精品解析：内蒙古杭锦后旗全旗2024-2025学年下学期 八年级数学学科测试调研卷

2025年4月八年级数学学科测试调研卷 一、单选愿（每题3分，共30分） 1. 下列各式中一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 在下列条件中：①；②；③；④，，；⑤，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（　　） A. 对角线相等的四边形 B. 对角线相等的平行四边形 C. 等腰梯形 D. 对角线互相垂直的四边形 6. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，借助尺规在上确定一点P，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 在等边三角形中，，射线，点从点出发，沿射线以的速度运动，同时点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2或6 D. 3或6 9. 如图，中，为边上一点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．则以下结论中错误的是（ ） A. 四边形是菱形 B. 与互相垂直且平分 C. 当时，四边形是菱形 D. 若时，则四边形是正方形 10. 如图，在矩形中，，点E，F分别在边上， ，AF与相交于点O，连接，若，则与之间的数量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 12. 已知，则______． 13. 已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是________． 14. 如图，在平行四边形中，，，与分别为和的平分线，则的长为______． 15. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为______ 16. 如图，在平行四边形中，，点分别是上的动点，连接．若点分别是的中点，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共52分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置． 19. 如图，在平行四边形中， 连接对角线，点E和点F是直线上两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，，求四边形的面积． 20. 如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． （1）求，小区之间的距离； （2）现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 21. 【问题提出】 如图1，在中，，为边上一点（不与点，重合），以为直角边在右侧做等腰直角，连接． （1）的度数为______； （2）线段，，之间有怎样的数量关系，写出并说明理由； 【类比探究】 如图2，若点在边的延长线上，其他条件不变， （3）试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由． 22. 如图1，在中，点D在的延长线上，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的平分线于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接、，当点运动到何处时，四边形是矩形，并说明理由； （3）在（2）的前提下满足时，四边形是正方形？（直接写出答案，无需证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年4月八年级数学学科测试调研卷 一、单选愿（每题3分，共30分） 1. 下列各式中一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的定义作出选择：式子叫做二次根式． 【详解】解：A、被开方数，不是二次根式；故本选项错误； B、被开方数，符合二次根式的定义，故本选项正确 C、是三次根式，故本选项错误； D、被开方数时，不是二次根式，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义．式子叫做二次根式，特别注意． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则计算，进而得出答案． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3. 若，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二次根式的非负性计算即可 【详解】∵，， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的性质，熟知二次根式是非负数是解题关键． 4. 在下列条件中：①；②；③；④，，；⑤，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理，以及勾股定理的逆定理进行判定即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①因为，则， ∴， ∴是直角三角形，故①符合题意； ②∴，即， ∴是直角三角形，故②符合题意； ③∴，设，，， ∴不是直角三角形，故③不符合题意； ④∵，，，， ∴不是直角三角形，故④不符合题意； ⑤∵，设，则， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，故⑤不符合题意； ∴能确定是直角三角形的条件有①②共2个． 故选：B． 5. 若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（　　） A. 对角线相等的四边形 B. 对角线相等的平行四边形 C. 等腰梯形 D. 对角线互相垂直的四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． 根据菱形的性质，得，结合三角形的中位线定理得，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，四边形是菱形，点、、、分别是、、、的中点， ，，， ， 原四边形一定是对角线相等的四边形． 故选：A． 6. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键； 根据两个图形面积相等，列式，即可求解； 【详解】解：根据题意，列式可得：， 故选：A 7. 如图，在中，，，，借助尺规在上确定一点P，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，角平分线的性质，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．先根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，再作于H，由角平分线的性质可得出，设，再由即可得出结论． 【详解】解：，，，， 是直角三角形， 作于H， 由题意，平分， ，， ，设， ， ， ， ， ， 故选：C． 8. 在等边三角形中，，射线，点从点出发，沿射线以的速度运动，同时点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2或6 D. 3或6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用． 分别从当点在的左侧时与当点在的右侧时去分析，由当时，以为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：①当点在的左侧时， 根据题意得：，，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即，解得：； ②当点在的右侧时， 根据题意得：，，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即，解得：； 综上可得：当或时，以为顶点四边形是平行四边形． 故选：C． 9. 如图，中，为边上一点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．则以下结论中错误的是（ ） A. 四边形是菱形 B. 与互相垂直且平分 C. 当时，四边形是菱形 D. 若时，则四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、正方形的判定、三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定等知识点，掌握菱形的判定与性质成为解题的关键． 先判定四边形是菱形可判定A选项；再根据菱形的性质可判定B选项；再根据三角形等腰三角形的性质、三角形的中位线可证明是平行四边形；最后根据有一个内角是直角的菱形是正方形可判定D选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，即A选项正确，不符合题意； ∴与互相垂直且平分，即B选项正确，不符合题意； 当时，由等腰三角形的性质得； ∵四边形是菱形， ∴，； ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴F点是的中点； 同理：得E点是的中点， ∴是的中位线， ∴，； ∵， ∴四边形是平行四边形；故选项C错误，符合题意； ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形，即选项D正确，不符合题意． 故选C． 10. 如图，在矩形中，，点E，F分别在边上， ，AF与相交于点O，连接，若，则与之间的数量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点O作OM⊥BC于点M，先证明四边形ABFE是正方形，得出，再利用勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】过点O作OM⊥BC于点M， ， 四边形ABCD是矩形， ， ∴∠AEF=180°-∠BAD=90°， ， ∴四边形ABFE是矩形， 又∵AB=AE， 四边形ABFE是正方形， ，EF=BF， ， ， ，EF=2CF， 由勾股定理得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．根据分式的分母不为0，分式有意义，被开方数大于或等于0，二次根式有意义，列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意：， 解得：且， 故答案为：且． 12. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式有意义的条件是解本题的关键．先根据二次根式有意义的条件确定x的值，再代入求出y的值，最后将x，y的值代入计算即可． 【详解】解：有意义， 且， ， ， ， 故答案为：． 13. 已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质．根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理求得此三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由非负性得：， 解得：， ∵， ∴此三角形是直角三角形， ∴三角形的面积为：． 故答案为：3． 14. 如图，在平行四边形中，，，与分别为和的平分线，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，等角对等边．由平行四边形的性质得到，角平分线的定义可得，则．同理可得．根据，求解作答即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 故答案为：． 15. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与弦图有关的勾股定理得应用，完全平方公式的应用，根据小正方形面积为7得出，结合，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴得， ∴， ∴大正方形的边长为． 故答案为：． 16. 如图，在平行四边形中，，点分别是上的动点，连接．若点分别是的中点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过作于，先根据三角形的中位线性质得到，则要求的最小值只需求的最小值；根据垂线段最短知，当时，最小，最小值为的长度；利用平行四边形的性质和勾股定理求解即可求解． 【详解】解：连接，过作于， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，则要求的最小值只需求的最小值； 当时，最小，最小值为的长度， ∵平行四边形中，， ， ， ， ∴由， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线，垂线段最短，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的中位线性质，将的最小值转化为求的最小值是解答的关键． 三、解答题（本大题共52分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘法，再进行加减计算； （2）分别由平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置． 【答案】（1） 解：结论：是直角三角形． 理由：∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2） 如图点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图一应用于设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． （1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可； （2）根据平行四边形的判定作出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在平行四边形中， 连接对角线，点E和点F是直线上两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）36 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质易证，即可得到结论； （2）由勾股定理得到，进而得出，求出，即可得到四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． （1）求，小区之间的距离； （2）现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 【答案】（1）千米 （2）千米 【解析】 【分析】（）过点作于，可得四边形是长方形，得到千米，千米，即得千米，再利用勾股定理即可求解； （）设千米，则千米，由利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，长方形，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，过点作于，则， ∵， ∴四边形是长方形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：，小区之间的距离为千米； 【小问2详解】 解：如图，设千米，则千米， 由题意得，， ∴由勾股定理得，， 整理得，， 解得， 答：车站应修建在离点千米处． 21. 【问题提出】 如图1，在中，，为边上一点（不与点，重合），以为直角边在右侧做等腰直角，连接． （1）的度数为______； （2）线段，，之间有怎样的数量关系，写出并说明理由； 【类比探究】 如图2，若点在边的延长线上，其他条件不变， （3）试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2），理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∴； ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，得到，利用角的和差关系进行求解即可； （2）根据全等三角形的性质，结合线段的和差关系即可得出结论； （3）证明，求出为直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 略 （3） 略 22. 如图1，在中，点D在的延长线上，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的平分线于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接、，当点运动到何处时，四边形是矩形，并说明理由； （3）在（2）的前提下满足时，四边形是正方形？（直接写出答案，无需证明） 【答案】（1）证明：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ． （2） 当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形． 理由： ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ，即， 四边形是矩形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，，根据平行线得到，，从而利用等腰三角形说明，从而得到结论； （2）当O为中点时，结合(1)可得四边形为平行四边形，然后根据得出矩形； （3）当时，可得，对角线互相垂直的矩形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在（2）前提下，当的时，四边形是正方形． ，， ， 矩形是正方形． 【点睛】本题综合考查了平行线性质，等腰三角形的判定，平行四边形、矩形、正方形的性质与判定等知识，熟练掌握它们的性质和判定是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $