专题1.3（2） 一元二次方程的根与系数的关系（分层专项练习）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.3（2） 一元二次方程的根与系数的关系（分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（24-25九年级下·全国·假期作业）已知，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之积． 解：根据一元二次方程根与系数的关系，得 ． 故选B． 2．（24-25九年级下·广西玉林·期中）已知关于x的方程有两个同号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系，理解“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根”并灵活运用是解题的关键．首先根据有两个实数根得到，求出，然后由两根同号得到，求出，即可求解． 解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵方程有两个同号的实数根， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）在解关于x的方程时，甲看错了方程中的常数项，解得两根为8和2，乙看错了方程中的一次项，解得两根为和，则正确的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，若、是方程的两根，则有，．先设这个一元二次方程的两根是、，甲看错常数项，解得两根为8和2，说明，即，乙看错一次项系数，解得两根为和，说明，即，两式联合，可求关于、的方程． 解：设这个一元二次方程的两根是、，根据题意得 ，， 那么以、，为两根的一元二次方程就是， 故选：B． 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知是方程的一个根，则方程的另一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握若方程的两个实数根分别为、，则，．设方程的两个根分别为和，则，即可得到答案． 解：设方程的两个根分别为和， ， 是方程的一个根， 方程的另一个根是， 故选：A． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、2且a、b是关于x的一元二次方程的两根，求m的值（   ） A．9 B．10 C．9或10 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义，构成三角形的条件．分当2为腰长时，当2为底边长时，利用根与系数的关系得到，，进而求出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可． 解：当2为腰长时，假设此时， ∵，是关于的一元二次方程的两根， ∴， ∴， ∴此时等腰三角形的三边长为，，，不能构成三角形，不符合题意； 当2为底边长时，则， ∵，是关于的一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴， ∴此时等腰三角形的三边长为，，，能构成三角形，符合题意，， ∴， ∴， 综上所述，的值为10． 故选：B． 6．（2025·四川凉山·模拟预测）对于任意实数a，b，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为，，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，根据新定义运算法则，结合，得出方程，整理该方程，得出，再根据根与系数的关系，得出答案即可． 解：∵，， ∴， 整理得：， ∴． 故选：A． 7．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知、是方程的两个根，点在反比例函数的图像上，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．也考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系得到，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解． 解：∵、是方程的两个根， ∴． ∵点在反比例函数的图像上， ∴． 故选B． 8．（2025·河北沧州·一模）甲、乙两位同学在解一道一元二次方程时，甲同学在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙同学在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原来的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．设原来的方程为，再利用根与系数的关系得出关于，及，之间的关系式即可解决问题． 解：设原来的方程为， 由题知， ，， 所以，， 所以原来的方程为， 则． 故选：B． 2、 填空题（每小题3分，共18分） 9．（2025·辽宁鞍山·二模）一元二次方程的两个根分别为，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴， 故答案为：． 10．（2025·山东日照·二模）若分别是关于的一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时， ， ．也考查了一元二次方程的解．先根据分别是关于的一元二次方程的两个根，得，即，，再利用整体代入的方法计算． 解：∵分别是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∴ ∴． 故答案为：2026 11．（24-25九年级下·全国·假期作业）若一元二次方程的两个实数根是某直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程的根与系数的关系、勾股定理，解题关键是一元二次方程的根与系数的关系为，．根据直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，可直接设出，，根据一元二次方程根与系数的关系、勾股定理求解即可． 解：设两条直角边的长分别是，， 则，， ， 直角三角形斜边的长是， 这个直角三角形的周长为：． 故答案为：． 12．（2025·江苏南京·三模）设是方程的两个根，若，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得，则，可得原方程为，再解原方程求出的值即可得到答案． 解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴原方程为， ∴， ∴或， 解得， ∴， 故答案为：． 13．（2025·山东潍坊·二模）从，，三个数中，选取1个数作为的值代入方程．若该方程有两个正实数根，则选取的的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根据题意分别将，，代入原方程，解方程，即可求解． 解：∵方程有两个正实数根 ∴ ∴或 当时，原方程无实数根，不合题意， 当时，原方程为 解得都小于，不合题意， 当时，原方程为 解得：都大于，符合题意， 故答案为：． 14．（2025·四川成都·二模）若，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，掌握以上知识及计算是关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据分式的性质，分式的混合运算化简，再代入计算即可． 解：，是一元二次方程的两个不相等的实数根，， ∴， ， ∴原式， 故答案为： ． 三、解答题（4题共计30分） 15.（6分）（2025·湖南长沙·三模）已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，熟知根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系得到，再由计算求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再把所求式子去括号得到，据此计算求解即可． 解：（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的两根， ∴， ∴ ． 16.（8分）（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取任何实数时，方程总有两个实数根． （2）若方程的两个实数根满足，请求出m的值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握根的判别式与方程的根的个数之间的关系是解题的关键： （1）运用一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据根与系数的关系可得、，然后代入得到关于m的方程求解即可． 解：（1）证明：∵关于x的一元二次方程， ∴方程总有2个实数根； （2）解：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴，解得：． 17.（8分）（21-22九年级上·广东·期中）矩形ABCD的边AB、BC的长分别是关于x的方程的根． （1）若矩形ABCD是正方形，求m的值． （2）若矩形ABCD的面积为12时，求m的值． 【答案】（1）；（2）-3 【分析】（1）根据题意，方程有两个相等的实数根，则，将方程各项系数代入列出方程计算即可； （2）根据题意可知方程的两个根的积为12，运用一元二次方程根与系数的关系即可求出． 解：（1）因为矩形ABCD是正方形，所以AB=BC， 因为AB、BC是方程的根，方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得； （2）根据题意，方程有两个实数根，且两个根的积为12， 由一元二次方程根与系数的关系可得： ， 解得， 当时，，与题意不符，舍去， 故． 【点拨】本题考查了一元二次方程，熟练运用根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 18.（8分）（2025·上海·模拟预测）已知一元二次方程的求根公式为，当是一元二次方程的两根时，则有：①；②． 【结论证明】请在中选择一个结论进行证明； 【知识应用】若是一元二次方程的两个根，不解方程，求的值； 【类比拓展】若是一元三次方程的三个根，则原方程可变形为，则有：，，，．已知一元三次方程的三个根分别为，求的值． 【答案】[结论证明]见分析；[知识应用]47；[类比拓展]4 【分析】本题考查根与系数的关系，高次方程，乘法完全平方公式，代数式求值，根据所给的结论，能够灵活应用结论是解题的关键． [结论证明]求出两个根，分别求和与积即可； [知识应用]利用根与系数的关系可得，再由代入求值即可； [类比拓展]根据已知可得，再求 解：[结论证明]，， ， ； [知识应用] ， ， ； [类比拓展] ， ， ． 第二卷【拓展培优】 四、选择题（每小题3分，共12分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 19．（24-25八年级下·山东淄博·期中）若关于x的方程的两根互为倒数，则（   ） A．2 B．2或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，是关于的一元二次方程，为常数）的两个实数根，则． 根据已知和根与系数的关系得出，求出的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的的值． 解：设是方程的两根， ， ∵两根互为倒数， ∴， 解得或2； ∵方程有两个实数根，， ∴当时，，舍去， 故的值为． 故选：C． 20．（2025·四川南充·二模）如果实数、（）分别满足，，则的值等于（   ） A． B． C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟练的构建一元二次方程的解本题的关键． 由，可得，可得，可得，是方程的两个根，，，从而可得答案． 解：∵， ∴， ∴，而，， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴； 故选：C． 21．（2025·广东广州·一模）若关于的方程有两个实数根，且两根之和不小于，则代数式化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次根式化简，解题的关键在于正确掌握相关知识． 根据一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，建立不等式推出的取值范围，再结合完全平方公式变形，以及二次根式性质，绝对值性质化简求解，即可解题． 解：关于的方程有两个实数根， ， 两根之和不小于， ， 解得， 综上， ， ， ， 故选：D． 22．（24-25八年级下·山东泰安·期中）在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则； ②若方程的两根之积为，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ④若是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键． 按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质等知识对各选项分别讨论，可得答案． 解：①当时，， 一元二次方程有两个相等的实数根或两个不相等的实数根， ，故①错误； ②若方程的两根之积为，则，得到，故②正确； ③方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故③正确； ④由是方程的一个根，得，即． 当，则；当，则不一定等于，故④不一定正确． 综上所述：正确的有个； 故选：B． 5、 填空题（每小题3分，共12分） 23．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为4，则该菱形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键． 设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 解：设菱形的两条对角线长分别为a、b， 由题意得：， ∵菱形面积为4， ∴，解得：， ∴菱形的边长为 ， 故答案为：． 24．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，由一元二次方程根与系数的关系得出，，从而得出，由此规律计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 25．（21-22八年级下·江西赣州·阶段练习）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则 ． 【答案】 【分析】由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解． 解：由根与系数的关系得，， 所以， 则， 则 ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值． 26．（24-25八年级下·上海·期中）如图矩形纸片，为中点，将纸片沿着直线剪成两部分，这两部分纸片重新拼成，如果为等腰直角三角形，矩形的长宽恰好是的两个实数根，则矩形纸片的面积是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系等知识，先根据矩形的性质，等腰直角三角形的性质等得出，然后根据一元二次方程根与系数的关系得出，，化简可，解方程即可求解． 解：∵矩形纸片，为中点，将纸片沿着直线剪成两部分，这两部分纸片重新拼成， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵矩形的长宽恰好是的两个实数根， ∴，， ∴，， ∴， 解得或（负值舍去）， ∴， ∴矩形纸片的面积是， 故答案为：8． 六、解答题（12×2=24分） 27.（12分）（2025·山东潍坊·三模）已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的整数值． 【答案】（1）；（2）的整数值有0，1，2． 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系， （1）由一元二次方程的根的情况列得，由此求出k的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入得到不等式，求解即可． 解：（1）解：∵于的一元二次方程有两个实数根和 ∴ ∴； （2）由根与系数得关系可知，，， ∵， ∴ ∴ 由（1）知， ∴， ∴的整数值有0，1，2． 28.（12分）（23-24八年级下·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，点分别在轴、轴上，线段的长（）是关于的方程的两个实数根，是线段的中点，，在线段上，． （1）求的长； （2）求直线的解析式； （3）是直线上的点，在平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）直线的解析式是；（3）点的坐标为或 或或． 【分析】（）求出，根据，，得出方程，求出的值，代入方程，求出方程的解即可； （）过作于，过作于，求出的坐标，设直线的解析式是，把的坐标代入求出即可； （）求出，根据题意画出图形，根据菱形的性质即可得出答案． 解：（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴，即方程为， ∴，， ∵， ∴，； （2）过作于，过作于， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式是， ∵， 代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是； （3）存在， 理由如下：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， 当四边形为菱形时，， ∴点的坐标为， 当四边形为菱形时，， ∴点的坐标为，直线与轴的交点的坐标为， ∴， 当四边形为菱形时，点的坐标为， 当四边形是以为对角线的菱形时，点的坐标为， 综上所述，以为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或 或或． 【点拨】本题考查了菱形的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，平行线分线段成比例定理，一元二次方程解法，根与系数的关系，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3（2） 一元二次方程的根与系数的关系（分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（24-25九年级下·全国·假期作业）已知，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．1 C． D．3 2．（24-25九年级下·广西玉林·期中）已知关于x的方程有两个同号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）在解关于x的方程时，甲看错了方程中的常数项，解得两根为8和2，乙看错了方程中的一次项，解得两根为和，则正确的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知是方程的一个根，则方程的另一个根是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、2且a、b是关于x的一元二次方程的两根，求m的值（   ） A．9 B．10 C．9或10 D． 6．（2025·四川凉山·模拟预测）对于任意实数a，b，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为，，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 7．（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知、是方程的两个根，点在反比例函数的图像上，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 8．（2025·河北沧州·一模）甲、乙两位同学在解一道一元二次方程时，甲同学在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙同学在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原来的方程是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（每小题3分，共18分） 9．（2025·辽宁鞍山·二模）一元二次方程的两个根分别为，，则 ． 10．（2025·山东日照·二模）若分别是关于的一元二次方程的两个根，则的值是 ． 11．（24-25九年级下·全国·假期作业）若一元二次方程的两个实数根是某直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的周长为 ． 12．（2025·江苏南京·三模）设是方程的两个根，若，则 ． 13．（2025·山东潍坊·二模）从，，三个数中，选取1个数作为的值代入方程．若该方程有两个正实数根，则选取的的值为 ． 14．（2025·四川成都·二模）若，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为 ． 三、解答题（4题共计30分） 15.（6分）（2025·湖南长沙·三模）已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： （1）； （2）． 16.（8分）（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取任何实数时，方程总有两个实数根． （2）若方程的两个实数根满足，请求出m的值． 17.（8分）（21-22九年级上·广东·期中）矩形ABCD的边AB、BC的长分别是关于x的方程的根． （1）若矩形ABCD是正方形，求m的值． （2）若矩形ABCD的面积为12时，求m的值． 18.（8分）（2025·上海·模拟预测）已知一元二次方程的求根公式为，当是一元二次方程的两根时，则有：①；②． 【结论证明】请在中选择一个结论进行证明； 【知识应用】若是一元二次方程的两个根，不解方程，求的值； 【类比拓展】若是一元三次方程的三个根，则原方程可变形为，则有：，，，．已知一元三次方程的三个根分别为，求的值． 第二卷【拓展培优】 四、选择题（每小题3分，共12分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 19．（24-25八年级下·山东淄博·期中）若关于x的方程的两根互为倒数，则（   ） A．2 B．2或 C． D． 20．（2025·四川南充·二模）如果实数、（）分别满足，，则的值等于（   ） A． B． C． D．2025 21．（2025·广东广州·一模）若关于的方程有两个实数根，且两根之和不小于，则代数式化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 22．（24-25八年级下·山东泰安·期中）在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则； ②若方程的两根之积为，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ④若是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5、 填空题（每小题3分，共12分） 23．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为4，则该菱形的边长为 ． 24．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 25．（21-22八年级下·江西赣州·阶段练习）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则 ． 26．（24-25八年级下·上海·期中）如图矩形纸片，为中点，将纸片沿着直线剪成两部分，这两部分纸片重新拼成，如果为等腰直角三角形，矩形的长宽恰好是的两个实数根，则矩形纸片的面积是 ． 六、解答题（12×2=24分） 27.（12分）（2025·山东潍坊·三模）已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的整数值． 28.（12分）（23-24八年级下·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，点分别在轴、轴上，线段的长（）是关于的方程的两个实数根，是线段的中点，，在线段上，． （1）求的长； （2）求直线的解析式； （3）是直线上的点，在平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$