.解 (1)a=12 时,x2-12x- 1 2>0 ,解得x>1或x<-12 , 原不等式的解集为 x x>1或x<-12 ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 89 — —92 — (2)令x2-(3a-1)x-a=0, 由Δ=(3a-1)2+4a>0得9a2-2a+1>0, 故x1+x2=3a-1,x1x2=-a, 故 |x1 - x2 | = (x1+x2)2-4x1x2 = (3a-1)2+4a = 9a2-2a+1 = 9 a-19 2 +89 , 当a=19 时,|x1-x2|取得最小值,最小值为 2 2 3 . 16.解 (1)由题意知-2和1是方程ax2+x+b=0的两个根且a>0, 由根与系数的关系得 -2+1=-1a -2×1=ba 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得 a=1b=-2 ; (2)由a=1、b=-2,不等式可化为x2-2x+1-c2<0, 即[x-(1+c)][x-(1-c)]<0,则该不等式对应方程的实数根 为1+c和1-c. 当c>0时,1+c>1-c,解得1-c<x<1+c,即不等式的解集为 {x|1-c<x<1+c}, 当c=0时,1+c=1-c,不等式的解集为空集, 当c<0时,1+c<1-c,解得1+c<x<1-c,即不等式的解集为 {x|1+c<x<1-c}, 综上:当c>0时,解集为{x|1-c<x<1+c}, 当c=0时,解集为空集, 当c<0时,解集为{x|1+c<x<1-c}. 【破题技巧】 (1)依题意-2和1是方程ax2+x+b=0的两个 根,利用韦达定理得到方程组,解得即可; (2)依题意可得[x-(1+c)][x-(1-c)]<0,再分c>0、c=0、 c<0三种情况讨论,分别求出不等式的解集. 17.解 (1)由题意得可变成本为 34v2 元,固定成本为a元, 所用时间为1000 v , 则y=1000v 34v2+a =1000 34v+av ,定义域为(0,100]. (2)由(1)得y=1000 34v+av ≥1000×2 34v·av =1000 3a,当且仅当34v= a v ,即v=2 a3 时取等号, 易知函 数y=1000 34v+av 在 0,2 a3 上 单 调 递 减,在 2 a3,+∞ 上单调递增. 又0<v≤100,所以当0<a≤7500时,货车以v=2 a3 km /h的 速度行驶,全程运输成本最小;当a>7500时,货车以100km/h 的速度行驶,全程运输成本最小. 18.解 (1)由y≥-2恒成立得:mx2+(1-m)x+m≥0对一切实数 x恒成立. 当m=0时,不等式为x≥0,不合题意; 当m≠0时, m>0 Δ=(1-m)2-4m2≤0 ,解得:m≥13; 综上所述:实数m 的取值范围为 m m≥13 . (2)∵m≥13 ,∴m+1≥43 ,∴m 2+2m+5 m+1 = (m+1)2+4 m+1 =m+1+ 4 m+1≥2 (m+1)· 4m+1=4 ,(当且仅当m+1= 4m+1 ,即m=1 时取等号),∴m 2+2m+5 m+1 的最小值为4. 【破题技巧】 (1)分m=0和m≠0讨论,当m≠0时,根据相应 二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解; (2)变形为m+1+ 4m+1 ,利用基本不等式求解可得. 19.解 (1)∵f(x)=x2-(a+1)x+a>-14 恒成立, ∴f(x)=x2-(a+1)x+a+14>0 对∀x∈R恒成立, 故Δ=(-a-1)2-4 a+14 <0,化简得Δ=a(a-2)<0,解得 0<a<2,故实数a的取值范围0<a<2. (2)f(x)=x2-(a+1)x+a>0,即(x-a)(x-1)>0; 当a>1时,不等式的解为{x|x<1或>a}, 当a<1时,不等式的解为{x|x<a或x>1}, 当a=1时,不等式的解为{x|x≠1}. 高中月考滚动卷 第一次月考滚动检测卷 1.B [因为A⊆B,所以利用数轴表示,如图,可知a≤-1.故选B.] 2.D [根据集合A 的定义,绝对值的意义可知,逐一带入x=0,1,2, 3,4到|x-2|<1中,只有x=2符合,于是A={2},所以.∁UA= {0,1,3,4}.故选D.] 3.A [由|x-1|<2,解得-1<x<3,由x+2≥0,解得x≥-2,所 以p能推 出q,q 不 能 推 出p,则 p 是q 的 充 分 不 必 要 条 件.故 选A.] 4.A [设天平左臂长为a,右臂长为b,且a≠b,则有5a=xb,ya= 5b,即x=5ab ,y=5ba ,所以,x+y=5ab + 5b a =5 ab +ba ≥5× 2=10,又因为a≠b,所以x+y>10.故选A.] 5.A [命题①,若a>b,当c>0时,ac>bc,当c<0时,ac<bc,故① 错误;命题②,若a>b,当c=0时,ac2=bc2,当c≠0时,c2>0,ac2> bc2,故②错误;命题③,若ac2>bc2,则c≠0,c2>0,故a>b,故③正 确;命题④,若a>b,当a>b>0,或0>a>b时,1a< 1 b ,当a>0 >b时,1a> 1 b ,故④错误;命题⑤,若a>b>0,当c>d>0时, ac>bd,当0>c>d时,ac和bd 大小不确定,当c>0>d 时,ac> bd,故⑤错误;故选A.] 6.D [当a=0时,方程为4x+1=0⇒x=-14 ,此时方程的根为负 根,当a≠0时,方程ax2+4x+1=0,当方程有二个负根时,则有 Δ=16-4a≥0 -4a<0 1 a>0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ⇒0<a≤4 ,当方程有一个负根一个正根时,则有 Δ=16-4a≥0 1 a<0 ⇒a<0,综上所述:当关于x的方程ax2+4x+1=0 至少有一个负根时,有a≤4,即关于x 的方程ax2+4x+1=0至 少有一个负根的充要条件是a≤4.故选D.] 7.C [因为a>0,b>0,且a+3b=2,所以a+1+3b=3,所以 1a+1+ 1 3b= 1 3 1a+1+13b [(a+1)+3b]= 13 2+ 3ba+1+a+13b ≥ 1 3 2+2 3ba+1·a+13b =43,当且仅当 3ba+1=a+13b ,即a=b= 1 2 时取等号,所以 1 a+1+ 1 3b 的最小值为4 3. 故选C.] 8.A [由题意知命题“∀x∈[-2,1],ax2+2ax+3a≤1”是真命题. 因为 x2 +2x+3=(x+1)2 +2>0,所 以 a≤ 1 x2+2x+3 = 1 (x+1)2+2 .当x=1时,函数y=(x+1)2+2的最大值为6,则 1 (x+1)2+2 的最小值为1 6 ,所以a≤16 ,即a 的最大值为16. 故 选A.] 9.BCD [因为2ab=a+2b+3≥2 2ab+3,令t= 2ab,则t2≥2t+ 3,解得t= 2ab≥3,即ab≥92 ,则a+2b≥2 2ab≥6,其中所有 不等式等号成立均当且a=2b=3,所以 A错误,B正确;对a+2b +3=2ab两边同除以ab可得1b + 2 a + 3 ab=2 ,由ab≥92 ,可得0 <3ab≤ 2 3 ,所以1 b+ 2 a≥2- 2 3= 4 3 ,当且仅当a=2b=3时,等 号成立,所以C正确;由a+2b+3=2ab,可得b= a+32(a-1) ,则a+b= a+ a+32(a-1)=a+ a-1+4 2(a-1)= 1 2+ 2 a-1+a-1+1= 3 2+ 2 a-1+ a-1≥32+2 2 ,当且仅当a-1= 2a-1 ,即a= 2+1时,等号成 立,故D正确.故选BCD.] 【易错提醒】 对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面: 一正:符合基本不等式a+b 2 ≥ ab 成立的前提条件为a>0,b> 0;二定:不等式的一边转换为定值;三相等:必须存在取等号的 条件,即等号成立.以上三点缺一不可. 10.AD [对于A项,由x+y+3=xy可得:(x-1)y=x+3,因x> 1,故y=x+3x-1 ,将其代入4x+y可得:4x+x+3x-1=4x+1+ 4 x-1=4 (x-1)+ 4x-1+5≥2 4 (x-1)· 4x-1+5=13 ,当且仅当x=2 时等号成立,故A项正确;对于B项,由xy=x+y+3≥2 xy+ 3可得( xy-3)( xy+1)≥0,因 xy>0,故得: xy≥3,则 xy≥9,当且仅当x=y=3时等号成立,故B项错误;对于C项, 由S=x2+y2=(x+y)2-2xy=(xy-3)2-2xy=(xy)2-8xy+ 9,设t=xy,由上分析知,t≥9,则S=(t-4)2-7在[9,+∞)上 单调递增,故S≥18,即C项错误;对于D项,由1x+ 1 y= x+y xy = xy-3 xy =1- 3 xy ,由上分析知xy≥9,则0<1xy≤ 1 9 ,故2 3≤1- 3 xy<1 ,即2 3≤ 1 x+ 1 y<1 ,故D项正确.故选AD.] 【破题技巧】 对于A项,通过题设求出y,代入所求式消元,凑 项运用基本不等式即得;对于B项,直接运用基本不等式将其 转化成关于 xy的不等式求解即得;对于C项,运用完全平方 式将其转化成关于xy的二次函数,通过其图象单调性即得;对 于D项,通分后将其化成关于xy的分式函数,求其值域即得. 11.BD [对于A,易知2,3∈T,所以应有32∈S ,矛盾,即A错误;对 于B,易知2,4,8∈T,且42= 8 4=2∈S ,8 2=4∈S ,则可取T= {2,4,8}满足题意,即B正确;对于C,易知2,32∈T,所以应有322 =16∈S,矛盾,即C错误;对于D,易知8,16,32,64,128∈T,且 128 64= 64 32= 32 16= 16 8=2∈S ,128 32= 64 16= 32 8=4∈S ,128 16= 64 8=8∈ S,1288 =16∈S ,则可取T={8,16,32,64,128}满足题意,即D正 确;故选BD.] 【破题技巧】 对选项逐个进行判断,出现矛盾的可排除,正确的 可以证明. 12.-1 [因为命题“∀x∈[0,3],x2-2x-a>0”为假命题,所以 “∃x∈[0,3],x2-2x-a≤0”为真命题,则∃x∈[0,3],使得a≥ x2-2x,所以a≥(x2-2x)min,因为y=x2-2x=(x-1)2-1, x∈[0,3],所以当x=1时,y=x2-2x 有最小值-1,所以a≥ -1,所以实数a可取的最小整数值是-1.故答案为:-1.] 13. x 12<x<1 [不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,2), ∴a<0,且1,2是方程ax2+bx+c=0的两个实数根, ∴ 1+2=-ba 1×2=ca 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得b=-3a,c=2a,其中a<0;∴不等式cx2+ bx+a>0化为2ax2-3ax+a>0,即2x2-3x+1<0,解得x∈ 12,1 ,因此所求不等式的解集为 x 12<x<1 .故答案为: x 12<x<1 .] 【破题技巧】 根据一元二次不等式与对应方程的关系,利用根 与系数的关系,求出b、c与a 的关系,代入所求不等式,求出解 集即可. 14.(-∞,9) [因为两个正实数x,y满足x+y=3,则(x+1)+y=4,故 4 x+1+ 16 y= 1 4 4x+1+16y [(x+1)+y]= yx+1+4(x+1)y +5≥ 2 yx+1 ·4(x+1) y +5=9 ,当且仅当x=13 ,y=83 时取等号,因 不等式 4 x+1+ 16 y>m 恒成立,则m<(4x+1+ 16 y )min,故m<9.故 答案为:(-∞,9).] 15.解 (1)当m=-1时,B={x|-3<x<0},又因为A={x|-2< x<1},所以A∩B={x|-2<x<0}. (2)因为A∪B=A,所以B⊆A, 当B=⌀时,即2m-1≥m+1,解得m≥2; 当B≠⌀时, 2m-1≥-2 m+1≤1 2m-1<m+1 ,解得-12≤m≤0, 所以m 的取值集合为 m -12≤m≤0或m≥2 . 16.解 (1)因为当a=-1时,A={x|-3<x<0},B={x|-1≤x≤2}, 所以A∪B={x|-3<x≤2}. (2)因为“x∈B”是“x∈A”成立的必要条件,所以A⊆B, 当A=⌀时,2a-1≥a+1,a≥2,满足A⊆B; 当A≠⌀时,a<2, 因为A⊆B,所以 a<2 -1≤2a-1 2≥a+1 ,解得0≤a≤1; 综上,实数a的取值范围为0≤a≤1或a≥2. 17.解 (1)因为B={-2},所以关于x的方程x2+ax+a2-12=0 有两个相等的实数根-2,则 Δ=0 -2+(-2)=-a -2×(-2)=a2-12 ,解得a=4, 故实数a的取值范围为{4}. (2)A={x|x2-x-2=0}={2,-1}, 因为(B∪A)⊆A,所以B∪A=A,则B⊆A, 所以B 可能为⌀,{2},{-1},{2,-1}. ①若B=⌀,则Δ=a2-4(a2-12)<0,解得a>4或a<-4; ②若B={2},则 Δ=a2-4(a2-12)=0 2+2=-a 2×2=a2-12 ,所以 a=±4 a=-4 a=±4 ,解得a=-4; ③若B={-1},则 Δ=a2-4(a2-12)=0 -1+(-1)=-2=-a -1×(-1)=a2-12 ,无解,即a∈⌀; ④若B={2,-1},则 Δ=a2-4(a2-12)>0 a=-1 a2-12=-2 ,无解,即a∈⌀. 综上,a>4或a≤-4. 【破题技巧】 (1)根据一元二次方程有唯一解列式计算即可; (2)先求解一元二次方程化简集合A,由(B∪A)⊆A 得B⊆A, 结合判别式分类讨论求解即可. 18.解 (1)∵“∀x∈{x|-1≤x≤1},x2-x-m<0”是真命题, ∴∀x∈[-1,1],m>x2-x, ∴当x∈[-1,1]时,m>(x2-x)max, ∵函数f(x)=x2-x的图像开口向上,且对称轴为直线x=12 , ∴当x∈[-1,1]时,f(x)的最大值为f(-1)=2, ∴当x∈[-1,1]时,(x2-x)max=2. ∴实数m 的取值集合B=(2,+∞). (2)∵x2-(4a+2)x+3a2+6a=(x-3a)[x-(a+2)], ∴不等式x2-(4a+2)x+3a(a+2)≤0等价于(x-3a)[x-(a+ 2)]≤0. ①当3a<a+2,即a<1时,A=[3a,a+2], 又“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件, ∴A 是B 的真子集,即[3a,a+2]包含于(2,+∞), ∴ a<13a>2 ,∴23<a<1; ②当3a=a+2,即a=1时,A={3},符合题意; ③当a+2<3a,即a>1时,A=[a+2,3a], 又“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 91 — — 10 — 第二章 一元二次函数、方程和不等式检测卷 (时间:120分钟 满分:150分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 备考组长推好题 第19题.本题主要考查基本不等式、一元二次函数、方程与不等式等,综合 性、灵活性较强,值得推荐. 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知a<b<0,那么下列不等式成立的是 ( ) A.1a< 1 b B.ab<b 2 C.ba> a b D. a+b b >1 2.不等式(x+1)(x-3)<0的解为 ( ) A.{x|-1<x<3} B.{x|-3<x<1} C.{x|x<-1或x>3} D.{x|x<-3或x>1} 3.若x>0,则x+9x 有 ( ) A.最小值6 B.最小值8 C.最大值8 D.最大值3 4.(2025·北京·海淀质量检测)如果关于x的一元二次方程x2+2mx+(m+2)=0有两个不同的 正数实数根,那么m 的取值范围为 ( ) A.-2<m<-1 B.-1<m<2 C.m<-1或m>2 D.m<-2或m>-1 5.已知关于x的不等式2x-ax-1≤-1 的解集是 x 23≤x<1 ,则实数a的值为 ( ) A.-1 B.1 C.43 D.2 6.已知关于x的不等式x2-ax+b≤0的解集为{x|2≤x≤3},则关于x的不等式x2-bx+a<0的 解集为 ( ) A.{x|2<x<3} B.{x|1<x<3} C.{x|2<x<5} D.{x|1<x<5} 7.若存在正实数x,y满足于4y+ 1 x=1 ,且使不等式x+y4<m 2-3m 有解,则实数m 的取值范围是 ( ) A.-4<m<1 B.-1<m<4 C.m<-4或m>1 D.m<-1或m>-4 8.若关于x的不等式x2-(m+2)x+2m<0的解集中恰有3个整数,则实数m 的取值范围为 ( ) A.-2≤m<-1或5<m≤6 B.-2≤m<-1或3<m≤6 C.-3≤m<-1或3<m≤6 D.-3≤m<-1或4<m≤6 — 9 — — 12 — 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列不等式中,推理正确的是 ( ) A.若x>y>z,则|xy|>|yz| B.若1a< 1 b<0 ,则ab>b2 C.若a2x>a2y,则x>y D.若a>b>0,c>0,则a-c>b-c 10.(2025·重庆大足·阶段练习)已知a,b为正实数,且a>1,b>1,ab-a-b=0,则 ( ) A.ab的最大值为4 B.2a+b的最小值为3+2 2 C.a+b的最小值为3-2 2 D.1a-1+ 1 b-1 的最小值为2 11.已知关于x的不等式a(x-1)(x+3)+2>0的解集是(x1,x2),其中x1<x2,则下列结论正确的 有 ( ) A.x1+x2+2=0 B.x1x2+3<0 C.|x1-x2|<4 D.x1<-3<1<x2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.实数a,b满足4≤a+b≤7,2≤a-b≤3.则3a-2b的取值范围是 . 13.若关于x的不等式mx2-5x+m≤0的解集为R,则实数m 的取值范围是 . 14.已知实数a,b满足a>1,b>0且2a+2b-ab-2=0,那么a+2b的最小值是 . 四、解答题:本题共5小题,其中第15题13分,第16,17题15分,第18,19题17分,共77分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数y=x2-(3a-1)x-a. (1)若a=12 ,求不等式y>0的解集; (2)若函数y=x2-(3a-1)x-a的图象与x 轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,求|x1-x2|的最 小值. — 11 — — 14 — 16.(15分)(2025安徽芜湖·阶段练习)已知关于的一元二次不等式ax2+x+b>0的解集为{x|x>1 或x<-2}. (1)求a和b的值; (2)求不等式ax2-(2a+b+2)x-1-c2<0的解集. 17.(15分)甲、乙两地相距1000km,货车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100(km/h),若货 车每小时的运输成本(以元为单位)由可变成本和固定成本组成,可变成本是速度v(km/h)的平 方的3 4 倍,固定成本为a元. (1)将全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,货车应以多大的速度行驶? — 13 — — 16 — 18.(17分)设y=mx2+(1-m)x+m-2. (1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数m 的取值范围; (2)在(1)的条件下,求m 2+2m+5 m+1 的最小值; 19.(17分)(2025·云南德宏质量检测)已知y=x2-(a+1)x+a. (1)若y>-14 恒成立,求实数a的取值范围; (2)求不等式y>0的解集. — 15 —