椭圆的性质讲义-2026届高三数学一轮复习

椭圆及其性质 知识点一 椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在． 知识点二 椭圆的方程、图形与性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 坐标范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 共焦点椭圆方程 共离心率椭圆方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，将椭圆方程中换为，换为 切点弦所在的直线方程 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 其他性质： ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点其值为b，到中心距离最大的点是长轴的两个端点其值为a． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为． 知识点三 椭圆焦点三角形有关的结论 (1) 与角度有关的结论： 1．过焦点的直线与长轴所成的角有关：（注意焦点在y轴上也可以使用，但略有不同） （1），，， 补充一下怎么区分上面两个公式，两个焦半径一长一短且可以从图像判断出谁长谁短，长的分母自然小，短的分母大。同时当为锐角时，较小，较大。当为钝角时，较大，较小。 （2） 强调一下，上述三个公式反映的是过焦点的直线的倾斜角（或斜率）与焦半径长度（或直线弦长）之间的关系，角度唯一确定了长度，同理已知长度也可以快速求解出直线倾斜角。 （3）设，则 反映的是焦半径比值的应用，当题目已知焦半径比值，则务必要联想到此公式。 2．顶角有关： （4） （5）， （二）焦半径的坐标式：(左加右减，上加下减) 已知B点坐标，则， （三）仿垂径定理 1.直线与椭圆交于两点，若M为AB中点，则 2.若AB两点关于原点对称，M为椭圆上任意一点，则 （四）距离和差的最值 （1）如图，若点A在椭圆内，P为椭圆上任一点。 1. 求的最小值。 2. 求的最大值。 3. 求的最小值。 4. 求的最大值。 （2）如图，若点B在椭圆外，P为椭圆上任一点。 1. 求的最小值。 2. 求的最大值。 3. 求的最小值。 4. 求的最大值。 （五）椭圆的其他定义 1． 与大圆B内切，与小圆A外切的第三个圆的圆心P的轨迹方程为椭圆． 2． 圆内一定点B与圆上任一点C，即BC的垂直平分线与半径AC的交点P的轨迹方程为椭圆。 3． 过圆内一定点B做半径AC的平行线与另一半径AD的交点P的轨迹方程为椭圆。 （1） （2） （3） 椭圆的性质 【题型一】焦点三角形 ⑴ 【例1】已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的两个焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则点到，两点的距离之和为（ ） A．6 B．8 C．12 D．36 【详解】设椭圆的左、右焦点分别为，，如图所示． 因为线段的中点为，点为的中点， 所以，同理可得． 因为点在椭圆上，所以有， 所以， 即点到，两点的距离之和为12， 故选：C 【例2】已知定点，，P是椭圆上的动点，则的的最小值为______. 【详解】由题可知：点，是椭圆的焦点，所以， 所以， 即，当且仅当时等号成立，即时等号成立. 所以的最小值为， 故答案为：. 【例3】设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以．设，则． 在中，． 在中，， 所以，整理得，． 于是． 故选：D． 【例4】 已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，离心率为.过且垂直于的直线与交于两点，，则的周长是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【详解】因为椭圆的离心率为，所以，， 如图，，所以为正三角形，又因为直线过且垂直于， 所以，直线的方程为， 设点坐标，点坐标， 将直线方程与椭圆方程联立，得， 显然,则，， 所以，解得，, 由图，直线垂直平分，所以的周长等于的周长，.故选：C. 变式1已知为椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式2 如图，若为椭圆：上一点，为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直径的圆与相切于中点，则椭圆的方程为___________. 变式3 如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． ⑵ 【例5】已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（ ） A．离心率 B．的周长为18 C．直线与直线斜率乘积为定值 D．若，则的面积为8 【详解】 由，可得，，， A，离心率，故A正确； B，的周长为，故B正确. C，设，，故C正确； D，，， 又因为，所以， 即，解得, 所以，故D错误. 故选：D 变式4 已知A，F分别是椭圆C：的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为，若的周长为6，则的面积为（ ） A． B． C． D． （3）， 【例6】已知分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，且，则（ ） A． B． C． D．与的取值有关 【详解】由椭圆定义可知：， ，， 即 ∴ 故选：B 【例7】点P为椭圆上的一点，为椭圆两焦点，那么的最小值为（ ） A． B． C． D． 【详解】设，则， ． 故选：D． 变式5 设椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，且满足，则的值为（ ） A．7 B．10 C．12 D．15 变式6 椭圆的左､右焦点分别为，椭圆上的点满足：且，则_________. ⑷，, 【例8】设、分别为椭圆：的左、右两个焦点，过作斜率为1的直线，交于、两点，则________ 【详解】 由定义有，，所以． 变式7 已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为12，则m的值是（ ） A．2 B． C．3 D． 【题型二】转换求和差的最大（小）值 【例9】设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，的坐标为（6，4），则的最大值为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【详解】由椭圆可得：，，， ，，由椭圆的定义可得：， 则的最大值为15， 故选：C 【例10】已知椭圆，圆，，分别为椭圆和圆上的点，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【详解】由圆，得．作出椭圆与圆的图象 如图，为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为， 则， 圆过点，要使最小，则需要取最大值为圆的直径． 的最小值为． 故选：． 【例11】已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在椭圆中，，，， 圆心为椭圆的右焦点，由椭圆定义可得， ，由椭圆的几何性质可得，即， 由圆的几何性质可得， 所以，. 故选：B. 变式8 已知椭圆的上焦点为，是椭圆上一点，点，当点在椭圆上运动时，的最大值为 A．12 B．10 C．8 D．4 变式9 已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为 A．5 B．7 C．13 D．15 【题型三】仿垂径定理 (M为AB中点)，（AB为关于原点对称的两点） 【例12】已知是椭圆的一个焦点，过F的直线交该椭圆于两点，线段的中点坐标为，则该椭圆的离心率是__________． 【详解】设，因为在椭圆上，所以， 所以，所以， 因为线段的中点坐标为，， 所以，，且， 所以，所以且，所以， 故答案为：. 【例13】在椭圆=1中，以点M(2，)为中点的弦所在的直线方程为（　　） A．3x+4y=0 B．3x-4y=0 C．3x+4y-12=0 D．3x-4y+12=0 【详解】设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则，两式相减得=0，即-， 又因为M(2，)为弦AB的中点，代入上式可得斜率为-，所以直线方程为3x+4y-12=0. 故选：C 【例14】椭圆短轴的上下两个端点分别为，直线交椭圆于两点． 设直线的斜率分别为，，若，求的值． 【答案】 【详解】由题知，设，所以，， 设斜率为，则， 因为，即所以， 即 因为，所以， 所以 因为， 因为， ， 所以，，即，解得或. 当，，此时直线的斜率必有一个不存在，不满足题意，故舍去. 所以， 变式10椭圆，过点的直线与交于两点，线段中点的横坐标为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 变式11 若椭圆与直线交于，两点，过原点与线段中点的连线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 变式12 已知AB是椭圆一条弦，且弦AB与直线：垂直，P是AB的中点，O为椭圆的中心，则直线OP的斜率是（ ） A． B． C． D． 【题型四】焦半径的比值λ 【例15】已知椭圆上，过F1的直线l与椭圆E交于A、B两点（点A位于x轴上方），若，则直线l的斜率k的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据，， 【例16】 设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】设，则，， ∴，，∵， 在中，由余弦定理， 得：，∴， 化简可得，而， 故，∴，，， ∴，∴，且， ∴是等腰直角三角形，，∴，∴椭圆的离心率. 故选：D. 变式13 已知过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 变式14已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D．3 变式15 在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，，过的直线与椭圆交于，两点.若，，则椭圆的标准方程为______. 【题型五】椭圆的切线性质 【例17】 已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【详解】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即. 故选：B 【例18】已知为椭圆的右焦点，点是直线上的动点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，则的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【详解】由已知可得，设， 则切线，的方程分别为，， 因为切线，过点，所以，，所以直线的方程为 ， 因为，所以，所以点在直线上，所以三点共线，所以， 故选：D 变式16 经过点且与椭圆相切的直线方程是 (　　) A． B． C． D． 变式17 椭圆：，过其左焦点的弦，过点，分别作椭圆的切线，交于点，则面积最小值为（ ） A． B． C． D． 【题型六】椭圆上动点的距离的最值（椭圆的参数方程） 【例19】已知椭圆，直线，则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为（ ） A． B． C． D． 【详解】设椭圆上的点的参数方程：，则点到直线l距离， ，最大值为，故选：C 变式18 设P是椭圆上的任一点，EF为圆的任一条直径，则的最大值为 ． 【题型七】轨迹方程 【例20】设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点，求点的轨迹方程；    【答案】 【详解】圆的标准方程为，故半径 因为，，故， 所以，故，因此， 由题设得，，， 由椭圆定义可得点的轨迹方程为：． 变式19 已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于，求动点的轨迹的方程； 椭圆的性质课后测 1．已知椭圆上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是（    ） A．2 B．4 C．8 D． 2．如图，把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，F是左焦点，则（      ）    A．16 B．18 C．20 D．22 3．已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 4．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D．13 5．已知点为椭圆左右焦点，点P为椭圆C上的动点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．已知椭圆，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，，直线m经过点B且垂直于x轴，P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交m于点M，则（    ） A． B． C． D． 7．设P是椭圆=1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值是 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 椭圆及其性质 知识点一 椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 知识点二 椭圆的方程、图形与性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 坐标范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 共焦点椭圆方程 共离心率椭圆方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，将椭圆方程中换为，换为 切点弦所在的直线方程 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 其他性质： ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为． 知识点三 椭圆焦点三角形有关的结论 (1) 与角度有关的结论： 1．与倾斜角有关： （1），，， 补充一下怎么区分上面两个公式，两个焦半径一长一短且可以从图像判断出谁长谁短，长的分母自然小，短的分母大。同时当为锐角时，较小，较大。当为钝角时，较大，较小。 （2） 强调一下，上述三个公式反映的是过焦点的直线的倾斜角（或斜率）与焦半径长度（或直线弦长）之间的关系，角度唯一确定了长度，同理已知长度也可以快速求解出直线倾斜角。 （3）设，则 反映的是焦半径比值的应用，当题目已知焦半径比值，则务必要联想到此公式。 2．与顶角有关： （4） （5）， （二）焦半径的坐标式：(左加右减，上加下减) 已知B点坐标，则， （三）仿垂径定理 1.直线与椭圆交于两点，若M为AB中点，则 2.若AB两点关于原点对称，M为椭圆上任意一点，则 （四）距离和差的最值 （1）如下图，若点A在椭圆内，P为椭圆上任一点。 1. 求的最小值。 2. 求的最大值。 3. 求的最小值。 4. 求的最大值。 （2）如右图，若点B在椭圆外，P为椭圆上任一点。 1. 求的最小值。 2. 求的最大值。 3. 求的最小值。 4. 求的最大值。 （五）椭圆的其他定义 1． 与大圆A内切，与小圆B外切的第三个圆的圆心P的轨迹方程为椭圆． 2． 圆内一定点B与圆上任一点C即BC的垂直平分线与半径AC的交点P的轨迹方程为椭圆。 3． 过圆内一定点B做半径AC的平行线与另一半径AD的交点P的轨迹方程为椭圆。 （1） （2） （3） 椭圆的性质 【题型一】焦点三角形 ⑴ 【例1】已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的两个焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则点到，两点的距离之和为（ ） A．6 B．8 C．12 D．36 【详解】设椭圆的左、右焦点分别为，，如图所示． 因为线段的中点为，点为的中点， 所以，同理可得． 因为点在椭圆上，所以有， 所以， 即点到，两点的距离之和为12， 故选：C 【例2】已知定点，，P是椭圆上的动点，则的的最小值为______. 【详解】由题可知：点，是椭圆的焦点，所以， 所以， 即，当且仅当时等号成立，即时等号成立. 所以的最小值为， 故答案为：. 【例3】设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以．设，则． 在中，． 在中，， 所以，整理得，． 于是． 故选：D． 【例4】已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，离心率为.过且垂直于的直线与交于两点，，则的周长是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【详解】因为椭圆的离心率为，所以，， 如图，，所以为正三角形，又因为直线过且垂直于， 所以，直线的方程为， 设点坐标，点坐标， 将直线方程与椭圆方程联立，得， 显然,则，， 所以， 解得，, 由图，直线垂直平分，所以的周长等于的周长，.故选：C. 变式1已知为椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】根据椭圆的定义，得， 所以， 即所求取值范围为． 故选：A 变式2 如图，若为椭圆：上一点，为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直径的圆与相切于中点，则椭圆的方程为___________. 【详解】设线段的中点为,另一个焦点,由题意知,, 又是△的中位线,所以,所以, 由椭圆的定义知, 又,, 所以在直角三角形中,由勾股定理得, 又,可得,① 因为为椭圆的焦点,所以, 所以,② 联立①②解得, 所以椭圆的方程为. 故答案为: 变式3 如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设椭圆的右焦点为，则，连接， 因为，所以， 所以， 由椭圆的定义可得，则， 又因为，所以， 所以椭圆的方程为， 故选：D ⑵ 【例5】已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（ ） A．离心率 B．的周长为18 C．直线与直线斜率乘积为定值 D．若，则的面积为8 【详解】 由，可得，，， A，离心率，故A正确； B，的周长为，故B正确. C，设，，故C正确； D，，， 又因为，所以， 即，解得, 所以，故D错误. 故选：D 变式4 已知A，F分别是椭圆C：的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为，若的周长为6，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【详解】 由题意得，，， 因为直线AM的倾斜角为，所以直线MN的方程为， 把代入椭圆方程解得，所以， 因为A在直线MN上，所以，解得． 又，，解得， 令，则，即， 因为M为椭圆的右焦点，所以，由椭圆的定义可知，， 因为的周长为6，所以，所以，所以，，所以，，. 所以． 故答案为：． ⑶， 【例6】已知分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，且，则（ ） A． B． C． D．与的取值有关 【详解】由椭圆定义可知：， ，， 即 ∴ 故选：B 【例7】点P为椭圆上的一点，为椭圆两焦点，那么的最小值为（ ） A． B． C． D． 【详解】设，则， ． 故选：D． 变式5 设椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，且满足，则的值为（ ） A．7 B．10 C．12 D．15 【详解】由椭圆标准方程知，，, 当点P为椭圆的左、右顶点时（不妨令P为右顶点）， ， 则，故点P不为椭圆的左、右顶点， 设和的夹角为，因为， 所以， 在中，由余弦定理得， 即， 即，所以. 故选：D. 变式6 椭圆的左､右焦点分别为，椭圆上的点满足：且，则_________. 【详解】因为且， 所以， 由椭圆的定义得，故 所以在中，由余弦定理得， 代入数据得，解得：. 故答案为：. ⑷，, 【例8】设、分别为椭圆：的左、右两个焦点，过作斜率为1的直线，交于、两点，则________ 【详解】 由定义有，，所以． 变式7 已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为12，则m的值是（ ） A．2 B． C．3 D． 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上， 由可知，， 因为过的直线交椭圆于两点，所以， 所以，所以当垂直于轴时，最短，此时最大， 当时，，得，所以 的最小值为， 因为的最大值为12，所以，解得或（舍去）， 故选：B 【题型二】转换求和差的最大（小）值 【例9】设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，的坐标为（6，4），则的最大值为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【详解】如图所示， 由椭圆可得：，，， ，，由椭圆的定义可得：， 则的最大值为15， 故选：C 【例10】已知椭圆，圆，，分别为椭圆和圆上的点，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【详解】由圆，得． 作出椭圆与圆的图象如图， 为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为， 则， 圆过点，要使最小，则需要取最大值为圆的直径． 的最小值为． 故选：． 【例11】已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如下图所示： 在椭圆中，，，， 圆心为椭圆的右焦点，由椭圆定义可得， ，由椭圆的几何性质可得，即， 由圆的几何性质可得， 所以，. 故选：B. 变式8 已知椭圆的上焦点为，是椭圆上一点，点，当点在椭圆上运动时，的最大值为 A．12 B．10 C．8 D．4 【详解】如图所示, 设椭圆的下焦点为,则 ， ∵,当且仅当A,F′,M共线且F′在线段上时等号成立, ∴的周长为，所以的周长的最大值为， 此时， 故选：B. 变式9 已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为 A．5 B．7 C．13 D．15 【答案】B 【详解】依题意可得，椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x-3）2+y2=4的圆心，（-3,0），（3,0），所以根据椭圆的定义P到两焦点的距离和始终为2a=10，那么可得：（|PM|+|PN|）min=2×5-1-2=7， 故选B． 【题型三】仿垂径定理 (M为AB中点)，（AB为关于原点对称的两点） 【例12】已知是椭圆的一个焦点，过F的直线交该椭圆于两点，线段的中点坐标为，则该椭圆的离心率是__________． 【详解】设，因为在椭圆上，所以， 所以，所以， 因为线段的中点坐标为，， 所以，，且， 所以，所以且，所以， 故答案为：. 【例13】在椭圆=1中，以点M(2，)为中点的弦所在的直线方程为（　　） A．3x+4y=0 B．3x-4y=0 C．3x+4y-12=0 D．3x-4y+12=0 【详解】设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则，两式相减得=0， 即-， 又因为M(2，)为弦AB的中点，代入上式可得斜率为-， 所以直线方程为3x+4y-12=0. 故选：C 【例14】椭圆短轴的上下两个端点分别为，直线交椭圆于两点． 设直线的斜率分别为，，若，求的值． 【答案】 【详解】由题知，设， 所以，， 设斜率为，则， 因为，即 所以，即 因为， 所以， 所以 因为 因为， ， 所以，，即，解得或. 当，，此时直线的斜率必有一个不存在，不满足题意，故舍去. 所以， 变式10 椭圆，过点的直线与交于两点，线段中点的横坐标为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【详解】设直线：， 由得：， 设，，则， 又中点横坐标为，，解得：，即直线斜率为. 故选：B. 变式11 若椭圆与直线交于，两点，过原点与线段中点的连线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】把代入椭圆得， 整理得. 设，，则，. 线段中点坐标为， 原点与线段中点的连线的斜率. 由椭圆，可知，，则. 则椭圆的离心率. 故选：B. 变式12 已知AB是椭圆一条弦，且弦AB与直线：垂直，P是AB的中点，O为椭圆的中心，则直线OP的斜率是（ ） A． B． C． D． 【详解】依题意，弦AB不过点O，而弦AB与直线：垂直，则设直线AB： ， 由消去y得：， ，即，且， 设点，则，于是得弦AB中点， 所以直线OP的斜率是. 故选：D 【题型四】焦半径的比值λ 【例15】已知椭圆上，过F1的直线l与椭圆E交于A、B两点（点A位于x轴上方），若，则直线l的斜率k的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据，， 【例16】 设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】设，则，， ∴，，∵， 在中，由余弦定理， 得：，∴， 化简可得，而， 故，∴，，， ∴，∴，且， ∴是等腰直角三角形，，∴，∴椭圆的离心率. 故选：D. 变式13 已知过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【详解】根据题意，设，，方程为， 代其入椭圆方程得：． ①，②． ，，， ③． ∴由①③得，④ ∴将④代入②得：， ，所以， ， ∴椭圆的离心率． 故选：B 变式14 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】根据，，故。 变式15 在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，，过的直线与椭圆交于，两点.若，，则椭圆的标准方程为______. 【详解】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0）， 过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2＝3F2B，AB＝BF1， 设F2B＝x，则AF2＝3x，AB＝BF1＝4x，根据椭圆的定义，整理得AF1＝2x， 由于△AF1B为等腰三角形，所以， 利用余弦定理， 整理得， 解得，故，所以2a＝5x＝， 解得：a＝，由于c＝2，所以b＝， 所以椭圆的方程为． 故答案为：． 【题型五】椭圆的切线性质 【例17】已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【详解】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即. 故选：B 【例18】已知为椭圆的右焦点，点是直线上的动点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，则的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【详解】由已知可得，设， 则切线，的方程分别为，， 因为切线，过点， 所以，，所以直线的方程为 ， 因为，所以，所以点在直线上， 所以三点共线，所以， 故选：D 变式16 经过点且与椭圆相切的直线方程是 (　　) A． B． C． D． 【详解】显然当时，直线与椭圆有两个交点，不符合题意； 当存在斜率时，直线方程设为：，与椭圆的方程联立得， ，得到 直线与椭圆相切，故，即 解得所以切线方程为，故本题选A。 变式17 椭圆：，过其左焦点的弦，过点，分别作椭圆的切线，交于点，则面积最小值为（ ） A． B． C． D． 【详解】设，设，由题可知，， 设过点的切线为，联立，由可求得，即切线为，而点在切线上，所以，同理可得，所以直线的方程为，而直线过点，所以， 当时，，即，当时，显然， 所以，，易知当直线轴时，，， 即面积最小值为． 故选：B． 【题型六】椭圆上动点的距离的最值 【例19】已知椭圆，直线，则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为（ ）（椭圆的参数方程） A． B． C． D． 【详解】设椭圆上的点的参数方程：，则点到直线l距离， ，最大值为，故选：C 变式18 设P是椭圆上的任一点，EF为圆的任一条直径，则的最大值为 ． 【详解】圆的圆心为，半径长为， 设点，则且， ，， 所以 ， 所以，当时，取得最大值，即. 故答案为：. 【题型七】轨迹方程 【例20】设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点，求点的轨迹方程；    【答案】 【详解】圆的标准方程为，故半径 因为，，故， 所以，故， 因此， 由题设得，，， 由椭圆定义可得点的轨迹方程为：．    变式19 已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于，求动点的轨迹的方程； 【答案】 【详解】，且， 点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设椭圆方程为，则，， ，．所以点的轨迹方程为：． 椭圆的性质课后测 1．已知椭圆上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【详解】不妨设点M到该椭圆左焦点F的距离为2，如图所示： 设椭圆左焦点为F，右焦点为. ∵，，∴. 又∵为MF的中点，O为的中点， ∴. 故选：B. 2．如图，把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，F是左焦点，则（      ）    A．16 B．18 C．20 D．22 【详解】因为把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，， 设椭圆的右焦点为，且，可得， 由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得， 所以. 故选：B. 3．已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 【详解】由椭圆，得，，.    设，， ∴，在中，由余弦定理可得：， 可得，得， 故. 故选：C. 4．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D．13 【详解】因为椭圆， 所以，， 则椭圆的右焦点为， 由椭圆的定义得：， 当点P在点处，取等号， 所以的最大值为5， 故选：B. 5．已知点为椭圆左右焦点，点P为椭圆C上的动点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【详解】椭圆的焦点， 设， ， 所以， 由于，， 所以的取值范围为. 故选：A 6．已知椭圆，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，，直线m经过点B且垂直于x轴，P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交m于点M，则（    ） A． B． C． D． 【详解】，， 设，则，所以， 则， 设，则， 所以. 故选：D. 7．设P是椭圆=1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值是 【详解】方法一：（二级结论应用） 椭圆,. 当点是椭圆的短轴的端点时,取得最大值, , 的最小值. 故答案为：. 方法二：在中，因为，， . 当且仅当时取等号. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$