第2讲 等差数列前n项和 讲义-2026届高三数学一轮复习

等差数列前n项和 知识点一 等差数列的前项和公式 1. 设等差数列的公差为，其前项和； 2. ．数列是等差数列⇔（为常数）； 3. 若项数为奇数，则； 【题型一】 的公式计算 【例1】已知数列为等差数列，前n项和为，求解下列问题： (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，，求n． 【详解】（1）由题意知数列为等差数列，，， 设公差为d，故，解得； （2）数列为等差数列，，，设公差为d，故，解得， 则； （3）由题意知数列为等差数列，，，设公差为d，则，解得， 由，得，解得或（舍去），故. 【例2】等差数列的前项和为，若，则（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【详解】在等差数列{an}中，由， 得，即＝4．又＝2，∴， ∴=2，故选A． 【例3】等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）求. 【详解】（1）设的公差为，则，解得，，所以 （2）由（1）知，∴． 变式1在等差数列{}中， （1）已知，求和 （2）已知，求和 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由等差数列的前n项和公式可得： ，即，解得. （2）由等差数列的前n项和公式可得，即， 又由，联立方程组可得，所以. 变式2记为等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ， 则，故选：C． 变式3已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A．67 B．1122 C．1156 D．1190 【详解】因为为等差数列，所以，，，，…构成等差数列， 且，，∴.∵，∴.故选：C. 【例4】等差数列的前4项和为24，最后4项和为136，所有项的和为240，则项数为 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【详解】解：等差数列的前4项和为24，最后4项和为136，， ，， ，由等差数列的前项和得：，得.故选：C. 变式4设等差数列的前项和为，，，，则 ． 【答案】15 【详解】因为，所以．又，所以． 【例5】已知，则（    ） A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094 【答案】D 【详解】，即 设①， 则② ①+②得 ， 所以，又，所以. 变式5已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值． 【详解】（1）因为，所以， 所以，即函数的图象关于点对称. （2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和. 因为， 所以（倒序）， 又由（1）得，所以，所以. 4.与的关系： 【题型二】 由求 【例6】已知数列的前n项和为，且，则数列（　　） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【详解】由知，显然时，， 所以，易知，即数列为等差数列，首项，公差， 所以等差数列为递增数列，有最小项，无最大项.故选：C 【例7】设数列的前项和，则的值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【详解】由得，，，所以， 所以，故.故选：A. 变式6已知数列{}的前项和，则其通项 ；若它的第项满足，则 【详解】当n=1时，, 经检验当n=1时，也满足上式，因而,由所以. 变式7已知数列的前项和，则等于（     ） A．68 B．36 C．24 D．18 【详解】解：因为数列的前项和，所以，故选：A 【例8】已知数列满足，则＝________． 【详解】令，设，则， 当时，，而也满足此式，故，所以. 变式8设数列{an}满足．则＝________． 【详解】＝ 变式9设数列{an}满足．则＝________． 【详解】＝ 知识点二 等差数列前n项和的性质 1. 若项数为偶数，则；；． 2. 若项数为奇数，则；；． 3. 若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． 4. ，…也成等差数列，公差为． 5. 若与为等差数列，且前项和为与，则． 6. ，若则为等差数列. 【题型三】 为等差数列 【例9】若等差数列的前项和记为，且，则的值为 【详解】，由成等差数列， .故答案为:60 【例10】已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 【详解】根据题意得，，，所以，即， 所以，故答案为：-110. 变式10等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为 . 【详解】为等差数列，，，成等差数列， 即，，成等差数列，，解得， 又，，成等差数列，即，，成等差数列， 所以，解得.故答案为：． 【题型四】 与的比值 【例11】已知等差数列，的前n项和分别为和，且，则 . 【答案】 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为和，且， 所以设，，()，则， ，∴.故答案为： 【例12】已知两个等差数列和的前项和分别为和,且，则 【答案】 【详解】依题意，故. 变式11已知数列和均为等差数列，前n项和分别为，，且满足：，，则 . 【答案】 【详解】故答案为： 变式12有两个等差数列，其前项和分别为.（1）若，则 .（2）若，则 . 【答案】； 【详解】若，则； 若，则可设， 所以，，所以，故答案为：； 知识点三 等差数列的前n项和的最值 1.公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 2. 在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值（所有正项或非负项之和）；若，则满足的项数使得取得最小值（所有负项或非正项之和）． 【题型五】 的最值 【例13】设是等差数列的前项之和，且，，则下列结论中正确序号的是 ①   ，②   ，③，④，均为的最大项 【答案】②④ 【详解】解：，，，，，所以， ，均为的最大项，故①错误，②和④正确； 是关于的二次函数，且开口向下，对称轴为，，故③错误， 故答案为：②④． 【例14】已知递减的等差数列满足，则数列的前n项和取最大值时n=（    ） A．4或5 B．5或6 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：设递减的等差数列的公差为（）， 因为，所以，化简得，所以， 对称轴为，因为，，所以当或时，取最大值，故选：A 【例15】设等差数列的公差为，其前项和为，且，，则使得的正整数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，又，可得， 由，可得，则，，， 故使得的正整数的最小值为19.故选：B. 变式13设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大值为或 【答案】D 【详解】AB选项，因为，所以， 因为数列是以为公差的等差数列，所以，故，解得， 又，所以，，AB错误； C选项，，故C错误； D选项，由于，，，故当时，， 当时，，故的最大值为或，D正确. 变式14已知数列的通项公式为，前项的和为，则取得最小值时的值为 ． 【答案】6 【详解】因为， 由有：或， 由有：或， 由有：， 因为，数列的正项为：；数列的负项为：；且， 则取得最小值时的值为6. 变式15设等差数列的前项和为，若，则满足时正整数的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【详解】∵等差数列的前项和为，且，∴， ∴，， 故满足的正整数的最小值是13.故选：C. 【例16】（多选题）若等差数列的公差为，首项为，其前项和为，，其中，，，，则下列选项正确的是（  ） A． B． C．中的最大项为 D．中的不同数值有个 【答案】ACD 【详解】对于选项A：因为，可知. 则，可得，即，故A正确； 对于选项B：因为，可知等差数列为递减数列， 且，所以，故B错误； 对于选项C：可知， 根据的符号可知：， 当时，均为正数，且最大，最小，可知中的最大项为，且为正数； 当时，； 综上所述：中的最大项为，故C正确； 对于选项D：因为， 同理可得：， 可知当时，中的不同数值有10个； 当时，由选项C可知每个值均不同，共有81个； 综上所述：中的不同数值有个，故D正确； 故选：ACD. 变式16（多选题）已知等差数列中，当且仅当时，仅得最大值，记数列的前k项和为，（   ） A．若，则当且仅当时，取得最大值 B．若，则当且仅当时，取得最大值 C．若，则当且仅当时，取得最大值 D．若，，则当或14时，取得最大值 【答案】BD 【详解】由等差数列前n项和有最大值，所以数列为递减数列， 对于A，且时取最大值，设， 则， 当时，；时，；时，， 所以或14时，前k项和取最大值，A项错误； 对于B，当且仅当时取最大值，则时，，时，. ，则，， ，， 前14项和最大，B项正确； 对于C，，则，同理，，， 前13项和最大，C项错误； 对于D，，，得，由题等差数列在时，，时，，所以，，，所以或14时，前k项和取最大值，D项正确； 故选：BD. 知识点四 与混合 题目中出现关于的等式：一方面可通过特殊值法（令）求出首项，另一方面考虑将等式转化为纯或纯的递推式，然后再求出的通项公式。根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． 1、利用转化为只含的关系式，再求解． 2、利用转化为只含的关系式，再求解． 【题型六】 与混合 【例17】已知数列的前项和为，且（）．求的通项公式； 【详解】令，得 因为（），所以（，）， 两式相减得（，）， 即．所以（，）， 所以，即，所以（，）， 又，符合上式，所以（）． 变式17已知数列的前n项和为，，．求证：； 【详解】因为，①；所以，② ②－①得，③；所以，④ ③－④得，所以． 【例18】已知数列的前项和满足，且，求的通项公式； 【详解】解：当时，， 由此得.∵，∴. ∴是首项为1，公差为2的等差数列，∴. 变式18记为数列的前项和，已知，．求数列的通项公式； 【详解】当，，，又，． 当时，，①，② ①—②整理得，，，． 【例19】设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ） A． B． C．数列为等差数列 D．－5050 【详解】是数列的前n项和，且，则，  整理得－＝－1（常数）， 所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C正确； 所以，故．所以当时，－，不适合上式， 故故B正确，A错误； 所以， 故D正确．故选：A. 变式19已知数列的各项均为正数，其前n项和为，，，求数列的通项公式； 【答案】 【详解】，，故 ，， 【题型七】等差数列绝对值的和 【例20】已知数列的前n项和，求数列的前n项和. 【详解】，当时，. ∵也符合上式，∴数列的通项公式为. 由，得，即当时，；当时，. 当时，； 当时， 故 变式20已知等差数列满足，则的前12项和为 ． 【详解】因为，所以，所以 所以前12项之和为． 【题型八】 裂项相消求和 【例21】已知数列满足，则 . 【答案】 【详解】，所以， 变式21已知等差数列的前项和为，且，，. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，解得， 所以. （2）证明：由（1）可得， 则， 所以 ，所以. 【例22】记数列的前项和为，且，. (1)若为等差数列，求； (2)若，证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）设等差数列的公差为，当时，， 当时，， 由得，，所以， 因为，所以，， 因为为等差数列，所以，所以， 化简得，所以，所以. （2）当时，，因为，可得，因为，可得， 由（1）可知，当时，，所以， ， 当时也符合上式，所以. 因为， 所以. 变式22在数列中，，. (1)证明：数列为等差数列并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）证明：因为，所以. 又，所以是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）可知，则，则， 则. - 2 - 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等差数列前n项和 知识点一 等差数列的前项和公式 1. 设等差数列的公差为，其前项和； 2. ．数列是等差数列⇔（为常数）； 3. 若项数为奇数，则； 【题型一】 的公式计算 【例1】已知数列为等差数列，前n项和为，求解下列问题： (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，，求n． 【详解】（1）由题意知数列为等差数列，，， 设公差为d，故，解得； （2）数列为等差数列，，，设公差为d，故，解得， 则； （3）由题意知数列为等差数列，，，设公差为d，则，解得， 由，得，解得或（舍去），故. 【例2】等差数列的前项和为，若，则（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【详解】在等差数列{an}中，由， 得，即＝4．又＝2，∴， ∴=2，故选A． 【例3】等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）求. 【详解】（1）设的公差为，则，解得，，所以 （2）由（1）知，∴． 变式1在等差数列{}中， （1）已知，求和 （2）已知，求和 变式2记为等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 变式3已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A．67 B．1122 C．1156 D．1190 【例4】等差数列的前4项和为24，最后4项和为136，所有项的和为240，则项数为 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【详解】解：等差数列的前4项和为24，最后4项和为136，， ，， ，由等差数列的前项和得：，得.故选：C. 变式4设等差数列的前项和为，，，，则 ． 【例5】已知，则（    ） A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094 【答案】D 【详解】，即 设①， 则② ①+②得 ， 所以，又，所以. 变式5已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值． 4.与的关系： 【题型二】 由求 【例6】已知数列的前n项和为，且，则数列（　　） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【详解】由知，显然时，， 所以，易知，即数列为等差数列，首项，公差， 所以等差数列为递增数列，有最小项，无最大项.故选：C 【例7】设数列的前项和，则的值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【详解】由得，，，所以， 所以，故.故选：A. 变式6已知数列{}的前项和，则其通项 ；若它的第项满足，则 变式7已知数列的前项和，则等于（     ） A．68 B．36 C．24 D．18 【例8】已知数列满足，则＝________． 【详解】令，设，则， 当时，，而也满足此式，故，所以. 变式8设数列{an}满足．则＝________． 变式9设数列{an}满足．则＝________． 知识点二 等差数列前n项和的性质 1. 若项数为偶数，则；；． 2. 若项数为奇数，则；；． 3. 若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． 4. ，…也成等差数列，公差为． 5. 若与为等差数列，且前项和为与，则． 6. ，若则为等差数列. 【题型三】 为等差数列 【例9】若等差数列的前项和记为，且，则的值为 【详解】，由成等差数列， .故答案为:60 【例10】已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 【详解】根据题意得，，，所以，即， 所以，故答案为：-110. 变式10等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为 . 【题型四】 与的比值 【例11】已知等差数列，的前n项和分别为和，且，则 . 【答案】 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为和，且， 所以设，，()，则， ，∴.故答案为： 【例12】已知两个等差数列和的前项和分别为和,且，则 【答案】 【详解】依题意，故. 变式11已知数列和均为等差数列，前n项和分别为，，且满足：，，则 . 变式12有两个等差数列，其前项和分别为.（1）若，则 .（2）若，则 . 知识点三 等差数列的前n项和的最值 1.公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 2. 在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值（所有正项或非负项之和）；若，则满足的项数使得取得最小值（所有负项或非正项之和）． 【题型五】 的最值 【例13】设是等差数列的前项之和，且，，则下列结论中正确序号的是 ①   ，②   ，③，④，均为的最大项 【答案】②④ 【详解】解：，，，，，所以， ，均为的最大项，故①错误，②和④正确； 是关于的二次函数，且开口向下，对称轴为，，故③错误， 故答案为：②④． 【例14】已知递减的等差数列满足，则数列的前n项和取最大值时n=（    ） A．4或5 B．5或6 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：设递减的等差数列的公差为（）， 因为，所以，化简得，所以， 对称轴为，因为，，所以当或时，取最大值，故选：A 【例15】设等差数列的公差为，其前项和为，且，，则使得的正整数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，又，可得， 由，可得，则，，， 故使得的正整数的最小值为19.故选：B. 变式13设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大值为或 变式14已知数列的通项公式为，前项的和为，则取得最小值时的值为 ． 变式15设等差数列的前项和为，若，则满足时正整数的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【例16】（多选题）若等差数列的公差为，首项为，其前项和为，，其中，，，，则下列选项正确的是（  ） A． B． C．中的最大项为 D．中的不同数值有个 【答案】ACD 【详解】对于选项A：因为，可知. 则，可得，即，故A正确； 对于选项B：因为，可知等差数列为递减数列， 且，所以，故B错误； 对于选项C：可知， 根据的符号可知：， 当时，均为正数，且最大，最小，可知中的最大项为，且为正数； 当时，； 综上所述：中的最大项为，故C正确； 对于选项D：因为， 同理可得：， 可知当时，中的不同数值有10个； 当时，由选项C可知每个值均不同，共有81个； 综上所述：中的不同数值有个，故D正确； 故选：ACD. 变式16（多选题）已知等差数列中，当且仅当时，仅得最大值，记数列的前k项和为，（   ） A．若，则当且仅当时，取得最大值 B．若，则当且仅当时，取得最大值 C．若，则当且仅当时，取得最大值 D．若，，则当或14时，取得最大值 知识点四 与混合 题目中出现关于的等式：一方面可通过特殊值法（令）求出首项，另一方面考虑将等式转化为纯或纯的递推式，然后再求出的通项公式。根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． 1、利用转化为只含的关系式，再求解． 2、利用转化为只含的关系式，再求解． 【题型六】 与混合 【例17】已知数列的前项和为，且（）．求的通项公式； 【详解】令，得 因为（），所以（，）， 两式相减得（，）， 即．所以（，）， 所以，即，所以（，）， 又，符合上式，所以（）． 变式17已知数列的前n项和为，，．求证：； 【例18】已知数列的前项和满足，且，求的通项公式； 【详解】解：当时，， 由此得.∵，∴. ∴是首项为1，公差为2的等差数列，∴. 变式18 记为数列的前项和，已知，．求数列的通项公式； 【例19】设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ） A． B． C．数列为等差数列 D．－5050 【详解】是数列的前n项和，且，则，  整理得－＝－1（常数）， 所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C正确； 所以，故．所以当时，－，不适合上式， 故故B正确，A错误； 所以， 故D正确．故选：A. 变式19已知数列的各项均为正数，其前n项和为，，，求数列的通项公式； 【题型七】等差数列绝对值的和 【例20】已知数列的前n项和，求数列的前n项和. 【详解】，当时，. ∵也符合上式，∴数列的通项公式为. 由，得，即当时，；当时，. 当时，； 当时， 故 变式20已知等差数列满足，则的前12项和为 ． 【题型八】 裂项相消求和 【例21】已知数列满足，则 . 【答案】 【详解】，所以， 变式21已知等差数列的前项和为，且，，. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：. 【例22】记数列的前项和为，且，. (1)若为等差数列，求； (2)若，证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）设等差数列的公差为，当时，， 当时，， 由得，，所以， 因为，所以，， 因为为等差数列，所以，所以， 化简得，所以，所以. （2）当时，，因为，可得，因为，可得， 由（1）可知，当时，，所以， ， 当时也符合上式，所以. 因为， 所以. 变式22在数列中，，. (1)证明：数列为等差数列并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. - 2 - 1 学科网（北京）股份有限公司 $$