第4讲 等比数列前n项和 讲义-2026届高三数学一轮复习

等比数列前n项和 知识点一 等比数列的有关概念 1.等比数列的公比为，其前项和为 注：①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． 2. 当，时，是成等比数列的充要条件，此时． 3. 公比不为－1的等比数列的前项和，为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 【题型一】 等比数列求和的计算 【例1】设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C．5 D．7 【答案】C 【详解】由题知：显然 即，解得或（舍），所以 故选：C 【例2】已知正项等比数列的首项，前项和为．且，，成等差数列，则（    ）． A．8 B． C．16 D． 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列， 所以，所以，所以，即，解得或 因为，所以，所以故选：A 【例3】若等比数列的前n项和则（    ） A． B．4n-1 C． D．无法确定 【答案】C 【详解】当时，， 当时，， 因为数列为等比数列，所以当时，，解得， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列， 当时，，数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以.故选：C 【例4】设数列的前项和为，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题 故选D 变式1等比数列各项为正，成等差数列，为的前n项和，则 A． B． C． D． 变式2已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（    ） A． B．2 C． D．3 变式3已知等比数列的项和，则（    ） A． B． C． D． 变式4在与之间插入个数，组成等比数列，若所有项的和为，则此数列的项数为 . 【题型二】 等比数列前n项和的性质 【例5】一个等比数列前项和为，前项和为，则前项和为 ． 【答案】 【详解】等比数列的第一个n项和为48，第二个n项和为，从而可以求得第三个n项和为，所以前3n项和为，故答案是63. 【例6】设是等比数列的前项和，若，则 . 【答案】 【详解】法一：设，当时，，不符合要求，故， 故，即，则. 法二：由为等比数列，故， 由，即，即，即，即. 【例7】设正项等比数列的首项，前项和为，且，则公比的值为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】化简得，因为为等比数列，为其前项和， 所以，所以故选A 变式5已知为等比数列的前项和，，，则（    ） A．3 B． C． D． 变式6已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的值为(　　) A．18 B．20 C．24 D．28 变式7等比数列的前项和为，且，则（　　） A． B． C． D． 【例8】已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是正项等比数列，所以，，仍然构成等比数列，所以. 又，，成等差数列，所以，，所以. 又是正项等比数列，所以，，当且仅当时取等号. 故选：B. 变式8已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为 . 知识点二 等边数列奇偶项求和 （1）项数为时： ， 结论： （2） 项数为 ， 结论： 【题型三】 奇偶项求和 【例9】已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（   ） A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8 【答案】D 【详解】设等比数列共有项，公比为，则该数列为：， 依题意，，于是得，，解得， 所以这个数列的公比为2，项数为8. 故选：D 【例10】一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，求此数列的通项公式； 【答案】 【详解】解：设此等比数列有项，公比为，则． 由题意可得：，，，， 化为，，解得，．． 变式9已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前4项之积为64，则（    ） A．1 B． C．2 D．1或 变式10已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 知识点三 错位相减求和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号． 等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：． 【题型四】 错位相减法 【例11】记为数列的前n项和，且． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【详解】（1）证明：， 时，，相减可得：，可得． 时，，解得． 数列为等比数列，首项，公比为．． （2）由（1）可得，， 数列的前项和， ， 相减可得， 化为得． 变式 11已知，求数列的前n项和． 【例12】已知数列前项和为，首项，且满足， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）时，；时， 两式作差得，故 又，故 （2）由（1） ， 变式 12 已知数列的前项和为，其中，且. （1）求的通项公式. （2）设，求的前项和. 知识点四 其他求和方法 （1）数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和． （2）分组转化法求和的常见类型 【题型五】 分组求和法 【例13】已知数列{}满足，． (1)求{}的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【详解】(1)由题意可得：∵ 所以是首项为2，公比为2的等比数列则，即 因此{}的通项公式为 (2) 由（1）知，令则 所以． ．综上． 变式 13已知正项数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【例14】已知数列的前n项和为，且，，则 【详解】由题意得， 当时，， 所以，所以当n为偶数时。当n为奇数时，由已知可得， ①所以当n为偶数时 ； ②当n为奇数时； 所以 变式 14设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，. （1）求和的通项公式； （2）设数列满足求. 【题型六】 奇偶并项求和 【例15】已知数列，，数列的前n项和为，求 【详解】构造 变式15 已知，求数列的前项之和. 【题型七】 数列恒成立 【例16】已知数列的前n项和为，，其中． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和，若对任意且，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 两式相减，得，又， 所以数列为等比数列，首项为2，公比为3， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， ， 则有， 两式相减得： ， 于是得， 因为且，， 当时，数列是递增数列，所以的最小值为18， 因此. 变式16 已知数列的前n项和为，且，记数列的前n项和为若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的最小值为 ． 【例17】（多选题）数列定义如下：，，若对于任意，数列的前项已定义，则对于，定义，为其前n项和，则下列结论正确的是（    ） A．数列的第项为 B．数列的第2023项为 C．数列的前项和为 D． 【答案】ACD 【详解】 …， ，故A选项正确； ， ，故B选项错误； ，，…，当时，， 所以，故C选项正确； 当时，， ，故D选项正确； 故选：ACD. — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等比数列前n项和 知识点一 等比数列的有关概念 （1）等比数列的公比为，其前项和为 注：①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． （2）当，时，是成等比数列的充要条件，此时． （3）公比不为－1的等比数列的前项和，为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 【题型一】 等比数列求和的计算 【例1】设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C．5 D．7 【答案】C 【详解】由题知：显然 即，解得或（舍），所以 故选：C 【例2】已知正项等比数列的首项，前项和为．且，，成等差数列，则（    ）． A．8 B． C．16 D． 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列， 所以，所以，所以，即，解得或 因为，所以，所以故选：A 【例3】若等比数列的前n项和则（    ） A． B．4n-1 C． D．无法确定 【答案】C 【详解】当时，， 当时，， 因为数列为等比数列，所以当时，，解得， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列， 当时，，数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以.故选：C 【例4】设数列的前项和为，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题 故选D 变式1等比数列各项为正，成等差数列，为的前n项和，则 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的公比为，∵，，成等差数列，∴，，， ∴，得或（舍去），∴.故选D. 变式2已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】因为，所以，设公比为q，可得：， 两式相除得： 故选：A 变式3已知等比数列的项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知等比数列的项和. 当时，； 当时，. 由于数列为等比数列，则满足，所以，，解得， ，则，，且， 所以，数列为等比数列，且首项为，公比为， 因此，. 故选：D. 变式4在与之间插入个数，组成等比数列，若所有项的和为，则此数列的项数为 . 【答案】 【详解】设此等比数列的公比为，则，故此数列共有项，故答案为：. 【题型二】 等比数列前n项和的性质 【例5】一个等比数列前项和为，前项和为，则前项和为 ． 【答案】 【详解】等比数列的第一个n项和为48，第二个n项和为，从而可以求得第三个n项和为，所以前3n项和为，故答案是63. 【例6】设是等比数列的前项和，若，则 . 【答案】 【详解】法一：设，当时，，不符合要求，故， 故，即，则. 法二：由为等比数列，故， 由，即，即，即，即. 【例7】设正项等比数列的首项，前项和为，且，则公比的值为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】化简得，因为为等比数列，为其前项和， 所以，所以故选A 变式5已知为等比数列的前项和，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，为等比数列的前n项和，则成等比数列， 由等比中项，得，即，解得或（舍去）.故选：C 变式6已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的值为(　　) A．18 B．20 C．24 D．28 【答案】D 【详解】由等比数列的性质知，构成等比数列， 设，则构成等比数列，，解得或 (舍去)． 是以2为首项，为公比的等比数列， 则，故，故选：D 变式7等比数列的前项和为，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由等比数列性质可知，成等比数列，因为，所以， 所以成等比数列，所以，所以，所以.故选：C. 【例8】已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是正项等比数列，所以，，仍然构成等比数列，所以. 又，，成等差数列，所以，，所以. 又是正项等比数列，所以，，当且仅当时取等号. 故选：B. 变式8已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由等比数列的性质可得：，，成等比数列，则， 由于，所以 ， 当且仅当时取最小值，故最小值为 知识点二 等边数列奇偶项求和 （1）项数为时： ， 结论： （2） 项数为 ， 结论： 【题型三】 奇偶项求和 【例9】已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（   ） A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8 【答案】D 【详解】设等比数列共有项，公比为，则该数列为：， 依题意，，于是得，，解得， 所以这个数列的公比为2，项数为8. 故选：D 【例10】一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，求此数列的通项公式； 【答案】 【详解】解：设此等比数列有项，公比为，则． 由题意可得：，，，， 化为，，解得，．． 变式9已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前4项之积为64，则（    ） A．1 B． C．2 D．1或 【答案】D 【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为，因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，，故满足，解得， 又，所以.故选：D 变式10已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得.故选：B 知识点三 错位相减求和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号． 等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：． 【题型四】 错位相减法 【例11】记为数列的前n项和，且． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【详解】（1）证明：， 时，，相减可得：，可得． 时，，解得． 数列为等比数列，首项，公比为．． （2）由（1）可得，， 数列的前项和， ， 相减可得， 化为得． 变式 11已知，求数列的前n项和． 【详解】， 则①， ②， 两式相减得：， 所以 【例12】已知数列前项和为，首项，且满足， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）时，；时， 两式作差得，故 又，故 （2）由（1） ， 变式 12 已知数列的前项和为，其中，且. （1）求的通项公式. （2）设，求的前项和. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由，可得，则，两式相减，可得，即， 又由，易知，所以当时，， 所以数列的通项公式为. （2）因为，可得， 则， 所以， 两式相减得 ， 所以. 知识点四 其他求和方法 （1）数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和． （2）分组转化法求和的常见类型 【题型五】 分组求和法 【例13】已知数列{}满足，． (1)求{}的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【详解】(1)由题意可得：∵ 所以是首项为2，公比为2的等比数列则，即 因此{}的通项公式为 (2) 由（1）知，令则 所以． ．综上． 变式 13已知正项数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】(1)解：因为，① 当时，．② ①②得，所以．当时，，也满足上式，所以． (2)解：因为， 则， 则． 【例14】已知数列的前n项和为，且，，则 【详解】由题意得， 当时，， 所以，所以当n为偶数时。当n为奇数时，由已知可得， ①所以当n为偶数时 ； ②当n为奇数时； 所以 变式 14设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，. （1）求和的通项公式； （2）设数列满足求. 【答案】（I），；（II） 【详解】（I）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 依题意，得，解得，故，， 所以，的通项公式为，的通项公式为； （II） ， 记    ① 则   ② ②①得，， 所以. 【题型六】 奇偶并项求和 【例15】已知数列，，数列的前n项和为，求 【详解】构造 变式15 已知，求数列的前项之和. 【答案】． 【详解】 ， ，   ① ② ， ， . 【题型七】 数列恒成立 【例16】已知数列的前n项和为，，其中． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和，若对任意且，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 两式相减，得，又， 所以数列为等比数列，首项为2，公比为3， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， ， 则有， 两式相减得： ， 于是得， 因为且，， 当时，数列是递增数列，所以的最小值为18， 因此. 变式16 已知数列的前n项和为，且，记数列的前n项和为若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的最小值为 ． 【答案】 【详解】对于， 当时， 当时， 经检验：对也成立，∴所以， ∴ ， 两式相减得，，， 所以   所以， 令 ，， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，t的最小值为． 故答案为： 【例17】（多选题）数列定义如下：，，若对于任意，数列的前项已定义，则对于，定义，为其前n项和，则下列结论正确的是（    ） A．数列的第项为 B．数列的第2023项为 C．数列的前项和为 D． 【答案】ACD 【详解】 …， ，故A选项正确； ， ，故B选项错误； ，，…，当时，， 所以，故C选项正确； 当时，， ，故D选项正确； 故选：ACD. — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$