3 抛物线及其性质 讲义——2026届高三数学一轮复习

抛物线及其性质 知识点一 抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 知识点二 抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 焦点 离心率 准线方程 通径 常见结论： 1、点与抛物线的关系。 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、的几何意义。 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 3、切线方程和切点弦方程。 若在曲线上，过该点的抛物线的切线方程为。 若点在抛物线外，则过该点的切点弦方程为。 4、抛物线焦点三角形。 （1）. 焦点弦与对称轴所成角有关的结论： ① ，， 两个焦半径一长一短且可以从图像判断出谁长谁短，长的分母自然小，短的分母大。 ② ,2P是过焦点，且垂直于x轴的线段的长度（类似椭圆的通径，所以过焦点的线段中通径是最短的） ③ （2）. 坐标有关的结论： ①，， ② ③ （3）. 抛物线的交点弦。 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 ①弦长公式： ② ③直线AB的方程为 ④抛物线中的直线的两点式方程: 过抛物线上两点的直线方程常运用设点法表示，记点,于是直线的方程: , 即. 结论：若抛物线方程为，设点，则直线的方程: . 若抛物线方程为，则直线的方程:. 5、焦点弦的其他性质。 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 6、抛物线的其他定义。 如果动圆P与一个定圆C和一条直线l同时相切（且直线与该定圆不相切），那么动圆的圆心P轨迹为抛物线。 【题型一】抛物线的定义与方程 【例1】以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】依题意设抛物线方程为．因为焦点到准线的距离为4，所以，所以， 所以抛物线方程为或． 故选：C． 【例2】已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等, 由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线， 所以，其方程为， 故选：A 【例3】已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，过点作，垂足为. 由题得,所以. 因为，所以是等边三角形. 因为是的中点，所以， 所以，所以. 所以. 所以 所以抛物线的方程是. 故选：C 变式1 在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式2 设抛物线的焦点为，准线为是上一点，是与轴的交点，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 变式3 （多选题）已知直线，点，圆心为的动圆经过点，且与直线相切，则 （    ） A．点的轨迹为抛物线 B．圆面积最小值为 C．当圆被轴截得的弦长为时，圆的半径为 D．存在点，使得，其中为坐标原点 【题型二】抛物线焦半径问题 【例4】已知的三个顶点都在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【解析】由抛物线的方程，得，焦点坐标为，设，，的横坐标分别是，，， 由，所以，即， 因为为抛物线的焦点，由抛物线的定义可得，，，， 即， 故选：B． 【例5】已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【解析】由题知，准线，设与轴的交点为，点在上， 由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形， 解法1：因为轴，所以直线斜率，所以， 由解得，舍去， 所以. 解法2：在中，，则. 解法3：过作于点，则为的中点，因为，则. 故选：D. 变式4 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 变式5 过抛物线，的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于__________. 【例6】（多选题）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（    ） A．直线过焦点时，最小值为4 B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限）， C．若中点的横坐标为3，则最大值为8 D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为， 则直线方程为： 【答案】ACD 【解析】对于A选项，直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，故正确； 对于B选项，由题意，作图如下： 则，轴，轴，即，， ，，即，， ，，， ，故错误； 对于C选项，由于为两动点，所以， 当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确； 对于D选项，依题意，，故，即，由题意，，同理可得，故直线方程为，故正确.，故选：ACD. 【例7】如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为 【答案】26 【解析】，又， ， 当且仅当，即，时等号成立. 变式6已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则__________. 变式7 已知点为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 【例8】（多选题）已知抛物线与圆交于A，B两点，且.过焦点的直线与抛物线交于M，N两点，点是抛物线上异于顶点的任意一点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则（    ） A．若，则直线的斜率为 B．的最小值为18 C．为钝角 D．点与点的横坐标相同时，最小 【答案】BCD 【详解】因为抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且， 则第一象限内的交点A的纵坐标为，代入圆方程得横坐标为2，即， 所以，，即抛物线方程为，焦点为.设， 对A，由得， 则，又因为，解得，所以直线l的斜率为，故A错误； 对B，由抛物线定义得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此的最小值为，故B正确； 对C，如图，不妨设在第一象限，设，设直线，联立抛物线的方程消， 得，又， 所以，， ，为钝角，故C正确； 对D，，，设，则， 由抛物线的定义可得， ， 又，则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 【例9】（多选题）已知抛物线的焦点为F，准线交x轴于点D，过F的直线交C于A，B两点，AF的中点M在y轴上的射影为点N，，则（　　） A． B．∠ADB是锐角 C．是锐角三角形 D．四边形DFMN是菱形 【答案】ABD 【详解】由抛物线，可知，， 设点，，则，所以，而， 所以，所以，所以三角形为正三角形， 所以，又轴， 所以，，则， 所以，，，所以直线的方程为：， 联立方程，可得，所以，则， 所以，所以，故A正确； ，且，，所以四边形DFMN是菱形，故D正确； 由于以为直径的圆与准线相切，点在圆外，所以∠ADB是锐角，故B正确； ，，，所以，， 所以，所以为钝角，所以是钝角三角形，故C错误. 故选：ABD. 变式8 （多选题）已知抛物线C：的焦点为，直线l过点F且与抛物线C交于M，N两点，P是抛物线C上的任意一点，Q是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则（    ） A．若点P的横坐标为1，则 B．若，则直线l的斜率为 C．有最大值 D．的最小值为 变式9 （多选题）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（   ） A．的斜率为 B．是锐角三角形 C．四边形的面积是 D． 变式10 （多选题）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点为抛物线上的点，且满足，过作的垂线，垂足为与交于点，则（    ） A．直线的斜率为定值 B． C． D． 不过原点的抛物线 【思考题】（多选题）数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（    ） A．曲线由两条抛物线的一部分组成 B．线段的长度与点到直线的距离相等 C．若线段的长度为，则直线的斜率为 D．若，则直线的斜率为 【答案】ABD 【详解】对于A选项，设曲线上任意一点， 由定义可知，满足， 移项，平方可得：， 即，为两条抛物线，故A正确； 对于B选项，和直线分别为抛物线的焦点和准线，由抛物线定义可知，故B正确 对于C选项，设与轴夹角为同时为抛物线和椭圆的焦点，， ， 解得，则，故C错误. 对于D选项，易知为抛物线和的焦点， 前者，后者分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此 ，由于， 则，因此，所以，故D正确， 故选：ABD 【题型三】与抛物线有关的距离和最值问题 【例10】已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为___________. 【答案】4 【解析】设点M在准线上的射影为D，由抛物线的定义知， ∴要求的最小值，即求的最小值， 当D，M，P三点共线时，最小，最小值为. 故答案为：4 【例11】 已知，点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由抛物线知，焦点，准线方程为 过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图， 由抛物线定义知， 当F,P,M三点共线时,最小为， 故选：A 【例12】已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______. 【答案】 【解析】由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为， 圆的圆心坐标为，半径为， 设点到抛物线准线的距离为，则，故， 所以当动点位于线段上时，点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和最小，此时. 故答案为：. 变式11（多选题）已知A（a，0），M（3，-2），点P在抛物线上，则（    ） A．当时，最小值为1 B．当时，的最小值为3 C．当时，的最小值为4 D．当时，的最大值为2 变式12 是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________． 变式13 （多选题）已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【例13】 已知抛物线，点在上且位于第一象限，点与点关于轴对称，点，，直线与交于另外一点，若的最小值为2，则 ，的最小值为 . 【答案】 16 100 【详解】设的焦点为，点到轴的距离为，连接， 由对称性及抛物线的定义可得， 解得，故点重合， 的方程为，直线的斜率不为0， 设直线的方程为，联立方程并化简得， 设，，则，， 所以， 当且仅当，时取等号，故的最小值为100. 故答案为：16；100. 【例14】 （多选题）已知抛物线，圆为圆心），点在抛物线上，点在圆上，点，则下列结论中正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．当最大时， D．当最小时， 【答案】ABC 【解析】A. 的最小值是的最小值减去圆的半径，又的最小值是1， 所以的最小值是1-=，故正确； B. 设，则，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是，故正确； C.如图所示：当最大时，直线AQ与圆相切，则，故正确； D.当最小时为，即P，A，Q共线，则，故错误； 故选：ABC 【例15】已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值为_______. 【答案】 【解析】由题意知：，；因为，， 所以； 所以， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为， 变式14已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点（在的右边），为上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．5 变式15 已知F为抛物线的焦点，P为抛物线上的动点，点，则的最小值为______． 【题型四】抛物线中三角形，四边形的面积问题 【例16】设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设，与相交于点D．若，则的面积为__________． 【答案】 【解析】如图所示，由已知，．得． 因为轴，， ，所以四边形ABCD为平行四边形，且， 所以，解得， 代入得，所以． 故答案为：. 【例17】已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，延长交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为_______． 【答案】 【解析】由知，，，准线方程为，如图， 因为，所以，所以； 连接，又，所以为等边三角形， 因为，所以，得，得， 所以， 由，解得， 所以．故答案为： 【例18】已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上.若，，则的面积为（    ） A． B．25 C． D．55 【答案】B 【详解】如图所示，过点作轴于点，准线与轴交于点，抛物线的焦点坐标， 设，由抛物线的定义可得， 即，因为，所以， 因为，所以相似于，则， 所以，解得或，所以， 所以.故选：B. 变式16 已知为抛物线的焦点，点A为上一点，点的坐标为，若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 变式17 已知抛物线的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，与轴交于点，且，（为原点），则的方程为___________. 变式18 （多选题）设点为抛物线：的焦点，过点斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），直线交抛物线的准线于点，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为（为坐标原点） 【例19】如图，已知点F为抛物线的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则的面积S的取值范围为______． 【答案】 【解析】由抛物线可得焦点，准线方程为，， 设，，直线AB的方程为， 由，可得，则，， 所以， 直线AB的一般方程为， 点到直线AB的距离，所以， 所以的面积S的取值范围为， 故答案为： — 16 — — 17 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抛物线及其性质 知识点一 抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点． 知识点二 抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 焦点 离心率 准线方程 通径 常见结论： 1、点与抛物线的关系。 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 2、的几何意义。 为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 3、切线方程和切点弦方程。 若在曲线上，过该点的抛物线的切线方程为。 若点在抛物线外，则过该点的切点弦方程为。 4、抛物线焦点三角形。 （1）. 焦点弦与对称轴所成角有关的结论： ① ，， 两个焦半径一长一短且可以从图像判断出谁长谁短，长的分母自然小，短的分母大。 ② ,2P是过焦点，且垂直于x轴的线段的长度（类似椭圆的通径，所以过焦点的线段中通径是最短的） ③ （2）. 坐标有关的结论： ①，， ② ③ （3）. 抛物线的交点弦。 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 ①弦长公式： ② ③直线AB的方程为 ④抛物线中的直线的两点式方程: 过抛物线上两点的直线方程常运用设点法表示，记点,于是直线的方程: , 即. 结论：若抛物线方程为，设点，则直线的方程: . 若抛物线方程为，则直线的方程:. 5、焦点弦的其他性质。 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 6、抛物线的其他定义。 如果动圆P与一个定圆C和一条直线l同时相切（且直线与该定圆不相切），那么动圆的圆心P轨迹为抛物线。 【题型一】抛物线的定义与方程 【例1】以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】依题意设抛物线方程为．因为焦点到准线的距离为4，所以，所以， 所以抛物线方程为或． 故选：C． 【例2】已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等, 由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线， 所以，其方程为， 故选：A 【例3】已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，过点作，垂足为. 由题得,所以. 因为，所以是等边三角形. 因为是的中点，所以， 所以，所以. 所以. 所以 所以抛物线的方程是. 故选：C 变式1 在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等， 由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以，轨迹方程为， 故选：D 变式2 设抛物线的焦点为，准线为是上一点，是与轴的交点，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】如图所示，作，由抛物线定义可知，， 在中，， 则在抛物线上， 所以，即，则. 故选：D 变式3 （多选题）已知直线，点，圆心为的动圆经过点，且与直线相切，则 （    ） A．点的轨迹为抛物线 B．圆面积最小值为 C．当圆被轴截得的弦长为时，圆的半径为 D．存在点，使得，其中为坐标原点 【答案】ACD 【解析】对于A，由题意知：点到点与到定直线的距离相等，且点不在直线上，符合抛物线定义，点的轨迹为抛物线，A正确； 对于B，由A知，点的轨迹为抛物线，则当为坐标原点时，点到直线距离最小，即此时圆的半径最小，即，圆面积的最小值为，B错误； 对于C，由A得：点的轨迹方程为，设，则圆的半径，点到轴的距离，，解得：，圆的半径，C正确； 对于D，假设存在点，使得，设，则， 整理可得：，解得：，，或，D正确. 故选：ACD. 【题型二】抛物线焦半径问题 【例4】已知的三个顶点都在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【解析】由抛物线的方程，得，焦点坐标为，设，，的横坐标分别是，，， 由，所以，即， 因为为抛物线的焦点，由抛物线的定义可得，，，， 即， 故选：B． 【例5】已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【解析】由题知，准线，设与轴的交点为，点在上， 由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形， 解法1：因为轴，所以直线斜率，所以， 由解得，舍去， 所以. 解法2：在中，，则. 解法3：过作于点，则为的中点，因为，则. 故选：D. 变式4 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】D 【解析】由题意可知，所以直线与的方程为，联立方程，可得， 设则，所以. 故选：D. 变式5 过抛物线，的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于__________. 【答案】60°或120° 【解析】如图是抛物线的准线，作，，为垂足， 设，则， 由抛物线定义知，， 过作，垂足为，则易得，所以， 直角三角形中，，， 此时直线倾斜角为60°，由对称性，直线倾斜角也可为120°. 故答案为：60°或120° 【例6】（多选题）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（    ） A．直线过焦点时，最小值为4 B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限）， C．若中点的横坐标为3，则最大值为8 D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线方程为： 【答案】ACD 【解析】对于A选项，直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，故正确； 对于B选项，由题意，作图如下： 则，轴，轴，即，， ，，即，， ，，， ，故错误； 对于C选项，由于为两动点，所以， 当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确； 对于D选项，依题意，，故，即，由题意，，同理可得，故直线方程为，故正确.，故选：ACD. 【例7】如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（    ） 【答案】26 【解析】，又， ， 当且仅当，即，时等号成立. 故选：B. 变式6已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则__________. 【答案】 【解析】过作准线的垂线，垂足为，易知：， 可得，如图所示： 在中，可得，， 由抛物线的性质可得，所以， 在中，由正弦定理可得：，所以. 故答案为： 变式7 已知点为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【详解】抛物线的焦点，过的斜率为0的直线为，直线与抛物线有且只有一个交点，与条件矛盾，故直线的斜率不为0，故可设直线的方程为， 联立方程组，得，方程的判别式， 设，则，，所以， 由抛物线的性质得， . 当且仅当时，等号成立，故选：C. 【例8】（多选题）已知抛物线与圆交于A，B两点，且.过焦点的直线与抛物线交于M，N两点，点是抛物线上异于顶点的任意一点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则（    ） A．若，则直线的斜率为 B．的最小值为18 C．为钝角 D．点与点的横坐标相同时，最小 【答案】BCD 【详解】因为抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且， 则第一象限内的交点A的纵坐标为，代入圆方程得横坐标为2，即， 所以，，即抛物线方程为，焦点为.设， 对A，由得， 则，又因为，解得，所以直线l的斜率为，故A错误； 对B，由抛物线定义得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此的最小值为，故B正确； 对C，如图，不妨设在第一象限，设，设直线，联立抛物线的方程消， 得，又， 所以，， ，为钝角，故C正确； 对D，，，设，则， 由抛物线的定义可得，， 又，则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 【例9】（多选题）已知抛物线的焦点为F，准线交x轴于点D，过F的直线交C于A，B两点，AF的中点M在y轴上的射影为点N，，则（　　） A． B．∠ADB是锐角 C．是锐角三角形 D．四边形DFMN是菱形 【答案】ABD 【详解】由抛物线，可知，， 设点，，则，所以，而， 所以，所以，所以三角形为正三角形， 所以，又轴， 所以，，则， 所以，，，所以直线的方程为：， 联立方程，可得，所以，则， 所以，所以，故A正确； ，且，，所以四边形DFMN是菱形，故D正确； 由于以为直径的圆与准线相切，点在圆外，所以∠ADB是锐角，故B正确； ，，，所以，， 所以，所以为钝角，所以是钝角三角形，故C错误. 故选：ABD. 变式8 （多选题）已知抛物线C：的焦点为，直线l过点F且与抛物线C交于M，N两点，P是抛物线C上的任意一点，Q是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则（    ） A．若点P的横坐标为1，则 B．若，则直线l的斜率为 C．有最大值 D．的最小值为 【答案】CD 【详解】因为，所以，所以抛物线，准线为直线， A选项，，故A选项错误； B选项，设， 由，得，则， 又因为，解得， 所以直线l的斜率为，故B选项错误； C选项，如图，不妨设在第一象限，，， 设直线，与抛物线的方程联立得， 又，所以，则 ， 当且仅当，即直线与轴垂直时等号成立，故C选项正确； D选项，，，设，则， 由抛物线的定义可得， ， 又，则， ①当时，， ②当时，， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D选项正确. 故选：CD. 变式9 （多选题）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（   ） A．的斜率为 B．是锐角三角形 C．四边形的面积是 D． 【答案】ABD 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，即，   设，则，可得， 因为，即，可知为等边三角形，即， 且∥x轴，可知直线的倾斜角为，斜率为，故A正确； 则直线，联立方程，解得或， 即，，则， 可得， 在中，，且， 可知为最大角，且为锐角，所以是锐角三角形，故B正确； 四边形的面积为，故C错误； 因为，所以，故D正确； 故选：ABD. 变式10 （多选题）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点为抛物线上的点，且满足，过作的垂线，垂足为与交于点，则（    ） A．直线的斜率为定值 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A：设，则， 而，因此，所以由解得， 因此，即，故， 因此，故A正确； 对于B：因为，所以由选项A知：当点在轴上方时， 在中， 过作轴，交轴于， 则在中，，因此 利用抛物线的对称性知：当点在轴下方时，同理可得：，故B错误； 对于C：因为，所以 因为由抛物线定义知：，所以， 因此，即是的平分线，所以 因为，所以点在以线段为直径的圆上， 因此在中，，故C正确； 对于D：因为，所以，因此， 而由抛物线定义知：，所以 因为点在以线段为直径的圆上，所以， 因此，即，故D正确，故选：ACD. 不过原点的抛物线 【思考题】（多选题）数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（    ） A．曲线由两条抛物线的一部分组成 B．线段的长度与点到直线的距离相等 C．若线段的长度为，则直线的斜率为 D．若，则直线的斜率为 【答案】ABD 【详解】对于A选项，设曲线上任意一点， 由定义可知，满足， 移项，平方可得：， 即，为两条抛物线，故A正确； 对于B选项，和直线分别为抛物线的焦点和准线，由抛物线定义可知，故B正确 对于C选项，设与轴夹角为同时为抛物线和椭圆的焦点，， ， 解得，则，故C错误. 对于D选项，易知为抛物线和的焦点， 前者，后者分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此 ，由于， 则，因此，所以，故D正确， 故选：ABD 【题型三】与抛物线有关的距离和最值问题 【例10】已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为___________. 【答案】4 【解析】设点M在准线上的射影为D，由抛物线的定义知， ∴要求的最小值，即求的最小值， 当D，M，P三点共线时，最小，最小值为. 故答案为：4 【例11】 已知，点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由抛物线知，焦点，准线方程为 过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图， 由抛物线定义知， 当F,P,M三点共线时,最小为， 故选：A 【例12】已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______. 【答案】 【解析】由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为， 圆的圆心坐标为，半径为， 设点到抛物线准线的距离为，则，故， 所以当动点位于线段上时，点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和最小，此时. 故答案为：. 变式11（多选题）已知A（a，0），M（3，-2），点P在抛物线上，则（    ） A．当时，最小值为1 B．当时，的最小值为3 C．当时，的最小值为4 D．当时，的最大值为2 【答案】ACD 【解析】 当时，为抛物线的焦点，设，则， 故的最小值为1，A正确； 设抛物线的准线为，过点P作PN⊥l于点N，此时， 故当N，P，M三点共线时，取得最小值， 此时，C正确； 当时，，连接AM，并延长AM交抛物线于点， 此时为的最大值， 当在其他位置时，根据三角形两边之差小于第三边，可知均小于， 因为，故D正确； 此时，当时，，B错误. 故选：ACD 变式12 是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________． 【答案】 【解析】因为是抛物线上的动点，到轴的距离为， 到圆上动点的距离为， 所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小， 连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离， 即，所以的最小值为， 变式13 （多选题）已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】AC 【解析】抛物线焦点为，准线为，作出图象， 对选项A：由抛物线的性质可知：的最小值为，选项A正确； 对选项B：注意到F是定点，由圆的性质可知：的最小值为，选项B错误； 对选项CD：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线定义可知，故，的最小值为点Q到准线的距离，故最小值为4，从而选项C正确，选项D错误． 故选：AC. 【例13】 已知抛物线，点在上且位于第一象限，点与点关于轴对称，点，，直线与交于另外一点，若的最小值为2，则 ，的最小值为 . 【答案】 16 100 【详解】设的焦点为，点到轴的距离为，连接， 由对称性及抛物线的定义可得， 解得，故点重合， 的方程为，直线的斜率不为0， 设直线的方程为，联立方程并化简得， 设，，则，， 所以， 当且仅当，时取等号，故的最小值为100. 故答案为：16；100. 【例14】 （多选题）已知抛物线，圆为圆心），点在抛物线上，点在圆上，点，则下列结论中正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．当最大时， D．当最小时， 【答案】ABC 【解析】A. 的最小值是的最小值减去圆的半径，又的最小值是1， 所以的最小值是1-=，故正确； B. 设，则，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是，故正确； C.如图所示：当最大时，直线AQ与圆相切，则，故正确； D.当最小时为，即P，A，Q共线，则，故错误； 故选：ABC 【例15】已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值为_______. 【答案】 【解析】由题意知：，；因为，， 所以； 所以， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为， 故答案为：. 变式14已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点（在的右边），为上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】A 【解析】由题意，抛物线，可得焦点， 又因为直线的倾斜角为，可得斜率， 故直线的方程为，联立方程组，整理得， 设，解得，，因为，所以，可得， 过点作垂直于准线于点，根据抛物线的定义，得， 当三点共线且与轴平行时，有最小值，最小值，所以的最小值为3. 故选：A. 变式15 已知F为抛物线的焦点，P为抛物线上的动点，点，则的最小值为______． 【答案】22 【解析】设，则，因为，，所以，， 则，令，则， 所以， 当时，因为，所以当时，取得最小值，此时最小值为22， 故答案为：22 【题型四】抛物线中三角形，四边形的面积问题 【例16】设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设，与相交于点D．若，则的面积为__________． 【答案】 【解析】如图所示，由已知，．得． 因为轴，， ，所以四边形ABCD为平行四边形，且， 所以，解得， 代入得，所以． 故答案为：. 【例17】已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，延长交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为_______． 【答案】 【解析】由知，，，准线方程为，如图， 因为，所以，所以； 连接，又，所以为等边三角形， 因为，所以，得，得， 所以， 由，解得， 所以． 故答案为： 【例18】已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上.若，，则的面积为（    ） A． B．25 C． D．55 【答案】B 【详解】如图所示，过点作轴于点，准线与轴交于点，抛物线的焦点坐标， 设，由抛物线的定义可得， 即，因为，所以， 因为，所以相似于，则， 所以，解得或，所以， 所以. 故选：B. 变式16 已知为抛物线的焦点，点A为上一点，点的坐标为，若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解析】由题意得，则，即点A到准线的距离为4，所以点A的横坐标为2， 当时，，即，所以.故选：C. 变式17 已知抛物线的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，与轴交于点，且，（为原点），则的方程为___________. 【答案】 【解析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义知，， 又，所以，所以，所以. 又，所以，所以，则，所以抛物线的方程为. 故答案为：. 变式18（多选题）设点为抛物线：的焦点，过点斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），直线交抛物线的准线于点，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的面积为（为坐标原点） 【答案】BC 【解析】如图，设， ， ，， 又，，即， 解得：；故选项A不正确； 由上述分析可知，又容易知， 则，， 故成立；故选项B正确； ；故选项C正确； ，故选项D不正确； 故选：BC． 【例19】如图，已知点F为抛物线的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则的面积S的取值范围为______． 【答案】 【解析】由抛物线可得焦点，准线方程为，， 设，，直线AB的方程为， 由，可得，则，， 所以， 直线AB的一般方程为， 点到直线AB的距离，所以， 所以的面积S的取值范围为， 故答案为： — 18 — — 17 — 学科网（北京）股份有限公司 $$