3 二项分布与超几何分布 讲义——2026届高三数学一轮复习

§3 二项分布与超几何分布 知识点一 次独立重复试验 1. 定义 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2．特点 （1）每次试验中，事件发生的概率是相同的； （2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 知识点二 二项分布 1.定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2.二项分布的适用条件及实质 (1)适用条件： ①各次试验中的事件是相互独立的；②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． (2)实质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3.二项分布的期望、方差 若，则，． 知识点三 超几何分布 1.定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列.如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布，记作. 0 1 … … 2.超几何分布的适用条件及实质 （1）适用条件： ①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）实质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 3.超几何分布的期望 若，则． 【例1】袋中有个白球、个黑球，从中随机地连续抽取次，每次取个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数的分布列． 【解析】（1）有放回抽样时，取到的黑球数可能的取值为，，，．又由于每次取到黑球的概率均为，次取球可以看成次独立重复试验，则．故； ； ； ． 因此，的分布列为 （2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有：；；． 因此，的分布列为 知识点四 二项分布与超几何分布的区别与联系 区别： 特征 是否放回 实验概率不变 超几何分布 不放回 一次性完成实验 二项分布 有放回 重复实验多次，并且每次实验的概率不变 联系：两者之间的关系：样本个数越大，超几何分布和二项分布对应的概率值差别就越小，当样本个数为时，超几何分布和二项分布对应的概率就相等，换言之，超几何分布的极限就是二项分布. 场景一：100件商品，98件好的，2件次品，从中挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？ 场景二：一堆商品，其中好的有，次品10%，从中挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？ 场景三：1000件商品，其中好的有，次品10%，随机选取10件商品，并从中依次挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？ 场景四：1000件商品，其中好的有，次品10%，按分层抽样的方式选取10件商品，并从中依次挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？ 场景五：1000件商品，其中好的有，次品10%，按分层抽样的方式选取10件商品，并从中有放回的依次挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？ 知识点五 有限制的二项分布与超几何分布 若第n次（最后一次）结果是确定的，那么除去最后一次，前n-1次满足二项分布或超几何分布 【例2】 一次核酸检测中，每个人阳性的概率为0.2，现有5份样本需要检测。求恰好第4次检测出2份阳性样本的概率。 【详解】 【例3】一次核酸检测中，每个人阳性的概率为0.2，现有5份样本需要检测。已知5份样本中，有2份阳性。 求恰好第4次检测出全部两份阳性样本的概率。 【详解】 【例4】已知每个人阳性的概率为0.2，现有5份样本需要检测，其中2份阳性样本。恰好第X次检测出2份阳性样本，求X的分布列。 【详解】 X 2 3 4 5 【题型一】二项分布 【例5】根据已知的调查可知，大学生创业成功与失败的概率分别为a，b，且，则某高校四名大学生毕业后自主创业，其中至少有两名大学生创业成功的概率为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意，解得，则四名大学生至少有两名创业成功的概率，故选：B． 变式5体育课上进行投篮测试，每人投篮3次，至少投中1次则通过测试．某同学每次投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（    ） A．0.064 B．0.600 C．0.784 D．0.936 【答案】D 【解析】该同学通过测试的概率为， 故选：D 【例6】高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块（如图所示），并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，于是碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块.如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】小球落到第⑤个格子的概率是. 故选：A 【例7】如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为．      (1)当时，求后质点移动到点0的位置的概率； (2)记后质点的位置对应的数为，若随机变量的期望，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）后质点移动到点0的位置，则质点向左移动了3次，向右移动了2次， 所求概率为：． （2）所有可能的取值为，且 ，， ，， 由，解得， 又因为，故的取值范围为． 【例8】为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮）.在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次篮，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分.设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响. （1）经过1轮投篮，记甲的得分为，求的分布列及期望； （2）用表示经过第轮投篮后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率，求. （1）分布列见解析，；（2），， 【解析】（Ⅰ）解：（1）的可能取值为，0，1.由题意知，，，.∴的分布列为 0 1 则. （Ⅱ）由（1）知，，经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况： 一是两轮甲各得1分，二是两轮有一轮甲得0分，有一轮得1分， ∴， 经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得1分；二是三轮有两轮各得1分，一轮得0分；三是1轮得1分，两轮各得0分；四是两轮各得1分，1轮得-1分， ∴. 变式6 为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得该产品能销售的概率为， 易知X的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160， 设表示一箱产品中可以销售的件数，则， 所以， 所以，， ， 故， 故选：B． 变式7（多选题）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位.设移动次后质点位于位置，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．移动次后质点位于原点的概率最大 【答案】ABD 【详解】设随机变量表示“移动次后质点向右移动的次数”，则， 由题意知，即. 对于A：，A正确； 对于B：，B正确； 对于C：，C错误； 对于D：的所有可能取值有，，， 当时，最大，最大，D正确. 故选：ABD. 变式8 高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球. （Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？ （Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为，求的分布列与数学期望. 【解析】（Ⅰ）记“小球落入4号容器”为事件， 若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左， ∴理论上，小球落入4号容器的概率. （Ⅱ）落入4号容器的小球个数的可能取值为0，1，2，3， ∴，， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 3 ∴. 【题型二】有限制的二项分布 【例9】某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为. (1)在一场比赛中，甲的积分为，求的概率分布列； (2)求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率. 【解析】（1）由题意可知，可能取值为，，， ， 当时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输， 则， 当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输， 则； 当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢， 则， 当时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢， 则， 故的概率分布列如下： 0 1 2 3 （2）设甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为事件， 则甲的三场比赛积分分别为1、1、3或者0、2、3或者1、2、2， 故， 故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为. 变式9“民族要复兴，乡村必振兴”，为了加强乡村振兴宣传工作，让更多的人关注乡村发展，某校举办了有关城乡融合发展、人与自然和谐共生的知识竞赛.比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响. (1)求选手甲被淘汰的概率； (2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试求X的分布列和数学期望. 【解析】（1）设“选手甲被淘汰”为事件A， 因为甲答对每个题的概率均为，所以甲答错每个题的概率均为. 则甲答了3题都错，被淘汰的概率为； 甲答了4个题，前3个1对2错，被淘汰的概率为； 甲答了5个题，前4个2对2错，被淘汰的概率为. 所以选手甲被海的概率. （2）易知X的可能取值为3，4，5，对应甲被淘汰或进入复赛的答题个数， 则， ， . X的分布列为 X 3 4 5 P(X) 则. 【例10】杭州亚运会正在进行，乒乓球被称为中国的“国球”，赛事备受关注.乒乓球比赛每局采用11分制，每赢一球得1分，一局比赛开始后，先由一方发2球，再由另一方发2球，依次每2球交换发球权，若其中一方先得11分且至少领先2分即为胜方，该局比赛结束；若双方比分打成10∶10平后，发球权的次序仍然不变，但实行每球交换发球权，先连续多得2分的一方为胜方，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，已知某局比赛甲先发球. (1)求该局比赛中，打完前4个球时甲得3分的概率； (2)若在该局双方比分打成10∶10平后，两人又打了X个球该局比赛结束，求事件“”的概率. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意，甲发球时甲失分的概率为，乙发球时甲失分的概率为， 若打完前4个球时甲得3分，则甲失一球，这个球可能是甲发也可能是乙发， 所以打完前4个球时甲得3分的概率为； （2）若在该局双方比分打成10∶10平后，则接下来是甲发球， 若，则或， ， ， 所以. 变式10第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权． (1)已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率； (2)已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）设“甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛”为事件， 若两局比赛就能结束，则只能甲连胜两局，所以； （2）设“该局比赛甲得11分获胜”为事件， 甲得11分获胜有两类情况：甲连得3分，则甲获胜； 甲得3分，乙得1分，则甲获胜，此时有三种情况，每球得分方分别为乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲， 所以. 【题型三】超几何分布 【例10】从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝(    ) A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】C 【解析】的可能取值为. ，，. ∴的分布列为： ξ 0 1 2 P 于是， 故. 故选：C. 【例12】为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为. (1)求n的值； (2)若一次抽取4个城市， ①假设抽取出的小城市的个数为X，求X的可能值及相应的概率； ②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率. 【详解】（1）从个城市中一次抽取2个城市，有种情况， 其中全是小城市的有种情况，则全是小城市的概率为， 解得（负值舍去）. （2）①由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，4， 相应的概率分别记为， ，， ，， . ②若抽取的4个城市全是超大城市，共有种情况； 若抽取的4个城市全是小城市，共有种情况， 所以若抽取的4个城市是同一类城市，则全为超大城市的概率为. 变式11 某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响. (1)求乙闯关成功的概率； (2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大. 【解析】（1）乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A，则. （2）由题意知随机变量X所有可能取值为0，1，2，3， ，，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. 所以甲闯关成功的概率为，因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大. 变式12某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（）个人数超过1000人的大集团和4个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为. (1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率； (2)若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望. 【解析】（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是小集团的情况有，故全是小集团的概率是， 整理得到即，解得． 若2个全是大集团，共有种情况； 若2个全是小集团，共有种情况； 故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为大集团的概率为． （2）由题意知，随机变量的可能取值为， 计算，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为． 课后练习 1．某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示． 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.5 0.3 0.2 球队胜率 0.6 0.8 0.7 (1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率； (2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率； (3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由． 【答案】(1)0.32；(2)；(3)边锋，理由见解析. 【详解】（1）设表示“甲球员担当边锋”； 表示“甲球员担当前卫”； 表示“甲球员担当中场”； 表示“球队赢了某场比赛”， 则 ， 该球队某场比赛输球的概率为， （2）由（1）知： , 所以 ， 所以球员甲担当前卫的概率为 （3）同（2） 由于，所以应多安排甲球员担任边锋，来增大赢球的几率. 2．某居委会利用网络举办社区线上预防新冠肺炎知识答题比赛，所有居民都参与了防护知识网上答卷，最终甲、乙两人得分最高进入决赛，该社区设计了一个决赛方案：①甲、乙两人各自从个问题中随机抽个.已知这个问题中，甲能正确回答其中的个，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立、互不影响；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再从剩下的道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜. （1）求甲、乙两人共答对个问题的概率； （2）试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由； （3）求乙答对题目数的分布列和期望. 【答案】（1）（2）乙胜出的可能性更大，详见解析（3）分布列见解析；期望为 【详解】（1）甲、乙共答对个问题分别为：两人共答题，甲答对个，乙答对个；两人共答题，甲答对个，乙答对个. 所以甲、乙两保学生共答对个问题的概率： . （2）设甲获胜为事件，则事件包含“两人共答题甲获胜”和“两人共答题甲获胜”两类情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为，，，，，六种情况，第二类包括前三题甲乙答对题个数比为，，三种情况，所以甲获胜的概率 ， 设乙获胜为事件，则为对立事件， 所以， 所以乙胜出的可能性更大. （3）设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 所以期望. 3．甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立． (1)求第三局结束时乙获胜的概率； (2)求甲获胜的概率． 【答案】(1)；(2) 【详解】(1)设事件A为“第三局结束乙获胜” 由题意知，乙每局获胜的概率为，不获胜的概率为．            若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．   故 (2)设事件B为“甲获胜”． 若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率．    若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．     此时的概率．             若第四局结束甲以积分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情 况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．            此时的概率           若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．           此时的概率             故 4．足球比赛全场比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时成绩持平，且该场比赛需要决出胜负，则需进行30分钟的加时赛：若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球（每两人为一轮，当轮开始后两队均需踢完），累计进球个数多者胜；②若在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如第4轮结束时，双方进球数比为2：0．则不需再踢第5轮了，③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方获胜． (1)已知小明在点球训练中踢进点球的概率是．在一次赛前训练中，小明踢了3次点球，且每次踢点球互不影响，记X为踢进点球的次数，求X的分布列与期望； (2)现有甲，乙两支球队在冠军赛中相遇，比赛120分钟后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负．设甲队每名球员踢进点球的概率为，乙队每名球员踢进点球的概率为．每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．求甲队在点球大战中比赛4轮并以3∶1获得冠军的概率． 【答案】(1)分布列见解析，；(2) 【详解】（1）由题意可知小明踢进点球的次数，所以X的取值可能是0，1，2，3． 因为； ； ；． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以． （2）设“甲队在点球大战中比赛4轮并以3:1获得冠军”为事件A． 当甲队前三个点球都进时，乙队前三个点球必进一个球， ﹔ 当甲队前三个点球有一个没进时，. 所以. 学科网（北京）股份有限公司— 1 — 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二项分布与超几何分布 知识点一 次独立重复试验 1. 定义 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2．特点 （1）每次试验中，事件发生的概率是相同的； （2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 知识点二 二项分布 1.定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2.二项分布的适用条件及实质 (1)适用条件： ①各次试验中的事件是相互独立的；②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． (2)实质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3.二项分布的期望、方差 若，则，． 知识点三 超几何分布 1.定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列.如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布，记作. 0 1 … … 2.超几何分布的适用条件及实质 （1）适用条件： ①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）实质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 3.超几何分布的期望 若，则． 【例1】袋中有个白球、个黑球，从中随机地连续抽取次，每次取个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数的分布列． 【解析】（1）有放回抽样时，取到的黑球数可能的取值为，，，．又由于每次取到黑球的概率均为，次取球可以看成次独立重复试验，则．故； ； ； ． 因此，的分布列为 （2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有：；；． 因此，的分布列为 知识点四 二项分布与超几何分布的区别与联系 区别： 特征 是否放回 实验概率不变 超几何分布 不放回 一次性完成实验 二项分布 有放回 重复实验多次，并且每次实验的概率不变 联系：两者之间的关系：样本个数越大，超几何分布和二项分布对应的概率值差别就越小，当样本个数为时，超几何分布和二项分布对应的概率就相等，换言之，超几何分布的极限就是二项分布. 场景一：100件商品，98件好的，2件次品，从中挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？ 场景二：一堆商品，其中好的有，次品10%，从中挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？ 场景三：1000件商品，其中好的有，次品10%，随机选取10件商品，并从中依次挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？ 场景四：1000件商品，其中好的有，次品10%，按分层抽样的方式选取10件商品，并从中依次挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？ 场景五：1000件商品，其中好的有，次品10%，按分层抽样的方式选取10件商品，并从中有放回的依次挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？ 知识点五 有限制的二项分布与超几何分布 若第n次（最后一次）结果是确定的，那么除去最后一次，前n-1次满足二项分布或超几何分布 【例2】 一次核酸检测中，每个人阳性的概率为0.2，现有5份样本需要检测。求恰好第4次检测出2份阳性样本的概率。 【详解】 【例3】一次核酸检测中，每个人阳性的概率为0.2，现有5份样本需要检测。已知5份样本中，有2份阳性。求恰好第4次检测出全部两份阳性样本的概率。 【详解】 【例4】已知每个人阳性的概率为0.2，现有5份样本需要检测，其中2份阳性样本。恰好第X次检测出2份阳性样本，求X的分布列。 【详解】 X 2 3 4 5 【题型一】二项分布 【例5】根据已知的调查可知，大学生创业成功与失败的概率分别为a，b，且，则某高校四名大学生毕业后自主创业，其中至少有两名大学生创业成功的概率为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意，解得，则四名大学生至少有两名创业成功的概率，故选：B． 变式5体育课上进行投篮测试，每人投篮3次，至少投中1次则通过测试．某同学每次投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（    ） A．0.064 B．0.600 C．0.784 D．0.936 【例6】高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块（如图所示），并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，于是碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块.如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是（    ） A． B． C． D． 【解析】小球落到第⑤个格子的概率是. 故选：A 【例7】如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为．      (1)当时，求后质点移动到点0的位置的概率； (2)记后质点的位置对应的数为，若随机变量的期望，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）后质点移动到点0的位置，则质点向左移动了3次，向右移动了2次， 所求概率为：． （2）所有可能的取值为，且 ，， ，， 由，解得，又因为，故的取值范围为． 【例8】为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮）.在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次篮，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分.设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响. （1）经过1轮投篮，记甲的得分为，求的分布列及期望； （2）用表示经过第轮投篮后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率，求. （1）分布列见解析，；（2），， 【解析】（Ⅰ）解：（1）的可能取值为，0，1.由题意知，，，.∴的分布列为 0 1 则. （Ⅱ）由（1）知，，经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况： 一是两轮甲各得1分，二是两轮有一轮甲得0分，有一轮得1分， ∴， 经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得1分；二是三轮有两轮各得1分，一轮得0分；三是1轮得1分，两轮各得0分；四是两轮各得1分，1轮得-1分， ∴. 变式6 有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则（    ） A． B． C． D． 变式7（多选题）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位.设移动次后质点位于位置，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．移动次后质点位于原点的概率最大 变式8 高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球. （Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？ （Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为，求的分布列与数学期望. 【题型二】有限制的二项分布 【例9】某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲､乙两人比赛，甲每局获胜的概率为. (1)在一场比赛中，甲的积分为，求的概率分布列； (2)求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率. 【解析】（1）由题意可知，可能取值为，，， ， 当时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输， 则， 当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输， 则； 当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢， 则， 当时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢， 则， 故的概率分布列如下： 0 1 2 3 （2）设甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为事件， 则甲的三场比赛积分分别为1、1、3或者0、2、3或者1、2、2， 故， 故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为. 变式9 “民族要复兴，乡村必振兴”，为了加强乡村振兴宣传工作，让更多的人关注乡村发展，某校举办了有关城乡融合发展、人与自然和谐共生的知识竞赛.比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响. (1)求选手甲被淘汰的概率； (2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试求X的分布列和数学期望. 【例10】杭州亚运会正在进行，乒乓球被称为中国的“国球”，赛事备受关注.乒乓球比赛每局采用11分制，每赢一球得1分，一局比赛开始后，先由一方发2球，再由另一方发2球，依次每2球交换发球权，若其中一方先得11分且至少领先2分即为胜方，该局比赛结束；若双方比分打成10∶10平后，发球权的次序仍然不变，但实行每球交换发球权，先连续多得2分的一方为胜方，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，已知某局比赛甲先发球. (1)求该局比赛中，打完前4个球时甲得3分的概率； (2)若在该局双方比分打成10∶10平后，两人又打了X个球该局比赛结束，求事件“”的概率. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意，甲发球时甲失分的概率为，乙发球时甲失分的概率为， 若打完前4个球时甲得3分，则甲失一球，这个球可能是甲发也可能是乙发， 所以打完前4个球时甲得3分的概率为； （2）若在该局双方比分打成10∶10平后，则接下来是甲发球， 若，则或， ， ， 所以. 变式10第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权． (1)已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率； (2)已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率． 【题型三】超几何分布 【例11】从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝(    ) A．2 B．1 C．3 D．4 【解析】的可能取值为. ，，. ∴的分布列为： ξ 0 1 2 P 于是，故.故选：C. 【例12】 为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为. (1)求n的值；(2)若一次抽取4个城市， ①假设抽取出的小城市的个数为X，求X的可能值及相应的概率； ②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率. 【详解】（1）从个城市中一次抽取2个城市，有种情况， 其中全是小城市的有种情况，则全是小城市的概率为，解得（负值舍去）. （2）①由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，4， 相应的概率分别记为，，， ，，. ②若抽取的4个城市全是超大城市，共有种情况； 若抽取的4个城市全是小城市，共有种情况， 所以若抽取的4个城市是同一类城市，则全为超大城市的概率为. 变式11 某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响. (1)求乙闯关成功的概率； (2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大. 变式12 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（）个人数超过1000人的大集团和4个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为. (1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率； (2)若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望. 课后练习 1．某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示． 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.5 0.3 0.2 球队胜率 0.6 0.8 0.7 (1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率； (2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率； (3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由． 2．某居委会利用网络举办社区线上预防新冠肺炎知识答题比赛，所有居民都参与了防护知识网上答卷，最终甲、乙两人得分最高进入决赛，该社区设计了一个决赛方案：①甲、乙两人各自从个问题中随机抽个.已知这个问题中，甲能正确回答其中的个，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立、互不影响；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再从剩下的道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜. （1）求甲、乙两人共答对个问题的概率； （2）试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由； （3）求乙答对题目数的分布列和期望. 3．甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立． (1)求第三局结束时乙获胜的概率； (2)求甲获胜的概率． 4．足球比赛全场比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时成绩持平，且该场比赛需要决出胜负，则需进行30分钟的加时赛：若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球（每两人为一轮，当轮开始后两队均需踢完），累计进球个数多者胜；②若在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如第4轮结束时，双方进球数比为2：0．则不需再踢第5轮了，③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方获胜． (1)已知小明在点球训练中踢进点球的概率是．在一次赛前训练中，小明踢了3次点球，且每次踢点球互不影响，记X为踢进点球的次数，求X的分布列与期望； (2)现有甲，乙两支球队在冠军赛中相遇，比赛120分钟后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负．设甲队每名球员踢进点球的概率为，乙队每名球员踢进点球的概率为．每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．求甲队在点球大战中比赛4轮并以3∶1获得冠军的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$