2.4圆的方程（7个常考题型归纳）讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【2.4圆的方程】 总览 题型梳理 【知识点总览】 1.圆的标准方程 【知识点的认识】 1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径． 2．圆的标准方程： （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）， 其中圆心C（a，b），半径为r． 特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为： x2+y2＝r2． 其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 【解题方法点拨】 已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下： （1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2； （2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组； （3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可． 另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程． 【命题方向】 可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化． 2.根据圆的几何属性求圆的标准方程 【知识点的认识】 1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径． 2．圆的标准方程： （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）， 其中圆心C（a，b），半径为r． 特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为： x2+y2＝r2． 其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 【解题方法点拨】 已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下： （1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2； （2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组； （3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可． 另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程． 3.经过三点的圆的方程 【知识点的认识】 ﹣三点确定圆：给定三个不共线的点，圆的方程可以通过解方程组得到． 【解题方法点拨】 ﹣步骤： 1．设圆的方程：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0． 2．代入点坐标：将三个点坐标代入方程得到线性方程组． 3．解方程组：解方程组得到D，E，F的值，从而得到圆的方程． 4.点与圆的位置关系 【知识点的认识】 点与圆的位置关系分为在园内，在圆上和在圆外，判断的方法就是该点到圆心的距离和圆半径的大小之间的比较． ①当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内； ②当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上； ③当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外． 5.关于点、直线对称的圆的方程 【知识点的认识】 （1）已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可． （2）若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求圆的标准方程】 例题精选 【例题1】（2025·江西鹰潭·一模）已知直线：和：相交于点，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆的一条直径的端点分别是，则此圆的标准方程是 ． 【例题3】（24-25高二下·上海·阶段练习）圆心是且过点的圆的方程为 . 相似练习 【相似题1】（2025·河南·模拟预测）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 . 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）若圆经过坐标原点，且圆心在直线上运动，当半径最小时，圆的方程为 ． 【相似题3】（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知三个顶点的坐标分别是. (1)求AB边上的高所在的直线方程 (2)求外接圆的方程 【题型2：与圆的标准方程有关的最值问题】 例题精选 【例题1】（2025·河北·模拟预测）已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【例题2】（24-25高二上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，若点为圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高二上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，点，直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．10 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知实数满足，则的最大值和最小值之和为 . 【相似题2】（2025·天津·一模）平面四边形中，，，，点为线段的中点． （I）若，则 ； （II）的取值范围是 ． 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）已知直线与圆交于两点，则面积最大时的一个值为 ． 【题型3：与圆的方程有关的对称问题】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A．+=4 B． C． D． 【例题2】（24-25高二上·广东·阶段练习）若一束光线从点处出发，经过直线上一点反射后，反射光线与圆交于点，则光线从点A到点经过的最短路线长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二上·全国·期末）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为 . 【题型4：点和圆的位置关系】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）点与圆的位置关系： （1）若在圆外，则 ； （2）若在圆上，则 ； （3）若在圆内，则 ． 【例题2】（24-25高三上·上海·阶段练习）将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，设任意投掷两次使两条不重合直线平行的概率为，相交的概率为，若点在圆的内部，则实数的取值范围是 . 相似练习 【相似题1】（2025·福建莆田·二模）设正方形的四条边分别经过点，则该正方形与圆的公共点至多有（    ） A．0个 B．4个 C．8个 D．16个 【相似题2】（24-25高二上·河北唐山·期末）已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 【题型5：确定一个二次曲线是否为圆】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 【题型6：求圆的一般方程（轨迹方程）】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·贵州黔西·期中）在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【例题2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为 . 相似练习 【相似题1】（24-25高三下·陕西西安·阶段练习）已知点，的方程为，P，Q为上的动点，满足，则PQ中点的轨迹方程为 ． 【相似题2】（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知圆，直线过点 (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【题型7：圆过定点的问题】 例题精选 【例题1】（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 相似练习 【相似题1】（22-23高二上·江苏·阶段练习）已知圆经过，两点. (1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程； (2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标. 【相似题2】（2021高三·全国·专题练习）判别方程（k为参数，）表示何种曲线?找出通过定点的坐标. 【课后强化练习】 一、单选题 1．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高二上·河北唐山·期中）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江西南昌·期中）圆的圆心到直线的距离为（   ） A． B． C．3 D．2 4．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·安徽滁州·二模）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆，若为圆上的动点，则的最大值与最小值的差是 . 9．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知点，，，则的外接圆的标准方程为 ． 10．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ． 11．（24-25高二下·浙江·期中）已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ． 三、解答题 12．（24-25高二下·北京·期中）设直线 (1)求与直线的距离为的直线的方程； (2)求圆关于直线的对称圆的方程. 13．（24-25高二上·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 14．（23-24高二上·吉林·阶段练习）已知圆经过点，且圆与轴相切． (1)求圆的方程； (2)设是圆上的动点，点的坐标为，求线段CP的中点的轨迹方程． 15．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点．动点满足．设点的轨迹构成曲线C． (1)求曲线的方程及轨迹； (2)设点是曲线上的任意一点，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【2.4圆的方程】 总览 题型梳理 【知识点总览】 1.圆的标准方程 【知识点的认识】 1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径． 2．圆的标准方程： （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）， 其中圆心C（a，b），半径为r． 特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为： x2+y2＝r2． 其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 【解题方法点拨】 已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下： （1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2； （2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组； （3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可． 另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程． 【命题方向】 可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化． 2.根据圆的几何属性求圆的标准方程 【知识点的认识】 1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径． 2．圆的标准方程： （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）， 其中圆心C（a，b），半径为r． 特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为： x2+y2＝r2． 其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 【解题方法点拨】 已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下： （1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2； （2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组； （3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可． 另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程． 3.经过三点的圆的方程 【知识点的认识】 ﹣三点确定圆：给定三个不共线的点，圆的方程可以通过解方程组得到． 【解题方法点拨】 ﹣步骤： 1．设圆的方程：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0． 2．代入点坐标：将三个点坐标代入方程得到线性方程组． 3．解方程组：解方程组得到D，E，F的值，从而得到圆的方程． 4.点与圆的位置关系 【知识点的认识】 点与圆的位置关系分为在园内，在圆上和在圆外，判断的方法就是该点到圆心的距离和圆半径的大小之间的比较． ①当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内； ②当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上； ③当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外． 5.关于点、直线对称的圆的方程 【知识点的认识】 （1）已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可． （2）若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求圆的标准方程】 例题精选 【例题1】（2025·江西鹰潭·一模）已知直线：和：相交于点，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得两直线位置关系以及其所过定点，根据圆的方程，可得答案. 【详解】由，则， 由，则直线过定点， 由，则直线过定点， 易知动点的轨迹为为直径的圆，圆心，半径， 由题意易知直线的斜率存在，则交点不能是， 则动点的轨迹方程为. 故选：C. 【例题2】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆的一条直径的端点分别是，则此圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】先求出线段中点得出圆心，再应用两点间距离计算得出直径，最后应用圆的标准方程即可求解. 【详解】因为，所以线段的中点坐标为，， 所以以为直径的两个端点的圆的圆心坐标为，半径为， 所以以为直径的两个端点的圆的标准方程是． 故答案为：． 【例题3】（24-25高二下·上海·阶段练习）圆心是且过点的圆的方程为 . 【答案】 【分析】求出圆的半径，即可得出所求圆的方程. 【详解】解析：由题可得圆的半径为， 又圆心为所以圆的方程为. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（2025·河南·模拟预测）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 . 【答案】 【分析】先根据中点坐标公式和斜率公式求出两点的中点和斜率，进而得到垂直平分线的斜率和方程，再联立相关直线方程求出圆心坐标，最后根据圆心和圆上一点求出半径，从而确定圆的方程. 【详解】点和点的中点为， 点和点的斜率为， 则点和点的垂直平分线的斜率为， 可得点和点的垂直平分线的方程为 设圆心为，由题意联立方程： 解得，，半径，圆方程为. 故答案为：. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）若圆经过坐标原点，且圆心在直线上运动，当半径最小时，圆的方程为 ． 【答案】 【分析】设圆心坐标为，根据两点间距离公式求半径最小，即可得结果. 【详解】设圆心坐标为， 则圆的半径， 当时，，圆心坐标为． 故所求圆的方程为． 故答案为：. 【相似题3】（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知三个顶点的坐标分别是. (1)求AB边上的高所在的直线方程 (2)求外接圆的方程 【答案】(1); (2). 【分析】（1）根据垂直求得边上高的斜率，再利用点斜式方程即可写出边上高所在的直线方程； （2）先判断出是直角三角形，故外接圆是以斜边为直径的圆，求出线段的中点与长度，即可写出外接圆方程. 【详解】（1）由题直线的斜率为,故边上高的斜率为，又边上的高过点，由点斜式方程得：，即； （2）三个顶点的坐标分别是， 直线的斜率，直线的斜率， 则，即. 由可得外接圆是以线段为直径的圆， 线段的中点为，半径， 所以外接圆的方程是. 【题型2：与圆的标准方程有关的最值问题】 例题精选 【例题1】（2025·河北·模拟预测）已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】通过直线方程求出两条直线所过的定点，再根据两直线垂直的条件判断两直线垂直，进而确定点的轨迹，最后结合点的位置求出的最小值. 【详解】可变形为由可得，则恒过定点， 同理可得恒过定点，且有，则， 此时的轨迹是以为直径的圆：． 因，由图知，当点在线段上时，的值最小，其最小值为. 故选：A． 【例题2】（24-25高二上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，若点为圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设为圆上任意一点，利用向量的坐标运算得，进而利用的几何意义可求得的最大值. 【详解】设为圆上任意一点， 因为，，所以，， 所以，所以， 表示点到点的距离， 又的圆心到点的距离为， 又圆的半径为， 所以到点的距离的最大值为， 所以的最大值为. 故选：D. 【例题3】（24-25高二上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，点，直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．10 【答案】C 【分析】设点E关于直线l的对称点为，则可转化为，而，通过求对称点为的坐标结合两点间距离即可求解. 【详解】解：根据题意，设点E关于直线l的对称点为，则， ， 当、P、Q三点共线时，取得最小值， 则， 又由，设点， 则，解得， 则， 圆，其圆心为，半径， 则， 故 故选：C. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知实数满足，则的最大值和最小值之和为 . 【答案】4 【分析】应用三角换元，令，，且，结合三角恒等变换有，即可求. 【详解】由题设，令，，且， 所以，且， 所以的最大、最小值分别为、，故它们的和为4. 故答案为：4. 【相似题2】（2025·天津·一模）平面四边形中，，，，点为线段的中点． （I）若，则 ； （II）的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（I）证明四边形为菱形，即可利用定义求数量积； （II）以为原点，以所在直线为轴和轴建系，求出点的轨迹方程，再用坐标表示，再将其转化为几何意义求解. 【详解】（I）如图，连接， 因，，为线段的中点， 则，， 故四边形为菱形，则， （II）如图，以为原点，以所在直线为轴和轴， 在中可知，，则， 设，则，， 因，则点的轨迹为以为直径的圆， 方程为圆，欲使其构成平面四边形，则其轨迹为半圆， 因，则 该式子的几何意义为：点到半圆上的点的距离， 因，则点在圆上， 则距离的最短值为，最长为，但此时无法构成四边形， 故. 故答案为：； 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）已知直线与圆交于两点，则面积最大时的一个值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】因为是圆上的点，所以是等腰三角形，面积，当且仅当时面积最大，此时圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，此外，也可以从平行线的角度考虑，求出到直线的距离为且与单位圆有交点的平行线，进而求得，从而得到的一个值. 【详解】法一： 由题知的圆心坐标为，半径为．易知是等腰三角形， 所以的面积，则当且仅当时，面积最大， 此时圆心到直线的距离为，即， 即，得，任选一个值填写即可，如． 法二：圆心在单位圆上． 当面积最大时，圆心到直线的距离等于， 不妨设到直线的距离为的直线的方程为，则圆心为该直线与单位圆的交点． 由平行直线之间的距离公式得，解得或（舍去）， 所以圆心所在直线为，所以，即符合题意． 故答案为：（答案不唯一）. 【题型3：与圆的方程有关的对称问题】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A．+=4 B． C． D． 【答案】C 【分析】写出已知圆的圆心坐标和半径，求出圆心坐标关于直线的对称点的坐标，然后代入圆的标准方程得答案． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2， 设关于直线：的对称点为， 则，解得． 所以，则圆关于直线对称的圆的方程为． 故选：C． 【例题2】（24-25高二上·广东·阶段练习）若一束光线从点处出发，经过直线上一点反射后，反射光线与圆交于点，则光线从点A到点经过的最短路线长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】求得点关于直线的对称点坐标为，根据对称性可得，再结合圆的性质求最小值. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 设点关于直线的对称点坐标为， 则，解得， 即对称点，则， 因为反射光线与圆交于点，则， 当且仅当三点共线且点为靠近的交点时等号成立， 又因为，所以光线从点A到点经过的最短路线长为． 故选：C． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出点关于直线的对称点，确定对称圆圆心，对称圆半径与圆相同，根据圆心半径确定圆的方程即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 设点关于直线的对称点为， 直线化为，所以直线的斜率为， 设直线的斜率为，，则， 即，整理得：①， 、的中点坐标为， 又、的中点坐标满足直线方程， 所以，整理得： ②， 联立①②，，解得，所以 所以圆关于直线对称的圆的圆心为，半径为， 所以圆关于直线对称的圆的方程为：. 故选：A 【相似题2】（24-25高二上·全国·期末）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为 . 【答案】6 【分析】由点的坐标特点可得点在直线：上运动，则求点关于直线的对称点，则由求解即可. 【详解】设，则， 所以点在直线：上， 又圆的圆心，半径， 设圆心关于直线对称点， 则，解得， 所以， 所以圆：关于直线对称圆：， 如图： 连接交直线于点，则， 连接交圆于，则， 所以，故的最小值为6. 故答案为：6. 【题型4：点和圆的位置关系】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）点与圆的位置关系： （1）若在圆外，则 ； （2）若在圆上，则 ； （3）若在圆内，则 ． 【答案】 > ＝ < 【例题2】（24-25高三上·上海·阶段练习）将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，设任意投掷两次使两条不重合直线平行的概率为，相交的概率为，若点在圆的内部，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据直线平行有，进而确定满足要求的有，且时两直线重合，其它情况两线相交，应用古典概型的概率求法求、，最后由点在圆内列不等式求参数范围. 【详解】若不重合直线平行，则，显然， 所以，满足要求的有两种情况，而取时两直线重合， 又的所有情况有种情况，则相交的情况有种， 综上，，， 所以在圆的内部，即， 所以. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（2025·福建莆田·二模）设正方形的四条边分别经过点，则该正方形与圆的公共点至多有（    ） A．0个 B．4个 C．8个 D．16个 【答案】B 【分析】设，，表达出正方形边长，求出等号成立时，，得到答案. 【详解】，由勾股定理得，设，， 则，， 由对称性可知，， 所以， 当且仅当时，等号成立，此时不妨设点为点，则， 同理可得，， 经验证，在上，故该正方形与圆的公共点至多有4个. 故选：B 【点睛】关键点点睛：设出角度，由对称性得到正方形边长，求出取最大值时四点的坐标，得到答案. 【相似题2】（24-25高二上·河北唐山·期末）已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入各点坐标看是否满足该方程即可得出结论. 【详解】将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程， 只有C选项满足该方程. 故选：C 【题型5：确定一个二次曲线是否为圆】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件，即可求解. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，得到， 故选：C. 【例题2】（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程及点在圆外有且，即可求参数范围. 【详解】由题设，圆，则①， 由点在圆外，则有②， 联立①②得：或 所以实数m的取值范围为 故选：C 相似练习 【相似题1】（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的标准方程即可求解. 【详解】由， 得， 解得. 故选：D 【相似题2】（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆及点在圆外列不等式求参数范围即可. 【详解】圆的方程可化为，则，可得， 又点在圆外，则，可得， 所以. 故选：B 【题型6：求圆的一般方程（轨迹方程）】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·贵州黔西·期中）在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式求出点的轨迹可得. 【详解】设点， 因为，所以， 整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 所以点到直线的最大距离． 故选：B． 【例题2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设点，当不重合时，根据圆的几何性质，利用垂直建立方程求解即可得解，当重合时，代入检验即可. 【详解】由直线过点，圆可知，圆心为， 设点， 由题意可知，当点与点不重合时，，则，整理得，即， 此时点的轨迹为圆但不包括点. 当点与点重合时，其坐标满足方程. 综上，点的轨迹方程为. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（24-25高三下·陕西西安·阶段练习）已知点，的方程为，P，Q为上的动点，满足，则PQ中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设线段的中点为，则，由得，代入即可求解. 【详解】由题意设线段的中点为，由有，      连接MB，则，故，得， 又因为， 所以，化简整理有. 故答案为：. 【相似题2】（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知圆，直线过点 (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用点到直线的距离为半径可求切线方程，注意就斜率是否存在分类讨论； （2）利用动点转移法可求点的轨迹方程. 【详解】（1）若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离为半径， 故直线为圆的切线； 若直线的斜率存在，设切线方程为， 则，故，此时切线方程为， 综上，切线的方程为或. （2）设点则，由点是的中点得， 所以① ，因为在圆上运动，所以②， ①代入②得  化简得点的轨迹方程是. 【题型7：圆过定点的问题】 例题精选 【例题1】（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【答案】（0，－2）和（0，1） 【详解】 解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 【例题2】（24-25高二下·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】(1)存在， (2)过定点或 【分析】（1）令，得，根据结合韦达定理得到，得到半径和圆心，得到圆方程. （2）设过A，B，C的圆P的方程为列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可. 【详解】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 相似练习 【相似题1】（22-23高二上·江苏·阶段练习）已知圆经过，两点. (1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程； (2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标. 【答案】(1)； (2)定点坐标为，证明见解析. 【分析】（1）求出的坐标，根据两点间的距离公式求出，从而可求解； （2）设点是圆上任意一点，由是圆的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论 【详解】（1）当，，故，， 所以此时圆的标准方程为. （2）设点是圆上任意一点， 因为是圆的直径，所以， 即， 所以圆的方程为：， 则，，等式恒成立，定点为， 所以无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，定点坐标为. 【相似题2】（2021高三·全国·专题练习）判别方程（k为参数，）表示何种曲线?找出通过定点的坐标. 【答案】圆心在，半径为的圆；定点的坐标为 【分析】由题通过配方整理可得方程表示圆，将原方程整理为关于k的方程可得定点. 【详解】将原方程整理得， 即， 方程表示圆心在，半径为的圆， 将原方程整理为关于k的方程：， 由 解得 即圆过定点. 【课后强化练习】 一、单选题 1．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高二上·河北唐山·期中）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江西南昌·期中）圆的圆心到直线的距离为（   ） A． B． C．3 D．2 4．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·安徽滁州·二模）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆，若为圆上的动点，则的最大值与最小值的差是 . 9．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知点，，，则的外接圆的标准方程为 ． 10．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ． 11．（24-25高二下·浙江·期中）已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ． 三、解答题 12．（24-25高二下·北京·期中）设直线 (1)求与直线的距离为的直线的方程； (2)求圆关于直线的对称圆的方程. 13．（24-25高二上·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 14．（23-24高二上·吉林·阶段练习）已知圆经过点，且圆与轴相切． (1)求圆的方程； (2)设是圆上的动点，点的坐标为，求线段CP的中点的轨迹方程． 15．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点．动点满足．设点的轨迹构成曲线C． (1)求曲线的方程及轨迹； (2)设点是曲线上的任意一点，求的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B D B A B C D 1．B 【分析】化圆的方程为标准形式，进而求出其圆心和半径. 【详解】圆： 的标准方程为， 所以圆的圆心和半径分别是，. 故选：B 2．D 【分析】由圆的方程确定圆心坐标，再由垂直关系及斜率两点式求弦斜率，最后应用点斜式写出直线方程. 【详解】由题设，圆心为，则， 故弦所在直线方程，即为. 故选：D 3．B 【分析】先求出圆心，再应用点到直线距离公式计算求解. 【详解】圆的圆心为， 所以圆心到直线的距离为. 故选：B. 4．A 【分析】设出中点的坐标，利用中点坐标公式表示出点的坐标，代入圆的方程，化简即可. 【详解】设线段的中点，则，故， 化简得，即线段的中点的轨迹方程为. 故选：A. 5．B 【分析】由圆的性质，结合题意与图象，可得答案. 【详解】圆的方程可化为，，半径， 因为，所以， 又是的中点，所以， 所以点的轨迹方程为． 故选：B. 6．C 【分析】设出圆的标准方程，根据条件列出方程组，进而求解即可. 【详解】由题知，设圆的标准方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. 故选：C 7．D 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 8．40 【分析】先求出圆心到原点的距离，再结合圆的半径来确定的最大值和最小值. 【详解】圆的方程为，其圆心. 根据两点间距离公式，原点到圆心的距离. 因为在圆上运动，圆的半径. 表示点到原点距离的平方. 的最小值为； 的最大值为. 最大值与最小值的差为. 故答案为：40. 9． 【分析】对于本题，我们先求出线段的垂直平分线方程，然后联立求出圆心坐标，再根据圆心到顶点的距离求出半径，最后写出外接圆的标准方程. 【详解】对于和，中点坐标为. 再求线段的斜率. 那么垂直平分线的斜率为（因为两条垂直直线的斜率乘积为）. 利用点斜式，可得线段垂直平分线方程为，即.   线段的中点坐标为. 线段在轴上，其垂直平分线为.   联立，把代入， 得，解得. 所以圆心坐标为.   根据两点间距离公式，圆心到的距离就是半径. .   根据圆的标准方程，可得.   则的外接圆的标准方程为. 故答案为：. 10． 【分析】利用对称求出圆心坐标和半径即得所求圆的方程. 【详解】圆化成标准方程为：， 所以圆心，半径， 而圆与圆关于轴对称，即圆心与圆心关于轴对称，而两圆半径相等， 即圆心，半径， 所以圆的标准方程为：. 故答案为： 11． 【分析】作出点关于轴的对称点为，由圆的几何性质可得出，即可得解. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为，圆的圆心为，半径为， 由于为轴上的动点，由对称性知， 所以， 当且仅当、分别为线段与圆、轴的交点时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 12．(1)或 (2) 【分析】（1）依题意该直线与直线平行，由平行直线间的距离公式列方程即可求解； （2）利用“垂直”，“平分”即可求出圆心关于直线的对称点，进而可求对称圆方程. 【详解】（1）由题意可知该直线与直线平行， 所以设该直线方程为， 依题意，解得或， 故该直线方程为或. （2）圆的圆心为， 设圆心关于直线的对称点为， 则且的中点在直线上． ，解得， ， 圆关于直线的对称圆半径不变， 该对称圆方程为：． 13．(1)的方程为 (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程； （2）圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，求出、、的值，可得出圆的一般方程，再化为标准方程即可. 【详解】（1）因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为． （2）设圆的方程为（其中， 因为、、三点都在圆上，可得，                 解得，，，满足， 所以所求圆的方程为，即. 14．(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出线段的中垂线方程并设出圆心坐标，再借助切线的性质求解即得. （2）设，得，再代入圆的方程即得结果. 【详解】（1）线段的中点，直线的斜率为1，则线段的中垂线方程为， 设圆的圆心，由圆与轴相切，得，解得， 所以圆的圆心，半径为1，方程为. （2）设，依题意，点在圆上，即， 化简得， 所以线段CP的中点的轨迹方程. 15．(1)曲线方程为，轨迹为以为圆心，半径为的圆. (2) 【分析】（1）设，根据化简可得曲线的方程及轨迹； （2）设，再代入结合三角函数辅助角公式求解取值范围即可. 【详解】（1）设，由与可得， 即，化简可得， 即，曲线的轨迹为以为圆心，半径为的圆. （2）设，则，其中. 故当时取最大值，当时取最小值，即的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$