复习第05讲 几何法求空间角和距离-2025年高一升高二暑假数学讲义（人教A版2019必修第二册）

第05讲 几何法求空间角和距离 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 求立体几何中所成角 【题型二】 已知所成角求几何量 【题型三】与所成角有关的最值问题 【题型四】 求立体几何中的距离 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握异面直线所成角、线面角、二面角的概念及其求法； 2.掌握利用等积法求点到面距离的方法. 1 异面直线所成的角 ① 范围： ； ② 作异面直线所成的角：平移法. 如图，在空间任取一点过作则 所成的角为异面直线所成的角.特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点，端点等)上，形成异面直线所成的角. 2 线面所成的角 ① 定义 如下图，平面的一条斜线(直线)和它在平面上的射影()所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直平面，则；一条直线和平面平行或在平面内，则. ② 范围 直线和平面所成的角的取值范围是. 3 二面角 ① 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 在二面角的棱上任取一点以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和则射线和构成的叫做二面角的平面角. ② 范围 二面角的平面角的取值范围是. 【题型一】 求立体几何中所成角 【典题1】（2025·陕西咸阳·二模）如图，有一种“迷你”圆台形小灯饰，其下底面的直径为，上底面的直径为，高为，已知点是上底面圆周上不与直径端点重合的一点，是该圆台的一条母线，为上底面圆的圆心，当面积最大时，与平面所成夹角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，正方体棱长为2，点M，N分别为，CD的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2（2025高一下·全国·专题练习）已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（ ） A． B． C． D． 3（2025·河北秦皇岛·三模）已知球是正三棱锥的外接球，是边长为的正三角形，，为边上的一点，且与平面所成角的正切值为.若过点的球的截面面积为，则与该截面所成的角为（   ） A． B． C． D． 4（2025·河北·模拟预测）如图正三棱柱底面边长为2，高为6，点分别在棱上，且，若平面恰好将正三棱柱体积均分，则平面和平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型二】 已知所成角求几何量 【典题1】（辽宁省葫芦岛市2025届高三第二次模拟考试数学试题）已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高一下·安徽·阶段练习）如图，在直四棱柱中，底面为正方形且边长为3，与底面所成角的正切值为，则该直四棱柱的侧棱长为（   ） A． B． C．2 D． 2（2024·吉林长春·模拟预测）刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面为矩形，顶棱和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即（其中是刍薨的高，即顶棱到底面的距离），已知和均为等边三角形，若二面角和的大小均为，则该刍薨的体积为（   ） A． B． C． D． 3（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知点都在以为球心的球面上，与平面所成角的余弦值为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 4（2025·甘肃·二模）如图，在三棱锥中，平面，且，若在内（包括边界）有一动点，使得与平面所成角的正切值为，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D．6 【题型三】与所成角有关的最值问题 【典题1】（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，且A在平面上，在平面的同侧，M为BC的中点，若在平面上的射影是以A为直角顶点的，则AM与平面所成角的正弦值的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，，，，⊥，则该四棱锥的侧棱与底面所成线面角的最小角的正弦值为（    ） A．1 B． C． D． 2（河南省创新发展联盟2025届高考适应性考生数学试题）在空间中，过点作三条线段，，，为线段上的动点，则直线与所成角的正弦值的最小值为（    ） A． B． C． D． 3（2023·四川·三模）如图，已知正方体的棱长为1，分别是棱，的中点．若点为侧面正方形内（含边界）的动点，且平面，则与侧面所成角的正切值最大为（    ）    A．2 B．1 C． D． 【题型四】 求立体几何中的距离 【典题1】（24-25高三上·河北·期末）已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【典题2】（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，．    (1)求证：平面； (2)若异面直线与所成的角为，求点B到平面的距离． 变式练习 1（24-25高二下·江苏常州·期中）在棱长为1的正方体中，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高三上·陕西商洛·阶段练习）如图所示，在棱长为2的正方体中，点在棱上，且，则点到平面的距离之和为（    ）    A． B． C． D． 3（24-25高一下·河北张家口·阶段练习）已知菱形边长为，对角线与交于点，将菱形沿对角线折成平面角为的二面角，若，则折后点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知三棱锥的外接球的球心为平面，则球心到平面的距离为（    ） A． B． C． D．3 5（24-25高一下·河北·阶段练习）如图，在四棱柱中，四边形为菱形，，，，是侧棱上的一点. (1)证明：. (2)求点到平面的距离. (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 【A组---基础题】 1（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，已知棱长都为4的四棱锥，底面是矩形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·北京东城·期末）如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，则点C到平面的距离为（   ） A．5 B． C．1 D． 4（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱柱，E，F分别是棱BC，上的点．记EF与平面ABC所成的角为，二面角的平面角为，则（    ） A． B． C． D．不能确定 5（2022·山西·一模）如图①，在Rt△ABC中，，，D，E分别为AC，AB的中点，将△ADE沿DE折起到OA，DE的位置，使，如图②．若F是的中点，点M在线段上运动，则当直线CM与平面DEF所成角最小时，四面体MFCE的体积是（    ） A． B． C． D． 6（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱锥的底面的边长为4，直线AC与平面BCD所成角的余弦值为，动点M在以BC为直径的球面上，且直线平面MAB，则点M的轨迹长为（   ） A． B． C． D． 7(多选)（2025高三·全国·专题练习）已知四棱锥的底面为平行四边形，平面，，分别为侧棱上一点，且，若，则（    ） A．平面 B．平面 C．四棱锥的体积为 D．点到平面的距离为 8（2025高三·全国·专题练习）如图，在正四面体中，点满足，点在棱上运动，设与平面所成角为，则的最大值为 ． 9（24-25高一下·广西河池·阶段练习）已知如图甲，在梯形中，，，，E，F分别是，的中点，，沿将梯形翻折，使平面平面（如图乙）． (1)证明：平面； (2)求点E到平面的距离； (3)求二面角的正切值． 【B组---提高题】 1（2025·全国·模拟预测）已知三棱锥的底面是正三角形，平面，，，，四点都在以为球心的球面上，，则与平面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·上海·阶段练习）过平面外一点作三条直线与该平面相交，已知.与与夹角分别为.设三条直线与平面所成角分别为，给出如下的两个命题，则（    ）. 命题（1）:的最大值是，没有最小值： 命题（2）:的最大值是，没有最小值. A．命题（1）为真命题，命题（2）也为真命题 B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题 C．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题 D．命题（1）为假命题，命题（2）也为假命题 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 几何法求空间角和距离 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 求立体几何中所成角 【题型二】 已知所成角求几何量 【题型三】与所成角有关的最值问题 【题型四】 求立体几何中的距离 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握异面直线所成角、线面角、二面角的概念及其求法； 2.掌握利用等积法求点到面距离的方法. 1 异面直线所成的角 ① 范围： ； ② 作异面直线所成的角：平移法. 如图，在空间任取一点过作则 所成的角为异面直线所成的角.特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点，端点等)上，形成异面直线所成的角. 2 线面所成的角 ① 定义 如下图，平面的一条斜线(直线)和它在平面上的射影()所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直平面，则；一条直线和平面平行或在平面内，则. ② 范围 直线和平面所成的角的取值范围是. 3 二面角 ① 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 在二面角的棱上任取一点以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和则射线和构成的叫做二面角的平面角. ② 范围 二面角的平面角的取值范围是. 【题型一】 求立体几何中所成角 【典题1】（2025·陕西咸阳·二模）如图，有一种“迷你”圆台形小灯饰，其下底面的直径为，上底面的直径为，高为，已知点是上底面圆周上不与直径端点重合的一点，是该圆台的一条母线，为上底面圆的圆心，当面积最大时，与平面所成夹角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线线垂直可得 平面，进而可得平面平面，进而可得与平面所成的角即为，即可根据三角形的边角关系即可求解. 【详解】设为下底面圆的圆心，连接，和，可知为圆台的高，所以，    当面积最大时，为弧的中点，则 ，所以， 又因为，平面，平面，所以 平面， 因为当与均在平面的同一侧时，是该圆台的一条母线， 所以，，，四点共面，且，又平面， 所以平面平面，又因为平面平面， 所以点在平面的射影在直线上， 则与平面所成的角即为， 因为，，，所以在中， .， 故选：A. 变式练习 1（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，正方体棱长为2，点M，N分别为，CD的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，由四边形为平行四边形得出和所成角即为或其补角，再由余弦定理即可求解． 【详解】取的中点，连接，如图所示， 由正方体得，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又为中点，所以，所以， 则和所成角即为或其补角， 连接，在中，， 在中，，则， 所以和所成角的余弦值为， 故选：A． 2（2025高一下·全国·专题练习）已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，再根据题意求出的长度，由二面角的定义可得二面角的平面角为，代入计算，即可得到结果. 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则，由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， ，则，，， 因平面，则为直线SA与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以，， 因为，故，即二面角的大小为. 故选：C 3（2025·河北秦皇岛·三模）已知球是正三棱锥的外接球，是边长为的正三角形，，为边上的一点，且与平面所成角的正切值为.若过点的球的截面面积为，则与该截面所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的截面性质求解. 【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心， 因为    ，， 所以，则， 所以为与平面所成角，故，， 设正三棱锥外接球的半径为，则，得， 所以，故， 如图，设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点， ，则， 所以，则， 所以与该截面所成角为，故， ，即与该截面所成角为. 故选：B. 4（2025·河北·模拟预测）如图正三棱柱底面边长为2，高为6，点分别在棱上，且，若平面恰好将正三棱柱体积均分，则平面和平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析可得点为的中点，延长与的延长线交于点，延长与的延长线交于点，连接，则为平面与平面的交线，利用勾股定理逆定理得到，即可证明平面，则为平面和平面夹角，最后由锐角三角函数计算可得. 【详解】因为，即，， 又平面恰好将正三棱柱体积均分，所以点为的中点， 延长与的延长线交于点，延长与的延长线交于点，连接， 则为平面与平面的交线， 因为，，，，， 所以，即，解得，所以； ，即，解得，所以， 在中由余弦定理 ， 所以， 所以，即， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为平面和平面夹角，又， 所以， 即平面和平面夹角的余弦值为. 故选：A 【题型二】 已知所成角求几何量 【典题1】（辽宁省葫芦岛市2025届高三第二次模拟考试数学试题）已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间中点线面的位置关系，找出外接球的球心，根据半径列出勾股定理方程，求出半径，就得体积. 【详解】 如图所示，作面，因为三棱锥为正三棱锥， 所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接. 正三棱锥的底面的边长为6，所以， 因为直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，即, 所以， 设外接球半径为，则，， 所以在中，可得， 解得，则外接球体积为. 故选：B. 变式练习 1（24-25高一下·安徽·阶段练习）如图，在直四棱柱中，底面为正方形且边长为3，与底面所成角的正切值为，则该直四棱柱的侧棱长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到底面，得到为直线与平面所成的角，在直角，列出方程，即可求解. 【详解】在直四棱柱中，可得底面， 所以为直线与平面所成的角，所以， 设直四棱柱的侧棱长为， 因为底面四边形是边长为的正方形，可得， 在直角，可得，解得， 所以直四棱柱的侧棱长为. 故选：D. 2（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知点都在以为球心的球面上，与平面所成角的余弦值为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理以及正弦定理，可得三角形外接圆半径，结合图象以及勾股定理，利用球的体积公式，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 在中，， 设的外心为，则平面是与平面所成的角， 是的外接圆的半径，所以，所以， 球半径，球体积为. 故选：A. 3（2024·吉林长春·模拟预测）刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面为矩形，顶棱和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即（其中是刍薨的高，即顶棱到底面的距离），已知和均为等边三角形，若二面角和的大小均为，则该刍薨的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出线段长及到底面的距离，再代入公式计算即得. 【详解】如图：取的中点,连接, 由底面为矩形，所以, 因为顶棱和底面平行，且面,面面, 所以,所以,即四点共面， 过分别作的延长线的垂线，垂足为， 因为底面为矩形，易得 因为在为等边三角形，且为的中点，所以, 因为面, 所以面， 因为面，所以, 又因为,且面, 所以面， 所以为到底面的距离， 同理可证：面,面, 所以为二面角的平面角；为二面角的平面角. 因为二面角和的大小均为， 所以 由和均为等边三角形， 易得， 所以. 故选：D. 4（2025·甘肃·二模）如图，在三棱锥中，平面，且，若在内（包括边界）有一动点，使得与平面所成角的正切值为，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】过作平面，为等边的中心，由等体积发可得，则与平面所成角为，所以，的轨迹为以为圆心，以为半径的落在内的圆弧． 【详解】过作平面，因为， 所以是边长为2的等边三角形，易知为的中心， 由，则， 则，与平面所成角为， 因为与平面所成角的正切值为，所以， 解得，所以的轨迹为以为圆心，以为半径的落在内的圆弧． 根据，可知四边形是菱形，且， 根据对称性可知：所形成的轨迹是三段等长的圆弧，故的轨迹长为． 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据线面角的定义找到与平面所成角，从而得的轨迹是解题关键. 【题型三】与所成角有关的最值问题 【典题1】（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，且A在平面上，在平面的同侧，M为BC的中点，若在平面上的射影是以A为直角顶点的，则AM与平面所成角的正弦值的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推导求出线段，设，得到M到地面的距离为，根据余弦定理可得，表示出AM与平面所成角的正弦值，利用对勾函数可求出正弦值的取值范围. 【详解】 ， M为BC的中点， ∴，故， 设，则点M到地面的距离为， ，， ∵射影是以A为直角顶点的， ∴， 在直角梯形中，， 即，所以, 设AM与平面所成角为， 则, 所以. 故选：A. 变式练习 1（2025高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，，，，⊥，则该四棱锥的侧棱与底面所成线面角的最小角的正弦值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过勾股定理逆定理得到线线垂直，证明出⊥平面，并根据勾股定理得到相关线段长度，再依据最小角定理确定最小线面角，最后求出该角的正弦值. 【详解】因为，， 所以，由勾股定理逆定理得⊥， 同理可得⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为，⊥， 由勾股定理得， 因为⊥平面，平面， 所以⊥， 由勾股定理得， 根据最小角定理，直线和下底面的夹角最小. ， 故选：C. 2（河南省创新发展联盟2025届高考适应性考生数学试题）在空间中，过点作三条线段，，，为线段上的动点，则直线与所成角的正弦值的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三余弦定理即可求解. 【详解】先证：三余弦定理：设A为平面内一点，过点A的斜线在平面上的正投影为直线．为平面内的一条直线，记斜线与直线的夹角（即直线与平面所成角）为，直线与直线的夹角为，直线与直线的夹角为，则 ．三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理． 如图，不妨设在平面的射影为，则，过点作交直线于点，连接， 即为斜线与平面所成角， 即为斜线在平面的射影直线与平面内的直线所成角，即为斜线与平面内的直线所成角， ，，， 又，，，平面， 平面， 平面，， 根据几何关系可得，， ． 由题意：直线OA与OD所成角的最小值为直线OA与平面BOC所成的角. 设OE平分.因为，所以OA在平面BOC上的射影为OE， 则为直线OA与平面BOC所成的角. 由三余弦定理得：， 则， 故直线OA与OD所成角的正弦值的最小值为. 故选：D 3（2023·四川·三模）如图，已知正方体的棱长为1，分别是棱，的中点．若点为侧面正方形内（含边界）的动点，且平面，则与侧面所成角的正切值最大为（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接、、、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可得出平面，说明点的轨迹为线段，结合线面角的定义求与侧面所成角的正切值最大. 【详解】取的中点，连接、、、、，如图所示：    在正方体中，且， 因为、分别是棱、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，则， 平面，平面， 平面，同理可证平面， ，平面， 所以平面平面， 平面，若，则平面，平面， 所以，点在侧面内的轨迹为线段， 因为平面， 所以与侧面所成的角为， 在，， 所以， 所以与侧面所成角的正切值为， 在中，，所以， 所以点到边的距离为，即的最小值为， 所以与侧面所成角的正切值的最大值为， 故选：D. 【题型四】 求立体几何中的距离 【典题1】（24-25高三上·河北·期末）已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点M，的中点N，连接，由已知，可得平面平面，平面，则直线到平面的距离为点N到平面的距离，则利用余弦定理求得，进而得，则直线到平面的距离为，可得答案. 【详解】 根据题意，如图， 因为，，则，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 因为底面为边长为2的正方形， 则，平面，平面， 所以平面， 则直线到平面的距离为点N到平面的距离， 即点N到直线的距离， 又， ，， 在中，， 则， 所以点N到直线的距离为. 故选：A． 【典题2】（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，．    (1)求证：平面； (2)若异面直线与所成的角为，求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知证明，由线面垂直得到，再由线面垂直的判定证明结论； （2）若是的中点，易得，异面直线与所成的角为，利用线面垂直的判定及性质证明相关线段垂直，并求出相关线段的长度，应用等体积法求点面距. 【详解】（1）由，，，，即为直角梯形， 所以，， 所以，即， 又平面，平面，则， 由平面，故平面； （2）若是的中点，则，故为平行四边形，    所以且，故异面直线与所成的角，即为， 由平面，平面，则， 又，易知，则， 所以，则， 由平面，平面，则， 由平面，平面，则， 由，，则，而平面， 所以平面，平面，则， 故， 所以，而，且， 设点B到平面的距离为， 则，即，可得. 变式练习 1（24-25高二下·江苏常州·期中）在棱长为1的正方体中，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知求出的面积，再由等体积法求点到平面的距离． 【详解】如图，连接， 正方体的棱长为1， 是边长为的等边三角形， ， 设点到平面的距离为， 由，得， 可得，则点到平面的距离为． 故选：C． 2（23-24高三上·陕西商洛·阶段练习）如图所示，在棱长为2的正方体中，点在棱上，且，则点到平面的距离之和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件确定点P的位置，利用线面平行把点到平面的距离分别转化点到平面的距离求解即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，平面，平面， 则，由，得， 在中，，则，即点为中点， 又平面，平面，因此平面， 于是点到平面的距离等于点到平面的距离，同理点到平面的距离 等于点到平面的距离，连接，过分作的垂线，垂足分别为，如图，    由，得，解得， 在中，，则， 所以点到平面的距离之和为. 故选：B 3（24-25高一下·河北张家口·阶段练习）已知菱形边长为，对角线与交于点，将菱形沿对角线折成平面角为的二面角，若，则折后点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出二面角的平面角，求得折后到直线距离的表达式，进而求得正确答案. 【详解】由于四边形是菱形，所以， 由二面角的定义知， 下面在中解决点到直线的距离的最值， 因为菱形的边长为，所以， 点到的距离， ，所以当，即时，取得最大值. 故选：B 4（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知三棱锥的外接球的球心为平面，则球心到平面的距离为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】将棱锥补全为长方体，进而确定球心的位置并求出半径，若为的中点，连接，证明平面平面，得到是与平面的夹角，结合已知求点面距即可. 【详解】由平面，平面，则，， 由，可将三棱锥补全为一个长方体，如下图示， 则球心为该长方体体对角线的中点，则球的半径， 易知中，，若为的中点，连接， 显然，且都在平面内，则平面， 又平面，所以平面平面，故在平面的投影在上， 所以是与平面的夹角，而， 则， 所以，则球心到平面的距离为. 故选：B 5（24-25高一下·河北·阶段练习）如图，在四棱柱中，四边形为菱形，，，，是侧棱上的一点. (1)证明：. (2)求点到平面的距离. (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【分析】（1）利用线面垂直的判定得出平面，进而可证结论； （2）利用等体积法求出点C到平面的距离，再利用线面平行的性质可得答案； （3）根据距离求出，结合余弦定理可得的长度. 【详解】（1）连接，设的交点为，连接； 因为，，所以与全等，所以， 因为底面为菱形，所以，且为的中点，所以, 因为平面，所以平面，又平面，所以. （2）因为四边形是边长为2的菱形，且, 所以，. 因为，且为的中点，所以. 因为，所以,所以，. 由（1）知，因为，平面，所以平面; 设点C到平面的距离为， 因为，所以,解得. 因为平面，所以点到平面的距离为. （3）因为直线与平面所成角的正弦值为，所以,即. 过E作平面,垂足为F,连接，则点在的延长线上, ,从而, 设,则； 因为四边形为菱形,且,所以,所以, 由余弦定理可得, 则,解得,故. 【A组---基础题】 1（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，已知棱长都为4的四棱锥，底面是矩形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行关系构造异面直线所成角，再结合余弦定理，即可求解. 【详解】如图所示，分别取，的中点，，连接，，． 因为为的中点，四边形是矩形，所以， 所以为平行四边形，所以，， 所以是异面直线与所成的角或其补角． 因为四棱锥的棱长都为，所以，，， 所以 ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B 2（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据异面直线上两点间的距离公式求异面直线所成的角，再根据二面角的概念求解. 【详解】设异面直线与所成的角为， 则根据异面直线上两点的距离公式可得：， 即 ，所以. 因为，且，都垂直于棱，所以二面角的平面角等于， 所以面与平面的夹角为. 故选：C 3（24-25高二上·北京东城·期末）如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，则点C到平面的距离为（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用等体积转化求点到平面的距离. 【详解】由条件可知，平面，平面，所以， ， 设点到平面的距离为，由， 所以，解得：. 故选：D 4（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱柱，E，F分别是棱BC，上的点．记EF与平面ABC所成的角为，二面角的平面角为，则（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】过点作交于，过作于，可得，，再比较两个角的正切值即可. 【详解】如图所示，过点作交于，过作于，连接PE、FM，则， 因为平面ABC，所以平面ABC，则是EF与平面ABC所成的角，即， 又因为平面ABC，所以，而是平面内的两条相交直线， 所以平面，平面，所以 ， 则二面角的平面角，即， 因为平面ABC，平面ABC，所以，   ，， 所以， 故选：A． 5（2022·山西·一模）如图①，在Rt△ABC中，，，D，E分别为AC，AB的中点，将△ADE沿DE折起到OA，DE的位置，使，如图②．若F是的中点，点M在线段上运动，则当直线CM与平面DEF所成角最小时，四面体MFCE的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若是中点，连接，易得直线CM与面DEF所成角即为直线CM与面所成角为，利用线面垂直的判定可得面，由线面垂直、面面垂直的判定有面 面，即可判断的变化范围，进而确定最小时的位置，再利用棱锥的体积公式求体积即可. 【详解】若是中点，连接，则面DEF即为面， 所以直线CM与面DEF所成角，即为直线CM与面所成角为， 因为，，，则面， 又F是的中点，则F到面的距离为. 因为，，，则面， 又面，则面 面，又面，面 面， 所以直线CM与面所成角为，即为直线所成角. 又△为等腰直角三角形且，则， 由图知，M在线段上运动过程中， 即直线CM与平面DEF所成角最小时，重合， 此时，四面体MFCE的体积. 故选：A 【点睛】关键点点睛：利用线面垂直、面面垂直，结合M在线段上运动判断线面角的范围，应用数形结合思想判断角度最小时M的位置. 6（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱锥的底面的边长为4，直线AC与平面BCD所成角的余弦值为，动点M在以BC为直径的球面上，且直线平面MAB，则点M的轨迹长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用线面角的定义作出线面角，然后利用条件求出，进而利用正四面体的性质求出点M的轨迹，取CD的中点E，连接AE，BE，取BC的中点F，BE的中点G，通过线面垂直的判定定理及性质得平面ABE，再利用球的性质求得截面圆的半径，即可求解圆的周长. 【详解】设点A在底面BCD上的投影为H，连接AH，CH， 则平面BCD，所以为直线AC与平面BCD所成的角， 则， 因为，所以，所以三棱锥为正四面体， 因为动点M在以BC为直径的球面上，且直线平面MAB， 所以点M的轨迹为过点A且垂直于CD的平面截以BC为直径的球面所得的圆， 由正四面体的性质可得，如图所示，取CD的中点E，连接AE，BE， 则，，AB、平面ABE， 故平面ABE，取BC的中点F，BE的中点G，连接FG，则， 由平面ABE，故平面ABE，， 又，即F为以BC为直径的球的球心，则该球半径为2， 则点M的轨迹所形成的圆的半径为， 则其轨迹长为. 故选：B． 7(多选)（2025高三·全国·专题练习）已知四棱锥的底面为平行四边形，平面，，分别为侧棱上一点，且，若，则（    ） A．平面 B．平面 C．四棱锥的体积为 D．点到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】根据已知条件确定底面四边形的形状，再依据线面关系的判定定理判断选项A、B，利用体积公式计算四棱锥体积判断选项C，通过等体积法求解点到平面的距离判断选项D. 【详解】如图，因为在平行四边形中，，所以四边形为矩形． 又，可得，所以四边形为正方形． 由可得，所以．因为平面，平面，所以平面，A正确； 因为平面，平面，所以，所以． 又，则，因为，，平面，所以平面，B正确； 因为平面，则，C正确； 易得，所以，结合B项分析可得平面，又平面，则，所以． 设点到平面的距离为，又，则，解得，D错误． 故选：ABC 8（2025高三·全国·专题练习）如图，在正四面体中，点满足，点在棱上运动，设与平面所成角为，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】利用最大角定理将线面角的最大值转化为二面角，再作出辅助线，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出其余弦值，最后结合同角三角函数的基本关系求出正弦值即可. 【详解】设二面角的平面角为， 由最大角定理知，当且仅当时取等号． 如图，取的中点O，连接， 在正四面体中，得到，由三线合一性质得， 同理可得，则是二面角的平面角． 设三棱锥的棱长为，则，由勾股定理得, 由余弦定理得， 而，得到，由同角三角函数的基本关系得， 解得（负根舍去），故，即的最大值为． 故答案为： 9（24-25高一下·广西河池·阶段练习）已知如图甲，在梯形中，，，，E，F分别是，的中点，，沿将梯形翻折，使平面平面（如图乙）． (1)证明：平面； (2)求点E到平面的距离； (3)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明. （2）利用体积法求点到平面的距离. （3）构造二面角的平面角，利用三角形的边角关系求二面角的正切值. 【详解】（1）在直角梯形中，因为，故，. 又E，F分别是，的中点，所以，所以. 所以在折叠后的几何体中，有，， ，平面，所以平面. （2）如图： 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面. 因为平面，所以. 所以两两垂直，且，. 所以中，，. 所以. 又. 设点到平面的距离为， 则 . 即点到平面的距离为. （3）过作于点，过作于点，连接. 因为平面平面，所以平面，平面， 所以，又，是平面内的两条相交直线， 所以平面， 所以即为二面角的平面角. 因为，所以 . 在中，. 即二面角的正切值为. 【B组---提高题】 1（2025·全国·模拟预测）已知三棱锥的底面是正三角形，平面，，，，四点都在以为球心的球面上，，则与平面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设是中点，是中点，是正三角形的重心，作，过作，从而确定是与平面所成的角或其补角．进而可求解. 【详解】 设是中点，是中点，是正三角形的重心，则是的三等分点，， 由是边长为的正三角形知，， 在平面中，作，作的垂直平分线交于点， 因为平面，，易知四边形是矩形，，． 设与交于点，过作，垂足为， 因为平面，在平面内， 所以，又，为平面内两条相交直线， 所以平面，在平面内， 所以，又为平面内两条相交直线， 所以平面， 所以是与平面所成的角或其补角． 过作直线平行于，交于点，交于点，则，， 把，，，，，， 代入求得，， 在中，，， 在中，， 所以． 故选：C． 2（24-25高二上·上海·阶段练习）过平面外一点作三条直线与该平面相交，已知.与与夹角分别为.设三条直线与平面所成角分别为，给出如下的两个命题，则（    ）. 命题（1）:的最大值是，没有最小值： 命题（2）:的最大值是，没有最小值. A．命题（1）为真命题，命题（2）也为真命题 B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题 C．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题 D．命题（1）为假命题，命题（2）也为假命题 【答案】B 【分析】先证明命题：如图，不共面，设中最大，则．从而得证命题是共顶点的三条射线，设中最大，则，当且仅当射线在内时等号成立．然后由此结论判断命题（1）（2）． 【详解】如图，不共面，设中最大，则． 在上取点，上取点，在平面内作，交于点，作，交于， 则，所以，， 因为，所以， 和中，，而，所以（可由余弦定理证明，这里证明略）， 所以，即， 当射线在平面内且在内时，， 所以对空间任意三条射线，都有，从而在三个角中任意两个角的和不小于第三个角． 根据上述结论，，当且仅当射线在内时等号成立， 即，所以（当且仅当在线段上时取等号），从而的最大值是， 而保持不变，把绕旋转，使得增大，则，将减小，可以无限接近于0，但无最小值， 所以命题（1）正确， 由命题（1）知 ， ， ， 因此，从而， 当在线段内部，且与重合时，等号成立，此时， 因此，最大值是．命题（2）错， 故选：B． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$