精品解析：上海市普陀区长征中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024学年第二学期高二期末测试数学学科试卷 (时间120分钟，满分150分) 2025.06 一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1. 双曲线的右焦点坐标是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程即可得解. 【详解】由双曲线，得，所以， 且焦点在x轴上，所以右焦点为. 故答案为：. 2. 若，则______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据排列数的运算性质计算即可求解. 【详解】由题意知，，则， 由，解得. 故答案为：7 3. 在的展开式中，含项的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为，， 所以含项为， 即在的展开式中，含项的系数为． 故答案为：． 4. 直线经过点和，则此直线的斜率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两点求斜率公式求过、两点的直线的斜率即可. 【详解】因为，已知，，所以过、两点的直线的斜率 为. 故答案为： 5. 设为正整数，计算_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据无穷等比数列的前项和公式和极限的思想计算即可. 【详解】因为， 当时，，所以. 故答案为： 6. 已知是等比数列，，则公比_____. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求解. 【详解】是等比数列，，， ，解得， 故答案为： 7. 顶点在坐标原点，以轴为对称轴的抛物线过点则它的方程是_____. 【答案】 【解析】 【分析】设抛物线为，结合点在抛物线上求方程即可. 【详解】由题意，设抛物线为， ， ， 综上：抛物线方程为. 故答案为：. 8. 设，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据赋值法求解即可； 【详解】根据二项式性质，令解得：， 故答案为：1. 9. 从全班30位学生中选派3人去参加表彰会，其中正、副班长两人中至少有一人参加，则不同的选派方式共有__________种. 【答案】784 【解析】 【分析】讨论正副班长参加情况分别求对应的选派方法数，再加总即得结果. 详解】由题设，正副班长只有一个参加有种选派，正副班长都参加有种选派， 所以共有种 故答案为：784 10. 把这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先递减后递增，则这样的数列共有__________个. 【答案】14 【解析】 【分析】根据数列的单调性确定在的两侧，然后根据那些数字在的右侧进行分类讨论，从而求得正确答案. 【详解】依题意，数列恰好先递减后递增，所以在的两侧， 从中选出一个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有， 从中选出两个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有， 从中选出三个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有， 故满足条件的数量总个数为个. 故答案为： 11. 已知是椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，，则周长的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可将周长转化为，当最大时，、、三点共线，即求出最大值. 【详解】∵的周长为，而， ∴的周长为， 当最大时，、、三点共线，如图所示， 由题意得，，点坐标为，坐标为， 则的周长最大为： ， 故答案为：. 【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题. 12. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.三角垛的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，从第二层开始，每层球数与上一层球数之差依次构成等差数列.现有60个篮球，把它们堆放成一个三角垛，那么剩余篮球的个数最少为______. 【答案】 【解析】 【分析】设第层有和球，根据题意求出和，再根据和可得答案. 【详解】设第层有和球，则，，，，， 所以当时， ， 当时，也适合上式， 故， 所以这层三角垛的球数之和为 ， 因为，所以单调递增， 当时，，剩余球数为个， 当时，， 所以剩余球数的最小值为个. 故答案为：. 二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14每题4分，15-16每题5分，选对得分，否则一律得零分. 13. 圆心为且过原点的圆的方程是 A. B C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：设圆的方程为，且圆过原点，即，得，所以圆的方程为.故选D. 考点：圆的一般方程. 14. 2022年北京冬奥会速度滑冰､花样滑冰､冰球三个项目竞赛中，甲，乙，丙，丁，戊五名同学各自选择一个项目开展志愿者服务，则甲和乙均选择同一个项目，且三个项目都有人参加的不同方案总数是（ ） A. 18 B. 27 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，把甲和乙看作一个元素，然后先分组再分配，即可求解． 【详解】解：因为甲和乙选择同一个项目，所以把甲和乙看作一个元素与丙，丁，戊分配到三个项目， 因为三个项目都有参加，所以有一个项目是2个元素， 所以共有种方案. 故选：C. 15. 在数列中，，，则（ ）. A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】计算数列的前几项，得到数列的周期，根据周期性即可求解. 【详解】由，得， ， 所以是以为周期的数列，所以. 故选：. 16. 设椭圆的标准方程为，若斜率为的直线与椭圆相切同时也与圆（为椭圆的短半轴）相切，设椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设直线方程为，利用直线与椭圆和圆相切可得出、的齐次等式，进而可求得的值. 【详解】设直线方程为， 因为直线与椭圆相切，联立，消去得， ，可得，则. 又因为直线与圆相切，所以，即，解得. 所以，由，所以有，解得 故选：A. 【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出、，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于、、的齐次式，结合转化为、的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）． 三.解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 在某次社会实践活动中，学校高二年级有甲、乙等7名同学排成一列照相，求下列排法种数. （1）甲乙两人不相邻； （2）甲排头并且乙不在末尾. 【答案】（1）3600 （2）600 【解析】 【分析】（1）利用插空法求解即可； （2）先排甲乙，剩余5人全排列即可. 【小问1详解】 先排其余人，有种情况， 再把甲乙插入人之间的个空中，共有种， 所以共有种排法； 【小问2详解】 首先排甲有种排法，再排乙有种排法，排其余人有种情况， 所以共有种排法. 18. 已知等差数列中，，公差；等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）设出公比，根据题目条件得到方程组，消元后得到方程，求出，，从而求出通项公式； （2）利用等差和等比数列求和公式进行分组求和 【小问1详解】 由题意得，又， 设的公比为， 故，相加得，则①， 两式相除得②， 又，所以③， 由①③得④， 由②④得，解得， 解得或0（舍去）， 由得，， 所以，所以， 其中，故， 【小问2详解】 ， 其中， ， 故 19. 已知的二项展开式中，二项式系数之和为64. （1）求n的值； （2）求的展开式中的常数项. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由二项式系数和有，即可求n； （2）由（1）写出的展开式通项，进而确定原多项式的常数项即可. 【小问1详解】 由题设，故. 【小问2详解】 由（1）知：，而的展开式通项为， 所以常数项为. 20. 定义:对于任意，满足条件且(是与无关的常数)的无穷数列称为数列. （1）若，试举反例说明数列不是数列； （2）若，证明:数列是数列； （3）设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围. 【答案】（1）说明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的性质，结合新定义的条件，即可判断； （2）首先计算，再结合二次函数的最值，即可说明； （3）首先判断数列的单调性，再求数列的最值，即可求解的取值范围. 【小问1详解】 数列，当时，，所以不存在使，所以数列不是数列； 【小问2详解】 由，得 所以数列满足. 又，当或5时，取得最大值，即. 综上，数列是数列. 【小问3详解】 因为， 所以当即时，，此时数列单调递增 当时，，此时数列单调递减；故数列的最大项是， 所以，的取值范围是 21. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l：与椭圆C交于两个不同点D，E，以线段为直径的圆经过原点，求实数的值； （3）设A，B为椭圆C的左､右顶点，为椭圆C上除A，B外任意一点，线段的垂直平分线分别交直线和直线于点P和点Q，分别过点P和Q作轴的垂线，垂足分别为M和N，求证：线段MN的长为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆方程； （2）联立方程组，求得，结合，列出方程求得的值，即可求解； （3）设，由此得到，利用分别表示出直线和的方程，联立两直线方程，求出点横坐标，进而可求出线段的长，得出结论成立. 【小问1详解】 解：由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是， 可得，解得， 因此椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：设，， 联立方程组 ，整理得， 由，解得， 则， 因为以线段为直径的圆经过原点，所以，则， 可得，即， 代入得，整理得满足， 所以. 【小问3详解】 解：因为，为椭圆的左､右顶点，可得，， 设，则，所以，则， 因为线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点， 则为中点，所以， 又因为直线的斜率为，所以其垂直平分线的斜率为， 则的方程为， 即； 又由直线的斜率为，所以直线的方程为， 由，可得，则， 解得，即， 又因为、分别为、在轴的垂足， 则，， 所以为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期高二期末测试数学学科试卷 (时间120分钟，满分150分) 2025.06 一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1. 双曲线的右焦点坐标是_______. 2. 若，则______. 3. 在的展开式中，含项的系数为________． 4. 直线经过点和，则此直线的斜率为__________． 5. 设为正整数，计算_____. 6. 已知是等比数列，，则公比_____. 7. 顶点在坐标原点，以轴为对称轴抛物线过点则它的方程是_____. 8. 设，则______. 9. 从全班30位学生中选派3人去参加表彰会，其中正、副班长两人中至少有一人参加，则不同的选派方式共有__________种. 10. 把这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先递减后递增，则这样的数列共有__________个. 11. 已知是椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，，则周长的最大值为__________. 12. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.三角垛的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，从第二层开始，每层球数与上一层球数之差依次构成等差数列.现有60个篮球，把它们堆放成一个三角垛，那么剩余篮球的个数最少为______. 二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14每题4分，15-16每题5分，选对得分，否则一律得零分. 13. 圆心为且过原点圆的方程是 A. B. C. D. 14. 2022年北京冬奥会速度滑冰､花样滑冰､冰球三个项目竞赛中，甲，乙，丙，丁，戊五名同学各自选择一个项目开展志愿者服务，则甲和乙均选择同一个项目，且三个项目都有人参加的不同方案总数是（ ） A. 18 B. 27 C. 36 D. 48 15. 数列中，，，则（ ）. A. B. C. D. 5 16. 设椭圆的标准方程为，若斜率为的直线与椭圆相切同时也与圆（为椭圆的短半轴）相切，设椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. B. C. D. 三.解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 在某次社会实践活动中，学校高二年级有甲、乙等7名同学排成一列照相，求下列排法种数. （1）甲乙两人不相邻； （2）甲在排头并且乙不在末尾. 18. 已知等差数列中，，公差；等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和. 19. 已知二项展开式中，二项式系数之和为64. （1）求n的值； （2）求的展开式中的常数项. 20. 定义:对于任意，满足条件且(是与无关的常数)的无穷数列称为数列. （1）若，试举反例说明数列不是数列； （2）若，证明:数列是数列； （3）设数列通项为，且数列是数列，求常数的取值范围. 21. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l：与椭圆C交于两个不同点D，E，以线段为直径的圆经过原点，求实数的值； （3）设A，B为椭圆C的左､右顶点，为椭圆C上除A，B外任意一点，线段的垂直平分线分别交直线和直线于点P和点Q，分别过点P和Q作轴的垂线，垂足分别为M和N，求证：线段MN的长为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$