12.4定理（第3课时）教案2024-2025学年苏科版数学七年级下册

第十二章 定义 命题 证明 12.4定理 第3课时   一、教材分析 本节课是苏科版七年级下册12章第4节第3课时，但是在苏科版七年级上册第六章6.4平行线这一节课后阅读已经初步认识了反证法的基本结构，用反证法证明“两直线平行，同位角相等”.但不要求学生掌握，掌握反证法是本节课的教学要求.反证法是数学教学中一种重要证题方法,尽管其应用不如直接证法普遍，但它在数学命题的证明过程中能起到直接证明所起不到的作用，不少数学命题的证明使用直接证法比较麻烦或比较困难甚至不可能时，如能恰当地使用反证法，就可以化繁为简，化难为易，化不能为可能. 苏科版教科书将反证法分散在三个年级开展教学, 解决了初中数学推理证明中的诸多难点: 平行线的性质、是无理数、平行四边形判定的否命题、三角形内角只有一个钝角、切线的性质、直觉误导等, 足见其重要性.所以反证法的教学一定要重视起来.   二、学情分析 之前七年级上学期的教学任务是基于生活经验对数与式, 一元一次方程、进一步认识简单图形并初步感受构造一些比较复杂的图形, 整册未涉及证明推理. 而从七年级下学期开始, 伴随着推理教学要求的提高, 反证法便如影随形. 但七年级下学期时, 学生对推理证明还很陌生，虽然不少学生在七上已经了解了反证法，但是不少初中生对学习反证法感到格外吃力，除了在证明过程中所用到的数学基础知识不牢固等因素，还有一些阻力是来自学生心理上的障碍，比如，看到图形上两条直线画得不平行，即使已知条件中明明写着它们平行的，在推证过程中也往往不自觉地排除反证法证题时，导出了矛盾还不知道已经证明了原结论正确.因此构成了反证法教学的障碍，这正是学生在学习反证法的困难所在. 教学时，可以通过学生已有实践体会浅显的生活方面的事例 ，让学生逐步领会“否定反面、肯定正面”的基本思想开始将反证法用于几何证题时，也宜于用学生已掌握的而且也是最浅显的例子引人.   三、学习目标 1.通过实例理解反证法的含义，并了解运用反证法证明的基本步骤； 2.会用反证法证明一些简单的数学命题,在提升对反证法证明的敏感性，提升逆向思维的意识. 3.通过反证法的学习，感受数学命题证明的灵活性，体验数学思维灵活的魅力.   四、教学重难点 重点：通过实例理解反证法的含义，并了解运用反证法证明的基本步骤； 难点：会用反证法证明一些简单的数学命题   五、教学过程 · 情境导入 问题 《世说新语》记载：王戎七岁，尝与诸小儿游.道边李树多子折枝，诸儿竞去取之，唯戎不动.人问之，答曰：“树在道边而多子，必苦李.”取之，信然.. 王戎是怎么知道李子是苦的呢？ 答： 师生活动：学生先独立思考，然后指定学生回答，全班集体交流 设计意图：引入反证法这种证明方法要深人浅出，引入日常生活中的实例，促使学生认识到反证法已非新鲜事物. · 探究新知 活动：感悟反证法，探究反证法步骤 问题 证明：一个三角形最多有一个钝角. 分析：反过来考虑，如果命题不对，那么一个三角形有两个或者三个钝角. 答：证明：假设△ABC中不止一个钝角,那么可能有两个钝角或三个钝 角 .当有两个钝角时,不妨设∠A,∠B 均为钝角,即∠A>90°, ∠B>90°,则∠A+∠B>180°,所以∠A+∠B+∠C>180°,这与∠A+∠B+∠C=180°矛盾 .同理,当有三个钝角时,也与∠A+∠B+∠C=180°矛盾 .所以假设不正确 .于是△ABC 中最多只能有一个钝角. 师小结：通过否定命题的结论,发现了矛盾,从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法， 思考：用反证法证明一个命题的步骤是什么？ 答：(1)先假设命题的结论不成立. (2)从这个假设出发,经过若干步推理,得出矛盾 . (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定原来命题的结论成立 师生活动：学生先独立思考，师适当的引导. 设计意图：用反证法证明有点难，需要教师适当的引导学生思考. 在教学过程中, 用数学的语言明确问题中的已知和求证，将有助于学生对问题的进一步理解，减少因问题的抽象性所产生学习的障碍，在让学生感知反证法作用的同时, 还要让学生感悟反证法的逻辑和论证流程, 感知矛盾律和排中律, 形成初步的推理能力． · 应用新知 例1 已知： ,b,c是三条不同的直线,// b,b.求证： // c. 证明：假设a,c不平行，那么它们相交于一点P(如图). ∵ a// b,b // c. 过点P的两条直线,c都与直线b平行， 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线”产生矛盾. 假设不成立, a // c. 例2 判断命题 “对于任意的有理数a,b ,如果a>b ,那么| a |> | b |”的真假,并说明理由 . 证明：这是一个假命题.理由如下. 取a=1, . 此时a >b，但是| a|< | b |. 所以命题的结论| a |> | b |不成立.. 师总结：在说明一个命题是假命题时,常用“举反例”的方法.举反例的关键是找到符合命题条件，但不符合命题结论的例子. 变式 已知a是整数,2能整除,求证：2能整除a. 生：证明：假设2不能整除a. a整数. a是奇数，不妨设， 是奇数. 2不能整除,与已知矛盾. 假设不成立, 2能整除a. 师生活动：学生独立思考，完成反证法证题步骤. 设计意图：引导学生形成反面思考问题的习惯，逐步掌握反证法的证明步骤.学生利用反证法对之前学习过的定理或者命题进行证明，不仅仅回顾了旧知，还进行了知识的迁移，培养了逆向思维能力，有助于对反证法的应用意识增强实现，并实现了从“知其然”到“知其所以然”的跨越从而提升了逻辑推理能力和逆向思维能力. · 课堂练习 【教材习题】 1.用反证法证明:已知a,b,c是三条不同的直线,如果a//b, a与c相交,那么b与c相交 . 2.举反例说明下列命题是假命题: (1)如果那么=b; (2)任何数的平方都大于0; (3)两个锐角的和是钝角; (4)如果一点到线段两端的距离相等,那么这个点是这条线段的中点. 答：1. 证明：假设b与c不相交 ，即b//c. ∵a//b,b//c ， ∴a//c,与题中已知a与c相交矛盾 ∴假设不成立， b与c相交 . 2.解：（1）反例：取a=1, . 此时，但是b. (2)反例：0的平方等于0. (3)∠1=30°，∠2=45°.∠1+∠2=75°<90°. （4）如图所示，AC=BC，但点C不是线段AB的中点. 【限时训练】 1.某个命题的结论为“x,y,z三个数中至少有一个数为正数”，现用反证法证明，假设正确的是(     ) A.假设三个数都是正数 B. 假设三个数都为非正数 C. 假设三个数至多有一个为负数 D. 假设三个数中至多有两个为非正数 答：B 2.已知:m 是正整数,且 是偶数 . 求证:m 是偶数 . 证明：假设m不是偶数，即m是奇数，且， , ∵n是自然数，∴是自然数， ∴与是偶数相矛盾， 假设不成立，m 是偶数 . 3.已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于． 答： 证明：假设这五个正数，，，，中没有一个大于或等于即都小于， 那么， 这与已知矛盾，所以原命题得证． 师生活动：学生独立完成，教师批阅. 设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对反证法的理解及应用. · 归纳总结 设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识,使学生对反证法的概念有一个完整且清晰的认识，学习数学不仅仅在于掌握数学知识和方法，更应该注重思维培养与应用意识的提升.   六、板书设计 学科网（北京）股份有限公司 $$