精品解析：贵州省黔西南金成实验学校等四校2024-2025学年高二下学期6月测试数学试卷

秘密★启用前 2024—2025学年度第二学期0618质量检测试题 高二年级数学 答卷注意事项： 1．学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题． 2．填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂． 3．答题时字迹要清楚、工整 4．本卷共19小题，总分为150分． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”．《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说：“故折矩，勾广三，股修四，径隅五．”大意为“当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5”．以后人们就把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理．勾股数组是满足的正整数组．若在不超过10的正整数中，随机选取3个不同的数，则能组成勾股数组的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量ξ服从正态分布，且则）等于（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 4. 相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（ ） A. B. C. D. 5. 设A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，则A－B的值为(　　) A. 128 B. 129 C. 47 D. 0 6. 设a>1，b>1，则“a>b”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 （2015浙江高考） 8. 设，是有限集，定义，其中表示有限集A中元素个数，命题①：对任意有限集，，“”是“ ”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集，，，， A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知随机变量，若，则，分别为（ ） A. B. C. D. 10. 2020年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价(元)和销售量(件)之间的一组数据如表所示： 价格 9 9.5 10 10.5 11 销售量 11 10 8 6 5 按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的有（ ） A. 变量，线性负相关且相关性较强； B. ； C. 当时，的估计值为12.8； D. 相应于点的残差约为0.4. 11. 设，，则下列结论正确的是（ ） A. 不等式恒成立 B. 函数的最小值为2 C. 函数的最大值 D. 若，则的最小值为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） （必修第一册P48习题T1（1）改编） 12. 若函数（）在处取得最小值，则a等于____________. （必修第一册P58T6改编） 13. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为________． 14. 在R上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为___________. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为万元，除尘后当日产量时，总成本. （1）求值； （2）若每吨产品出厂价为59万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品利润最大，最大利润为多少？ 16. “随意过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“随意过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表： 性别 男性 女性 合计 反感 10 不反感 8 合计 30 已知在这30人中随机抽取1人，抽到反感“随意过马路”的路人的概率是. （1）请将上面的列联表补充完整（直接写结果，不需要写求解过程），根据小概率值的独立性检验，分析反感“随意过马路”与性别是否有关？ （2）若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“随意过马路”的人数为，求的分布列和均值. 附， 0.05 0.01 384 16.635 17. 近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，随机抽样调查某市年的家庭平均教育支出，得到如下折线图.（附：年份代码分别对应的年份是）经计算得，，，. （1）用线性回归模型拟合与的关系，求出样本相关系数（精确到0.01）； （2）建立关于的经验回归方程（，精确到0.01）； （3）若2025年该市某家庭总支出为10万元，预测该家庭教育支出约为多少万元？ 附：（ⅰ）相关系数：； （ⅱ）经验回归方程：，其中. 18. 某公司计划在2022年年初将1000万元用于投资，现有两个项目供选择.项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和.项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，也可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，. （1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； （2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？（参考数据：，） 19. 某工厂购进一批加工设备，由于该设备自动模式运行不稳定，因此一个工作时段内会有的概率出现自动运行故障，此时需要1名维护人员立刻将设备切换至手动操控模式，并持续人工操作至此工作时段结束，期间该人员无法对其它设备进行维护.工厂在每个工作时段开始时将所有设备调至自动模式，若设备的自动模式出现故障而得不到人员的维护，则该设备将停止运行，且每台设备运行的状态相互独立. （1）若安排1名人员负责维护3台设备，求这3台设备能顺利运行至工作时段结束的概率； （2）设该工厂有甲，乙两个相互独立的车间.甲车间有6台设备和2名维护人员，将6台设备平均分配给2人，每名维护人员只负责维护分配给自己的3台设备；乙车间有7台设备和2名维护人员，7台设备由这2人共同负责维护.若用车间所有设备顺利运行至工作时段结束的概率来衡量生产的稳定性，试比较两个车间稳定性的高低. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 秘密★启用前 2024—2025学年度第二学期0618质量检测试题 高二年级数学 答卷注意事项： 1．学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题． 2．填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂． 3．答题时字迹要清楚、工整 4．本卷共19小题，总分为150分． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求解函数的值域得集合A，解一元二次不等式求解集合B，然后利用补集运算和交集运算求解即可. 【详解】，或， 所以，所以. 故选：A 2. 公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”．《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说：“故折矩，勾广三，股修四，径隅五．”大意为“当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5”．以后人们就把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理．勾股数组是满足的正整数组．若在不超过10的正整数中，随机选取3个不同的数，则能组成勾股数组的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 在不超过10的正整数中，随机选取3个不同的数，共有种组合方法，能组成勾股数组的情况有2种情况，结合古典概型的概率公式，可求出答案. 【详解】在不超过10的正整数中，随机选取3个不同的数，共有种组合方法， 能组成勾股数组的情况有和， 所以所求概率为. 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型问题，考查排列组合的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 3. 已知随机变量ξ服从正态分布，且则）等于（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据正态曲线的对称性求解概率即可. 详解】由已知可得正态曲线关于直线对称，， 所以， 故． 故选：D 4. 相关变量散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断. 【详解】由散点图得负相关，所以， 因为剔除点后，剩下点数据更线性相关性更强，则更接近， 所以. 故选：D. 5. 设A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，则A－B的值为(　　) A. 128 B. 129 C. 47 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】先化简A－B，发现其结果为二项式展开式，然后计算即可 【详解】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝ 故选A. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，关键是通过化简能够发现其结果在形式上满足二项式展开式，然后计算出结果，属于基础题． 6. 设a>1，b>1，则“a>b”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先构造函数f（x），再判断单调性，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：设，则， 当时，， 当时，单调递增，又a>1，b>1， ， 故选：C. 【点睛】方法点睛：构造函数利用单调性判断不等式大小，注意充要条件定义中的互推性． 7. 数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可. 【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为或或若是，则先将门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种 所以每位同学的不同选修方式有种， 故选：B. （2015浙江高考） 8. 设，是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数，命题①：对任意有限集，，“”是“ ”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集，，，， A. 命题①和命题②都成立 B. 命题①和命题②都不成立 C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立 【答案】A 【解析】 【详解】命题①显然正确，通过如下文氏图亦可知表示的区域不大于 的区域，故命题②也正确，故选A. 考点：集合的性质 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知随机变量，若，则，分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由随机变量，得到，再利用期望和方差公式求解. 【详解】解：因为随机变量， 所以， 所以， ， 故选：BC 10. 2020年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价(元)和销售量(件)之间的一组数据如表所示： 价格 9 9.5 10 10.5 11 销售量 11 10 8 6 5 按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的有（ ） A. 变量，线性负相关且相关性较强； B. ； C. 当时，的估计值为12.8； D. 相应于点的残差约为0.4. 【答案】ABC 【解析】 【分析】 根据相关性、相关系数判断A选项的正确性.利用样本中心点判断B选项的正确性.将代入回归直线方程，由此判断C选项的正确性.求得时的估计值，进而求得对应的残差，从而判断D选项的正确性. 【详解】对A，由表可知随增大而减少，可认为变量，线性负相关，且由相关系数可知相关性强，故A正确. 对B，价格平均，销售量. 故回归直线恒过定点，故，故B正确. 对C，当时，，故C正确. 对D，相应于点的残差，故D不正确. 故选：ABC 11. 设，，则下列结论正确的是（ ） A. 不等式恒成立 B. 函数的最小值为2 C. 函数的最大值 D. 若，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】化简函数表达式，利用基本不等式求各函数的最值，确定正确选项. 【详解】解：因为，， ，当且仅当时取等号，A正确； 因为，则，当且仅当，即时取等号， 但，故B错误； ，当且仅当，即时取等号，C正确； 因为，所以， 则 ， 当且仅当中时取等号，D错误. 故选：AC. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） （必修第一册P48习题T1（1）改编） 12. 若函数（）在处取得最小值，则a等于____________. 【答案】3 【解析】 【分析】将化成，使，然后利用基本不等式可求出最小值，注意等号成立的条件，可求出的值． 【详解】解： 当时，即时等号成立． 处取最小值， 故答案为：3 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． （必修第一册P58T6改编） 13. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，不等式为，显然成立，符合题意； 当时，则，解得. 综上所述，k的取值范围是． 故答案为：. 14. 在R上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据定义可得不等式对任意实数x恒成立，再根据根的判别式即可得出答案. 【详解】由题意可得不等式对任意实数x恒成立， 即不等式对任意实数x恒成立， 即对任意实数x恒成立， 所以，解得， 所以实数a取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为万元，除尘后当日产量时，总成本. （1）求的值； （2）若每吨产品出厂价为59万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？ 【答案】(1)2,(2) 除尘后日产量为11吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为6万元. 【解析】 【分析】（1）利用原来的成本加上卫生综合整治后增加的成本，求得除尘后总成本的表达式，利用，，求得的值. （2）由（1）求得除尘后总成本的表达式，进而求得总利润的表达式，由此求得每吨产品利润的表达式，利用基本不等式求得每吨产品的利润的最大值，以及此时对应的日产量. 【详解】（1）由题意，除尘后， 当日产量时，总成本， 故， 解得. （2）由（1）， 总利润， 每吨产品的利润， 当且仅当，即时取等号， 除尘后日产量为11吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为6万元. 【点睛】本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 16. “随意过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“随意过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表： 性别 男性 女性 合计 反感 10 不反感 8 合计 30 已知在这30人中随机抽取1人，抽到反感“随意过马路”的路人的概率是. （1）请将上面的列联表补充完整（直接写结果，不需要写求解过程），根据小概率值的独立性检验，分析反感“随意过马路”与性别是否有关？ （2）若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“随意过马路”的人数为，求的分布列和均值. 附， 0.05 0.01 3.84 16.635 【答案】（1）列联表见解析，认为反感“随意过马路”与性别无关联，此推断犯错误概率不大于0.05； （2）分布列见解析，均值为. 【解析】 【分析】（1）根据题意补充列联表，将表中数据代入计算，比较与的大小，即可得出结论； （2）根据题意写出的可能取值，分别计算在每个可能取值下的概率，根据结果列出分布列，使用均值计算公式计算均值. 【小问1详解】 性别 男性 女性 合计 反感 10 6 16 不反感 6 8 14 合计 16 14 30 零假设为：反感“随意过马路”与性别无关联， 由已知数据得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为反感“随意过马路”与性别无关联. 【小问2详解】 的可能取值为0，1，2， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 的均值为. 17. 近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，随机抽样调查某市年的家庭平均教育支出，得到如下折线图.（附：年份代码分别对应的年份是）经计算得，，，. （1）用线性回归模型拟合与的关系，求出样本相关系数（精确到0.01）； （2）建立关于的经验回归方程（，精确到0.01）； （3）若2025年该市某家庭总支出为10万元，预测该家庭教育支出约为多少万元？ 附：（ⅰ）相关系数：； （ⅱ）经验回归方程：，其中. 【答案】（1） （2） （3）5.556万元 【解析】 【分析】（1）结合题目所给数据，计算出，，，，代入相关系数的表达式得出相关系数的值，再说明相关性强弱； （2）结合题目所给数据，计算出和，代入经验回归方程表达式即可； （3）依题意，将代入经验回归方程计算出的即为2025年该家庭教育支出的预测值. 【小问1详解】 ， ， ， 所以，故相关性较强. 【小问2详解】 ， ， . 【小问3详解】 当时，， 故家庭教育支出为（万元）. 18. 某公司计划在2022年年初将1000万元用于投资，现有两个项目供选择.项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和.项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，也可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，. （1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； （2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？（参考数据：，） 【答案】（1）建议该投资公司选择项目一进行投资，理由见解析；（2）2025年. 【解析】 【分析】(1)根据题意，分别列出两个投资项目的获利的分布列，再计算期望与方差即可求解； (2)根据题意，列出总资产与投资年数之间的关系式，解方程即可求解. 【详解】(1)若投资项目一，设获利为万元，则的分布列为 300 ∴. 若投资项目二，设获利为万元，则的分布列为 500 0 ∴.∴. ， ，∴， 这说明虽然项目一､项目二获利的均值相等，但项目一的方差较小. 综上，建议该投资公司选择项目一进行投资. (2)假设年后总资产可以翻一番，依题意，得，即， 两边取对数，得，， ∴大约在2025年年底总资产可以翻一番. 19. 某工厂购进一批加工设备，由于该设备自动模式运行不稳定，因此一个工作时段内会有的概率出现自动运行故障，此时需要1名维护人员立刻将设备切换至手动操控模式，并持续人工操作至此工作时段结束，期间该人员无法对其它设备进行维护.工厂在每个工作时段开始时将所有设备调至自动模式，若设备的自动模式出现故障而得不到人员的维护，则该设备将停止运行，且每台设备运行的状态相互独立. （1）若安排1名人员负责维护3台设备，求这3台设备能顺利运行至工作时段结束的概率； （2）设该工厂有甲，乙两个相互独立的车间.甲车间有6台设备和2名维护人员，将6台设备平均分配给2人，每名维护人员只负责维护分配给自己的3台设备；乙车间有7台设备和2名维护人员，7台设备由这2人共同负责维护.若用车间所有设备顺利运行至工作时段结束的概率来衡量生产的稳定性，试比较两个车间稳定性的高低. 【答案】（1）；（2）乙车间生产稳定性更高. 【解析】 【分析】（1）设3台设备自动模式不出故障的台数记为，则，利用二项分布的概率公式求解即可； （2）由（1）知每个小组能保证设备顺利运行至结束概率，进而可得甲车间设备顺利运行至结束的概率；乙车间7台设备自动模式不出故障的台数记为，利用二项分布的概率公式可求解乙车间设备顺利运行至结束的概率；两个结果作比可得结论． 【详解】（1）设3台设备自动模式不出故障的台数记为，则 记“1名人员维护3台设备能顺利运行至工作时段结束”为事件A. 则. （2）甲车间分得的两个小组相互对立，由（1）知每个小组能保证设备顺利运行至结束概率 设“甲车间设备顺利运行至结束”为事件B. 则 乙车间7台设备自动模式不出故障的台数记为 记“乙车间设备顺利运行至结束”为事件C. ∵，∴ 故乙车间生产稳定性更高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$