专题1.3（1） 一元二次方程的根与系数的关系（知识梳理与题型分类讲解）基础知识专项突破讲与练-2025-2026学年九年级数学上册（苏科版）

专题1.3（1） 一元二次方程的根与系数的关系（知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1. 掌握一元二次方程根与系数的关系式，理解其推导过程； 2. 能运用根与系数的关系，由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数； 3. 学会利用根与系数的关系求代数式的值，增强综合应用知识解决问题的能力. 二、【知识梳理】 【知识点1】一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【知识点2】一元二次方程的根与系数的关系常见应用 （1） 由根与系数关系直接求值：已知方程的根或系数，直接利用根与系数的关系求出相关代数式的值； （2） 由根与系数关系求参数的值：根据已知条件列出关于参数的方程，再求解参数。它的使用条件为a≠0， Δ≥0，以确保方程有实数根。 （3）构造方程：已知两个数，可构造以为根的一元二次方程为； （4）判断根的情况与根与系数关系综合：结合根的判别式和根与系数的关系来解决问题。 （5）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；①；②；③； ④；⑤； 三、【题型目录】 【题型一】利用一元二次方程根与系数关系的对称性求代数式的值...........................2 【题型二】利用一元二次方程根与系数的关系与一元二次方程的根综合求值...................2 【题型三】一元二次根与系数关系与根的判别式综合.......................................2 【题型四】一元二次根与系数关系与一次函数综合.........................................3 【题型五】一元二次根与系数关系与三角形综合...........................................3 【题型六】一元二次根与系数关系与特殊平行四边形综合...................................4 【题型七】直通中考...................................................................4 【题型八】拓展与延伸.................................................................4 四、【题型展示与方法点拨】 【题型一】利用一元二次方程根与系数关系的对称性求代数式的值 【例题1】（2024九年级上·江苏·专题练习）设，是方程的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【变式1】（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）已知一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【变式2】（2025·四川宜宾·三模）已知，则 ． 【题型二】利用一元二次方程根与系数的关系与一元二次方程的根综合求值 【例题2】．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）已知、是方程的两个实根，则的值是 ． 【变式1】（2025·山东聊城·三模）已知，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式2】（2025·湖北襄阳·一模）阅读理解：已知实数m，n满足，且，可以把m，n看成是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得，． 类比探究：已知实数m，n满足，且，则 ． 【题型三】一元二次根与系数关系与根的判别式综合 【例题3】（24-25八年级下·重庆·期中）若是关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值为（    ） A．或1 B． C．1 D．1或4 【变式1】（24-25九年级下·全国·假期作业）关于的一元二次方程的有两个实数根为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【变式2】（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若关于的方程的两个实数根的倒数和为，则（   ） A． B． C． D． 【题型四】一元二次根与系数关系与一次函数综合 【例题4】（2025·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与双曲线的图象交于点，，连接并延长与双曲线交于点，连接，． （1）求一次函数的解析式； （2）若，求的值． 【变式1】（2025·河北唐山·二模）二次方程的两根为和，则一次函数不经过第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式2】（2025九年级下·浙江温州·学业考试）直线与轴交于点，与函数在第一象限的图象交于两点，若，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【题型五】一元二次根与系数关系与三角形综合 【例题5】（23-24九年级上·广西河池·期末）已知三角形的一边，另两边长恰好是关于的方程的两个根，且．求的周长． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知等腰的一条边为7，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则m的值是 ． 【变式2】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）设直角三角的两条直角边，是方程的两个根，则该直角三角形的斜边为（    ） A． B． C．3 D． 【题型六】一元二次根与系数关系与特殊平行四边形综合 【例题6】（24-25九年级上·全国·期末）已知：平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，四边形是菱形； （2）若的长为，那么平行四边形的周长是多少？ （3）若关于的方程的两个实数根和满足，，求的取值范围． 【变式1】（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）已知矩形相邻两边长是一元二次方程的两个根，那么这个矩形的周长是 _______． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根，当四边形是菱形时，其周长为 ． 【题型七】直通中考 【例题7】（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及m的值． （2）求证：． 【题型八】拓展与延伸 【例题8】（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，与双曲线交于点C、D，连接并延长与双曲线交于点E，连接． （1）求直线的解析式； （2）若的面积为8，求点D的坐标； （3）若，求k的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3（1） 一元二次方程的根与系数的关系（知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1. 掌握一元二次方程根与系数的关系式，理解其推导过程； 2. 能运用根与系数的关系，由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数； 3. 学会利用根与系数的关系求代数式的值，增强综合应用知识解决问题的能力. 二、【知识梳理】 【知识点1】一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【知识点2】一元二次方程的根与系数的关系常见应用 （1） 由根与系数关系直接求值：已知方程的根或系数，直接利用根与系数的关系求出相关代数式的值； （2） 由根与系数关系求参数的值：根据已知条件列出关于参数的方程，再求解参数。它的使用条件为a≠0， Δ≥0，以确保方程有实数根。 （3）构造方程：已知两个数，可构造以为根的一元二次方程为； （4）判断根的情况与根与系数关系综合：结合根的判别式和根与系数的关系来解决问题。 （5）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；①；②；③； ④；⑤； 三、【题型目录】 【题型一】利用一元二次方程根与系数关系的对称性求代数式的值...........................2 【题型二】利用一元二次方程根与系数的关系与一元二次方程的根综合求值...................3 【题型三】一元二次根与系数关系与根的判别式综合.......................................5 【题型四】一元二次根与系数关系与一次函数综合.........................................7 【题型五】一元二次根与系数关系与三角形综合..........................................10 【题型六】一元二次根与系数关系与特殊平行四边形综合..................................12 【题型七】直通中考..................................................................14 【题型八】拓展与延伸................................................................15 四、【题型展示与方法点拨】 【题型一】利用一元二次方程根与系数关系的对称性求代数式的值 【例题1】（2024九年级上·江苏·专题练习）设，是方程的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（）利用根与系数的关系求出与的值，各式变形后代入计算即可求出值； （）利用根与系数的关系求出与的值，各式变形后代入计算即可求出值； 此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系式是解本题的关键． 解：（1）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， 原式； （2）∵，是方程的两个实数根， ∴，， 原式． 【变式1】（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）已知一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入进行计算即可得到答案． 解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式2】（2025·四川宜宾·三模）已知，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数的关系，由已知条件可得m和n是关于x的一元二次方程的两个根，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可得，，代入求值即可． 解：， m和n是关于x的一元二次方程的两个根， ，， ， 故答案为：7． 【题型二】利用一元二次方程根与系数的关系与一元二次方程的根综合求值 【例题2】（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）已知、是方程的两个实根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系得，，将原式变形，整体代入计算即可 解：∵、是方程的两个实根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式1】（2025·山东聊城·三模）已知，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，先把代入方程，整理得，再用根与系数的关系求得，最后代入求值即可． 解：∵，是方程的两个实数根， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025·湖北襄阳·一模）阅读理解：已知实数m，n满足，且，可以把m，n看成是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得，． 类比探究：已知实数m，n满足，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．根据题意得到m，是方程的实数根，解方程得到解为，根据m，n的取值分情况讨论即可． 解：∵实数m，n满足， ∴m，是方程的实数根， 解方程得， ∴分情况讨论： ①若，则； ②若，则 若，，，不合题意，舍去； 若，，，不合题意，舍去． 综上所述，． 故答案为：． 【题型三】一元二次根与系数关系与根的判别式综合 【例题3】（24-25八年级下·重庆·期中）若是关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值为（    ） A．或1 B． C．1 D．1或4 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后代入进行求解即可． 解：由题意得：， ∵， ∴， 解得：， ∵一元二次方程有两个根， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式1】（24-25九年级下·全国·假期作业）关于的一元二次方程的有两个实数根为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）8 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及绝对值，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 解：（1）解：因为关于的一元二次方程的有两个实数根， 所以，且， 解得， 所以的取值范围是． （2）解：因为关于的一元二次方程的两个实数根为，， 所以． 又因为， 所以， 则， 所以， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 所以的值为8． 【变式2】（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若关于的方程的两个实数根的倒数和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．熟练掌握根与系数的关系是本题的关键．根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案． 解：设方程的两个实数根分别为、， ， 解得：， ，， ， 解得：，， ， ， 故选：A． 【题型四】一元二次根与系数关系与一次函数综合 【例题4】（2025·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与双曲线的图象交于点，，连接并延长与双曲线交于点，连接，． （1）求一次函数的解析式； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练利用数形结合的思想是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）联立反比例函数和一次函数解析式，可得，，在利用勾股定理可得值，即可求得坐标，代入反比例函数，即可求出值． 解：（1）解：把，代入， 可得， 解得； 一次函数的解析式为 （2）解：联立， 整理得， 直线与双曲线交于点，， 点，的横坐标即为方程的两个解， ， 设，则，且， 把代入， 可得， ， ， ， ， ， 解得，（舍去）， ， 把代入反比例函数， 可得， 【变式1】（2025·河北唐山·二模）二次方程的两根为和，则一次函数不经过第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，一次函数的图象与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 由一元二次方程根与系数的关系可得，，所以，，然后根据一次函数的图象与性质即可求解． 解：∵二次方程的两根为和， ∴，， ∴，， ∴一次函数为不经过第三象限， 故选：． 【变式2】（2025九年级下·浙江温州·学业考试）直线与轴交于点，与函数在第一象限的图象交于两点，若，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】如图所示，过点B作于E，过点C作于F，设直线与x轴的交点为G，先求出，得到，，同理可得，再联立得，则，由此求解即可． 解：如图所示，过点B作于E，过点C作于F，设直线与x轴的交点为G， ∵A、G分别是直线与y轴，x轴的交点， ∴A点坐标为，G点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 设B点坐标为，C点坐标为， 联立得， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根与系数的关系，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解． 【题型五】一元二次根与系数关系与三角形综合 【例题5】（23-24九年级上·广西河池·期末）已知三角形的一边，另两边长恰好是关于的方程的两个根，且．求的周长． 【答案】7 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，从而可得，则，再根据三角形的周长公式求解即可得． 解：∵的两边长恰好是关于的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵三角形的一边， ∴的周长为． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知等腰的一条边为7，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则m的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，当腰长为7时，是方程的一个根，当底边长为7时，则方程有两个相等的实数根，据此分别求出两种情况下m的值，再求出方程对应的根，最后根据构成三角形的条件求解即可． 解：当腰长为7时，则是方程的一个根， ∴， 解得或， 当时，由根与系数的关系可得方程的另一根为， ∴此时该等腰三角形的三边长分别为7，7，3， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当时，由根与系数的关系可得方程的另一根为， ∴此时该等腰三角形的三边长分别为7，7，15， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当底边长为7时，则方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴由根与系数的关系可得方程的根为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，； 故答案为：4． 【变式2】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）设直角三角的两条直角边，是方程的两个根，则该直角三角形的斜边为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系、勾股定理，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据根与系数关系求得，，利用完全平方公式求得，然后根据勾股定理求解即可． 解：∵直角三角的两条直角边，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴该直角三角形的斜边为， 故选：B． 【题型六】一元二次根与系数关系与特殊平行四边形综合 【例题6】（24-25九年级上·全国·期末）已知：平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，四边形是菱形； （2）若的长为，那么平行四边形的周长是多少？ （3）若关于的方程的两个实数根和满足，，求的取值范围． 【答案】（1）的值为；（2）；（3） 【分析】本题考查了根的判别式、菱形的性质、平行四边形的性质以及根与系数的关系，得出的值是解题关键． （1）根据菱形的性质可得出，由根的判别式即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值； （2）将代入一元二次方程可求出的值，再根据根与系数的关系即可得出的值，利用平行四边形的性质即可求出平行四边形的周长； （3）先根据根与系数的关系得，，则利用，得到，即，所以，然后解不等式即可． 解：（1）解：∵当平行四边形的两边时，四边形为菱形， ∴关于的方程的两个实数根． ∴， 解得， 即的值为； （2）把代入方程0得， 解得， ∴原方程为， ∵， ∴平行四边形的周长； （3）根据根与系数的关系得，， ∵，， ∴，， ∴， 即， ∴， 解得． 【变式1】（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）已知矩形相邻两边长是一元二次方程的两个根，那么这个矩形的周长是 _______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，首先利用根与系数的关系得到即可求解，熟知根与系数的关系是解题的关键． 解：设一元二次方程的两个根为，， ∴ ∵矩形相邻两边长是一元二次方程的两个根， ∴这个矩形的周长是， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根，当四边形是菱形时，其周长为 ． 【答案】 【分析】先根据菱形的性质得到，则根据根的判别式的意义得到△，根据根与系数的关系得到，然后解方程得到的值，从而得到菱形的周长． 本题考查了根与系数的关系和平行四边形和菱形的性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 解：四边形是菱形， ， ，的长是关于的方程的两个实数根， ，， 解得， ， 即菱形的周长为． 故答案为：． 【题型七】直通中考 【例题7】（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及m的值． （2）求证：． 【答案】（1），；（2）详见分析． 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 解：（1）解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； （2）证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 【题型八】拓展与延伸 【例题8】（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，与双曲线交于点C、D，连接并延长与双曲线交于点E，连接． （1）求直线的解析式； （2）若的面积为8，求点D的坐标； （3）若，求k的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练利用数形结合的思想是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）利用中心对称的性质可得，则可得，表示出坐标，再代入反比例函数解方程即可； （3）列方程得到，表示出点的坐标，根据即可得到点的坐标，代入反比例函数即可解答． 解：（1）解：把代入，可得， ，即， ， ， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：延长与双曲线交于点E， 点关于原点中心对称， ， , 设点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， 设，则点的横坐标为， 把代入直线解析式可得， ， 点都在双曲线上， ， 解得， ； （3）解：列方程， 整理得， 直线与双曲线交于点C、D， 点的横坐标即为方程的两个解， ， 设，则，且， 把代入直线解析式可得， ， ， ， ， ， 解得（舍去）， ， 把代入反比例函数可得， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$