精品解析：安徽师范大学附属中学2025届高三考前适应性检测数学试题

安徽师范大学附属中学2025届高三考前适应性检测 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间150分钟. 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 若等比数列的第3项和第5项分别为48和12，则的首项（ ） A. －192 B. 192 C. D. －193 4. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（ ）种不同情况? A. 27 B. 54 C. 108 D. 324 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，则|=（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知10个样本数据的平均值为10，方差为6，则这10个数据的分位数的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是函数定义域内的极小值点 B. 的单调减区间是 C. 在定义域内既无最大值又无最小值 D. 若有两个不同的交点，则 10. 已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为3 D. 11. 如图所示，为的等腰三角形，，为等边三角形，，分别在线段和上移动，满足，，，现将绕着旋转，当二面角的平面角为时，则下列结论正确的是（ ） A. 和是异面直线 B. 三棱锥的体积为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 存在，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为15，则________． 13. 已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的_____条件（填：充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要） 14. 记函数在区间上的最大值为，最小值为，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求最小正周期及图象的对称中心； （2）在中，，，分别为角，，的对边，且，，，求的面积． 16. 已知函数为偶函数. （1）求t的值； （2）求的最小值； 17. 某地，，，四个商场均销售同一型号的冰箱，经统计，2024年10月份这四个商场购进和销售该型号冰箱的台数如下表（单位：十台）： 商场 商场 商场 商场 购进该型冰箱数 3 4 5 6 销售该型冰箱数 2.5 3 4 4.5 （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程； （2）假设每台冰箱的售价均定为4000元．若进入商场的甲、乙两人购买这种冰箱的概率分别为，，且甲乙是否购买冰箱互不影响．若两人购买冰箱总金额的期望不超过6000元，求的取值范围． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，． 18. 如图，在斜三棱柱中，平面平面,分别为棱的中点，. （1）若四边形为菱形，证明：平面； （2）若 （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）若斜三棱柱内存在两个体积相等且相切的球，且每个球都与该三棱柱的一个底面及三个侧面相切，求点到平面的距离. 19. 在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为2，过点且倾斜角为45度的直线交双曲线于，两点（在轴右侧）且，． （1）求双曲线的方程； （2）若直线是过的右支上点的切线，且不与轴垂直，过，分别作直线的垂线，垂足为，． ①求证：点，均在以为圆心的定圆上，且，； ②求证：是定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽师范大学附属中学2025届高三考前适应性检测 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间150分钟. 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集定义计算求解. 【详解】因为集合，， 则； 故选：B． 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法计算及虚部的概念可得结果. 【详解】因为，所以虚部为． 故选：C． 3. 若等比数列的第3项和第5项分别为48和12，则的首项（ ） A. －192 B. 192 C. D. －193 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求得公比的平方即可得解. 【详解】由，，得，得，所以． 故选：B． 4. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（ ）种不同情况? A. 27 B. 54 C. 108 D. 324 【答案】B 【解析】 【分析】按照特殊位置和特殊元素优先选择的方法，结合排列数公式，即可求解. 【详解】分三步完成，冠军有种可能，乙的名次有种可能，余下三人有种可能， 所以5人的名次排列有种不同情况. 故选：B． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角恒等变换即可求解. 【详解】根据题意，， . 故选：A. 6. 已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到或，计算得到答案. 【详解】由题意，函数，既有最小值也有最大值， ①当函数最值取得1，最小值为时， 结合函数图象可得，即； ②当取得最大值为，最小值为－1时， 结合函数图象可得， 解得， 综上所述，实数的取值范围为或． 故选：D. 7. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，以为圆心的圆与直线恰好相切于点P，则|=（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，设，得，结合圆的几何性质列方程，从而求得，然后求得. 【详解】依题意， 设，由椭圆定义得， 由于以为圆心的圆与直线恰好相切于点P， 所以，即， 整理得，得，所以． 故选：A 8. 已知10个样本数据的平均值为10，方差为6，则这10个数据的分位数的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】设这10个样本数据分别为，且．由题意得这组数据的分位数为，设的平均值为，方差为，的平均值为，方差为，由平均值为10得到，再利用方差公式结合基本不等式求得的最大值即可. 【详解】设这10个样本数据分别为，且． 因为，所以这10个数据的分位数为． 设的平均值为，方差为，的平均值为，方差为， 由题意知，则； ， 所以，整理得，解得， 所以， 当且仅当时等号成立， 即，时，取到最大值13. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是函数定义域内的极小值点 B. 的单调减区间是 C. 在定义域内既无最大值又无最小值 D. 若有两个不同的交点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先判断函数定义域，再求导分析函数的单调性与最值作出简图，进而可判断各选项. 【详解】对于A，函数定义域满足，解得， 由，令可得和，当或时，所以在和上单调递减，当时. 所以在上单调递增，这表明是的极小值点，A正确； 对B， 的单调减区间是，，故B不正确； 对C，由A可得当和时单调递减， 当时单调递增，且， 作出简图，可得的值域是，故C正确； 对D，由图象可得，与有两个不同的公共点，则，故D正确； 故选：ACD 10. 已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为3 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本不等式即可判断AB；C利用基本不等式判断，但取等条件不成立；D构造函数，通过求导研究其单调性. 【详解】对于A，，则，等号成立时， 因，则，故A错误； 对于B，， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，故B正确； 对于C， ， 当且仅当，即时，等号成立，这与已知不符合，故等号不成立，故C错误； 对于D，， 设，求导得， 则在上单调递减，则，即， 所以，所以，故D正确． 故选：BD． 11. 如图所示，为的等腰三角形，，为等边三角形，，分别在线段和上移动，满足，，，现将绕着旋转，当二面角的平面角为时，则下列结论正确的是（ ） A. 和是异面直线 B. 三棱锥的体积为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 存在，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】A、对于异面直线的判定，依据异面直线的定义和判定定理，判断两条直线是否既不平行也不相交； B、计算三棱锥体积，需先求出底面的面积和三棱锥的高，再利用三棱锥体积公式； C、求线面角，先找出直线在平面上的射影，进而确定线面角，再通过解三角形求其正弦值； D、取进行验证即可得. 【详解】A、旋转后，平面，且平面，， 所以异面，A正确； B、过分别作直线和平面的垂线，垂足为， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角的补角，故， 由题知，，所以， 所以，， 所以，B错误； C、在中，由余弦定理可得， 所以线面角正弦值为，C正确； D，记的中点为，的中点为，连接， 当时，分别为的中点， 因为，所以， 又，所以， 易知，故， 又，所以，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 即存在，使得，D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为15，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，然后根据题意列出方程求解n即可. 【详解】的二项展开式的通项为, 依题意, 解得, 故答案为：. 13. 已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的_____条件（填：充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要） 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】根据向量垂直关系的坐标表示，求出新定义条件和垂直条件的坐标关系，判断他们之间的推导关系. 【详解】根据新定义可知若，则， 则或， 当时，， 所以 “”可以推导出“”，但是“”不可以推导出“”. 所以“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分. 14. 记函数在区间上的最大值为，最小值为，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先将看作关于的函数，利用导数讨论其单调性后用表示其最大值，最后再利用导数求该最小值的最大值即可. 【详解】设，，则， 当，时，（不恒为零）， 所以是减函数，所以． 设，则， 当时，，单调递增， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求最小正周期及图象的对称中心； （2）在中，，，分别为角，，的对边，且，，，求的面积． 【答案】（1）最小正周期为，对称中心是， （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和差的正余弦公式化简函数，然后利用正弦函数的周期性求周期，利用正弦曲线的对称性求解图象对称中心； （2）结合特殊角的函数值及求出，代入三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 ， 最小正周期， 又，，，， 即图象的对称中心是，； 【小问2详解】 ，， ，，，， ． 16. 已知函数为偶函数. （1）求t的值； （2）求的最小值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质,以及对数的运算性质,化简后可以求得值. （2）已知的解析式,可以求出导函数,判断出当时,即在上单调递增,又为偶函数,所以在上单调递减,故的最小值为. 【小问1详解】 ∵为偶函数, ∴ 即, ∴, ∴. 【小问2详解】 , 当时, , 故,即在上单调递增,又为偶函数, ∴在上单调递减, ∴的最小值为. 17. 某地，，，四个商场均销售同一型号的冰箱，经统计，2024年10月份这四个商场购进和销售该型号冰箱的台数如下表（单位：十台）： 商场 商场 商场 商场 购进该型冰箱数 3 4 5 6 销售该型冰箱数 2.5 3 4 4.5 （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程； （2）假设每台冰箱的售价均定为4000元．若进入商场的甲、乙两人购买这种冰箱的概率分别为，，且甲乙是否购买冰箱互不影响．若两人购买冰箱总金额的期望不超过6000元，求的取值范围． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由参考公式代入数据即可求解； （2）设甲、乙两人中选择购买这种冰箱的人数为，确定取值，求得对应概率，再结合期望公式构造不等式求解即可. 【小问1详解】 ，， 所以， 则， 故关于的线性回归方程为． 【小问2详解】 设甲、乙两人中选择购买这种冰箱的人数为， 则的所有可能取值为0，1，2． ， ， ， 所以 令，即， 解得：，又，所以． 所以的取值范围为． 18. 如图，在斜三棱柱中，平面平面,分别为棱的中点，. （1）若四边形为菱形，证明：平面； （2）若 （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）若斜三棱柱内存在两个体积相等且相切的球，且每个球都与该三棱柱的一个底面及三个侧面相切，求点到平面的距离. 【答案】（1） 如图，连接， 因为四边形为菱形，所以， 因为分别为棱的中点，所以，所以， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面. . （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先证，再证明平面，进而得出，最后利用线面垂直的判定定理即可； （2）（i）以为原点建系，计算平面与平面的法向量即可； （ii）先利用线面平行的性质定理和判定定理求证，再利用公式 计算，最后计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面， 以为原点，所在直线为轴，以过点且与平行的直线为轴，平面内过点且与垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， （i）在中，， 则在等腰中可得， 则， 则， 则， 所以的一个方向向量为的一个方向向量为， 由，得，则直线上存在点， 所以的一个方向向量为， 设平面的法向量为， 则，取，所以， 设平面的法向量为， 则，取，所以， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （ii）设与平面相切的球的球心为，与平面相切的球的球心为， 由题意知球均与平面相切，设切点分别为， 连接，则，， 因为球均与平面相切，所以平面， 因为平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以， 设球的半径为，球心，则， 因为平面，所以点到平面的距离为，则， 由，得， 由，得， 代入，解得， 所以， 则线段在轴上的投影长度为， 所以斜三棱柱的高为， 所以点到平面的距离为. 19. 在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为2，过点且倾斜角为45度的直线交双曲线于，两点（在轴右侧）且，． （1）求双曲线的方程； （2）若直线是过的右支上点的切线，且不与轴垂直，过，分别作直线的垂线，垂足为，． ①求证：点，均在以为圆心的定圆上，且，； ②求证：是定值． 【答案】（1） （2）①设，， 由双曲线光学性质，， ，， ，均为等腰三角形， ，，， 又，分别为，的中位线， ，， 又， ，同理，， ，在以原点为圆心的单位圆上. ②法一：设关于的对称点为点，设处双曲线的切线交于， 由对称性：， 由于的左右顶点为， 故，，，，均在单位圆上，如图， 由圆的性质得； 法二、设，过的直线 ， 即，故， 又，故， 所以，即，解得， ， 又， ， ， ∴. 【解析】 【分析】（1）设，联立直线和双曲线方程，得到韦达定理，结合，的坐标关系得到结果； （2）①由双曲线的光学性质可得，利用平面几何的知识和双曲线的定义可得结果； ②法一：由双曲线的对称性及圆中的性质可证；法二：联立直线和双曲线的方程，由可得，从而得到，利用点到直线的距离公式，化简即可证明. 【小问1详解】 ，，， 设，，， ， 设，，则， ， 所以直线与双曲线交点位于两支上，即点在轴左侧， 又，， 解得：， 又， 即，又，解得， ， . 【小问2详解】 （2）①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $