复习第04讲 空间中直线与平面的位置关系-2025年高一升高二暑假数学讲义（人教A版2019必修第二册）

第04讲 空间中直线与平面的位置关系 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 判断线面位置关系 【题型二】 证明线面位置关系 【题型三】 线面位置关系中的存在性问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握线面平行的性质定理和判定定理，并会证明空间线线、线面平行； 2.掌握线面垂直的性质定理和判定定理，并会证明空间线线、线面垂直. 一 线面、面面平行 1 线面平行 ① 直线与直线平行 基本事实 平行于同一条直线的两条直线平行(平行线的传递公理) 符号表述： 等角定理 如果空间中两个角度两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ② 直线与平面平行 (1) 定义 直线与平面无交点. (2) 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. (俗说：若，要证明，则在平面内找一条直线与直线平行) 符号表述 (线线平行线面平行) (3) 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 符号表述 2面面平行 ① 定义：; 判断 内有无穷多条直线都与平行 ； 内的任何一条直线都与平行 ； ②判定定理 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述： 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行. 符号表述： 二 线面、面面垂直 1线面垂直 (1) 定义 若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面. 符号表述:若任意都有，则 (2) 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. (线线垂直线面垂直) (3) 性质 (线面垂直线线垂直) 垂直同一平面的两直线平行 2 面面垂直 (1) 定义 若二面角的平面角为，则； (2) 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. (线面垂直面面垂直) (3) 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 【题型一】 判断线面位置关系 【典题1】 （22-23高一下·山西大同·阶段练习）已知，，是3条不同的直线，，，是3个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 变式练习 1（2025·安徽合肥·模拟预测）已知是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2（2025·福建厦门·一模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3（2025·天津·高考真题）若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4 （2025·山东济南·三模）如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（   ） A．B．C． D． 【题型二】 证明线面位置关系 【典题1】（2023·全国·模拟预测）如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，与交于点，，的中点为，的中点为，则下列结论不正确的是（    ） A．直线平面 B．直线平面 C．平面平面 D．直线与直线所成的角为 【典题2】（24-25高一下·云南·期中）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点. (1)证明： 平面； (2)若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 变式练习 1（23-24高一下·浙江衢州·期末）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 2（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 3（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）如图，正四棱锥和正四面体A-CDF的所有棱长均相等，G为BE的中点．    (1)证明：； (2)证明：点A，B，C，F共面； (3)判断FG是否垂直于平面ACD，若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由． 4（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在正方体中，为的中点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． (3)若正方体的棱长为2，求直线到平面AEC的距离． 5（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图，在长方体中，底面ABCD是边长为4的正方形，为AC与BD的交点，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【题型三】 线面位置关系中的存在性问题 【典题1】（24-25高一下·广东·期中）如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点. (1)正四棱锥的表面积； (2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； (3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 变式练习 1 （24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，，，点在上，且，将沿折起，使得（如图），为中点． (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 2（24-25高一下·北京·阶段练习）如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，， . (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由． 3（24-25高一下·吉林长春·期中）如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转得到的.已知，，P是上的中点，Q是AC的中点，BP与CE交于点O. (1)求该几何体的表面积； (2)求证：； (3)若M是上的一点，且满足平面平面ABEF，求的值. 【A组---基础题】 1（24-25高一下·广东惠州·期中）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若直线不平行于平面，则内不存在与平行的直线 B．若，则 C．若，则m，n是异面直线 D．若，则 2（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且，又点H，G分别为BC，CD的中点，则（   ） A．平面EFGH，且四边形EFGH是矩形 B．平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 3（24-25高一下·河南·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A． B． C． D． 4（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知多面体，为边的中点，四边形为矩形，且，，，当时，多面体的体积为（    ） A． B． C． D． 5（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）如图所示，AB为圆锥PO底面的直径，为圆上异于A、B的一点，、分别为AC、PA的中点，连接DO并延长交圆于点． (1)证明：平面PDE； (2)证明：平面PBC. 6（23-24高一下·江苏·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点． (1)证明：平面平面； (2)若，证明 7（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N、K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面.    (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)在棱CD上是否存在点H，使得平面平面PBC？若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在.请说明理由. 【B组---提高题】 1（2025·河北唐山·三模）如图，在中，，，点在边上，，沿翻折，得到三棱锥，满足平面平面，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．3 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 空间中直线与平面的位置关系 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 判断线面位置关系 【题型二】 证明线面位置关系 【题型三】 线面位置关系中的存在性问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握线面平行的性质定理和判定定理，并会证明空间线线、线面平行； 2.掌握线面垂直的性质定理和判定定理，并会证明空间线线、线面垂直. 一 线面、面面平行 1 线面平行 ① 直线与直线平行 基本事实 平行于同一条直线的两条直线平行(平行线的传递公理) 符号表述： 等角定理 如果空间中两个角度两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ② 直线与平面平行 (1) 定义 直线与平面无交点. (2) 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. (俗说：若，要证明，则在平面内找一条直线与直线平行) 符号表述 (线线平行线面平行) (3) 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 符号表述 2面面平行 ① 定义：; 判断 内有无穷多条直线都与平行 ； 内的任何一条直线都与平行 ； ②判定定理 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述： 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行. 符号表述： 二 线面、面面垂直 1线面垂直 (1) 定义 若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面. 符号表述:若任意都有，则 (2) 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. (线线垂直线面垂直) (3) 性质 (线面垂直线线垂直) 垂直同一平面的两直线平行 2 面面垂直 (1) 定义 若二面角的平面角为，则； (2) 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. (线面垂直面面垂直) (3) 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 【题型一】 判断线面位置关系 【典题1】 （22-23高一下·山西大同·阶段练习）已知，，是3条不同的直线，，，是3个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】利用垂直于同一直线的两条直线的位置关系可判断A；利用面面垂直的性质可判断B；利用面面垂直的判定可判断C；利用垂直于同一平面的两个平面的位置关系可判断D. 【详解】对于A，由，，在同一个平面可得，在空间不成立，故A错误； 对于B，由面面垂直的性质定理知缺少“”，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，当三个平面，，两两垂直时，结论错误，故D错误. 故选：C. 变式练习 1（2025·安徽合肥·模拟预测）已知是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】指出结论不成立的情况，可判断ABC；根据线面平行的判定定理可判断D. 【详解】对于A，若，则两平面可能相交，A不正确； 对于B，若，因为直线不一定相交，根据面面平行的判定定理知两平面平行不一定成立，B不正确； 对于C，若，则与有可能相交，C不正确； 对于D，若，由线面平行的判定定理可知，D正确． 故选：D． 2（2025·福建厦门·一模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据线面平行的性质判断A的真假；根据线面平行的判定判断B的真假；根据线面垂直的判定判断C的真假；根据线面垂直的性质判断D的真假. 【详解】若，则m，n平行或异面，A选项错误； 若，则或，B选项错误； 若，则m，不一定垂直，也可能平行或相交，C选项错误； 若，，则，D选项正确. 故选：D 3（2025·天津·高考真题）若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，两条平行线有一条垂直于一个平面，则另一个必定垂直这个平面， 现，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 4 （2025·山东济南·三模）如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】由已知，结合正方体的结构特征及平行公理推、情感教练的判定定理逐项分析判断. 【详解】对于A，如图，，四点共面，A不是； 对于B，如图，，四点共面，B不是； 对于C，如图，，四点共面，C不是； 对于D，如图，平面，平面，平面，直线， 则与是异面直线，D是. 故选：D 【题型二】 证明线面位置关系 【典题1】（2023·全国·模拟预测）如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，与交于点，，的中点为，的中点为，则下列结论不正确的是（    ） A．直线平面 B．直线平面 C．平面平面 D．直线与直线所成的角为 【答案】D 【分析】选项A根据线面平行的判定定理进行判断；选项B根据线面垂直的判定定理进行判断；选项C根据面面垂直的判定定理进行判断；选项D根据与的位置关系进行判断. 【详解】对于选项A，因为四棱锥的底面为正方形，所以是的中点. 又因为是的中点，所以. 又平面，平面，所以直线平面，故A正确； 对于选项B，因为，为的中点，所以. 而，则. 又，平面，所以直线平面，故B正确； 对于选项C，因为平面，平面，所以. 又因为底面为正方形，所以. 因为，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面，故C正确； 对于选项D，因为，，所以， 即直线与直线所成角为，故D错误. 故选：D. 【典题2】（24-25高一下·云南·期中）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点. (1)证明： 平面； (2)若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)垂直，证明见解析 【分析】（1）方法一：连接，根据三角形中位线定理可得 ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；方法二：取的中点为，连接，可证得平面 平面，然后由面面平行的性质可得结论； （2）由已知线面垂直可得，再结合可证得平面，则，再由等腰三角形的性质可得，则平面，然后由面面垂直的判定定理可证得结论. 【详解】（1）方法一： 证明：连接，如图， 因为分别是的中点，所以 . 又平面平面， 所以 平面. 方法二：如图，取的中点为，连接，则 . 又平面平面， 所以 平面. 同理可证 平面， 因为，平面， 所以平面 平面. 又平面，所以 平面. （2）平面与平面垂直. 证明如下： 因为底面底面，所以. 由题意知为直角三角形且，所以. 又平面， 所以平面. 又平面，所以. 因为为的中点，所以. 又平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. 变式练习 1（23-24高一下·浙江衢州·期末）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】根据线面垂直的判定定理，性质定理，结合面面垂直的判定定理得到结果. 【详解】对于A，依题意有平面，平面，所以平面平面，A选项正确； 对于B，平面，平面，则有， 是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，则有， ，平面，所以平面，B选项正确； 对于C，平面，平面，，又于， ，平面，所以平面， 平面，则，又于， 平面，，所以平面，C选项正确； 对于D，平面平面，平面，于， 若平面平面，则必有平面， 而平面，则必有， 因为平面，平面，则有， 又平面，则必有， 由于垂直于圆所在的平面，，则， 而于，则为中点， 因为是圆的直径，为圆周上不与点重合的点，，于， 则不是中点（否则会得到，但这与矛盾）， 不成立，所以平面平面的结论不正确，即D选项错误. 故选：D. 2（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，结合，可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）取的中点，连接、，如下图所示： 因为、分别是、的中点，所以，且， 又三棱柱中，，， 而为棱的中点，所以，且， 所以，，所以四边形为平行四边形，因此． 又平面，平面，所以平面. （2）直三棱柱中，平面，又平面，所以， 又，为的中点，所以． 又，、平面，所以平面． 由（1）知，，所以平面． 又平面，所以平面平面 3（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）如图，正四棱锥和正四面体A-CDF的所有棱长均相等，G为BE的中点．    (1)证明：； (2)证明：点A，B，C，F共面； (3)判断FG是否垂直于平面ACD，若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不垂直，理由见解析 【分析】（1）先证明，，可得平面，再利用线面垂直的 性质即可证明结论； （2）先证明平面，平面，可得两平面重合，再结合平行四边形的性质即可证明结论； （3）利用反证法，假设平面，退导出矛盾，说明假设不成立即可. 【详解】（1）如图，取中点，连接，，，，    因为是正四棱锥，是正四面体，为的中点， 所以，， 因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以； （2）因为是正四棱锥，是正四面体，为的中点， 所以，， 因为，平面，所以平面， 又因为，平面，平面， 所以平面与平面重合， 所以四点共面，设正四面体与正四棱锥的棱长为2a, 则，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为，所以， 所以四点共面； （3）假设平面，因为平面，则， 又因为四边形是平行四边形， 所以四边形是菱形，则 ， 与，矛盾， 故假设不成立， 所以FG与平面ACD不垂直. 4（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在正方体中，为的中点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． (3)若正方体的棱长为2，求直线到平面AEC的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线的性质得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立． （3）直线到平面的距离等于点到平面，利用求解即可. 【详解】（1）连接交于，连接． 因为为正方体，底面为正方形， 对角线交于点，所以为的中点，又因为为的中点， 在中，是的中位线，则， 又平面平面，所以平面； （2）上的中点即满足平面平面．因为为的中点，为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面； 由（1）知平面，又因为，平面， 所以平面平面． （3）因为平面，所以直线到平面的距离等于点到平面，设为． 因为正方体棱长为2，为的中点，所以． ，．，．因为， 所以，求得． 5（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图，在长方体中，底面ABCD是边长为4的正方形，为AC与BD的交点，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明； （2）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明. 【详解】（1）分别是的中点，是矩形， ，且， 四边形是平行四边形，则. 又平面平面， 平面. （2）如图，连接. 正方形ABCD的边长为， ， 则. 又平面平面ABCD，. 由底面ABCD为正方形可得， 又平面平面， 平面. 又平面，， 又平面平面， 平面. 【题型三】 线面位置关系中的存在性问题 【典题1】（24-25高一下·广东·期中）如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点. (1)正四棱锥的表面积； (2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； (3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，，理由见解析 【分析】（1）利用正棱锥的性质及面积公式可求答案； （2）利用线面平行的性质得到线线平行，利用中位线可证结论； （3）利用面面平行的判定和性质得到平面，结合平行线段性质可得结论. 【详解】（1）因为，所以底面积为2，由正四棱锥的性质可得侧面为全等的等腰三角形， 因为，所以侧面积为， 所以正四棱锥的表面积为. （2）连接,交于，则为中点，连接； 因为直线平面，且平面平面， 所以， 因为为中点，所以P为棱SD的中点. （3）在侧棱SC上存在一点E，使得平面，满足. 理由如下:取SD的中点Q，连接BQ， 因为，所以，又为的中点， 在△中, ,又平面，平面，所以平面， 过Q作，交于，连接， 又平面，平面， 所以平面，又，平面， 所以平面平面，又平面, 所以平面，由，得, 由，Q为SD的中点，得， 所以，即侧棱SC上存在一点E，当满足时, 平面PAC. 变式练习 1 （24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，，，点在上，且，将沿折起，使得（如图），为中点． (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）证明，再利用线面垂直的判定推理得证.. （2）分别计算的长和梯形的面积，即可得出棱锥的体积. （3）过点作交于点，过点作交于点，连接，利用面面平行的判定、性质推理证明，进而计算的值． 【详解】（1）连接BG，由为中点，，得，又，则， ，由余弦定理得， 即，则，又平面，且， 所以平面． （2）在直角三角形中，，则，， 所以四棱锥的体积为 . （3）过点作交于点，则， 过点作交于点，连接，则， 又平面，平面，于是平面，同理平面， 又平面，因此平面平面， 而平面，则平面， 所以在上存在点，使得平面，且． 2（24-25高一下·北京·阶段练习）如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，， . (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，. 【分析】（1）连结交于O，连结，易得，再由线面平行的判定证明结论； （2）应用线面垂直的性质及判断证明，再由已知得，最后由线面垂直的判定证明结论； （3）当点N为中点时，即，设中点为D，连结DM，，先证，再结合（2）平面及面面垂直的判定证明结论，即可得. 【详解】（1）连结交于O，连结 在中，因为M，O分别为AC，中点，所以 又因为平面，平面，所以平面 （2）因为侧棱底面ABC，平面ABC，所以 又M为棱AC中点，，所以 因为，，平面 所以平面，平面，所以 因为M为棱AC中点，，所以，又， 所以在和中， 所以，即，所以 因为，BM，平面，所以平面 （3）当点N为中点时，即，平面平面 设中点为D，连结DM， 因为D，M分别为，AC中点，所以，且 又因为N为中点，所以，且， 所以四边形DMBN是平行四边形，所以， 结合（2）平面，则平面， 又平面，所以平面平面 3（24-25高一下·吉林长春·期中）如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转得到的.已知，，P是上的中点，Q是AC的中点，BP与CE交于点O. (1)求该几何体的表面积； (2)求证：； (3)若M是上的一点，且满足平面平面ABEF，求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）将几何体的表面积分成上下两个扇形、两个矩形和一个圆柱形侧面的一部分组成，分别求出后相加即可； （2）证明平面，再由线线平行的证明可得； （3）设平面平面，利用面面平行性质定理证明，在中，由正弦定理求，再证明，由此可得结论. 【详解】（1）几何体的表面积上下两个扇形的面积之和为： 两个矩形面积之和为： 侧面圆弧段的面积为： 故这个几何体的表面积为： （2）连接，因为，所以， 直线平面，平面，所以， 平面，平面，平面， 所以，因为所以是平行四边形，所以， 所以； （3）连接OM，QM，因为平面平面ABEF， 设平面平面，又平面平面，则， 因为Q是AC的中点，所以H为BC的中点，G为AD的中点， 因为平面平面， 又平面平面，平面平面ABEF，所以， 又，所以， 因为，， 在中，由正弦定理可得， 所以，所以， 因为，所以，所以. 【A组---基础题】 1（24-25高一下·广东惠州·期中）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若直线不平行于平面，则内不存在与平行的直线 B．若，则 C．若，则m，n是异面直线 D．若，则 【答案】D 【分析】对于ABC举反例即可判断；对于D，由线面平行的性质、面面垂直的判定即可判断. 【详解】对于A，若，满足直线不平行于平面，但此时内存在无数条与平行的直线，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，则m，n是异面直线或者平行直线， 若，则m，n是异面直线或者平行直线或者相交直线，故C错误； 对于D，若，则存在，使得，因为，所以， 因为，所以，故D正确. 故选：D. 2（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且，又点H，G分别为BC，CD的中点，则（   ） A．平面EFGH，且四边形EFGH是矩形 B．平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 【答案】B 【分析】先应用线面平行判定定理证明线面平行，再结合边长关系得出四边形为梯形即可判断选择. 【详解】由知，，且． 又平面，平面，平面． 又点H，G分别为BC，CD的中点，且， 且，四边形是梯形． 故选:B． 3（24-25高一下·河南·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可. 【详解】连接交于点，连接， 由平面，平面，平面平面， 所以， 因为底面为平行四边形，所以， 又，则，所以. 故选：D. 4（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知多面体，为边的中点，四边形为矩形，且，，，当时，多面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由线面垂直的判定与性质证得根据等腰三角形的性质与勾股定理求出矩形的面积，再利用三棱锥的体积公式即可得出的答案. 【详解】在矩形中，有， 因为平面， 所以平面，则平面， 因为平面，所以 在中，，，则， 又因为为边的中点，所以， 易知， 因为 所以，则，因为， 则， 在中，， 则矩形的面积为. 因为平面， 所以平面，所以多面体的体积为： . 故选：A. 5（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）如图所示，AB为圆锥PO底面的直径，为圆上异于A、B的一点，、分别为AC、PA的中点，连接DO并延长交圆于点． (1)证明：平面PDE； (2)证明：平面PBC. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由圆的性质以及中位线定理，可得线线垂直，根据线面垂直的性质以及判定，可得答案； （2）根据中位线定理可得线线平行，由线面平行与面面平行的判定，结合面面平行的性质，可得答案. 【详解】（1）由题意，平面，平面，所以， 由为圆锥底面的直径，C为圆O上异于A、B的一点，可知， 因为分别为的中点，所以，则， 又因为平面，，所以平面； （2）连接，因为D、F分别为、的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 同理可得平面，而平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面. 6（23-24高一下·江苏·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点． (1)证明：平面平面； (2)若，证明 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由空间中垂直关系的转化可证平面，故可证平面平面； （2）由线面平行的判断定理可证面，再由线面平行的性质定理可证. 【详解】（1）因为底面，平面，所以． 因为为正方形，所以，             又因为，平面，平面， 所以平面．                            因为平面，所以． 因为，为线段的中点，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以平面平面． （2）因为底面为正方形，所以 又∵面，面，∴面， 又因为 ，所以. 7（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N、K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面.    (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)在棱CD上是否存在点H，使得平面平面PBC？若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在.请说明理由. 【答案】(1),证明见解析 (2)证明见解析 (3)H为中点时，证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可. （2）证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可. （3）利用线线平行可证平面， 平面，进而由面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）.证明如下： 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面.    （3）当为中点时，平面平面 证明如下： 取的中点为，连接， 在中，，平面，平面， 则平面，同理可证，平面， 又平面，， 所以平面平面.    【B组---提高题】 1（2025·河北唐山·三模）如图，在中，，，点在边上，，沿翻折，得到三棱锥，满足平面平面，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】在平面中过作，其中为垂足，在平面中过作 ，连接，利用空间垂直关系的转化可得，利用三角变换结合正弦函数的性质可得，由余弦定理可求的最大值. 【详解】 在中， ，， 由余弦定理知，故， 因为，故， 在平面中过作，其中为垂足， 在平面中过作 ，连接， 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，而平面，故. 而平面，故平面， 而平面，故 ， 因为， 故， 所以 因为，故，故， 故， 故， 故的最大值为， 故选：C. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$