精品解析：河北省邢台市第一中学2024-2025学年高二下学期第四次月考（6月）数学试题

邢台一中2024—2025学年第二学期第四次月考 高二年级数学试题 考试范围：一元函数的导数及其应用 选择性必修三 集合逻辑 不等式函数 高考研究中心 命题人：胡巧云 一审：王立园 二审：高原 说明：1．本试卷共4页，满分150分． 2．请在答题卡上作答，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】由题意知 由可得，即， 由得， 则，，故． 故选：B 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合不等式的基本性质及充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，满足，但不满足； 当时，，则. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再求函数在定义域上的增区间即可. 【详解】解：由已知得，解得或，函数的定义域为， 因为总为增函数，要求函数的单调递增区间， 由同增异减可得即求函数在上的增区间 由二次函数的性质可得在上的增区间为， 故函数的单调递增区间是. 故选：A. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数零点排除选项A，根据函数值的符号排除选项C，利用导数求解单调递增区间排除选项D，即可得解. 【详解】由可得，解得或，排除A； 由时，，排除C； 因为，令，可得，解得或 所以的单调区间为和，排除D． 故选：B 5. 的展开式中，的系数为 A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 【答案】C 【解析】 【详解】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C. 考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数. 【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解. 6. ，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，并利用导数研究其单调性，再通过函数单调性比较大小． 【详解】解：设，，则，， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， ，，，中最大， 又，，而， ，， 故， 故选：B． 7. 已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据古典概型的概率计算以及条件概率的计算公式，结合全概率公式，可得答案. 【详解】设事件为“取出的球在i号箱中”，事件B为“取出的球为红球”， 则组成了完整的样本空间，且两两互斥． 由题意有 ，． 则由全概率公式，， 则在取出的球为红球的条件下， 其取自3号箱的概率为． 故选：A． 8. 已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设奇偶性和对称性条件结合奇偶性定义公式和对称性公式进行分析函数的性质即可得解. 【详解】因为是奇函数，所以为偶函数， 所以，即，故的图象关于直线对称， 由的图象关于直线对称得， 即， 即，所以关于对称， 所以，所以， 故是奇函数，所以B选项正确； 因为，又，所以， 即，所以，故C选项错误； 不能得到的奇偶性与的值，故A，D选项错误. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分． 9. 已知，且，则（     ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合对数的运算性质和对数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：若 ，显然成立，但是，本选项不成立； B：因为， 所以， 即，当且仅当时取等号，即时取等号，因此本选项正确； C：因为，且， 所以，即， 当且仅当时取等号，显然成立，故本选项正确； D：因为，且， 所以， 当且仅当时取等号，因此本选项正确， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对数函数的单调性和基本不等式. 10. ，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式定理，利用赋值法可得解. 【详解】由已知二项式的展开式通项为， 令，可得，A选项正确； 由， 令，得，B选项正确； 根据二项式定理可知等于将展开后所有项的系数和， 将代入，可得，C选项错误； 设， 则令，可得 且， 令，可得； 则，D选项正确； 故选：ABD. 11. Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（    ） A. B. Sigmoid函数是单调减函数 C. 函数的最大值是 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求出导函数，代入验证可以判断A；利用导数研究函数的单调性，进而可以判断B；利用基本不等式，可以判断C；易知函数关于点对称,进而可以求D. 【详解】由函数得. 对于A，，故A正确； 对于B， ，，则Sigmoid函数是增函数，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，因为＋＋1， 所以，D正确． 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：求解函数的最值，导数法是一种很重要的方法，但在某些问题中，用导数可能很繁琐，可变形函数借助均值不等式、配方法等求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数为奇函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得定义域，由可得，据此可得答案. 【详解】因，则， 由于有意义，结合为奇函数，则，因此， 故，则. 故答案为： 13. 把除颜色外完全相同的5个红球和3个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】用分类加法计数原理和“捆绑法”求解即可. 【详解】分两类，第一类：3个红球“捆绑”在一起，另外2个红球也“捆绑”在一起， 然后让3个白球排列后形成4个空位，选出2个空位让这两个“捆绑”的红球排列即可，此时有种； 第二类：3个红球“捆绑”在一起，另外2个红球不相邻，此时让3个白球排列后形成4个空位， 从中选出1个空位放“捆绑”的红球，再从剩下的3个空位选出2个空位放不相邻的红球即可，此时有， 所以共有种. 故答案为：. 14. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是__________；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________. 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】分析抛一次骰子得1分以及得3分的概率，从而计算最终得分的概率，计算期望值；设得1分的次数为，计算得1分次数为次时总得分为分的概率，列不等式组计算概率最大时的值，从而求出的值. 【详解】抛一次骰子得1分的概率为，得3分的概率为， 的可能取值为，，， ， 则随机变量的期望是； 记得1分的次数为，则得3分的次数为， 因此抛掷50次骰子，所得总分为， 则得1分的次数为次时总分得n分的概率为，，若取最大，则 ，可得， 因为，所以，或， 当时，， 当时，， 故答案为：①；②或. 【点睛】思路点睛：得分由扔骰子过程中出现1分的次数和出现3分的次数决定，所以求得分的概率先设出现1分的次数，再计算的概率，列不等式组求出概率最大的的值，再计算. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若时，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）1； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数分析单调性可得最小值； （2）当时，代入可得；当时，分离参数，构造，求导分析单调性和最值可得解. 【小问1详解】 当时，函数的解析式为，则， 时恒成立，函数在上单调递增；时，则函数在区间上单调递减， ∴函数的最小值为：． 【小问2详解】 当时，成立，此时； 当时，由，得． 令，则． 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增． 所以．因此，即． 综上，实数的取值范围是. 16. 某学术平台引入智能检测系统对所收集的文本进行筛查．检测系统对生成文本的识别准确率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%．检测系统对所收集的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“生成概率”得分y（分）．y与文本长度x（字）可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为，且．已知该平台中15%的文本由生成． （1）求回归系数，并预测当文本长度为600字时，“生成概率”的得分； （2）现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四舍五入取整数）． 文本真实性 检测结果 总计 识别为生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实生成（篇） 真实人类撰写（篇） 总计 200 依据小概率值的独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异？ 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式： 提示：独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值 【答案】（1），0.2 （2）列联表见解析，有差异 【解析】 【分析】（1）利用线性回归方程通过样本中心可得回归系数；代入线性回归方程可得预测结果； （2）由题意完善列联表，计算卡方可得. 【小问1详解】 因为，且， 故，故． 当时， 【小问2详解】 生成的篇数为，人类撰写的篇数为， 真实生成且被识别为生成的篇数， 真实人类撰写且被识别为人类撰写的篇数， 故列联表为： 文本真实性 检测结果 总计 识别为生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实生成（篇） 29 1 30 真实人类撰写（篇） 6 164 170 总计 35 165 200 零假设为：分类变量相互独立，即“检测结果”与“文本真实性”无差异 由列联表数据计算得，， 所以依据小概率值的独立性检验，可以判断“检测结果”与“文本真实性”有差异． 17. 冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． （1）已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 （2）为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； （3）经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 【答案】（1）分布列见解析 （2） （3）高二年级学生体能检测合格 【解析】 【分析】（1）由题意有服从超几何分布，利用超几何分布即可求解； （2）利用条件概率公式即可求解； （3）利用正态分布的区间即可求解. 【小问1详解】 由题意的可能取值为， 所以， 所以的分布列为 1 2 【小问2详解】令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”， 所以， 所以， ， 所以； 【小问3详解】 由已知有，所以， 所以， 所以高二年级学生体能检测合格. 18. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值； （2）若有极小值，且极小值小于，求的取值范围； （3）若有两个不同的零点，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】(1)利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，即得结果； (2)分类讨论，，判断单调性，根据有极小值，且极小值小于，求出的范围. (3) 由已知,转化为，进行求解，要证，转化为，进而构造，判断单调性，进行求解. 【小问1详解】 因为，则点．因为，则． 据题意，切线经过点，则， 即，所以． 【小问2详解】 若，因为，则在上单调递增，无极值，不合题意． 若，令，得，即， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以为的极小值点． 由已知，，即， 从而，即，得， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 由已知，，即． 两式相乘，得， 即， 所以． 因为当时，在上单调递增，至多1个零点，不合题意，则． 因为，则；同理，． 要证，即证， 即证， 只要证，即证， 即证，即证． 不妨设，由（2）知，，则． 因为在上单调递增， 只要证，即证． 设，则， 所以在上单调递增． 因为，则，即， 即，所以原不等式成立． 19. 若连续函数满足在定义域内恒成立，则称为“T函数”. （1）判断以下函数是否为“T函数”，请说明理由. （ⅰ）； （ⅱ）； （ⅲ）. （2）若非常值函数存在二阶导数，证明：为“T函数”的充要条件是为常值函数. （3）已知非常值函数为“T函数”，且.记为不超过x的最大整数，讨论函数在区间上的单调性. 【答案】（1）（ⅰ）不是“T函数”；（ii）不是“T函数”；（iii）是“T函数”，理由见解析 （2）证明见解析 （3）在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）看是否恒等于 0.若恒为 0 就是“T 函数”，不为 0 就不是. （2）已知非常值，为常值时，其导数y'恒为 0.因为不恒为 0，所以能推出，即是“T 函数”，反过来也能推，二者等价. （3）由（2）设等式，用三角函数表示和，通过求导得出，得到表达式，进而得到和含、的式子.再根据确定和的值，得出.最后根据分段得到分段形式，分析单调性. 【小问1详解】 （ⅰ），故不是“T函数”； （ii）不恒为0，故不是“T函数”； （iii）恒成立，故是“T函数”. 【小问2详解】 由为非常值函数，得不恒为0. 是常值函数恒成立恒成立为“T函数. 【小问3详解】 由（2）设（r为正常数）， 令，，其中为关于x的函数，记为， 因此，故恒成立即（c为常数）， 因此，， 又，得， 进而解得，故. 因此 所以函数 可得函数在上单调递减，在上单调递增. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邢台一中2024—2025学年第二学期第四次月考 高二年级数学试题 考试范围：一元函数的导数及其应用 选择性必修三 集合逻辑 不等式函数 高考研究中心 命题人：胡巧云 一审：王立园 二审：高原 说明：1．本试卷共4页，满分150分． 2．请在答题卡上作答，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中，的系数为 A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6. ，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱中的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分． 9. 已知，且，则（     ） A. B. C. D. 10. ，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 11. Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（    ） A. B. Sigmoid函数是单调减函数 C. 函数的最大值是 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数为奇函数，则______. 13. 把除颜色外完全相同的5个红球和3个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为__________.（用数字作答） 14. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是__________；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若时，都有成立，求实数的取值范围． 16. 某学术平台引入智能检测系统对所收集的文本进行筛查．检测系统对生成文本的识别准确率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%．检测系统对所收集的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“生成概率”得分y（分）．y与文本长度x（字）可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为，且．已知该平台中15%的文本由生成． （1）求回归系数，并预测当文本长度为600字时，“生成概率”的得分； （2）现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四舍五入取整数）． 文本真实性 检测结果 总计 识别为生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实生成（篇） 真实人类撰写（篇） 总计 200 依据小概率值的独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异？ 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式： 提示：独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值 17. 冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． （1）已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 （2）为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； （3）经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 18. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值； （2）若有极小值，且极小值小于，求的取值范围； （3）若有两个不同的零点，证明：． 19. 若连续函数满足在定义域内恒成立，则称为“T函数”. （1）判断以下函数是否为“T函数”，请说明理由. （ⅰ）； （ⅱ）； （ⅲ）. （2）若非常值函数存在二阶导数，证明：为“T函数”的充要条件是为常值函数. （3）已知非常值函数为“T函数”，且.记为不超过x的最大整数，讨论函数在区间上的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $