12.4 定理（第2课时）教案-2024-2025学年苏科版（2024）七年级数学下册

第十二章 定义 命题 证明 12.4定理 第2课时   一、教材分析 本节课是苏科版初中数学七年级下册第十二章第四节的第2课时，是学生逻辑思维发展的重要阶段，起着承上启下的关键作用。此前，学生已经接触了一些简单的几何图形和基本的数学概念，对数学知识有了初步的认识，而本章节在此基础上，进一步引导学生深入理解定义、命题的含义，学会区分真命题和假命题，并掌握定理的证明过程，为后续学习三角形、四边形等几何知识以及更为复杂的数学证明奠定坚实的基础. 本课教材线复习三角形内角和，特殊四边形的内角，进而引入“任意一个四边形的内角和是多少”引导学生从具体问题中抽象出数学模型，进而引入多边形的内角和公式．这种从特殊到一般的过渡，有助于学生更好地理解多边形的内角和定理，激发他们的学习兴趣．类比探索多边形的内角和定理的探索过程，探索多边形的外角和定理.在探索多边形的内角和定理的过程中，学生需要将图形转化为简单的三角形内角和问题，这有助于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力础，不仅传授了重要的数学知识，更注重了学生数学素养的全面提升．   二、学情分析 学生此前接触过简单几何图形与命题概念，会证明三角形内角和定理，但从直观认知迈向严谨证明，思维转换挑战大. 他们正处于形象思维向抽象思维过渡阶段，对直观图形接受度高，抽象逻辑推导能力不足. 学习态度上好奇心强却易分心，依赖心理普遍. 学生个体差异明显，部分思维敏捷，部分基础薄弱，这些学情特征需要教师因材施教，助力定理2的学习．   三、学习目标 1.探索并证明多边形的内角和与外角和定理，体会转化思想在几何中的运用，同时让学生体会从特殊到一般的思考认识问题的方法. 2.掌握多边形的内角和与外角和公式，并能用其解决一些简单的问题. 3.通过动手操作、交流讨论激发学生的学习热情，体验从猜想到证明的成就感，并从中体会数学学习是一个充满探索的过程.   四、教学重难点 重点：探索并证明多边形的内角和与外角和定理的过程， 难点：掌握多边形的内角和与外角和公式，并能用其解决一些简单的问题.   五、教学过程 · 情境导入 问题：三角形、正方形、长方形的内角和是多少度？ 答：180° 360° 360° 思考：任意一个四边形的内角和都等于360°吗? 答： 360° 师生活动：教师演示，学生倾听，独立思考． 设计意图：通过情境创设，一方面承接“三角形的内角和定理”，引导学生复习如何证人另一方面渗透“观察、猜想、验证、证明”的思路，锻炼学生的独立思考能力，为推导多边形内角和定理埋下伏笔． · 探究新知 活动一：探究多边形内角和定理 问题：你能利用三角形的内角和求四边形的内角和呢？ 答： 问题：你能求出任意一个五边形、六边形的内角和吗？ 答： 问题 对于n边形的内角和，你有什么猜想? 答：如图所示，在n边形内任取一点P，连接PA1，PA2，⋯，PAn，把n边形分成n 个三角形，所以n 边形的内角和为n×180°−360°=(n−2)⋅180°. 师：你还有其他证明方法吗？ 如图所示，在n 边形的一边上任取一点P 与各顶点相连，连接PA1，PA2，PA3，PA6，…，PAn.得(n−1)个三角形，n 边形内角和n 边形的内角和为(n−1)×180°−180°=(n−2)⋅180°. 如图所示，从n 边形的一个顶点引出(n−3)条对角线，这(n−3)条对角线把n边形分成 (n−2)个三角形，所以n 边形的内角和为(n−2)·180°. 师小结：多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°. 师生活动：学生独立思考，教师适当的引导，全班交流. 设计意图：通过把多边形转化成三角形，体会转化思想在几何中的运用，同时让学生体会从特殊到一般的思考认识问题的方法. 活动二：探究多边形外角和定理 师：多边形有内角，也有外角，如图，延长CD，得到射线CF，∠EDF是五边形ABCDE的一个外角. 顺次延长多边形的各边：AB，BC，CD，…，在每个顶点处得到一个外角，这些外角的和叫作这个多边形的外角和. 思考： 内角和有一般规律，外角和也有一般规律吗? 问题：仿照多边形的内角和研究过程，如何求多边形的外角和? 三角形的外角和： 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得: ∠=∠1+ ∠2， ∠= ∠1+ ∠3，∠= ∠2+ ∠3. 又∵∠1+∠2+∠3=180 °， ∴∠+∠+∠=2(∠1+∠2+∠3)=360 °. 师追问：还有其他方法吗？ 答：如图，△ABC的3个内角及3个对应外角共形成3个平角. 因为三角形的内角和为180°，所以三角形的外角和是180°×3-180°=360°. 思考：四边形的外角和等于多少度？ 答：如图，四边形ABCD的4个内角及4个对应外角共形成4个平角. 因为四边形的内角和为360°， 所以四边形的外角和180°×4-360°=360° 思考：五边形的外角和等于多少度？ 六边形呢？ 答：180°×5-540°=360°.180°×6-720°=360°. 师追问：n边形的外角和是多少？ 多边形的外角和=180°·n-多边形的内角和 =180°·n-180°·(n-2) =180°×2=360°. 师小结：多边形外角和定理：n边形的外角和等于360°. 师生活动：学生独立思考，教师适当的引导，全班交流. 设计意图：借助多边形内角和定理和外角定义，获得多边形外角和定理，在此过程中培养学生的表达能力和总结能力，让学生学会用数学思维思考，用数学的语言表达． · 应用新知 例1 一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 分析：设这个多边形的边数为n .由多边形的内角和公式，得 (n−2)·180°=720° ，解得n=6 . 所以选C. 变式 一个多边形截去一个内角之后，形成的另一个多边形的内角和是2520°，求原多边形的边数. 思考：一个多边形截去一个内角，可以怎么截呢？以四边形为例. 答： 思考：一个n边形截去一个内角后，边数有什么变化呢？ 一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，可能加1. 答：解：设原多边形的边数为n. ①截取一个内角后形成的多边形的边数为n-1. 根据多边形内角和定理得到（n-1-2）×180°=2520°. 解得n=17. ②截取一个内角后形成的多边形的边数为n. 根据多边形内角和定理得到（n-2）×180°=2520°，解得n=16. ③截取一个内角后形成的多边形的边数为n+1. 根据多边形内角和定理得（n+1-2）×180°=2520°. 解得n=15. 答：原多边形的边数可能为15，16，17. 例2 如图所示，∠1，∠2，∠3，∠4 是五边形ABCDE的四个外角,若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ______. 答： 解：如图，因为∠EAB=120°，所以与∠5=180°−∠EAB=180°−120°=60°. 因为多边形的外角和为360°，所以∠1+∠2+∠3+∠4+60°=360°， 所以∠1+∠2+∠3+∠4=360−∠5=300° . 师生活动：教师板演示范，学生模仿． 变式 （1）一个多边形的每一个外角都等于30°，它的边数是 ； （2） 一个多边形的每一个内角都等于144°，它的边数是 ； 分析：(1) 如果多边形(边数为n)的每个外角都相等，则n×每个外角的度数=360°． (2) 设此多边形边数为n，可以根据“(n-2)× 180°=用每一个内角的度数×边数n．还可以先求每个外角的度数，再根据n×每个外角的度数360°来求. 答：（1）12；（2）10； 师生活动：学生先独立思考，再小组交流讨论，共同探究． 设计意图：理解并运用多边形内角和定理和外角和定理解决问题，培养学生的运算能力． · 课堂练习 1. 求证:如果一个n边形的所有内角都相等，那么其内角为 . 2.多边形中小于120°的内角最多有几个? 答：1.证明： ∵n边形的内角和等于(n-2)·180°，且这n个内角都相等， ∴每个内角 . 2.解：设小于120°的内角有x个，那么这些内角对应的外角和就大于60°x. ∵多边形的外角和等于外角和为360°， ∴60°x＜360°，解得x＜6. ∵x为正整数，∴x=5. ∴多边形中小于120°的内角最多有5个. · 限时训练 1.在四边形ABCD中，若∠A与∠C互补， 则它的另一组对角∠B与∠D的关系为 . 2.如果一个多边形的内角和是1440°，那么这个多边形的边数是 （　  ）　 　A.8　　　　B.9　　 　　C.10　 　D.11 3.一个多边形的内角和不可能是 （　 　） A.360°　　　　B.910°　　　　C.1080°　　 　D.1800° 4.求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 5.如图，S是六边形草地ABCDEF的边AB上一点，小明从点S出发，沿着它的边步行1周，仍回到点S处，小明转过的角度是 ，若六边形草地ABCDEF的每边长为5米，小明走了 米。 答：1. 互补 .2.C3. B . 4.解：由外角的性质可知：∠AGH=∠A+∠B，∠CMG=∠C+∠D，∠EHM=∠E+∠F， 由三角形的外角和为360º，得∠AGH+∠CMG+∠EHM=360º． 即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360º． 4.360°，30. 师生活动：学生独立完成，教师批阅. 设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用. · 归纳总结 设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.   六、板书设计 学科网（北京）股份有限公司 $$