第6讲数列求和同步教学讲义-2026届高三数学一轮复习

数列的和 知识点一 公式法 1. 等差数列{}的前n项和，推导方法：倒序相加法． 2. 等比数列{}的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． 3. 一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 知识点二 几种数列求和的常用方法 1. 倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． 2. 裂项相消法：如果一个数列是分式形式，例如：，可以考虑用裂项相消求和． 3. 错位相减法：如果一个数列是或的形式，且为等差数列，为等比数列，那么求这个数列的前n项和，即可用错位相减法求解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4. 分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，如：，则求和时可用分组求和法，分别对和求和后相加减． 5. 奇偶并项求和：如果一个数列通项公式中含有，，等形式，或者奇偶项的通项公式不同的话，那么将奇偶项合并成一个新的数列. 知识点三 裂项相消（重点） （1） 常见的裂项技巧：， 其中1，A小B大；2，；3， 积累裂项模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 积累裂项模型2：根式型 （1） （2） （3） （4） 积累裂项模型3：指数型 （1） （2） （3） （4） （二）带的数列：，此时第1,2项为正，3,4项为负，依次类推，所以需要裂开成两项相加的形式，如此一来相邻项可以约去。 （1） （2） （3） （4） （5） 【题型一】倒序相加法 【例1】已知函数，，令，求数列的前2020项和. 【解析】因为，由（1）知，可得， 所以，① 又因为，② ①②，得，所以. 变式1已知函数，正项等比数列满足，则值是多少？. 【题型二】 裂项相消法求和 考向1 形如型(k为非零常数) 【例2】设数列，求数列的前项和. 【答案】 【详解】,所以数列的前项和: . 变式2 已知，记，求数列的前20项和. 考向2 形如型 【例3】已知数列，求数列的前项和． 【解析】，所以 所以 .. 变式3 数列满足，且. （1）设，证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和为. 考向3 形如型 【例4】已知数列满足，.（1）求数列的通项公式； （2） 令，记数列的前项和为，若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由，则，两式相除得：.当为奇数时，， 当为偶数时，，∴. （2）由（1）知， 则， ∴，由恒成立，则. 【例5】在数列中，，，且对任意的N*，都有. （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，若对任意的N*都有，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） 【详解】（Ⅰ）由可得． 又，，所以，故.所以是首项为2，公比为2的等比数列.所以. 所以. （Ⅱ）因为. 所以. 又因为对任意的都有，所以恒成立， 即,即当时，. 变式4已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，， (1)求数列，的通项公式； (2)设，且数列的前n项和为，若，恒成立，求常数k的最小值. 考向4 形如型（将分子构造为） 【例6】已知正项数列满足：，，其中是数列的前项和． （1） 求数列的通项公式；（2）设，证明： 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】（1）由，又有，， 两式相减得，因为，所以，又，时，，解得，满足，因此数列是等差数列，首项为1，公差为1，所以． （2）所以． 变式5 已知为单调递增数列，为其前项和， （1）求的通项公式； （2）若为数列的前项和，证明：. 考向5 形如型，处理方法： 【例7】已知，设数列，数列的前项和为，若，求正整数的最小值. 【详解】， ， ，所以的最小值为505. 【例8】已知数列，，设，求的前项和，若恒成立，求取值范围. 【详解】 ∴ 当为偶数时，是递减的， 此时当时，取最大值，则. 当为奇数时，是递增的，此时，则. 变式6 数列满足：，当时，求证：． 考向6 形如(k为非零常数)型 【例9】已知数列的前项和满足，且. （1）求证：数列是常数数列； （2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值. 【详解】（1），（2），两式相减：， 即，.时，， 所以数列是常数数列. （2）由（1）得，时，，所以：，， 而时，，解得满足，所以， ∴， ∴，，又，∴.所以的最小值为50 变式7已知，数列的通项公式，，求数列的前项和. 【题型三】 错位相减法求和 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件：若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤：等差乘等比数列求和，令, 可以用错位相减法． ① ② ①-②得：． 整理公式得：． 【例10】设等差数列，设数列满足， 求数列的前项和. 【答案】. 【详解】由题意知：，所以， 则，两式相减得 ，因此，. 变式8设数列满足，若，求的前项和. 【题型四】 分组求和法 【例11】已知正项数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】(1)解：因为，① 当时，．② ①②得，所以． 当时，，也满足上式， 所以． (2)解：因为， 则， 则． 【例12】已知数列的前n项和为，满足， （1）若数列满足，求的通项公式； （2）求数列的通项公式，并求. 【答案】（1）；（2）；； 变式 9 设是等差数列，，是等比数列，，设数列满足求. 【答案】 【详解】 ， 记    ① 则   ② ②①得，， 所以 . 变式10 已知数列的前n项和为，且，，则 【题型五】奇偶并项求和 【例13】数列，求前项的和. 【答案】. 【详解】，令， 则，，...，则， 即，所以. 变式11 已知数列满足，. （1）并求出数列的通项; （2）若，求数列的前100项和. 变式12已知数列， ， 为数列的前项和， ， ， （）[来源:Zxxk.Com] （1）求数列的通项公式； （2）证明为等差数列； （3）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列的和 知识点一：公式法 （1）等差数列{}的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列{}的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 知识点二：几种数列求和的常用方法 （1）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． （2）裂项相消法：如果一个数列是分式形式，例如：，可以考虑用裂项相消求和． （3）错位相减法：如果一个数列是或的形式，且为等差数列，为等比数列，那么求这个数列的前n项和，即可用错位相减法求解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （4）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，如：，则求和时可用分组求和法，分别对和求和后相加减． （5）奇偶并项求和：如果一个数列通项公式中含有，，等形式，或者奇偶项的通项公式不同的话，那么将奇偶项合并成一个新的数列. 知识点三：裂项相消（重点） （1） 常见的裂项技巧：， 其中1，A小B大；2，；3， 积累裂项模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 积累裂项模型2：根式型 （1） （2） （3） （4） 积累裂项模型3：指数型 （1） （2） （3） （4） （二）带的数列：，此时第1,2项为正，3,4项为负，依次类推，所以需要裂开成两项相加的形式，如此一来相邻项可以约去。 （1） （2） （3） （4） （5） 【题型一】倒序相加法 【例1】已知函数，，令，求数列的前2020项和. 【解析】因为，由（1）知，可得， 所以，① 又因为，② ①②，得， 所以. 变式1已知函数，正项等比数列满足，则值是多少？. 【解析】因为，所以. 因为数列是等比数列，所以， 即. 设 ①， 又＋…＋ ②， ①+②，得，所以. 【题型二】 裂项相消法求和 考向1 形如型(k为非零常数) 【例2】设数列，求数列的前项和. 【答案】 【详解】, 所以数列的前项和: . 变式2 已知，记，求数列的前20项和. 【详解】可知， 设数列的前和为，则 ， 所以 所以数列的前20和为 考向2 形如型 【例3】已知数列，求数列的前项和． 【解析】，所以 所以 .. 变式3 数列满足，且. （1）设，证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和为. 【答案】（1）证明见详解；（2）. 【详解】（1）由得，则，即，因为，所以， 即数列是以为公差的等差数列； （2）因为，，所以；由（1）得，，即， 则，所以，，…，， 以上各式相乘可得，，所以； 因此， 因此数列的前项和为 . 考向3 形如型 【例4】已知数列满足，.（1）求数列的通项公式； （2）令，记数列的前项和为，若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由，则，两式相除得：.当为奇数时，， 当为偶数时，，∴. （2）由（1）知， 则， ∴，由恒成立，则. 【例5】在数列中，，，且对任意的N*，都有. （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，若对任意的N*都有，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） 【详解】（Ⅰ）由可得． 又，，所以，故.所以是首项为2，公比为2的等比数列.所以. 所以. （Ⅱ）因为. 所以. 又因为对任意的都有，所以恒成立， 即,即当时，. 变式4已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)设，且数列的前n项和为，若，恒成立，求常数k的最小值. 【解析】(1)由，得当时，， 当时，， 两式相减得，， 数列是首项为2，公比为2的等比数列，. 由，，，，得，，…，， 累加得，，. (2)由（1）得 ， ， ，即常数k的最小值为. 考向4 形如型（将分子构造为） 【例6】已知正项数列满足：，，其中是数列的前项和． （1） 求数列的通项公式；（2）设，证明： 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】（1）由，又有，， 两式相减得，因为，所以，又，时，，解得，满足，因此数列是等差数列，首项为1，公差为1，所以． （2）所以． 变式5 已知为单调递增数列，为其前项和， （1）求的通项公式； （2）若为数列的前项和，证明：. 【答案】(1)；(2)见解析. 试题解析：（Ⅰ）当时，,所以，即,又为单调递增数列，所以. 由得，所以, 整理得,所以.所以，即, 所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以. (Ⅱ) 所以. 考向5 形如型，处理方法： 【例7】已知，设数列，数列的前项和为，若，求正整数的最小值. 【答案】505. 【详解】， ， ，所以的最小值为505. 【例8】已知数列，，设，求的前项和，若恒成立，求取值范围. 【答案】. 【详解】 ∴ 当为偶数时，是递减的， 此时当时，取最大值，则. 当为奇数时，是递增的，此时，则. 综上，的取值范围是. 变式6 数列满足：，当时，求证：． 【详解】， ， ∴ ． 考向6 形如(k为非零常数)型 【例9】已知数列的前项和满足，且. （1）求证：数列是常数数列； （2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）50. 【详解】（1），（2），两式相减：， 即，.时，， 所以数列是常数数列. （2）由（1）得，时，，所以：，， 而时，，解得满足，所以， ∴， ∴，，又，∴.所以的最小值为50 变式7已知，数列的通项公式，，求数列的前项和. 【详解】， 则 . 【题型三】 错位相减法求和 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件：若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤：等差乘等比数列求和，令, 可以用错位相减法． ① ② ①-②得：． 整理公式得：． 【例10】设等差数列，设数列满足， 求数列的前项和. 【答案】. 【详解】由题意知：，所以， 则，两式相减得 ，因此，. 变式8设数列满足，若，求的前项和. 【答案】. 【详解】，则 ， . 两式相减得 所以. 【题型四】 分组求和法 【例11】已知正项数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】(1)解：因为，① 当时，．② ①②得，所以． 当时，，也满足上式， 所以． (2)解：因为， 则， 则． 【例12】已知数列的前n项和为，满足， （1）若数列满足，求的通项公式； （2）求数列的通项公式，并求. 【答案】（1）；（2）；； 变式 9 设是等差数列，，是等比数列，，设数列满足求. 【答案】 【详解】 ， 记    ① 则   ② ②①得，， 所以 . 变式10 已知数列的前n项和为，且，，则 【详解】由题意得， 当时，， 所以，所以当n为偶数时。当n为奇数时，由已知可得， ①所以当n为偶数时 ； ②当n为奇数时； 所以 【题型五】奇偶并项求和 【例13】数列，求前项的和. 【答案】. 【详解】，令， 则，，...，则， 即，所以. 变式11已知数列满足，. （1）并求出数列的通项; （2）若，求数列的前100项和. 【答案】（1）证明见解析，；（2）5050. 【详解】解：（1）因为，即， 所以 ，          所以数列是公差与首项都为1的等差数列． 故即 . （2）由（1）知， 当时，， 当时，    所以     所以            . 变式12已知数列， ， 为数列的前项和， ， ， （）[来源:Zxxk.Com] （1）求数列的通项公式； （2）证明为等差数列； （3）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求. 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】（1）当时， 当时， ， 综上，是公比为，首项为的等比数列，. （2），，， 综上，是公差为，首项为的等差数列. （3）由（2）知： 两式相减得： ，. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$