第1讲 等差数列讲义-2026届高三数学一轮复习

等差数列 知识点一 等差数列的有关概念 1. 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． 2. 等差中项：若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 3. 在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． 【题型一】等差数列的通项 【例1】在等差数列中，已知，，则等于 A．50 B．52 C．54 D．56 【答案】C 【详解】设等差数列公差为 则，解得： ，本题正确选项： 【例2】判断下列数列是否为等差数列，若是，首项和公差分别是多少？ (1)数列的通项公式为； (2)数列的通项公式为． 【答案】(1)数列为等差数列，且首项，公差;(2)数列不是等差数列 【详解】（1）由可得， 因为，所以数列为等差数列，且首项，公差． （2）由可得 ，，因为不是常数， 所以数列不是等差数列． 变式1已知数列的通项公式为（p，q为常数），当p和q满足什么条件时，数列是等差数列？ 变式2已知等差数列：3，7，11，15，…. （1）求的通项公式. （2）135，是数列中的项吗？如果是，是第几项？ （3）若，是数列中的项，那么，是数列中的项吗？如果是，是第几项？ 【题型二】等差中项 【例3】等差数列中，已知，，求（    ） A．11 B．22 C．33 D．44 【答案】B 【详解】∵等差数列中，， ∴，， ∴，，∴，故选：B. 【例4】设，，若是与的等差中项，则 . 【答案】2 【详解】是与的等差中项， ,即， ，即，则.故答案为：2. 【例5】已知在递增的等差数列中，，．求的通项公式． 【答案】 【详解】设数列的公差为，所以∴，，∴． 变式3等差数列中，，则的值为（    ） A． B． C．10 D．20 变式4设，若是与的等差中项，则的最小值为 . 变式5 已知在递增的等差数列中，，．求的通项公式． 知识点二 等差数列的性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2） （3），…仍是等差数列，公差为． （4）若，是等差数列，则也是等差数列． 【题型三】等差数列的性质 【例6】已知，数列，，，与，，，，都是等差数列，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】数列，，，和，，，，各自都成等差数列， ，，，．故选:A． 【例7】若数列 是等差数列，且 ，则 （    ） A．30 B． C．20 D． 【答案】A 【详解】数列是等差数列，则是和的等差中项， 有，即，解得.故选：A 【例8】已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为等差数列，设公差为，因为数列单调递增，所以， 所以，则，解得：，故选：C 【例9】（1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的倍，求这三个数. （2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数. 【答案】（1），，；（2），，，. 【详解】（1）设这三个数依次为，，， 由题意可得：，解得：，所以这三个数依次为，，. （2）设这四个数依次为，，， (公差为)， 由题意可得，解得或(舍)，故所求的四个数依次为，，，. 变式6（多选题）在等差数列中，公差，，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 变式7 数列是等差数列，且，，那么（    ） A． B． C．5 D． 变式8已知是首项为－24的等差数列，且从第10项起为正数，则公差d的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式9（1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列； （2）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式． 【题型四】等差数列的函数性质 【例10】（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】由,知，故数列是等差数列，且公差为． 由等差数列的单调性可得，若，则公差，所以数列是递增数列，故A，B一定成立； 若，则，所以数列是递增数列，所以，故C一定成立；当时，不成立，故D不一定成立．故选：ABC． 【例11】（多选）已知函数，若函数有4个零点，且其4个零点，，，成等差数列，则（    ） A．函数是偶函数 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以当时，， 当时，，其图象如图所示， 对于选项A，因为的定义域为关于原点对称， 又，所以选项A正确， 由图知，且，， 又，，，成等差数列，所以，又，得到，所以选项B错误， 对于选项C，因，得到，所以，故选项C正确； 对于选项D，又，所以，得到， 所以，故选项D正确， 故选：ABD. 变式10若函数在上的零点从小到大排列后构成等差数列，则的取值可以为（    ） A．0 B．1 C． D． 变式11已知函数定义域为R，且.当时，. 若函数在上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k的可能取值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【题型五】构造等差数列求通项 【例12】已知数列{}满足，（）．证明：数列{}是等差数列，并求数列{}的通项公式． 【详解】当时，由，得， ∴{}是公差为1的等差数列，又∵，∴，则． 变式12已知数列中，，．记，判断是否为等差数列，并说明理由； 【例13】已知数列满足，，设. （1）判断数列是否为等差数列，并说明理由； （2）求的通项公式. 【答案】（1）数列是以为首项，为公差的等差数列；答案见解析；（2）. 【详解】（1）数列是以为首项，为公差的等差数列.理由如下： 将两边同时除以可得 ，化简可得，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）可得， 所以. 变式13已知数列满足，且.证明：数列是等差数列，并求. 【例14】已知数列满足，且.是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；求数列通项公式. 【答案】存在，； 【详解】假设存在一个实数符合题意，则必为与无关的常数， ∵， 要使是与无关的常数，则，得， 故存在一个实数，使得数列为公差为1等差数列. 由数列是首项为，公差的等差数列， ∴，得. 变式14已知数列满足，且（且）. （1）求，的值； （2）设，是否存在实数，使得是等差数列？若存在，求出的值，否则，说明理由. 【例15】已知数列中，，，且），则数列的最大项的值是 【答案】226 【详解】解：且，，即， 又，数列是等差数列，首项为29，公差为，， 当时， ，也满足上式 ， 数列的通项，由二次函数的知识知当时，取得最大值． 【题型六】数列的公共项 【例16】已知无穷等差数列，首项，公差，依次取出项数能被4除余3的项组成数列. （1）求的通项公式； （2）中的第503项是中的第几项？ 【答案】（1）；（2）第2011项. 【详解】（1）设中的第项是中的第项，即，则， ，即的通项公式为. （2），设它是的第项，则，解得， 即中的第503项是中的第2011项. 【例17】已知等差数列2,6,10，…，190，…，和等差数列2,8,14，…，200，…，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的通项公式＝ . 【答案】12n－10 【详解】解：等差数列2，6，10，，190，…的公差为4，2，8，14，，200，…的公差为6， 2与6的最小公倍数为12，两个等差数列的公共项为2，14，26，38，50，，则公共项为． 故答案为： 变式15已知等差数列和等差数列…各有100项，问它们有多少个相同的项？记这些共同的项从小到大依次构成数列，问数列是否为等差数列？ — 2 — — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等差数列 知识点一 等差数列的有关概念 1. 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． 2. 等差中项：若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 3. 在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． 【题型一】等差数列的通项 【例1】在等差数列中，已知，，则等于 A．50 B．52 C．54 D．56 【答案】C 【详解】设等差数列公差为 则，解得： ，本题正确选项： 【例2】判断下列数列是否为等差数列，若是，首项和公差分别是多少？ (1)数列的通项公式为； (2)数列的通项公式为． 【答案】(1)数列为等差数列，且首项，公差;(2)数列不是等差数列 【详解】（1）由可得， 因为，所以数列为等差数列，且首项，公差． （2）由可得 ，，因为不是常数， 所以数列不是等差数列． 变式1已知数列的通项公式为（p，q为常数），当p和q满足什么条件时，数列是等差数列？ 【答案】见解析 【详解】∵，∴ ∴ 若数列是等差数列，则①式应该是一个与n无关的常数， ∴，即当，时，数列为等差数列． 变式2已知等差数列：3，7，11，15，…. （1）求的通项公式. （2）135，是数列中的项吗？如果是，是第几项？ （3）若，是数列中的项，那么，是数列中的项吗？如果是，是第几项？ 【答案】（1）；（2）135是数列中的项，是第34项，是数列中的项，是第项；（3）是数列中的项，是第项. 【详解】解：（1）设数列的公差为.依题意，有，，∴. （2）令，得，∴135是数列中的项，是第34项. ∵，且，∴是数列中的项，是第项. （3） ∵，是数列中的项，∴，， ∴. ∵，∴是数列中的项，是第项. 【题型二】等差中项 【例3】等差数列中，已知，，求（    ） A．11 B．22 C．33 D．44 【答案】B 【详解】∵等差数列中，， ∴，，∴，，∴，故选：B. 【例4】设，，若是与的等差中项，则 . 【答案】2 【详解】是与的等差中项，,即， ，即，则.故答案为：2. 【例5】已知在递增的等差数列中，，．求的通项公式． 【答案】 【详解】设数列的公差为，所以∴，，∴． 变式3等差数列中，，则的值为（    ） A． B． C．10 D．20 【答案】A 【详解】由，所以.故选：A 变式4设，若是与的等差中项，则的最小值为 . 【答案】9 【详解】由已知，即， 所以，又，所以， 当且仅当，即时等号成立．所以最小值为9．故答案为：9． 变式5 已知在递增的等差数列中，，．求的通项公式． 知识点二 等差数列的性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2） （3），…仍是等差数列，公差为． （4）若，是等差数列，则也是等差数列． 【题型三】等差数列的性质 【例6】已知，数列，，，与，，，，都是等差数列，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】数列，，，和，，，，各自都成等差数列， ，，，．故选:A． 【例7】若数列 是等差数列，且 ，则 （    ） A．30 B． C．20 D． 【答案】A 【详解】数列是等差数列，则是和的等差中项， 有，即，解得.故选：A 【例8】已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为等差数列，设公差为，因为数列单调递增，所以， 所以，则，解得：，故选：C 【例9】（1）三个数成等差数列，其和为，前两项之积为后一项的倍，求这三个数. （2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为，首末两项的积为，求这四个数. 【答案】（1），，；（2），，，. 【详解】（1）设这三个数依次为，，，由题意可得：，解得：， 所以这三个数依次为，，. （2）设这四个数依次为，，， (公差为)， 由题意可得，解得或(舍)，故所求的四个数依次为，，，. 变式6（多选题）在等差数列中，公差，，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】，则是递增数列，因此由得，， ，，，又，故选：ABC 变式7 数列是等差数列，且，，那么（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】令得，令得， 所以数列的公差为，所以，解得，故选：B 变式8已知是首项为－24的等差数列，且从第10项起为正数，则公差d的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设的公差为d，则，，由题意可得，，解得． 变式9（1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列； （2）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式． 【答案】（1）或；（2）. 【详解】（1）设这四个数分别为，，，，则， 又该数列是递增数列，所以，所以，，所以此等差数列为或． （2）设等差数列的公差为，则其前三项分别为，，， 则，解得或． 因为数列为递增数列，所以，所以等差数列的通项公式为． 【题型四】等差数列的函数性质 【例10】（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】由,知，故数列是等差数列，且公差为． 由等差数列的单调性可得，若，则公差，所以数列是递增数列，故A，B一定成立； 若，则，所以数列是递增数列，所以，故C一定成立；当时，不成立，故D不一定成立． 故选：ABC． 【例11】（多选）已知函数，若函数有4个零点，且其4个零点，，，成等差数列，则（    ） A．函数是偶函数 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以当时，， 当时，，其图象如图所示， 对于选项A，因为的定义域为关于原点对称， 又，所以选项A正确， 由图知，且，， 又，，，成等差数列，所以，又，得到，所以选项B错误， 对于选项C，因，得到，所以，故选项C正确； 对于选项D，又，所以，得到， 所以，故选项D正确， 故选：ABD. 变式10若函数在上的零点从小到大排列后构成等差数列，则的取值可以为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】ABD 【详解】因为函数有零点，所以． 画出函数与的图象，如图所示． 当或1时，经验证，符合题意． 当时，由题意可得． 因为，所以． 故选：ABD. 变式11已知函数定义域为R，且. 当时，.若函数在上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k的可能取值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】ABD 【详解】令，得到. 由已知，，则的周期为2. 其大致图像如图所示，由图可知， 令，得到. ①当时，零点为1､3､5､7､…，满足题意； ②当时，零点为0､2､4､6､…，满足题意； ③当时，若零点从小到大构成等差数列，公差只能为1. 由，得，此时； ④当时，函数无零点，不符合题意. 故选：ABD. 【题型五】构造等差数列求通项 【例12】已知数列{}满足，（）．证明：数列{}是等差数列，并求数列{}的通项公式． 【详解】当时，由，得， ∴{}是公差为1的等差数列，又∵，∴，则． 变式12已知数列中，，．记，判断是否为等差数列，并说明理由； 【详解】根据题意，当时，有； 当时， ； 所以数列是以1为首项、公差为1的等差数列． 【例13】已知数列满足，，设. （1）判断数列是否为等差数列，并说明理由； （2）求的通项公式. 【答案】（1）数列是以为首项，为公差的等差数列；答案见解析；（2）. 【详解】（1）数列是以为首项，为公差的等差数列.理由如下： 将两边同时除以可得 ，化简可得，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）可得，所以. 变式13已知数列满足，且.证明：数列是等差数列，并求. 【答案】 【详解】因为， 所以， 则，故， 又，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以，则. 【例14】已知数列满足，且.是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；求数列通项公式. 【答案】存在，； 【详解】假设存在一个实数符合题意，则必为与无关的常数， ∵， 要使是与无关的常数，则，得， 故存在一个实数，使得数列为公差为1等差数列. 由数列是首项为，公差的等差数列， ∴，得. 变式14已知数列满足，且（且）. （1）求，的值； （2）设，是否存在实数，使得是等差数列？若存在，求出的值，否则，说明理由. （3）求的前项和. 【答案】（1），；（2）存在；；（3）. 【详解】解析：（1）由， 令，，得， 令，，得； （2），，， 若是等差数列，则有，即，解得，下证当时，是等差数列， 当时，， 所以是公差为1的等差数列，而，所以； （3）由（2），所以， 令 则 两式相减得： 得，所以. 【例15】已知数列中，，，且），则数列的最大项的值是 【答案】226 【详解】解：且，，即， 又，数列是等差数列，首项为29，公差为，， 当时， ，也满足上式 ， 数列的通项，由二次函数的知识知当时，取得最大值． 【题型六】数列的公共项 【例16】已知无穷等差数列，首项，公差，依次取出项数能被4除余3的项组成数列. （1）求的通项公式； （2）中的第503项是中的第几项？ 【答案】（1）；（2）第2011项. 【详解】（1）设中的第项是中的第项，即，则， ，即的通项公式为. （2），设它是的第项，则，解得， 即中的第503项是中的第2011项. 【例17】已知等差数列2,6,10，…，190，…，和等差数列2,8,14，…，200，…，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的通项公式＝ . 【答案】12n－10 【详解】解：等差数列2，6，10，，190，…的公差为4，2，8，14，，200，…的公差为6， 2与6的最小公倍数为12，两个等差数列的公共项为2，14，26，38，50，，则公共项为． 故答案为： 变式15已知等差数列和等差数列…各有100项，问它们有多少个相同的项？记这些共同的项从小到大依次构成数列，问数列是否为等差数列？ 【答案】25个相同的项，是以12为公差的等差数列 【详解】易得.假设数列的第n项与数列的第k项相同，即有， 所以．而，则k必是3的倍数． 设，于是． 由题设知，两数列各有100项，则，解得， 又，故两数列共有25个相同的项． 将代入 (或将代入)， 得 (或)， 即等差数列中的第项与等差数列中的第项是相同项， 于是，， (常数)， 故数列是以12为公差的等差数列． — 2 — — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$