预习专题03 直线与平面的位置关系（4知识点+16题型+过关测试）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

预习专题03 直线与平面的位置关系 知识点01：直线与平面平行 （1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． （2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 注意：用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线a在平面α外，即a⊄α. (2)直线b在平面α内，即b⊂α. (3)两直线a，b平行，即a∥b. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G. 证明　连接BC1(图略)， 在△BCC1中， ∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF∥BC1， 又∵AB∥A1B1∥D1C1， 且AB＝A1B1＝D1C1， ∴四边形ABC1D1是平行四边形， ∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1， 又EF⊄平面AD1G， AD1⊂平面AD1G，∴EF∥平面AD1G. 知识点02：直线与平面垂直 1．直线与平面垂直的定义 如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足． 结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 2.直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 4．与线面垂直有关的重要结论 (1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线． (2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． (3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行． (4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD. 证明　方法一　∵四边形ABCD为正方形， ∴BD⊥AC， 又AA1⊥平面ABCD， ∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A， ∴BD⊥平面AA1O， ∴BD⊥A1O， 令正方体的棱长为2，连接OM，A1M(图略)， 则A1O＝，OM＝，A1M＝3， ∴A1O2＋OM2＝A1M2， ∴A1O⊥OM， 又OM∩BD＝O， ∴A1O⊥平面MBD. 方法二　连接A1B，A1D，OM(图略)． 在正方体ABCD－A1B1C1D1中， A1B＝A1D， O为BD的中点， ∴A1O⊥BD. 令正方体的棱长为2， 在Rt△A1AO和Rt△OCM中， tan∠AA1O＝＝， tan∠COM＝＝， 故△A1AO∽△OCM， ∴∠AOA1＋∠COM＝90°， ∴∠A1OM＝90°， ∴A1O⊥OM， ∵BD∩OM＝O， BD⊂平面MBD， OM⊂平面MBD， ∴A1O⊥平面MBD. 知识点03：直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90° 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中． (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角． 解　(1)∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1， ∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. (2)如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角． 设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝. 又∵∠A1OB＝90°， ∴sin∠A1BO＝＝，又0°≤∠A1BO≤90°， ∴∠A1BO＝30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 知识点04：三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直 : 如图，矩形的长，宽，若平面，矩形的边上至少有一个点，使得，则的范围是　 　． 【分析】依据三垂线定理，要使，必须有，即以为直径的圆应与有公共点即可，从而可求的范围． 【解答】解：平面，平面， ； 要使，依三垂线定理得，必须有，而为矩形的边上的一个点， 以为直径的圆应与有公共点， ，宽， ． 故答案为：． 【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，考查等价转化思想，考查直线与圆的位置关系，属于中档题． 题型一、判断图形中的线面关系 例1（23-24高二上·上海·课后作业）直线a与平面的位置关系 位置关系 直线在平面内 相交 平行 公共点个数 符号表示 图形表示 【答案】 无数个 1个 0个 【分析】略 【详解】略 1-1（24-25高二上·上海·期中）若点直线，且直线平面，则 .（填合适的符号） 【答案】 【分析】由点线面的位置关系判断即可. 【详解】点直线，且直线平面，则， 故答案为： 1-2 （24-25高二上·上海·阶段练习）直线与平面的位置关系有 . 【答案】直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行 【分析】根据空间中的线面关系概念即可求解. 【详解】按照直线与平面公共点的个数为无数个，1个，和0个可知， 空间中直线与平面的位置关系有三种：. 故答案为：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行 题型二、线面关系有关命题的判断 例2（24-25高二上·上海松江·期中）“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点与线、点与面的关系是元素和集合的关系，线与面的关系是集合与集合的关系判断即可. 【详解】平面内有一条直线，， 点在直线上，， . 故选：B. 2-1（24-25高二上·上海·期末）已知a，b是两条不同的直线，α为一个平面， a⊂α，则“b∥α”是“a，b无公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的概念可确定选项. 【详解】由b∥α得直线b与平面α无公共点，由a⊂α得a，b无公共点，充分性成立. 由a，b无公共点得a∥b或a，b为异面直线，b∥α不一定成立，必要性不成立. 故“b∥α”是“a，b无公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 2-2（24-25高二上·上海·阶段练习）若空间中四条直线满足，，，则下列结论一定正确的是 . ①、②、③、④、⑤、⑥ 【答案】④⑥ 【分析】借助垂直与平行的性质逐项分析即可得. 【详解】由，，则，故①错，④对； 由，，则，故③错，⑥对； 可能垂直，也可能平行，故②、⑤错. 故答案为：④⑥. 题型三、判断线面平行 例3（24-25高二上·上海崇明·期中）正方体中，与的交点称为正方体的中心，若平面经过该正方体的中心，且顶点，到平面的距离相等，则符合条件的平面的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．12个 D．无数个 【答案】D 【分析】根据题意只需作出过点并且和平行的平面即可得出平面的个数. 【详解】分别在上取点，使得，连接，如下图所示： 易知平面即为平面，此时，到平面的距离相等， 显然这样的平面可以作出无数个. 故选：D 3-1（23-24高一下·福建龙岩·期中）设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用线面位置关系，逐项判断即得. 【详解】对于A，，则或，A错误； 对于B，，则或，B错误； 对于C，，则直线可能相交，可能平行，也可能是异面直线，C错误； 对于D，由线面平行的性质知，D正确. 故选：D 3-2（24-25高一下·全国·课后作业）在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线线平行证明线面平行. 【详解】A选项： 如图所示，由中位线性质可知，且平面，则与平面不平行，A选项满足题意； B选项：由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知B不满足题意； C选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知C不满足题意； D选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知D不满足题意， 故选：A． 题型四、证明线面平行 例4（24-25高二上·上海·阶段练习）已知平面与平面相交于直线m，直线直线m，则（    ） A．一定有直线平面 B．一定有直线平面β C．一定有直线平面且直线平面 D．直线平面和直线平面至少有一个成立 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定定理，结合反例，可得答案. 【详解】当时，此时，由，，则； 当时，此时，由，，则； 当，且时，此时由和得；且由和得； 所以直线平面和直线平面至少有一个成立. 故选：D. 4-1（2024·上海徐汇·一模）已知为空间中两条不同的直线，为两个不同的平面，若，则是的 条件.（填：“充分非必要”､“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个） 【答案】充要 【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】充分性：因为， 所以共面， 又因为为两个不同的平面，， 所以， 所以，故充分性成立； 必要性：因为，所以， 又因为，所以，故必要性成立， 所以是的充要条件. 故答案为：充要. 4-2 （24-25高二上·上海·期中）如图，棱长为2的正方体中，分别是的中点． (1)证明：平面． (2)求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角表示） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）构造线线平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行. （2）根据线线平行，找出异面直线所成的角，在三角形中，利用余弦定理求角的余弦. 【详解】（1）如图：连接，. 因为为正方体，所以. 又，、分别是、的中点，所以， 所以，平面，平面，所以平面. （2）如图：连接、 因为，所以即为异面直线与所成的角，设为. 在中，，，. 所以. 所以异面直线与所成的角为：. 题型五、线面平行的性质 例5（24-25高二上·北京·阶段练习）已知空间中的两条直线，都与一个平面平行，则和的位置关系为（   ） A．平行或相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．平行、相交或异面 【答案】D 【分析】根据题意分情况讨论的两条直线，的位置从而可求解. 【详解】由题可得两条直线，都与一个平面平行，可作出平行六面体如下图， 分别为的中点，设平面为平面， 当所在直线表示为，此时两条直线，都与平面平行，且平行； 当所在直线表示为，此时两条直线，都与平面平行，且与相交； 当所在直线表示为，此时两条直线，都与平面平行，且与异面； 故和的位置关系为平行、相交或异面，故D正确. 故选：D.    5-1（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）若直线平面，直线平面，则与（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．没有公共点 【答案】D 【分析】利用直线与平面平行的性质可知，直线与平面内的直线始终没有公共点，即可得出结果. 【详解】根据线面平行的性质可知， 当直线平面，直线平面时，有以下情况 ①如下图所示； 此时与平行； ②如下图所示： 此时与异面； 即与异面或平行，所以它们没有公共点. 故选：D 5-2（24-25高二上·上海崇明·期中）如图所示，在正方体中，、分别是、的中点.求证： (1)四边形是梯形； (2)、、三线共点； (3)直线和直线是异面直线. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【分析】（1）根据正方体性质可证明且不相等，可得结论； （2）利用点与线、线与面的位置关系并根据平行线性质以及相似比可得结论； （3）利用反证法假设直线和直线不是异面直线，找出矛盾即可得出结论. 【详解】（1）因为、分别是、的中点， 所以，且, 由正方体性质可得，所以四边形是平行四边形， 所以，因此，但, 可知四边形是梯形； （2）分别延长交于点，如下图所示： 因为平面，所以平面； 又因为是的中点，所以，所以是的中点， 连接， 又，所以与的交点即为线段的中点，即为； 所以可得、、三线共点； （3）假设直线和直线不是异面直线，则存在一个平面，使得； 易知，，因此， 又因为平面，且平面， 所以，在正方形中，显然不成立，故矛盾，假设不成立； 即直线和直线是异面直线. 题型六、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 例6（23-24高二上·上海·阶段练习）在棱长为10的正方体中，为左侧面上一点，已知点到的距离为2，点到的距离为3，则过点且与平行的直线交正方体于两点，则点所在的平面是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质，确定点与直线所确定的平面，即直线所确定的平面，延长，交于点M，即得Q所在的平面. 【详解】如图，由条件可知直线交线段于点，连接，过点作的平行线，必与相交，那么也与平面相交. 故选：C. 6-1（23-24高三上·河南·阶段练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为棱上的点，，且平面，则 . 【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理，平行线分线段成比例等知识求得正确答案． 【详解】设，连接， 由于平面，平面，平面平面， 则， 由于,,所以， 所以． 故答案为：． 6-2（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到要使平面，则四边形为平行四边形，故，设，表达出，求出最小值. 【详解】过点分别作交于点，交于点， 连接， 要想平面，则四边形为平行四边形，故， 设，则，故， 由勾股定理得， 其中， 当且仅当时，等号成立， 故. 故答案为： 6-3（24-25高二上·上海·期中）已知正四棱锥的高为8，各个顶点均在表面积为的球的表面上，相交于，点为线段上一点，使得直线平面. (1)确定点的位置，并证明你的结论； (2)求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)为线段的中点，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质可得，结合是的中点即可判断点位置, （2）根据正四棱锥的几何性质，结合球的表面积公式，可得四棱锥的底面边长，即可根据平行得是异面直线与成的角或其补角，利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）为线段的中点，证明如下： 由于相交于，四边形为正方形，故是的中点， 由于平面，平面，且平面, 故, 由于是的中点，故为线段的中点. （2）由球的表面积公式，得球的半径， 设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上， 连，则,，故, 则在，有， 即，可得正方形的边长为， 侧棱． 由（1）知，故是异面直线与成的角或其补角， 由于为等腰三角形，且, 故， 异面直线与所成的角为； 题型七、判断线面是否垂直 例7（24-25高二上·上海·期中）已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】利用直线与平面垂直的判定定理，即可得出结论. 【详解】根据直线与平面垂直的判定定理可知： 如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面. 而“垂直于内的两条直线”，没有满足相交， 所以不一定能推出直线与平面垂直， 但是如果一条直线与平面垂直，一定能推出这条直线垂直于平面内的所有直线， 即可得：“垂直于内的两条直线”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7-1（24-25高二上·上海·期中）命题：若直线与平面上的无数条直线垂直，则，是 命题（选填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】根据空间中线面的位置关系判断即可. 【详解】当时，在平面内存在无数条直线与直线垂直，但是与不垂直，故命题为假命题. 故答案为：假. 7-2（24-25高二上·上海·期中）若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．平面 【答案】A 【分析】根据条件，利用线面垂直的性质定理和判定定理，对各选项分析判断，即可求解. 【详解】因为直线垂直于以为直径的圆所在的平面， 又面，所以，故选项C正确， 又，，面，所以平面， 又面，所以，故选项B和D正确， 对于选项A，若，又，面， 则面，又面，所以，与相矛盾 故选：A. 题型八、证明线面垂直 例8（24-25高二上·上海·阶段练习）在正方体中，与垂直的面对角线有 条. 【答案】 【分析】平面、平面，平面，再由线面垂直的判定定理及性质定理即可求解. 【详解】由正方体性质知，平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面， 所以，又面对角线， 所以， 同理平面，平面， 可得，， 所以与垂直的面对角线共有6条. 故答案为：6. 8-1（24-25高二上·上海·期末）在三棱锥中，，则点在平面上的投影 O 点是 的 心. 【答案】垂 【分析】根据，利用线面垂直的判定定理得到平面PAC，从而，再根据点在平面上的投影为O，得到，有平面PBO，从而，同理证得，即可. 【详解】如图所示： 在三棱锥P-ABC中，因为， 平面PAC，又平面PAC，所以， 又点在平面上的投影为O，所以 平面ABC， 又平面ABC，所以 ， 又，所以平面PBO， 因为平面PBO，所以， 同理可得，， 所以点在平面上的投影 O 点是 的垂心. 故答案为：垂. 8-2（24-25高二上·上海松江·期中）已知所在平面外一点，且二面角、、大小相等，则点在平面内的射影应为的 心. 【答案】内 【分析】若面，且，连接，利用线面垂直的判定、性质定理证、，结合题设二面角相等，即可判断. 【详解】如下图，若面，且，连接， 由面，则， 又均在面内，则面，面，即， 同理可证，结合二面角、大小相等， 结合下图示，、对应二面角分别为， 在中，， 所以，则， 综上，到距离相等，同理到距离与到距离也一样， 所以点在平面内的射影是的内心. 故答案为：内 8-3（24-25高二上·上海·期末）已知正方体的棱长为，，为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积 ，则点的轨迹长度为 . 【答案】 【分析】由正方体可证平面，及，再由三角形面积可知点到的距离，即可判断点轨迹，即可得解. 【详解】 由连接， 由正方体可知，，，， 且，，平面， 则平面， 又平面， ， 同理， 又，，平面， 所以平面， 即平面，且， 设直线平面于点， 则，且为三角形中心， 又，则， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 在中，， 又， 所以，即， 所以点的轨迹为圆上的三段弧，且每段弧所对的圆心角为， 则轨迹的长度为， 故答案为：. 8-4（24-25高二上·上海·期末）如图，在正方体中，E是的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线DE与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明即可； （2）由，得出是异面直线DE与所成角，再根据正切求角即可. 【详解】（1）连接，在正方体中，E是的中点， 所以E是的中点，且，即， 因为平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面. （2）连接CE，因为，所以是异面直线DE与所成角. 记正方体的棱长为， 在中，， 所以异面直线DE与所成角是 . 题型九、求点面距离 例9（24-25高二上·上海·期中）已知正方体棱长为2，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】利用正方体的特征及线面垂直的判定计算即可. 【详解】如图所示，E为侧面的中心， 根据正方体的特征可知平面， 平面，所以， 又平面， 所以平面，即点到平面的距离为. 故答案为： 9-1（23-24高二上·上海·期末）正四面体的棱长为1，则点A到平面的距离为 【答案】/ 【分析】作出辅助线，得到即为点A到平面的距离，为等边三角形的中心，结合勾股定理求出答案. 【详解】取的中点，连接，则⊥， 过点作⊥平面，垂足为，即为点A到平面的距离， 则点在上，且为等边三角形的中心， 因为正四面体的棱长为1，则， 由勾股定理得，则， 因为，由勾股定理得， 则点A到平面的距离为. 故答案为： 9-2（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据异面直线所成角的定义可得即为所求，解直角三角形即可求解； （2）在正方体中，证明面，即可得出点面距离也即线面距离. 【详解】（1）因为，所以即为异面直线与所成角或其补角， 因为，由勾股定理得， 故，所以； （2）连接交于，则， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，，平面， 所以面， 所以线段为所求距离，则点到平面的距离为. 题型十、求直线与平面的距离 例10（24-25高二上·上海·随堂练习）在长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，异面直线与CD所成角为，则到底面ABCD的距离为 【答案】 【分析】由异面直线所成的角可求得长方体的高，即可得出结果. 【详解】如下图所示： 由长方体性质可知与平行， 所以即为异面直线与CD所成的角，即， 又因为为直角三角形，， 又，所以； 可得， 易知到底面ABCD的距离为. 故答案为： 10-1（23-24高二上·上海闵行·期中）已知正方体中，棱长为2，点是棱的中点. (1)连结，求证：直线与直线是异面直线； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据和不共面从而得结论; （2）由直线到平面的距离转换为点到平面的距离，再根据直线和平面的垂直，即可得答案. 【详解】（1）假设和共面，因为，，可确定平面，则平面，而是棱的中点，平面，所以和共面不成立，故和不共面. 故直线与直线是异面直线. （2）因为在正方体中，所以，平面，平面， 所以平面，直线到平面的距离，即点平面的距离， 连接，与交于点， 在正方体中，所以， 又在正方体中，所以平面，由平面， 所以，又，平面，平面， 所以平面.所以的长度即点平面的距离， 因为正方体中，棱长为2，所以 的长度为. 故直线到平面的距离为. 10-2（24-25高二上·上海·课堂例题）已知长方体的棱、AB和AD的长分别为3cm、4cm和5cm． (1)求点A和点的距离； (2)求点A到棱的距离； (3)求棱AB和平面的距离． 【答案】(1)； (2)5cm； (3)3cm． 【分析】（1）（2）利用线面垂直的性质，结合勾股定理计算即得. （3）利用直线与其平行平面距离的定义求解即得. 【详解】（1）在长方体中，连接， 由平面，平面，得，则， 而，因此， 所以． （2）在长方体中，连接，由平面，平面， 则，而， 所以点A到棱的距离为5cm． （3）在长方形中，平面，平面， 所以AB到平面的距离为，为3cm. 题型十一、线面垂直证明线线平行 例11（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）设a、b、c表示三条直线，，表示两个平面，下面命题中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面、面面平行垂直的判定定理和性质判断即可. 【详解】A选项：因为，所以垂直平面内的所有直线，又∥，所以平面内的任意直线在平面内都存在直线与之平行，所以垂直平面内的任意直线，，A正确； B选项： 如图，为直线，为斜足，过作，所以为在平面内的投影，因为，，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，B正确； C选项：根据线面平行的判定定理可得C正确； D选项：不能说明和平面内的直线都垂直，所以D错. 故选；D. 11-1（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题： ①若，，则              ②若，，则 ③若，，则              ④若，，则 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据线面位置关系的判定定理、性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解. 【详解】，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线， 若，，则，，相交或异面，故①不正确； 若，，则，故②正确； 若，，则，故③正确； 若，，则或，故④不正确； 正确命题的个数是. 故选：. 11-2（24-25高二上·上海静安·阶段练习）如图，已知四边形是矩形，平面，且，M、N是线段、上的点，满足. (1)若，求证：直线平面； (2)是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理和性质，结合线线的位置有关系进行判断即可. 【详解】（1）取中点Q，连接，， 由，得M是线段中点，则，， 由四边形是矩形，N是线段的中点，得，， 于是，，四边形是平行四边形， 则，而平面，平面， 所以直线平面. （2）假设存在实数λ，使得同时垂直于直线和直线，由四边形是矩形，得， 即，，而，平面，则平面， 由平面，平面，得，而，，平面， 因此平面，则，在矩形边上取点，使， 连接，则与矛盾，即假设不成立， 所以不存在实数，使直线同时垂直于直线和直线. 题型十二、线面垂直证明线线垂直 例12（24-25高三上·上海浦东新·期末）设、为两条直线，、为两个平面，且．下述四个命题中为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则或 【答案】B 【分析】选项A，利用线面垂直的性质，即可求解；选项B，在正方体中，通过取特例，即可求解；选项C和D，利用线面平行的性质和判定，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以，又，所以，故选项A是真命题， 对于选项B，如图，取平面为，平面为，则直线为直线，取为直线， 显然有，但与异面，所以选项B为假命题， 对于选项C，在内任取不在直线上的一点，过确定，则，因为，所以， 同理可得，，所以，又，故， 又，所以，得到，故选项C为真命题， 对于选项D，因为，所以，，若，因为，则， 若，易知，又，，所以，故选项D为真命题， 故选：B. 12-1（24-25高二上·上海·期末）已知矩形的边平面，现有数据：①；②；③；④；④，当在边上存在点，使时，则可以取 .（填序号） 【答案】①② 【分析】根据平面，结合已知可证平面，进而可得，得到点在以为直径的圆上，进而由与以为直径的圆有公共点，可求解. 【详解】连接， 因为平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 在平面内，直径所对的圆周角为直角， 所以点在以为直径的圆上， 故当与以为直径的圆有公共点时，在边上存在点，使， 因此，即. 故答案为：①②. 12-2（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，．，为线段的中点，，分别为线段和线段上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用线面垂直的判定定理和性质定理推得，做辅助线，利用相似三角形将所求线段转化，再利用直线外的定点到定直线上的动点间距离大于等于该点到直线的距离求得最终结果. 【详解】平面，，平面， ，，又，， ，平面， 平面， 平面，， 在直角三角形中，． 过点分别作，，垂足分别，， ， ，， ， 故选：C． 12-3（24-25高二上·上海宝山·期末）如图，在棱长为1的正方体中，及分别为棱和的中点． (1)求证：平面； (2)若为棱的中点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用中位线定理与线面平行的判定定理即可得证； （2）利用线面垂直的性质与判定定理即可得解. 【详解】（1）在正方体中，E，F，G分别为棱和的中点， ，且，则四边形是平行四边形，， 而平面平面DEG，所以平面DEG. （2）在正方体中，平面，面，则， 由是正方形边的中点，得，则， 为棱的中点，在正方形中，， 则，即，则， 又平面DEG，所以平面DEG. 题型十三、线面角的概念及辨析 例13（24-25高二上·上海·阶段练习）已知是锐角，则“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】由“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”不能推出“直线与平面所成角的大小为”， 由“直线与平面所成角的大小为”能推出“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”，由此可确定选项. 【详解】若直线与平面内一条直线所成角的大小为，则直线与平面内无数条直线所成角的大小为，这无数条直线平行，直线与平面所成角的大小不一定为. 故“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”不能推出“直线与平面所成角的大小为”. 若直线与平面所成角的大小为，则直线与它在平面上的射影所成的角为，直线与平面内无数条直线所成角的大小为，这无数条直线与射影平行. 故“直线与平面所成角的大小为”能推出“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”. 故“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的必要非充分条件. 故选：B. 13-1（24-25高二上·上海·阶段练习）直线是平面的一条斜线，与平面内的直线所成角的取值范围是 . 【答案】 【分析】由直线和平面所成角的知识点即可得. 【详解】略 帮答案为： 13-2（24-25高二上·上海·期中）已知点到平面的距离是2，动点、在平面内，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据图形，比较线面角和线和平面内其他角的正弦值，即可求解. 【详解】如图，，，，过点作，垂足为点， 因为，，， 所以， 当点重合时，等号成立，所以，， 所以的最小值为 故答案为： 13-3（24-25高二上·上海·期中）空间中，斜线与平面所成角的取值范围为 ．（用弧度制表示）． 【答案】 【分析】根据斜线与平面所成角的定义求解即可. 【详解】根据斜线与平面所成角的定义可知，空间中，斜线与平面所成角的范围是. 故答案为：. 45．（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，，求：    (1)与所成角的大小； (2)与平面所成角的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到异面直线所成的角，进而解出即可； （2）取BC中点E，然后证明平面，进而得到线面角，解出即可； 【详解】（1）∵，∴与所成的角就是（或其补角）. ∵平面，平面，∴， ∵四边形是正方形，∴，而， ∴平面，又平面，∴. 在中，，，， ∴.即与所成角为. （2）如图，取BC中点E，连接，易知O为的中点， ∴且， ∴平面，∴为与平面所成的角. 在中，，， ∴. 即与平面所成角的正切值为.    题型十四、求线面角 例14（24-25高二上·上海·阶段练习）在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的大小为 .（结果用反三角表示） 【答案】 【分析】过作，交于，连接，是直线与平面所成的角，求出，进而得到答案. 【详解】 过作，交于，连接， 平面， 是直线与平面所成的角， 由题意，得， ，， ， ， 直线DE与平面ABCD所成角的大小为是. 故答案为：. 14-1（24-25高二上·上海·期末）如图，正方体中，点为中点，则直线与平面所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】借助正方体的性质，根据线面角的定义作出所求的角，然后在直角三角形中求解余弦值即可. 【详解】因为平面平面， 所以直线与平面所成角即与平面所成角，连接， 由正方体的性质可知平面，故是与平面所成角， 设正方体的棱长为2， 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 故答案为： 14-2（24-25高二上·上海闵行·期末）在如图所示的圆柱中，是底面圆的直径，是圆柱的母线，且，点是底面圆周上的一点，且，则直线与平面所成的角的正切值为 ． 【答案】/ 【分析】根据线面垂直可得为直线与平面所成的角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】由于点是底面圆周上的一点，故, 又平面，平面，故平面， 故平面，故为直线与平面所成的角， 由于，，故, 故, 故答案为：. 14-3（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，平面α内有，，α外有一点P，，且，O为垂足，.    (1)求证：“”是“点O为的垂心”的充要条件； (2)若，求与平面α所成的角. 【答案】(1)证明见解析； (2)与平面α所成的角为 【分析】（1）证明充要条件，需要证两步，第一需要证点O为的垂心，第二步需要证点O为的垂心即可； （2）先找到与平面α所成的角，最后在三角形中求出即可. 【详解】（1）由，，所以，又，，平面，平面， 所以平面，平面，所以，又， 即与重合，即为的垂心； 若O为的垂心，，又，，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以，即， 所以“”是“点O为的垂心”的充要条件； （2）由，，所以，又，所以为的中点， 所以为与平面α所成的角，又， 在中，所以， 又因为，所以， 所以与平面α所成的角为.    14-4（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，四棱锥的体积为，为的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角的大小．（结果用反三角表示） 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由得到，根据线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定、性质可证； （2）设相交于一点，连接，易知是直线与平面所成的角，进而求出角的大小. 【详解】（1）由题设，且， 故， 所以，故. 因为 底面，底面，所以， 因为，且面， 所以平面， 又平面， 则， （2）设相交于一点，连接，由（1）知：平面， 所以是直线与平面所成的角， ，则， 因为四棱锥的体积为，底面， 所以，所以， ,, 所以 ， 所以所求线面角的大小为. 题型十五、由线面角的大小求长度 例15（24-25高二上·上海·期中）设点到平面的距离为，点在平面上，使得直线与所成的角不小于且不大于，则满足条件的点构成的区域的面积为 . 【答案】 【分析】由题意画出图形，分别求出两个圆锥的半径，结合圆的面积公式作差即可． 【详解】如图， 过作，则， 当时，，当时，． 所以，满足条件的点构成的区域的面积为. 故答案为：. 15-1（24-25高二上·上海·期中）如果三棱锥的侧棱与底面所成角都相等，顶点在底面的射影在内，那么是的 心. 【答案】外 【分析】设侧棱与底面所成角为，则，故，从而判断即可. 【详解】三棱锥的侧棱与底面所成角都相等，设夹角为， 顶点在底面的射影在内， 所以， 所以，故是的外心. 故答案为：外 15-2（24-25高二上·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是    【答案】 【分析】作出辅助线，得到⊥平面，故，先得到，求出，得到答案. 【详解】连接，相交于点，连接， 则⊥平面，故， 因为，所以，， 故，故， 正四棱锥的高为.    故答案为： 15-3（23-24高二上·上海·期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，1 【分析】（1）根据线线平行可得异面直线所成的角，根据三角形的边角关系即可求解， （2）根据几何法求解线面角，利用三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）因为为正方形，则， 则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角， 因为三角形是等边三角形，则 平面，平面，，． 所以异面直线AC与BD所成的角为． （2）作交于点，连接， 平面，平面， 则与平面所成的角为， 设，则， 则. 15-4（23-24高二上·上海黄浦·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面ABCD，为的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：为的中点； (2)若，，直线与平面所成角的大小为，求PD的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线平行，结合中点即可求证， （2）根据线面角的几何法求解即为直线BE与平面PAD所成角，故，即可理由三角形的边角关系求解. 【详解】（1）过作交于，连接, 由于,所以, 因此平面即为平面， 由于为的中点，所以为中点，    （2）由于四边形为菱形，且，， 所以, 取中点，连接, 由于平面，平面，所以, 又平面, 所以平面, 故即为直线与平面所成角，故， 故，因此    题型十六、三垂线定理 例16（24-25高二上·上海·阶段练习）已知直角三角形中，，，若平面，，则E到斜边的距离为 . 【答案】/ 【分析】过点作，交于点，连接，由三垂线定理证明，即可得到E到斜边的距离为，进而求出即可得解. 【详解】如图，过点作，交于点，连接，    则，所以， 因为平面，平面， 平面，平面， 所以是在平面上的射影， 由及三垂线定理得，又， 所以E到斜边的距离为. 故答案为：. 16-1（24-25高二·上海·课堂例题）已知正方形所在的平面，且，，则和平面所成角的大小为 ． 【答案】30°/ 【分析】根据勾股定理可得，即可由三角形边角关系求解. 【详解】由于平面，平面， 所以,, 设正方形的边长为， 则,即， 解得，， 所以，， 由于为和平面所成角， 故,故， 故答案为：30° 16-2（24-25高二·上海·课堂例题）已知直角三角形中，，，若平面，且，则E到斜边的距离为 ． 【答案】/ 【分析】过作交于点，连接， 由三垂线定理证即可得E到斜边的距离为，进而求出即可得解. 【详解】如图，过作交于点，连接， 则，所以， 因为平面，平面、平面，平面， 所以是在平面上的射影， 由及三垂线定理得，又， 所以E到斜边的距离为. 故答案为：. 16-3（23-24高二上·上海虹口·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，则直线到平面的距离为 ．    【答案】 【分析】先作出直线上的点到平面的垂线段，然后求出垂线段的长度即可. 【详解】   连接交于点，则， 在正方体中，因为底面，底面， 所以， 又，平面， 所以平面. 在正方体中，因为，平面，平面， 所以平面， 所以即为直线到平面的距离， 又因为正方体的棱长为1，所以. 故答案为：. 16-4（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）已知P为所在平面外一点． (1)若O为P在平面上的投影，，，证明：O为的垂心； (2)若、、两两垂直，且，求直线与平面的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)直线与平面的夹角的大小为 【分析】 （1）通过证明三垂线交于点即可证明结论； （2）通过证明线面垂直得出所求角，即可求出直线与平面的夹角的大小. 【详解】（1） O为P在平面上的投影，则面， 由可得，同理， 所以，O为的垂心. （2）取中点D，连接，过P作于O， 因为，，所以，， ∵面，面，，面， 所以面， ∵面， 所以， 因为，面，面，，面， 所以平面，所以即为所求角. ∵、、两两垂直，且， 设， ∴，是等边三角形，，，， ∴，， ∴夹角大小为. 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中真命题是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】C 【分析】ABD可举出反例；C选项，由线面平行的性质得到，由线面垂直得到，从而得到. 【详解】A选项，，，则可能平行，也可能异面，也可能相交，A错误； B选项，，，，则可能平行，也可能相交，B错误； C选项，如图，，，， 由线面平行的性质得到， 因为，，所以，则，C正确； D选项，满足，，，，则或相交， 如图，满足，，，，但相交，D错误. 故选：C 2．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知长为3的线段AB的两个端点到平面的距离分别为1和2，则直线AB与平面的所成角大小为 . 【答案】或 【分析】分类讨论在平面同侧和异侧的情况，即可得到答案. 【详解】当在平面同侧时， 延长与平面交于点，分别过作平面的垂线，垂足为， 如图所示： 则为直线与平面的所成角. 设，则， 所以，解得.所以，. 所以直线AB与平面的所成角大小为. 当在平面异侧时， 设与平面交于点，分别过作平面的垂线，垂足为， 如图所示： 设，则，即，解得， 即，. 此时三点重合，即. 所以直线AB与平面的所成角大小为. 综上：直线AB与平面的所成角大小为. 故答案为：或 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）在长方体中，若，则直线到平面的距离是 . 【答案】/ 【分析】根据条件，易得面，从而将线面距转化成点面距，过作于，根据条件可得面，再根据条件，利用几可关系，即可求解. 【详解】易知，又面，面，所以面， 则直线到平面的距离，与点到平面的距离相等， 过作于， 因为面，面，所以， 又，面，所以面， 又，则， 在中，，得到， 所以直线到平面的距离为， 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·期中）正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用线面角的定义直接求解. 【详解】在正方体中，平面， 则是直线与平面所成的角，而， 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 故答案为：    5．（24-25高二上·上海静安·期中）已知在平面上，平面外一点满足，，，则点在平面上的投影点是的 .（请在“外心”、“内心”、“垂心”中选填一个） 【答案】垂心 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定与性质推理判断. 【详解】连接，由，，平面， 得平面，而平面，则，又平面， 则，又平面，因此平面， 而平面，则，同理， 所以点是的垂心. 故答案为：垂心 6．（24-25高二上·上海宝山·期中）正方体中，求证： (1)平面； (2)与的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件证明和，由此可证明平面； （2）通过平移直线法将平移至，根据条件可知与的夹角为或其补角，结合线段长度完成计算. 【详解】（1）因为几何体为正方体，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形时正方形，所以， 又因为平面， 所以平面. （2）连接，如图所示， 因为， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以与的夹角为或其补角， 又因为， 所以是等边三角形，所以， 所以， 所以与的夹角的余弦值为. 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，长方体中，，，点为的中点．    (1)求证：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小； (3)求点与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）设与交于点，证明，然后由线面平行判定定理得证线面平行； （2）证明是异面直线与所成的角或其补角，再在中求出此角即得； （3）证明平面，得的长等于到平面的距离，求出此线段长即可． 【详解】（1）设与交于点，则是中点，如图，连接，又是中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面；    （2）因为，所以是异面直线与所成的角或其补角， 由已知，，所以， 所以异面直线与所成的角是； （3）是正方形，所以， 又是长方体，因此平面， 而平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以的长等于到平面的距离， 正方形的边长为1，则． 1．（24-25高二上·上海·期中）如图，平面.正方形的边长为，，则到平面的距离是 . 【答案】 【分析】证明线面平行，得到点到平面的距离等于到平面的距离，过点作⊥于点，证明出⊥平面，故的长即为到平面的距离，结合，，利用勾股定理等知识进行求解. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面， 即点到平面的距离等于到平面的距离， 过点作⊥于点， 因为平面，平面， 所以， 又⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故的长即为到平面的距离， 因为，，故， 则. 故答案为： 2．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）由题干数据结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使角最大，则需使最小，此时，从而求解. 【详解】（1）点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面， ， 四边形为菱形， ， ，平面， 平面， 平面， ； （2）由题意可得､与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ， ， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得. 故点到平面的距离为. （3）设直线与平面所成的角为， ， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时. 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由面积相等， 即，解得：， ，， 即点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 3．（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为旋转过程中形成的圆的圆心，为圆上任意一点． (1)求新的几何体的体积； (2)记与底面所成角为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）新的几何体是大圆锥减去小圆锥的部分，结合圆锥体积公式可计算出结果； （2）作出辅助线先证明与底面所成角即为，利用线段长度表示出，根据的范围求解出的取值范围. 【详解】（1）连接，在中，由题可得， 因为新的几何体是以为高的圆锥减去以为高的圆锥后剩余的部分， 所以新的几何体的体积. （2）如图，取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 所以为与底面所成的角，所以， 又因为，所以， 所以，所以． 试卷第1页，共3页 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习专题03 直线与平面的位置关系 知识点01：直线与平面平行 （1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． （2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 注意：用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线a在平面α外，即a⊄α. (2)直线b在平面α内，即b⊂α. (3)两直线a，b平行，即a∥b. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G. 知识点02：直线与平面垂直 1．直线与平面垂直的定义 如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足． 结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 2.直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 4．与线面垂直有关的重要结论 (1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线． (2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． (3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行． (4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD. 知识点03：直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90° 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中． (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角． 知识点04：三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直 : 如图，矩形的长，宽，若平面，矩形的边上至少有一个点，使得，则的范围是　 　． 题型一、判断图形中的线面关系 例1（23-24高二上·上海·课后作业）直线a与平面的位置关系 位置关系 直线在平面内 相交 平行 公共点个数 符号表示 图形表示 1-1（24-25高二上·上海·期中）若点直线，且直线平面，则 .（填合适的符号） 1-2 （24-25高二上·上海·阶段练习）直线与平面的位置关系有 . 题型二、线面关系有关命题的判断 例2（24-25高二上·上海松江·期中）“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（   ） A． B． C． D． 2-1（24-25高二上·上海·期末）已知a，b是两条不同的直线，α为一个平面， a⊂α，则“b∥α”是“a，b无公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2-2（24-25高二上·上海·阶段练习）若空间中四条直线满足，，，则下列结论一定正确的是 . ①、②、③、④、⑤、⑥ 题型三、判断线面平行 例3（24-25高二上·上海崇明·期中）正方体中，与的交点称为正方体的中心，若平面经过该正方体的中心，且顶点，到平面的距离相等，则符合条件的平面的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．12个 D．无数个 3-1（23-24高一下·福建龙岩·期中）设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3-2（24-25高一下·全国·课后作业）在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 题型四、证明线面平行 例4（24-25高二上·上海·阶段练习）已知平面与平面相交于直线m，直线直线m，则（    ） A．一定有直线平面 B．一定有直线平面β C．一定有直线平面且直线平面 D．直线平面和直线平面至少有一个成立 4-1（2024·上海徐汇·一模）已知为空间中两条不同的直线，为两个不同的平面，若，则是的 条件.（填：“充分非必要”､“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个） 4-2 （24-25高二上·上海·期中）如图，棱长为2的正方体中，分别是的中点． (1)证明：平面． (2)求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角表示） 题型五、线面平行的性质 例5（24-25高二上·北京·阶段练习）已知空间中的两条直线，都与一个平面平行，则和的位置关系为（   ） A．平行或相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．平行、相交或异面 5-1（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）若直线平面，直线平面，则与（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．没有公共点 5-2（24-25高二上·上海崇明·期中）如图所示，在正方体中，、分别是、的中点.求证： (1)四边形是梯形； (2)、、三线共点； (3)直线和直线是异面直线. 题型六、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 例6（23-24高二上·上海·阶段练习）在棱长为10的正方体中，为左侧面上一点，已知点到的距离为2，点到的距离为3，则过点且与平行的直线交正方体于两点，则点所在的平面是（    ） A． B． C． D． 6-1（23-24高三上·河南·阶段练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为棱上的点，，且平面，则 . 6-2（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ． 6-3（24-25高二上·上海·期中）已知正四棱锥的高为8，各个顶点均在表面积为的球的表面上，相交于，点为线段上一点，使得直线平面. (1)确定点的位置，并证明你的结论； (2)求异面直线与所成角的大小. 题型七、判断线面是否垂直 例7（24-25高二上·上海·期中）已知直线和平面，则“垂直于内的两条直线”是“”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 7-1（24-25高二上·上海·期中）命题：若直线与平面上的无数条直线垂直，则，是 命题（选填“真”或“假”）． 7-2（24-25高二上·上海·期中）若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．平面 题型八、证明线面垂直 例8（24-25高二上·上海·阶段练习）在正方体中，与垂直的面对角线有 条. 8-1（24-25高二上·上海·期末）在三棱锥中，，则点在平面上的投影 O 点是 的 心. 8-2（24-25高二上·上海松江·期中）已知所在平面外一点，且二面角、、大小相等，则点在平面内的射影应为的 心. 8-3（24-25高二上·上海·期末）已知正方体的棱长为，，为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积 ，则点的轨迹长度为 . 8-4（24-25高二上·上海·期末）如图，在正方体中，E是的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线DE与所成角的大小． 题型九、求点面距离 例9（24-25高二上·上海·期中）已知正方体棱长为2，则点到平面的距离为 . 9-1（23-24高二上·上海·期末）正四面体的棱长为1，则点A到平面的距离为 9-2（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)求直线到平面的距离. 题型十、求直线与平面的距离 例10（24-25高二上·上海·随堂练习）在长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，异面直线与CD所成角为，则到底面ABCD的距离为 10-1（23-24高二上·上海闵行·期中）已知正方体中，棱长为2，点是棱的中点. (1)连结，求证：直线与直线是异面直线； (2)求直线到平面的距离. 10-2（24-25高二上·上海·课堂例题）已知长方体的棱、AB和AD的长分别为3cm、4cm和5cm． (1)求点A和点的距离； (2)求点A到棱的距离； (3)求棱AB和平面的距离． 题型十一、线面垂直证明线线平行 例11（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）设a、b、c表示三条直线，，表示两个平面，下面命题中不正确的是（    ） A． B． C． D． 11-1（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题： ①若，，则              ②若，，则 ③若，，则              ④若，，则 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11-2（24-25高二上·上海静安·阶段练习）如图，已知四边形是矩形，平面，且，M、N是线段、上的点，满足. (1)若，求证：直线平面； (2)是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由. 题型十二、线面垂直证明线线垂直 例12（24-25高三上·上海浦东新·期末）设、为两条直线，、为两个平面，且．下述四个命题中为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则或 12-1（24-25高二上·上海·期末）已知矩形的边平面，现有数据：①；②；③；④；④，当在边上存在点，使时，则可以取 .（填序号） 12-2（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，．，为线段的中点，，分别为线段和线段上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12-3（24-25高二上·上海宝山·期末）如图，在棱长为1的正方体中，及分别为棱和的中点． (1)求证：平面； (2)若为棱的中点，求证：平面． 题型十三、线面角的概念及辨析 例13（24-25高二上·上海·阶段练习）已知是锐角，则“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要条件 13-1（24-25高二上·上海·阶段练习）直线是平面的一条斜线，与平面内的直线所成角的取值范围是 . 13-2（24-25高二上·上海·期中）已知点到平面的距离是2，动点、在平面内，且，则的最小值为 . 13-3（24-25高二上·上海·期中）空间中，斜线与平面所成角的取值范围为 ．（用弧度制表示）． 45．（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，，求：    (1)与所成角的大小； (2)与平面所成角的正切值． 题型十四、求线面角 例14（24-25高二上·上海·阶段练习）在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的大小为 .（结果用反三角表示） 14-1（24-25高二上·上海·期末）如图，正方体中，点为中点，则直线与平面所成角的余弦值为 . 14-2（24-25高二上·上海闵行·期末）在如图所示的圆柱中，是底面圆的直径，是圆柱的母线，且，点是底面圆周上的一点，且，则直线与平面所成的角的正切值为 ． 14-3（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，平面α内有，，α外有一点P，，且，O为垂足，.    (1)求证：“”是“点O为的垂心”的充要条件； (2)若，求与平面α所成的角. 14-4（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，四棱锥的体积为，为的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角的大小．（结果用反三角表示） 题型十五、由线面角的大小求长度 例15（24-25高二上·上海·期中）设点到平面的距离为，点在平面上，使得直线与所成的角不小于且不大于，则满足条件的点构成的区域的面积为 . 15-1（24-25高二上·上海·期中）如果三棱锥的侧棱与底面所成角都相等，顶点在底面的射影在内，那么是的 心. 15-2（24-25高二上·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是    15-3（23-24高二上·上海·期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 15-4（23-24高二上·上海黄浦·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面ABCD，为的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：为的中点； (2)若，，直线与平面所成角的大小为，求PD的长． 题型十六、三垂线定理 例16（24-25高二上·上海·阶段练习）已知直角三角形中，，，若平面，，则E到斜边的距离为 . 16-1（24-25高二·上海·课堂例题）已知正方形所在的平面，且，，则和平面所成角的大小为 ． 16-2（24-25高二·上海·课堂例题）已知直角三角形中，，，若平面，且，则E到斜边的距离为 ． 16-3（23-24高二上·上海虹口·期中）如图所示，在棱长为1的正方体中，则直线到平面的距离为 ．    16-4（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）已知P为所在平面外一点． (1)若O为P在平面上的投影，，，证明：O为的垂心； (2)若、、两两垂直，且，求直线与平面的夹角的大小． 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中真命题是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 2．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知长为3的线段AB的两个端点到平面的距离分别为1和2，则直线AB与平面的所成角大小为 . 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）在长方体中，若，则直线到平面的距离是 . 4．（24-25高二上·上海·期中）正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为 . 5．（24-25高二上·上海静安·期中）已知在平面上，平面外一点满足，，，则点在平面上的投影点是的 .（请在“外心”、“内心”、“垂心”中选填一个） 6．（24-25高二上·上海宝山·期中）正方体中，求证： (1)平面； (2)与的夹角的余弦值． 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，长方体中，，，点为的中点．    (1)求证：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小； (3)求点与平面的距离． 1．（24-25高二上·上海·期中）如图，平面.正方形的边长为，，则到平面的距离是 . 2．（22-23高二上·上海浦东新·阶段练习）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 3．（24-25高二上·上海浦东新·期中）如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为旋转过程中形成的圆的圆心，为圆上任意一点． (1)求新的几何体的体积； (2)记与底面所成角为，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $$