第05讲 有理数的乘法与除法（6知识点+7大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新六年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

第05讲 有理数的乘法与除法 （6知识点+7大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点02：有理数的乘法运算律 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)；乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点03:多个有理数相乘 ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 注意： （1）运算前先确定积的符号；（2）小数要化为分数； （3）带分数要化为假分数；（4）灵活运用乘法交换律、乘法结合律． 知识点04:倒数的概念 乘积是1的两数互为倒数． 的倒数是，的倒数是 注意：若，则、互为倒数；反之，若、互为倒数，则；0有没有倒数 知识点05:有理数除法 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 零除以任何一个不为零的数，都得零。 甲数除以乙数（零除外）等于甲数乘以乙数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） 知识点06:有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 【题型1 两个有理数的乘法运算】 【例1-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【详解】（1） ＝ =； （2） ＝ = （3） = =6 （4） ＝0 （5） = ＝ （6） = ＝ 【点睛】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握“两数相乘，同号得正，异号得负，任何数与0相乘都得0” ． 【例1-2】计算（1） （2） 教法说明：有理数相乘的重点需要强调：先定符号，再将带分数化为假分数 【变式1-1】（24-25六年级上·上海闵行·期末） ． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，直接根据有理数乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-2】（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘方运算进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-3】（2023六年级下·上海·专题练习）计算： ． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数乘法，应用有理数乘法法则进行计算即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1-4】（2023六年级下·上海·专题练习）计算： ． 【答案】10 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，将带分数化成假分数后，利用有理数的乘法法则运算即可，利用有理数的乘法法则首先确定积的符号，这是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：10． 【变式1-5】（22-23六年级下·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】根据两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，熟记有理数的乘法的运算法则是解本题的关键． 【题型2多个有理数的乘法】 【例题2-1】 教法说明：乘法运算首先要注意符号的确定；另外遇到带分数要化为假分数再进行运算。 【例题2-2】 教法说明：首先确定符号，然后学会观察凑整，通过乘法交换律变换后进行简便运算。 【变式2-1】（24-25六年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】． 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式2-2】（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，熟知有理数的乘法计算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式2-3】（2023六年级下·上海·专题练习）． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】根据负因数的个数，可得积的符号，根据分子乘分子，分母乘分母，可得答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，先确定符号，再进行绝对值得运算，注意乘法运算时带分数线化成假分数． 【题型3 有理数乘法运算律】 【例题3-1】 教法说明：运用乘法分配律进行运算，注意去括号是符号问题。 【例3-2】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式 【例3-3】（24-25六年级上·上海黄浦·期末）用简便方法计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的运算，变形后利用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 【变式3-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）简便计算： 【答案】13 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘法运算律，准确计算．根据乘法运算律进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式3-2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： 【变式3-3】（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，利用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 【变式3-4】（24-25六年级上·上海金山·期中）计算： 【答案】0 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法分配律是解题的关键；因此此题可根据有理数的乘法分配律进行求解 【详解】解：原式 【变式3-5】用简便方法计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）； （2）； （3）． 【总结】本题主要考察有理数的乘法，正确掌握有理数乘法运算法则是关键． 【题型4 倒数】 【例4】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）的倒数是 ． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数的定义，掌握“乘积是1的两个数互为倒数”是解题关键．将带分数化为假分数，再求倒数即可． 【详解】解：， 的倒数是， 即的倒数是， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25六年级上·上海·期中）若是，则的倒数是 ． 【答案】/ 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据乘积为1的两个数互为倒数，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故答案为：． 【变式4-2】（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）若与互为倒数，则的值为 . 【答案】 【分析】本题主要考查倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得． 故答案为：． 【题型5 有理数的除法运算】 【例5-1】 计算： （1）______； （2）______； （3）______= 0； （4）____； （5）____； （6）_____． 【答案】（1）-0.6；（2）8；（3）0；（4）-36；（5）；（6）-2． 【解析】两数相除，同号得正，异号得负． 【总结】本题考查了有理数的除法． 【例5-2】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）-12.1；（2）4． 【解析】（1）； （2） 【总结】本题考查了多个有理数的除法，先确定符号，小数化分数，除法转乘法，再计算． 【例5-3】计算：． 【答案】． 【解析】． 【总结】本题主要考察有理数的除法以及分数的简便运算． 【变式5-1】（24-25六年级上·上海虹口·期中）计算： ． 【答案】4 【知识点】有理数的除法运算 【分析】该题主要考查了有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法运算法则． 根据除法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 【变式5-2】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将带分数化为假分数，再将除法化为乘法计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25六年级上·上海金山·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算，将除法转化为乘法运算，进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-4】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：； 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法运算，将原式化为，然后利用乘法分配律求解即可． 【详解】解： ． 【变式5-5】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）5；（2）10． 【解析】（1）； （2）． 【总结】本题考查了多个有理数的除法，先确定符号，除法转乘法，再计算． 【变式5-6】计算：． 【答案】． 【解析】． 【总结】本题考查了有理数的除法，以及分数的简便运算． 【题型6 有理数混合运算】 【例6-1】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）； （2）． 【总结】先确定符号，除法转乘法，再计算． 【例6-2】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】2 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】根据有理数乘除的混合运算解答即可． 本题考查了有理数乘除的混合运算，熟练掌握运算法则是阶梯的关键． 【详解】解： ． 【例6-3】（24-25六年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【详解】解： 【例6-4】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，先计算乘法，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 【例6-5】阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 【答案】(1)小云的方法不对，正确做法见解析； (2)． 【知识点】有理数的除法运算、两个有理数的乘法运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算运算法则和运算顺序，运算律是解题的关键． （）小云的方法不对，根据有理数的混合运算的计算方法可以解答本题； （）根据小南的方法可以解答本题． 【详解】（1）解：小云的方法不对， 正确做法： ； （2）解： ． 【变式6-1】（24-25六年级上·上海闵行·期末）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键．根据有理数的乘除运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式6-2】（24-25六年级上·上海松江·期末）计算：． 【答案】1 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算， 先确定结果的符号，再将除法变为乘法，按照顺序计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式6-3】（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．将带分数转化成假分数，再根据有理数的乘除法可以解答本题． 【详解】解： ． 【变式6-4】（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．根据有理数的乘除运算法则即可得到本题答案． 【详解】解： ． 【变式6-5】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】2 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘除混合运算法则．先变除法为乘法，然后再进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式6-6】（24-25六年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把除法转化为乘法，再约分化简即可． 【详解】解： ． 【变式6-7】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先算除法，再算加法即可． 【详解】解：原式 ． 【变式6-8】（2023春•浦东新区校级期中） 【分析】首先计算括号内的式子，按首先正负数分别计算，然后把结果相加即可计算括号内的式子，最后进行除法计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，正确确定运算的顺序是关键． 【题型7 有理数运算的实际应用】 【例7】（23-24六年级下·上海浦东新·期中）某次唱歌比赛由4位评委通过打分决定选手是否进入决赛．规定一位评委能打的满分是10分，把6分记为0分，超过的用正数表示，不足的用负数表示，选手的总分达到25分可以晋级．5号选手小明的得分情况如下表．小明的最后得分是多少？能否晋级？ 评委 1号 2号 3号 4号 分数 0 ＋3 【答案】小明的最后得分是分，能够晋级； 【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的混合运算的应用，先列式，再计算，把结果与25分比较即可得到答案． 【详解】解：∵小明的得分为：， ∴小明的最后得分是分，能够晋级； 【变式7-1】（24-25六年级上·上海金山·期中）某检修小组从地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)收工时检修小组位于地的______（东面西面），距离地______千米． (2)若每千米耗油升，问检修小组全程共耗油多少升？ 【答案】(1)西面， (2)升 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、有理数加法在生活中的应用、正负数的实际应用 【分析】（）根据正负数的意义列出算式计算即可； （）求出总路程，再乘以每千米耗油即可； 本题考查了正负数的意义，有理数加法和混合运算的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴收工时检修小组位于地的西面，距离地千米， 故答案为：西面，； （2）解：， 答：检修小组全程共耗油升． 【变式7-2】（24-25六年级上·上海闵行·期中）乐乐的爸爸上周五以收盘价买进某种股票1000股．每股27元．下表为本周每天该股票的涨跌情况，股票上涨记为“+”，股票下跌记为“”．（星期六、日股市休市，收盘价为当天涨跌后的最终价格）（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)本周内该股票每股最高收盘价多少元？最低收盘价是多少元？ (2)如果乐乐爸爸按本周五的收盘价将股票全部卖出，你认为他会获利吗？获利多少？ 【答案】(1)本周内每股最高收盘价为元，最低收盘价为28元 (2)会获利，获利3000元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用和有理数的混合运算的实际应用，正确理解题意并正确列出算式是解题关键． （1）分别计算本周内每天的股价，比较即可获得答案； （2）结合（1）可知周五的收盘价大于买入价，然后计算获利即可． 【详解】（1）解：星期一股票收盘价格为：元， 星期二股票收盘价格为：元， 星期三股票收盘价格为：元， 星期四股票收盘价格为：元， 星期五股票收盘价格为：元， ∵， ∴本周内每股最高收盘价为元，最低收盘价为28元； （2）解：由（2）可知，周五的收盘价为30元， ∵， ∴会获利， 又∵元， ∴他会获利3000元． 【变式7-3】外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖员小张一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“-”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖员小张这一周一共送餐多少单？ (2)外卖员每周的工资由底薪700元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每周送餐量不超过200单的部分，每单补贴3元：超过200单但不超过300单的部分，每单补贴4元：超过300单的部分，每单补贴6元．求小张这一周工资收入是多少元？ (3)小张想用这周的工资买一台标价2400元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小张幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小张这周的工资够不够买下这台扫地机器人？ 【答案】(1)310单； (2)1760元； (3)够买扫地机器人． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用有理数的混合运算解决实际问题，解题的关键是根据题意列出算式． （1）根据题意利用有理数的混合运算进行求解即可； （2）根据题意利用有理数的混合运算进行求解即可； （3）根据题意求出购买机器人优惠完后的价格，然后和工资进行对比即可． 【详解】（1）解：（单） 所以，外卖员小张这一周一共送餐310单； （2）解：（元） 所以，小张这一周工资收入是1760元； （3）解：（元） （元） ， 所以，小张这周的工资够买下这台扫地机器人． 【变式7-4】科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)求小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克． (2)求小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为2元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 【答案】(1)小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售千克 (2)小王第一周实际销售柚子的总量是千克 (3)小王第一周销售柚子一共收入元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用，涉及了有理数的混合运算，注意计算的准确性． （1）用周六柚子的销量减去周五柚子的销量即可； （2）计算即可求解； （3）收入=（售价－运费）×总量，据此即可求解． 【详解】（1）解：周六销售柚子最多，销售量为（千克）， 最少的是周五，销售量为（千克）， 所以最多的一天比最少的一天多销售（千克） 答：小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售20千克； （2）解：（千克）， 答：小王第一周实际销售柚子的总量是千克； （3）解：（元）， 答：小王第一周销售柚子一共收入元． 一、单选题 1．（23-24六年级下·上海长宁·期中）下列说法中正确的是（    ） A．一个数的相反数的相反数是它本身 B．绝对值等于它本身的数是0 C．的倒数是 D．是一个正数 【答案】A 【知识点】相反数的定义、倒数、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查的有理数的有关概念，根据相反数、绝对值、倒数和数的分类逐一判断即可． 【详解】解：A、一个数的相反数的相反数是它本身，正确； B、绝对值等于它本身的数是0和正数，原说法错误； C、 除外，的倒数是，原说法错误； D、 当时，不是一个正数，原说法错误； 故选A． 2．（24-25六年级上·上海青浦·期中）若，且，那么（  ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负，且负数的绝对值较大 D．一正一负，且正数的绝对值较大 【答案】B 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的运算，根据，可判断a，b同号，再根据，可得都是负数． 【详解】解：， a，b同号， 又， 都是负数， 故选B． 3．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法中，正确的个数是（    ） ①个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负； ②个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负； ③个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负； ④个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个； ⑤个有理数相乘，当积为正时，正因数有奇数个； ⑥个有理数相乘，当积为正时，正因数有偶数个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，解题的关键是熟练使用运算法则进行计算．根据几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数有奇数个，积为负；负因数有偶数个，积为正． 【详解】解：①个有理数相乘，当其中一个因数为0时，不管正因数有多少个，积为0，故原说法错误； ②个有理数相乘，当其中一个因数为0时，不管负因数有多少个，积为0，故原说法错误； ③个不为0有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负，故原说法错误； ④个有理数相乘，当积为负时，则负因数一定有奇数个，故原说正确； ⑤个有理数相乘，当积为正时，不管正因数有多少个，则负因数一定有偶数个，故原说错误； ⑥个有理数相乘，当积为正时，不管正因数有多少个，则负因数一定有偶数个，故原说错误； 故正确的有④共1个， 故选：A． 4．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）简化计算，应该运用（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律 【答案】C 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法对加法的分配律是解题关键．因为24、12、4都是24的约数，所以本题利用乘法对加法的分配律进行计算． 【详解】解：利用乘法对加法的分配律得：， ， 故选：C 5．（2024六年级上·上海·专题练习）计算的结果为（   ） A．1 B． C．7 D．343 【答案】D 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，根据有理数的运算法则和运算顺序进行计算即可求解． 【详解】解： ； 故选：D． 二、填空题 6．（24-25六年级上·上海·期中）的倒数是 ． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】根据倒数的定义解答即可． 本题考查了倒数，熟练掌握定义是解题的就． 【详解】解：的倒数是． 故答案为：． 7．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算： ． 【答案】5 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，由此计算即可． 【详解】解：， 故答案为：5． 8．（23-24六年级下·上海·阶段练习） ． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，直接根据有理数的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（23-24六年级下·上海松江·期末）如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是 ． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】此题主要考查了倒数，关键是掌握倒数定义：乘积是的两数互为倒数可得倒数是它本身的数是． 【详解】解：如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是， 故答案为：． 10．（23-24六年级下·上海普陀·期中）如果，，，那么 ． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，推导出是关键． 根据，确定，代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ， 故答案为：． 11．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列说法正确的是 ．（写编号） ①几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数； ②已知为有理数，若，则； ③已知为有理数，若，则； ④已知为有理数，若，则． 【答案】②④/④② 【知识点】多个有理数的乘法运算、等式的性质2、绝对值的几何意义 【分析】本题考查多个有理数的乘法、绝对值的性质及等式的性质，熟练掌握运算法则是解题关键．根据多个有理数的乘法、绝对值的性质及有理数除法的运算法则逐一判断即可得答案． 【详解】解：几个不等于的有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，故①说法错误， ∵， ∴ ∴已知为有理数，若，则，故②说法正确， 已知为有理数，若，则或；故③说法错误， ∵， ∴已知为有理数，若，则说法正确，故④说法正确， ∴正确的说法为②④． 故答案为：②④ 三、解答题 12．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解： 13．（23-24六年级下·上海松江·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，原式根据乘法分配律进行计算即可 【详解】解： 14.某仓库在一周的货品运输中，进出情况如表（进库为正，出库为负，单位：吨）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天 合计 表中星期五的进出数被墨水涂污了． (1)请你算出星期五的进出数； (2)如果进出的装卸费都是每吨10元，那么这一周要付多少元装卸费？ 【答案】(1)星期五的进出数为吨 (2)这一周要付1660元装卸费 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查有理数运算的实际应用。 （1）用总数减去其它数据，即可； （2）将周一到周天的所有的数据的绝对值相加，再乘以10即可； 读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键。 【详解】（1）解：； ∴星期五的进出数为吨； （2）这一周的装卸费为：（元）． 答：这一周要付1660元装卸费． 15.阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第________步，错误原因是______； 第二处是第________步，正确步骤的依据是______； (2)请写出正确的结果________． 【答案】(1)二，运算顺序错误或者（先算了乘法）；三，两数相除同号得正，异号得负并把绝对值相除或者（有理数除法法则） (2)或 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算， 对于（1），观察计算步骤，可知要按照顺序计算有理数的乘除法判断第一步，再根据有理数的除法法则计算判断第二步； 对于（2），先计算括号内的，再根据运算顺序计算有理数的乘除法． 【详解】（1）第一处是第二步，错误原因是运算顺序错误，应该先计算除法，再计算乘法； 第二处是第三步，正确的步骤的依据是：两数相除同号得正，并把绝对值相除； 故答案为：二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，并把绝对值相除； （2） ． 16.阅读下面材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数，故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法______是错误的； (2)请你进行简便计算：． 【答案】(1)一 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数四则混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）在利用分配律计算时，除法需要先变成乘法，才能够使用，并且需要连同其前面的正负号带上，通过观察三种解法即可得到答案； （2）通过观察可得到解法三最简便，所以利用解法三的方法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在利用分配律的时候，除法需要先变成乘法，才能够使用，且解法一的计算结果与其它两种不同， ∴解法一不正确； 故答案为：一； （2）解：原式的倒数 ， 故原式． 17.观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数的加减混合运算、两个有理数的乘法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算， （1）根据题干，模仿写出第5个等式，即可作答； （2）由（1）以及题干条件，即得第n个等式：； （3） 由（2）的结论，先化简再运算，即可作答， 掌握第n个等式：是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，第5个等式： ； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 故第n个等式：； （3）解：由（2）知第n个等式：； 则 18.探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【知识点】有理数的加减混合运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，正确理解新定义掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题意得出：同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则依次计算即可． （2）根据零与任意数※（加乘）或任何数同零※（加乘），都得这个数的绝对值，结合前面的运算计算即可； （3）根据题意得出，确定，然后代入式子进行计算即可． 【详解】（1）解：① =， 故答案为：． ② =， 故答案为：． （2）解： = ． （3）∵， ∴， ∴， ∴ ． 19. “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或0 (2)1 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的除法运算、有理数加法运算 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，根据分类讨论的思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． （1）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （2）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （2）解：因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个负数一个正数， 不妨设，，， 则． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数的乘法与除法 （6知识点+7大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点02：有理数的乘法运算律 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)；乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点03:多个有理数相乘 ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 注意： （1）运算前先确定积的符号；（2）小数要化为分数； （3）带分数要化为假分数；（4）灵活运用乘法交换律、乘法结合律． 知识点04:倒数的概念 乘积是1的两数互为倒数． 的倒数是，的倒数是 注意：若，则、互为倒数；反之，若、互为倒数，则；0有没有倒数 知识点05:有理数除法 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 零除以任何一个不为零的数，都得零。 甲数除以乙数（零除外）等于甲数乘以乙数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） 知识点06:有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 【题型1 两个有理数的乘法运算】 【例1-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【例1-2】计算（1） （2） 【变式1-1】（24-25六年级上·上海闵行·期末） ． 【变式1-2】（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【变式1-3】（2023六年级下·上海·专题练习）计算： ． 【变式1-4】（2023六年级下·上海·专题练习）计算： ． 【变式1-5】（22-23六年级下·上海松江·期末）计算： ． 【题型2多个有理数的乘法】 【例题2-1】 【例题2-2】 【变式2-1】（24-25六年级上·上海金山·期中）计算：． 【变式2-2】（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）计算：． 【变式2-3】（2023六年级下·上海·专题练习）． 【题型3 有理数乘法运算律】 【例题3-1】 【例3-2】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）计算：． 【例3-3】（24-25六年级上·上海黄浦·期末）用简便方法计算：． 【变式3-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）简便计算： 【变式3-2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 【变式3-3】（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 【变式3-4】（24-25六年级上·上海金山·期中）计算： 【变式3-5】用简便方法计算： （1）； （2）； （3）． 【题型4 倒数】 【例4】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）的倒数是 ． 【变式4-1】（24-25六年级上·上海·期中）若是，则的倒数是 ． 【变式4-2】（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）若与互为倒数，则的值为 . 【题型5 有理数的除法运算】 【例5-1】 计算： （1）______； （2）______； （3）______= 0； （4）____； （5）____； （6）_____． 【例5-2】计算： （1）； （2）． 【例5-3】计算：． 【变式5-1】（24-25六年级上·上海虹口·期中）计算： ． 【变式5-2】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【变式5-3】（24-25六年级上·上海金山·期中）计算： ． 【变式5-4】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：； 【变式5-5】计算： （1）； （2）． 【变式5-6】计算：． 【题型6 有理数混合运算】 【例6-1】计算： （1）； （2）． 【例6-2】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【例6-3】（24-25六年级上·上海·期末）计算： 【例6-4】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 【例6-5】阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 【变式6-1】（24-25六年级上·上海闵行·期末）计算： 【变式6-2】（24-25六年级上·上海松江·期末）计算：． 【变式6-3】（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 【变式6-4】（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）计算： 【变式6-5】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 【变式6-6】（24-25六年级上·上海虹口·期中）计算：． 【变式6-7】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【变式6-8】（2023春•浦东新区校级期中） 【题型7 有理数运算的实际应用】 【例7】（23-24六年级下·上海浦东新·期中）某次唱歌比赛由4位评委通过打分决定选手是否进入决赛．规定一位评委能打的满分是10分，把6分记为0分，超过的用正数表示，不足的用负数表示，选手的总分达到25分可以晋级．5号选手小明的得分情况如下表．小明的最后得分是多少？能否晋级？ 评委 1号 2号 3号 4号 分数 0 ＋3 【变式7-1】（24-25六年级上·上海金山·期中）某检修小组从地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)收工时检修小组位于地的______（东面西面），距离地______千米． (2)若每千米耗油升，问检修小组全程共耗油多少升？ 【变式7-2】（24-25六年级上·上海闵行·期中）乐乐的爸爸上周五以收盘价买进某种股票1000股．每股27元．下表为本周每天该股票的涨跌情况，股票上涨记为“+”，股票下跌记为“”．（星期六、日股市休市，收盘价为当天涨跌后的最终价格）（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)本周内该股票每股最高收盘价多少元？最低收盘价是多少元？ (2)如果乐乐爸爸按本周五的收盘价将股票全部卖出，你认为他会获利吗？获利多少？ 【变式7-3】外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖员小张一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“-”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖员小张这一周一共送餐多少单？ (2)外卖员每周的工资由底薪700元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每周送餐量不超过200单的部分，每单补贴3元：超过200单但不超过300单的部分，每单补贴4元：超过300单的部分，每单补贴6元．求小张这一周工资收入是多少元？ (3)小张想用这周的工资买一台标价2400元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小张幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小张这周的工资够不够买下这台扫地机器人？ 【变式7-4】科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富，小王把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)求小王第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克． (2)求小王第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ (3)若小王按8元/千克进行柚子销售，平均运费为2元/千克，则小王第一周销售柚子一共收入多少元？ 一、单选题 1．（23-24六年级下·上海长宁·期中）下列说法中正确的是（    ） A．一个数的相反数的相反数是它本身 B．绝对值等于它本身的数是0 C．的倒数是 D．是一个正数 2．（24-25六年级上·上海青浦·期中）若，且，那么（  ） A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负，且负数的绝对值较大 D．一正一负，且正数的绝对值较大 3．（24-25六年级上·上海·期中）下列说法中，正确的个数是（    ） ①个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负； ②个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负； ③个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负； ④个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个； ⑤个有理数相乘，当积为正时，正因数有奇数个； ⑥个有理数相乘，当积为正时，正因数有偶数个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）简化计算，应该运用（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律 5．（2024六年级上·上海·专题练习）计算的结果为（   ） A．1 B． C．7 D．343 二、填空题 6．（24-25六年级上·上海·期中）的倒数是 ． 7．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算： ． 8．（23-24六年级下·上海·阶段练习） ． 9．（23-24六年级下·上海松江·期末）如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是 ． 10．（23-24六年级下·上海普陀·期中）如果，，，那么 ． 11．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列说法正确的是 ．（写编号） ①几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数； ②已知为有理数，若，则； ③已知为有理数，若，则； ④已知为有理数，若，则． 三、解答题 12．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）计算：． 13．（23-24六年级下·上海松江·期中）计算： 14.某仓库在一周的货品运输中，进出情况如表（进库为正，出库为负，单位：吨）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天 合计 表中星期五的进出数被墨水涂污了． (1)请你算出星期五的进出数； (2)如果进出的装卸费都是每吨10元，那么这一周要付多少元装卸费？ 15.阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第________步，错误原因是______； 第二处是第________步，正确步骤的依据是______； (2)请写出正确的结果________． 16.阅读下面材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数，故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法______是错误的； (2)请你进行简便计算：． 17.观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 18.探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． 19. “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$