预习第01讲 空间向量及其线性运算-2025年高一升高二暑假数学讲义（人教A版2019必修第二册）

第01讲 空间向量及其线性运算 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 空间向量的概念 【题型二】 空间向量的线性运算 【题型三】 共线向量 【题型四】 共面向量 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握空间向量的概念； 2.掌握空间向量的线性运算； 3.理解空间共线向量和共面向量，并会证明空间四点共面. 【题型一】空间向量的概念 相关知识点讲解 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母……表示，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. PS (1) 空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示； (2) 向量的起点是，终点是则向量也可以记作其模记为或； (3) 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量； (4) 向量具有平移不变性. (5) 在空间，零向量、单位向量、相等向量、反向量与在平面的对应向量一样. 【典题1】（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 变式练习 1（2024高一下·全国·专题练习）如图，在底面为正方形的平行六面体 的棱中，与向量模相等的向量有（    ）    A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 2（2024高三·全国·专题练习）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 3 （24-25高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 4（24-25高二·全国·课后作业）给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，，则． 其中正确的命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．0 【题型二】 空间向量的线性运算 相关知识点讲解 (1) 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图). ， ， (2) 运算律 ① 加法交换律:； ② 加法结合律:； ③ 数乘分配律:； 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则. PS 平行六面体法则:在平行六面体中，. 【典题1】（24-25高二上·河南南阳·期末）如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二下·安徽六安·阶段练习）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 3（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，为棱的中点．若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 4（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 5（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型三】 共线向量 相关知识点讲解 (1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量平行于记作. (2) 共线向量定理：空间任意两个向量，，存在实数使. (3) 三点共线：三点共线； (4) 与共线的单位向量为. 【典题1】（24-25高二·甘肃武威·课后作业）下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（  ） A． B． C． D． 【典题2】（23-24高一下·河北邢台·期末）一个棱长为4的正四面体木块如图所示，点P在棱上，且，过点P将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面图形的周长为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 变式练习 1（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 4（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 5（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 6（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【题型四】 共面向量 相关知识点讲解 (1) 定义 一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的. (2) 共面向量定理 如果两个向量不共线与向量共面的充要条件是存在唯一实数对，使. (3) 四点共面 方法1 若要证明四点共面，只需要证明共面，即. 方法2 若要证明四点共面，只需要证明(其中) 证明 若， 则 ， ，， 即共面，即四点共面. 【典题1】（22-23高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 【典题2】（2025·山西临汾·一模）在平行六面体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 2（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 3（24-25高二上·浙江金华·期末）在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 【A组---基础题】 1（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 2（2025·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 3（24-25高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 4（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 5（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）下列条件中，使点与点一定共面的为（    ） A． B． C． D． 6（22-23高一下·全国·课后作业）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，E是棱PD上的点，且，若，且满足平面ACE，则（    ）    A． B． C． D． 7（多选）（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在直棱柱中，底面ABCD为菱形，且，，为线段的中点，为线段的中点，点满足（，），则下列说法正确的是（   ） A．若，则三棱锥的体积为定值 B．若，则有且仅有一个点P，使得 C．若，则的最小值为6 D．若，，则平面DPM截该直棱柱所得截面周长为 8（24-25高一下·浙江·期中）已知正方体的棱长为2，，其中，则的最小值为 . 9（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【B组---提高题】 1（2025·江西·模拟预测）在四面体中，为的中点，且，已知四面体的体积为，则四面体的体积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2（多选）（2025·江苏苏州·模拟预测）在正四棱锥中，已知分别为的中点，，则下列说法正确的有（    ） A． B．不存在，使得平面 C．若平面 平面，则 D．若四点共面，则 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 空间向量及其线性运算 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 空间向量的概念 【题型二】 空间向量的线性运算 【题型三】 共线向量 【题型四】 共面向量 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握空间向量的概念； 2.掌握空间向量的线性运算； 3.理解空间共线向量和共面向量，并会证明空间四点共面. 【题型一】空间向量的概念 相关知识点讲解 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母……表示，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. PS (1) 空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示； (2) 向量的起点是，终点是则向量也可以记作其模记为或； (3) 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量； (4) 向量具有平移不变性. (5) 在空间，零向量、单位向量、相等向量、反向量与在平面的对应向量一样. 【典题1】（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 变式练习 1（2024高一下·全国·专题练习）如图，在底面为正方形的平行六面体 的棱中，与向量模相等的向量有（    ）    A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 【分析】根据模的定义，以及平行六面体的性质，即可求解. 【详解】由向量的模的定义，根据平行六面体的性质可知，与向量模相等的向量分别为： ，共7个. 故选：C． 2（2024高三·全国·专题练习）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 3 （24-25高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D 【分析】根据相等向量的概念判断A；根据空间向量的概念判断B；根据空间向量模的定义判断C；根据共线向量的定义判断D. 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确； 对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确； 对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确. 故选：D. 4（24-25高二·全国·课后作业）给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，，则． 其中正确的命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】根据空间向量的相关概念逐项判断. 【详解】有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的，故①错误； 和大小一样、方向相同， 则，故②正确； 若，则和的模相等，方向不一定相同，若，则和的模相等，方向也相同，所以是向量的必要不充分条件，故③正确； 向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行，故④错误. 综上所述，②③正确. 故选：B． 【题型二】 空间向量的线性运算 相关知识点讲解 (1) 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图). ， ， (2) 运算律 ① 加法交换律:； ② 加法结合律:； ③ 数乘分配律:； 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则. PS 平行六面体法则:在平行六面体中，. 【典题1】（24-25高二上·河南南阳·期末）如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算可得结果. 【详解】 如图，连接，连接并延长交于点，则为中点，且， ∴. ∵为的中点，∴， ∴． 故选：A. 变式练习 1（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的减法及线性关系计算即可. 【详解】因为分别是的中点， 所以， 则. 故选：B. 2（24-25高二下·安徽六安·阶段练习）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据空间向量的加法法则判断． 【详解】由正方体，空间向量的加法法则可得． ；； ；． 故选：D． 3（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，为棱的中点．若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】由题意得，. 故选：A． 4（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得出，然后根据空间向量的减法即可得解． 【详解】，， 是BC的中点， ， ， 故选： 5（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意 ， 所以，解得， 故选：B 【题型三】 共线向量 相关知识点讲解 (1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量平行于记作. (2) 共线向量定理：空间任意两个向量，，存在实数使. (3) 三点共线：三点共线； (4) 与共线的单位向量为. 【典题1】（24-25高二·甘肃武威·课后作业）下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间中不重合的三点共线的条件，逐一考查所给的选项是否正确即可. 【详解】对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误； 若，则，而，据此可知，即两点重合，选项B错误； ，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项C错误； ，则A、B、C三点共线，选项D正确； 故选：D. 【典题2】（23-24高一下·河北邢台·期末）一个棱长为4的正四面体木块如图所示，点P在棱上，且，过点P将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面图形的周长为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】分别在，，上取点D，E，F，可得四边形即为所求截面，求出周长可得答案． 【详解】如图所示， 分别在，，上取点D，E，F，且满足， 易得，， 所以四边形为平行四边形， 可得，， 因为平面，平面，所以平面， 平面，平面，所以平面， 所以四边形即为截面， 故截面图形的周长为8． 故选：B. 变式练习 1（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线线位置关系可得与向量平行的向量. 【详解】由长方体，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 又，分别为，的中点，所以，所以， 所以向量平行于， 因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 2（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 3（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算结合空间三点共线的向量表示法求解即可. 【详解】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A 4（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【详解】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即 ， ∴，，解得． 故选：C． 5（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】B 【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可. 【详解】对于，当时，，， 所以，则点在棱上，故正确； 对于，当时， ， ， 即，即 所以点在线段上，故错误； 对于，当时，，， 所以，所以，即， 所以点在棱上，故正确； 对于，当时， 所以，， 所以， 即，即， 所以点在线段上，故正确． 故选：． 6（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 【题型四】 共面向量 相关知识点讲解 (1) 定义 一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的. (2) 共面向量定理 如果两个向量不共线与向量共面的充要条件是存在唯一实数对，使. (3) 四点共面 方法1 若要证明四点共面，只需要证明共面，即. 方法2 若要证明四点共面，只需要证明(其中) 证明 若， 则 ， ，， 即共面，即四点共面. 【典题1】（22-23高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 【答案】D 【分析】根据平面向量共线定理及推论依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，不存在实数，使得成立， 与不共线，A错误； 对于B， ，， ， 又，不存在实数，使得成立， 与不共线，B错误； 对于C、D，若，，，四点共面， 则有， ，即，故， 故，，，四点共面，C错误，D正确. 故选：D. 【典题2】（2025·山西临汾·一模）在平行六面体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四点，，，共面可得存在实数，使，用同一组基底向量表示出，根据系数对应相等列方程组求解. 【详解】由平行六面体的特征可得，    则， 所以， 又，， 又由，，，四点共面，可得存在实数，使， 所以，解得. 故选：D. 变式练习 1（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【详解】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 2（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【分析】由空间向量共面定理的推论求解即可； 【详解】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 3（24-25高二上·浙江金华·期末）在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，表示出相关向量，再利用四点共面时空间向量的基本定理列方程组求解即可. 【详解】 由题意可得， 因为所以，且 ，， 所以， 因为，所以，， 所以， 因为D，E，F，G四点共面，根据空间向量四点共面的性质，有， 所以， 所以，解得， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能利用空间向量的基本定理得到下列方程. 【A组---基础题】 1（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】对于A，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B，只能说明，的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C，向量作为矢量不能比较大小，故C错误； 对于D，相等向量方向相同大小相等，故D正确. 故选：D. 2（2025·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量加法法则，将分别用表示，再结合题意即可得解. 【详解】如图，， ， ，. 故选：C. 3（24-25高二上·广东·期末）如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， , 故选：A 4（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由，列出方程求解即可. 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 5（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）下列条件中，使点与点一定共面的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间共面向量定理以及其推论，看等式右边系数和是否为1，可判断A,B,C;根据空间向量共面定理即可判断D,得出正确答案． 【详解】对于可得，，由空间共面向量定理知，M、A、B、C一定共面，故A正确， 对于可知，系数和不为1，故M、A、B、C不共面，故B错； 对于，系数和 ，故M、A、B、C不共面，故C错； 对于，可得，系数和不为1，根据空间向量共面的推论可知M、A、B、C不共面，故D错； 故选：A. 6（22-23高一下·全国·课后作业）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，E是棱PD上的点，且，若，且满足平面ACE，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【详解】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，则， 在线段PE取一点G，使得，则是的中点，， 连接BG，FG，则， 因为平面ACE，平面ACE， 所以平面ACE. 因为平面ACE，，BG，平面BGF，所以平面平面ACE. 因为平面平面，平面平面，所以. 所以，所以.    故选：A. 7（多选）（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在直棱柱中，底面ABCD为菱形，且，，为线段的中点，为线段的中点，点满足（，），则下列说法正确的是（   ） A．若，则三棱锥的体积为定值 B．若，则有且仅有一个点P，使得 C．若，则的最小值为6 D．若，，则平面DPM截该直棱柱所得截面周长为 【答案】ACD 【分析】根据每个选项确定点的位置，并通过数形结合进行求解. 【详解】对于选项：当时，，故点在上运动， 而平面， 所以三棱锥的体积为定值. 故正确； 对于选项：当时，取中点记为，连接，易得点在上运动， 当点与点重合时，因为底面为菱形，且， 所以，又因为为中点，所以， 又，所以，又由已知此棱柱为直棱柱，所以面. 则，所以， 又，所以，即 所以，即. 当点与点重合时，因为， 又，所以，则，即， 所以，即. 故错误； 对于选项：当时，取中点记为，取中点记为， 连接， 则点在线段上运动，易得点关于直线的对称点为， 连接，此时点、、三点共线， 故点与点重合时，取得最小值为， 故正确； 对于选项：当，时，为的中点， 因为由直棱柱性质可知，面面，面面， 则平面截该直棱柱交于，交于. 且由定理可得 ，所以易得与相似，与相似， 易知，， 所以，， ， ， 易得平面截该直棱柱所得截面周长为， 故正确. 故选：ACD 8（24-25高一下·浙江·期中）已知正方体的棱长为2，，其中，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据向量的线性运算的意义可以判定的位置，然后利用展开方法求得的最小值. 【详解】取的靠近的四等分点，连接，由题意得为线段上的动点， 将展开到与在同一平面内，如图所示： ,，， 所以的最小值为， 故答案为：. 9（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的运算得到以及，再根据与的关系列得方程组，即可求得结果； （2）根据四点共面得到，可用和表示出和，即可求出结果. 【详解】（1）由题可得： ， ， 因为，所以， 即解得 所以的值分别为； （2）因为四点共面，所以存在，使得， 即， 于是有 所以， 即的值为. 【B组---提高题】 1（2025·江西·模拟预测）在四面体中，为的中点，且，已知四面体的体积为，则四面体的体积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据已知条件，确定点位置，根据相似比，求出，结合四面体体积公式利用换底法即可求解. 【详解】 根据题意如图所示，过点做垂直于垂足为， 过做垂直于垂足为， 因为，所以， 因为为的中点，所以， ，， 所以， 设点到平面的距离为， ，， 所以， 又因为四面体的体积为，所以四面体的体积为. 故答案为：B 2（多选）（2025·江苏苏州·模拟预测）在正四棱锥中，已知分别为的中点，，则下列说法正确的有（    ） A． B．不存在，使得平面 C．若平面 平面，则 D．若四点共面，则 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直的判定定理证明平面，可得，即可判断选项A；利用线面垂直的判定定理可判断选项B；利用面面平行的性质定理可得，即可判断选项C；利用三点共线与向量的关系以及向量的数乘关系可判断选项D. 【详解】对A，连接交于点，连接， 因为在正四棱锥中，底面为正方形， 所以， 又因为，为中点，所以， 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面，所以，A正确； 对B， 因为，为中点，所以， 因为为正方形，所以， 又因为，平面，所以平面， 则平面，所以当，即点与重合时，平面，B错误； 对C，连接，因为平面 平面，平面 平面，平面 平面， 所以根据面面平行的性质定理可知， 又因为分别为的中点，所以为中点，所以，C正确； 对D，因为四点共面，所以四边形为平面四边形， 所以连接交于点， 在中，因为共线， 所以， 由于对称性可知，为中点， 又因为所以, 所以， 所以，解得，D正确； 故选：ACD. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$