精品解析：山西长治某校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

下学期第一次月考（数学）试卷 考试时间：120分钟 一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数，，若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数乘法法则求出，因为乘积为纯虚数，所以且，即可求得结果. 【详解】因为，所以且，解得 故选：C 2. 已知向量，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以，所以. 故选：D 3. 已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得到的值，再由数量积的定义可求出夹角. 【详解】由 ，可得， 即， 因为 是单位向量，，代入得： ，即； 设  为，夹角，代入单位向量模长得， 又因为 ， 所以. 故选：B 4. 是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出向量，再利用向量共线列式求出值. 【详解】由，，得， 由，，三点共线，得，又，不共线， 则，所以. 故选：A 5. 在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量运算法则，利用表示，结合向量三点共线的定理列式运算求解. 【详解】由，得. 因为共线，所以，解得. 故选：B. 6. 已知，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：，得，得 . 考点：三角函数公式. 7. 一个人骑自行车由地出发向正东方向骑行了到达地，然后由地向南偏东方向骑行了到达地，再从地向北偏东方向骑行了到达地，则两地的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，作出几何图形，延长AB交CD于点E，再利用余弦定理求解作答. 【详解】如图，，延长AB交CD于点E，则， 因此是正三角形，，于是， 在中，由余弦定理得， 所以两地的距离为. 故选：B 8. 向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时，（ ） A. 8 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示出、，利用余弦定理确定，利用面积得到，由此推断最大时，最大，取最小值，利用坐标运算得到：，由二次函数性质求最值即可. 【详解】 设为轴正半轴上的单位向量， 令，，， 如图所示，设与的夹角为，若， 在中，由余弦定理有：则， 而， 所以，所以， 因为，所以， 有根据正弦定理有：，即， 整理有：，所以， 当与的夹角最大时，最大，取最小值， 因为， 当且仅当时，取等号，所以当与的夹角最大时，. 故选：D 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于建立适当的平面直角坐标系，把向量的数量积用坐标表示，结合二次函数性质求值. 二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则与中至少有一个为 B. 若是等边三角形，则，的夹角为 C. 向量在向量上的投影向量可表示为 D. 中，，且，则是等边三角形 【答案】AB 【解析】 【分析】举反例判断A，根据向量夹角的定义判断B，根据投影向量的定义判断C， 根据数量积的定义可求出与，即可判断D. 【详解】对于A：当与均不为，且时，有，故A错误； 对于B：因为是等边三角形，则，的夹角为，故B错误； 对于C：向量在向量上的投影向量可表示为，故C正确.； 对于D：因为，所以，又，所以， 又，即，即，所以为等边三角形，故D正确. 故选：AB 10. 的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则角 B. 存在，使成立 C. 若，则为等腰或直角三角形 D. 若，则有两解 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理、二倍角公式、解三角形的知识进行判断. 【详解】选项A：由正弦定理得： 又余弦定理得 故又故故选项A正确， 选项B：因为在中，故故选项B错误， 选项C：当时，或即或故为等腰或直角三角形，故选项C正确， 选项D：又则若，则有两解正确，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（ ） A. 若是的重心，则有 B. 若成立，则是的内心 C. 若，则 D. 若是的外心，，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：利用重心的性质，代入即可； 对于B：利用三角形的面积公式结合与可知点到的距离相等. 对于C：利用将表示出来，代入，化简即可表示出的关系式，用将表示出来即可得处其比值. 对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合的取值范围可得出答案. 【详解】对于A：如图所示：因为分别为的中点， 所以，， 同理可得、， 所以， 又因为， 所以.正确； 对于B：记点到的距离分别为，， 因为， 则， 即， 又因为，所以，所以点是的内心，正确； 对于C：因为， 所以，所以， 所以， 所以， 化简得：， 又因为不共线， 所以，所以， 所以，错误； 对于D：因为是的外心，，所以,， 所以， 因为，则， 化简得：，由题意知同时为负， 记，，则， 因为，所以， 所以， 所以，错误. 故答案为：AB. 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】整理得到不等式组，解出即可. 【详解】由于， 故点位于第四象限，因此，解得， 即的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用且与不共线求解. 【详解】，，则， 因与的夹角为锐角，则，得， 当时，，得，此时与同向， 则实数的取值范围是. 故答案为： 14. 如图，线段AB的长为8，点C在线段AB上，．点P为线段CB上任意一点，点A绕着点C顺时针旋转，点B绕着点P逆时针旋转．若它们恰重合于点D，则的面积的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可推得，根据余弦定理表示出，进而得出.表示出，根据基本不等式，即可求出，从而得出答案. 【详解】由题意可知，，即. 在中，有，， 所以. 由余弦定理可得，， 所以， 所以有， 当且仅当时，等号成立. 所以，， 所以，，即的面积的最大值为. 故答案为：. 四．解答题（本题共5小题，第15题13分，第16，17题各15分，18，19题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量， （1）若，求 （2）若向量，，求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数量积的运算律以及坐标表示，根据垂直向量的方程以及模长公式，可得答案； （2）根据共线向量的坐标表示，求得参数，利用数量积的夹角公式，可得答案. 【小问1详解】 由，则， 由，，则，， 可得，解得，则， 所以. 【小问2详解】 由，，，则，解得，则， 由，，， 则与的夹角余弦值为. 16. 如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1） （2）因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 【解析】 【分析】（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得； （2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 略 17. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且. （1）求角B的大小； （2）若，，求△ABC的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行求解即可； （2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 又，所以，因此， 又，所以； 【小问2详解】 由余弦定理，得， 所以， 所以△ABC的面积. 18. 已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，向量，，且． （1）在①；②；③，这三个条件中任选一个，判定△ABC的形状． （2）求的取值范围． 【答案】（1） 任选①，②，③，，等边三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）选①，②，③，都是由正弦定理化边为角，根据三角恒等变换公式先求解出，再将条件化角为边得，结合余弦定理得，可判断三角形形状； （2）由正弦定理，得 ，再利用余弦定理与重要不等式求解范围即可. 【小问1详解】 因为，所以，结合正弦定理可得. 选①，， 可得， 解得 (舍去)或． 或． 又， ∴b不是三角形中最大的边，． 由余弦定理得， ，即， 可得，即． 故△ABC是等边三角形． 选②，由正弦定理得， 即， 则 整理得， ， ， 以下过程与选①相同. 选③，由正弦定理得＝， ，，即， 则， ， ，得. 以下过程与选①相同. 【小问2详解】 因为， 由正弦定理，知， 由余弦定理得，cos B＝＝≥， 当且仅当时，等号成立． 因为，所以， 则， 所以的取值范围是. 19. 已知集合，，设函数． （1）当时，证明：函数是常数函数： （2）已知，写出所有使函数是常数函数的集合． 【答案】（1）当时，， 所以是常数函数. （2），，， 【解析】 【分析】（1）直接利用题设定义与平方关系，即可证明结果. （2）根据题设，利用倍角公式及余弦的差角公式得到，再利用平方关系可得，，间的关系，再结合题设条件，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当，不妨令， 则 ， 若函数是常数函数，则， 利用可得到，， 打开化简得， 得或，，所以或，； 同理或，；或，； 则，又， 所以集合有，，，共4个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 下学期第一次月考（数学）试卷 考试时间：120分钟 一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数，，若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 4. 是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 5. 在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则 A. B. C. D. 7. 一个人骑自行车由地出发向正东方向骑行了到达地，然后由地向南偏东方向骑行了到达地，再从地向北偏东方向骑行了到达地，则两地的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时，（ ） A. 8 B. 5 C. D. 二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则与中至少有一个为 B. 若是等边三角形，则，的夹角为 C. 向量在向量上的投影向量可表示为 D. 中，，且，则是等边三角形 10. 的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则角 B. 存在，使成立 C. 若，则为等腰或直角三角形 D. 若，则有两解 11. 如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（ ） A. 若是的重心，则有 B. 若成立，则是的内心 C. 若，则 D. 若是的外心，，，则 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是__________． 13. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_____. 14. 如图，线段AB的长为8，点C在线段AB上，．点P为线段CB上任意一点，点A绕着点C顺时针旋转，点B绕着点P逆时针旋转．若它们恰重合于点D，则的面积的最大值为__________． 四．解答题（本题共5小题，第15题13分，第16，17题各15分，18，19题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量， （1）若，求 （2）若向量，，求与夹角的余弦值． 16. 如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点． （1）求的值； （2）求证：． 17. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且. （1）求角B的大小； （2）若，，求△ABC的面积. 18. 已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，向量，，且． （1）在①；②；③，这三个条件中任选一个，判定△ABC的形状． （2）求的取值范围． 19. 已知集合，，设函数． （1）当时，证明：函数是常数函数： （2）已知，写出所有使函数是常数函数的集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $