专题08：数学广角——找次品-2025年五升六年级数学暑假专项提升（人教版）（解析版+学生版）

2025年五升六年级数学暑假专项提升（人教版） 专题08：数学广角——找次品 知识点01：找次品 1、用天平找次品 （1）定义：在若干外观相同的物品中，有一个质量较轻或较重的物品（次品），用天平称量，通过最少次数找出次品。 （2）关键：利用天平“平衡”与“不平衡”的特性，将物品分组对比，逐步缩小范围。 （3）在找次品的活动中,可以通过天平演示，也可以不实际称量，利用天平平衡的原理找出次品。 2、找次品的最优策略 （1）把待测物品分成3份； （2）能够平均分成3份，就平均分成3份，如9（3，3，3）； （3）不能平均分成3份的，也应尽量使多的一份与少的一份只相差1，这样才能使称量的次数最少。如7（2，2，3）。 3、用天平找次品时，所测物品数目与至少需要称的次数有以下关系： 1．1箱糖果有8袋，其中7袋质量相同，另有袋质量不足，轻一些。假如用天平称，至少称（    ）次能保证找出这袋糖果。 A．2 B．3 C．4 2．从只有1件次品的10件物品中找次品（次品比正品轻一些），用天平称至少称（   ）次就一定能找到次品。 A．2 B．3 C．4 3．有13个钢珠，其中12个质量相同，另有一个较轻点，如果用天平称，至少称（   ）次保证能找出这个钢珠。 A．1 B．2 C．3 4．妈妈买了7瓶质量相同的水果糖，其中一瓶被妹妹吃了几颗，用天平至少称（ ）次能保证找出这瓶水果糖。 5．有18颗珍珠，其中17颗质量相同，有1颗质量轻一些，至少称（ ）次才能保证找出轻的珍珠。 6．有7盒规格为50根/盒的曲别针，其中6盒是正品，有1盒少装了2根。如果用天平称，至少称（ ）次可以保证找出这盒曲别针。 7．在27枚金币中，有一枚质量稍轻的假金币，如果用天平称，至少（ ）次才能保证找出这枚假金币。 8．11个零件里有1个是次品（次品重些）。假如用天平称，至少称（ ）次能保证找出次品。 9．①用天平找次品（只含一个次品，已知次品比正品轻或重），要想称的次数最少，需要将待测物品尽量分成相等的（ ）份。②从8件物品中找出其中1件次品（次品轻一些），用天平至少称（ ）次能保证找出来。 10．6个零件中有一个是次品（重一些），完成下面找次品的过程。至少要称（ ）次，用①②③④⑤⑥分别表示6个零件。 ①②③④ 平衡，两边再各放⑤和⑥称。（填轻者或重者） （ ）是次品。 不平衡，左端重，再把①和②分别放天平的两端称 11．有11袋茶叶，其中一袋次品（质量稍轻），其它质量相等，用天平称至少称（ ）次能保证找出次品。 12．有28瓶水，其中27瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些，至少称（ ）次能保证找出这瓶盐水。 13．方方一家包的40个粽子中，有一个是方方学着包的，质量稍轻一些，爸爸妈妈包的每个粽子一样重。如果用天平称，至少（ ）次保证能找到方方包的粽子。 14．有8个外观一样的羽毛球，其中7个一样重，另外1个次品略重一些，用天平至少称（ ）次就可以保证找出次品。 15．张叔叔加工了25个形状、大小完全一样的零件，其中有一个质量较轻的不合格产品，你能用天平只称3次帮他找出这个不合格产品吗？（请写出简要过程） 16．有六个零件，其中一个是次品，用天平称了三次（如下图），则几号零件是次品？次品的质量比正品的质量轻还是重？为什么？请写出你的推导过程。 17．一箱药品有15盒，其中14盒的质量相同，有一盒的质量不足轻一点，如果用天平称，至少称几次能保证找出那盒质量不足的？ 18．我国是世界上最早发现茶树和利用茶树的国家，中国是茶的故乡，中国是世界茶叶的祖国。某茶厂进行质量抽检。在抽检的15盒茶叶中，其中的14盒质量相同，另有1盒质量较重一些，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒质量较重的茶叶找出来？ 19．有58袋方便面，其中57袋的质量相同，另外1袋缺。用天平称，至少称几次能保证找出这袋质量较轻的方便面？ 20．有6颗外表一摸一样的玻璃珠子，其中有一颗玻璃珠子稍微轻一些。下面是找次品的过程，请你圈出括号里的正确答案。 方法一：每次天平两边各放一个珠子。                 一共称了（    ）次，可以保证找到次品。 方法二：每次天平两边各放两个珠子。 一共称了（    ）次，可以保证找到次品。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年五升六年级数学暑假专项提升（人教版） 专题08：数学广角——找次品 知识点01：找次品 1、用天平找次品 （1）定义：在若干外观相同的物品中，有一个质量较轻或较重的物品（次品），用天平称量，通过最少次数找出次品。 （2）关键：利用天平“平衡”与“不平衡”的特性，将物品分组对比，逐步缩小范围。 （3）在找次品的活动中,可以通过天平演示，也可以不实际称量，利用天平平衡的原理找出次品。 2、找次品的最优策略 （1）把待测物品分成3份； （2）能够平均分成3份，就平均分成3份，如9（3，3，3）； （3）不能平均分成3份的，也应尽量使多的一份与少的一份只相差1，这样才能使称量的次数最少。如7（2，2，3）。 3、用天平找次品时，所测物品数目与至少需要称的次数有以下关系： 1．1箱糖果有8袋，其中7袋质量相同，另有袋质量不足，轻一些。假如用天平称，至少称（    ）次能保证找出这袋糖果。 A．2 B．3 C．4 【答案】A 【分析】将8袋分成3份：3，3，2；第一次称重，在天平两边各放3袋，手里留2袋；（1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品；（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3袋中，将这3袋中的2袋在清空的天平两边各方1袋，手里留1袋，如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中。故至少称2次能保证找到这袋次品糖果。 【详解】将8袋分成3份：3，3，2；第一次称重，在天平两边各放3袋，手里留2袋； （1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品； （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3袋中，将这3袋中的2袋在清空的天平两边各方1袋，手里留1袋，如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中。 故答案为：A。 2．从只有1件次品的10件物品中找次品（次品比正品轻一些），用天平称至少称（   ）次就一定能找到次品。 A．2 B．3 C．4 【答案】B 【分析】根据找次品的方法来称，把物品尽量平均分成3份，不能平均分的最多的与最少的至多相差1，根据天平平衡与不平衡来找出次品。 【详解】把物品分成（3，3，4），先在天平左右两边各放3件，如果天平平衡，则次品一定在剩下的4件中，再把这4件物品左右两边各放两件，次品在上升的一端，又把上升的一端中的2件物品左右两边各放1件，上升的一端就是次品；如果天平不平衡，则次品在上升的一端，再把上升一端中的物品任意选2件，天平左右两边各放1件，如果天平平衡，则次品是剩下的1件物品，如果天平不平衡，则次品是上升的一端。 所以用天平称至少称3次就一定能找到次品。 故答案为：B 3．有13个钢珠，其中12个质量相同，另有一个较轻点，如果用天平称，至少称（   ）次保证能找出这个钢珠。 A．1 B．2 C．3 【答案】C 【分析】第一次：先把13个钢珠分成（4，4，5），把两个4个一组的放在天平上称，如果天平平衡，次品再未称的5个中，如果天平不平衡，次品在较轻的一组中。 第二次：如果第一次天平平衡，将剩下5个分成（2，2，1 ），把两个2个一组的放在天平上称，如果天平平衡，次品就是未称的那个，如果天平不平衡，次品在较轻的一组中；如果第一次天平不平衡，将较轻的一组分成（2，2），把它们放在天平上称，天平不平衡，次品在较轻的一组中； 第三次：如果次品在较轻的2个中，将其分别放在天平两端，较轻的一端是次品； 至少称3次，据此解答即可。 【详解】如果用天平称，至少称3次保证能找出这个钢珠； 故答案为：C 4．妈妈买了7瓶质量相同的水果糖，其中一瓶被妹妹吃了几颗，用天平至少称（ ）次能保证找出这瓶水果糖。 【答案】2 【分析】将7瓶水果糖分组，考虑最不利的情况，利用天平的平衡性称出质量轻的一瓶。 【详解】将质量轻的一瓶当作次品。 第一次，将7瓶水果糖分成（3，3，1）三份，将（3，3）两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端； 第二次，将含有次品的3瓶，分成（1，1，1）三份，将其中两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端； 由此可找到轻的一瓶。 所以用天平至少称2次能保证找出这瓶水果糖。 5．有18颗珍珠，其中17颗质量相同，有1颗质量轻一些，至少称（ ）次才能保证找出轻的珍珠。 【答案】3 【分析】利用用天平找次品的原则解决问题。 【详解】把18个零件分成（6，6，6）三组 第一次：把其中的任意两组放在天平上称，找出较轻的一组； 第二次：再把轻的一组分成（2，2，2）三组，把其中任意两组放在天平上称，找出较轻的那组； 第三次：最后，把轻的一组分（1，1）放在天平上称可找出轻的，所以至少称3次就能找出这个次品。 6．有7盒规格为50根/盒的曲别针，其中6盒是正品，有1盒少装了2根。如果用天平称，至少称（ ）次可以保证找出这盒曲别针。 【答案】2/两/二 【分析】将7盒曲别针分组，考虑最不利的情况，利用天平的平衡性称出质量较轻的一盒。 【详解】将质量轻的一盒当作次品。 第一次，将7盒曲别针分成（3，3，1）三份，将（3，3）两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端； 第二次，将含有次品的3盒，分成（1，1，1）三份，将其中两份放在天平的两端，若天平平衡，则次品是未称的那份；若天平不平衡，次品在天平较高的一端；由此可找到轻的一盒。 综上，在7盒曲别针中有一盒次品，如果用天平称，至少称2次可以保证找出这盒曲别针。 7．在27枚金币中，有一枚质量稍轻的假金币，如果用天平称，至少（ ）次才能保证找出这枚假金币。 【答案】3/三 【分析】第一次，把27枚金币分成3份：9枚、9枚、9枚，取两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第二次，取含有次品的那份分成3份：3枚、3枚、3枚，取两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第三次，取含有次品的一份（3枚），取2枚分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品是未取的那枚，若天平不平衡，则较轻的为次品，据此即可找到次品。 【详解】在27枚金币中，有一枚质量稍轻的假金币，如果用天平称，至少3次才能保证找出这枚假金币。 8．11个零件里有1个是次品（次品重些）。假如用天平称，至少称（ ）次能保证找出次品。 【答案】3 【分析】把11个零件分成4、4、3三组，称量4、4两组，若天平平衡，则未拿的那组里面有次品；若天平不平衡，次品在天平较低端的那边，再将含有次品的零件分成1、1、2（1、1、1）三组，把其中相等的两份放入天平两端，若天平不平衡，次品是天平较低端的那个；若天平平衡，则次品在未拿的一个（一组）中，进而再将含有次品的2个称量一次就可以找到次品了。 【详解】11个零件里有1个是次品（次品重些）。假如用天平称，至少称3次能保证找出次品。 9．①用天平找次品（只含一个次品，已知次品比正品轻或重），要想称的次数最少，需要将待测物品尽量分成相等的（ ）份。②从8件物品中找出其中1件次品（次品轻一些），用天平至少称（ ）次能保证找出来。 【答案】 3 2 【分析】①找次品时，待测物品要分成3份，在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1； ②第一次，把8件物品分成3份：3件、3件、2件，取3件的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第二次，取含有次品的一份（3件或2件），取2件分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品是未取的一件，若天平不平衡，则较轻的为次品；所以用天平至少称2次能保证找出次品。 【详解】①用天平找次品（只含一个次品，已知次品比正品轻或重），要想称的次数最少，需要将待测物品尽量分成相等的3份； ②从8件物品中找出其中1件次品（次品轻一些），用天平至少称2次能保证找出来。 10．6个零件中有一个是次品（重一些），完成下面找次品的过程。至少要称（ ）次，用①②③④⑤⑥分别表示6个零件。 ①②③④ 平衡，两边再各放⑤和⑥称。（填轻者或重者） （ ）是次品。 不平衡，左端重，再把①和②分别放天平的两端称 【答案】 2 重者 【分析】第一次，把6个零件分成3份：2个（①②）、2个（③④）、2个（⑤⑥），取2个的两份（①②③④）分别放在天平两侧，若天平平衡，较重的次品在未取的一份（⑤⑥）中，若天平不平衡，次品在较重的一端； 第二次，取含有次品的一份，将两个零件分别放在天平两侧，天平不平衡，则重者为次品； 所以，用天平至少称2次能保证找出次品。 【详解】6个零件中有一个是次品（重一些），完成下面找次品的过程。至少要称2次； ①②③④ 平衡，两边再各放⑤和⑥称。（填轻者或重者） 重者是次品。 不平衡，左端重，再把①和②分别放天平的两端称 11．有11袋茶叶，其中一袋次品（质量稍轻），其它质量相等，用天平称至少称（ ）次能保证找出次品。 【答案】3 【分析】第一次，把11袋茶叶分成3份：4袋、4袋、3袋，取4袋的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第二次，取含有次品的一份（3袋或4袋），取2袋分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品是未取的那袋或在未取的一份（2袋）中，若天平不平衡，则较轻的为次品或取较轻的一份继续； 第三次，取含有次品的两袋茶叶分别放在天平两侧，天平不平衡，较轻的为次品。 所以用天平至少称3次能保证找出次品。 【详解】有11袋茶叶，其中一袋次品（质量稍轻），其它质量相等，用天平称至少称3次能保证找出次品。 12．有28瓶水，其中27瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些，至少称（ ）次能保证找出这瓶盐水。 【答案】4 【分析】第一次，把28瓶水分成3份：9瓶、9瓶、10瓶，取9瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较重的那瓶在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续； 第二次，取较重的一份（9瓶或10瓶）分成三份，3瓶、3瓶、3瓶（4瓶），取3瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较重的那瓶在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续； 第三次，取较重的一份（3瓶或4瓶），取2瓶分别放在天平两侧，若天平平衡，较重的那瓶是未取的那瓶或在未取的一份中，若天平不平衡，较重一端是盐水； 第四次，取较重的一份（2瓶）分别放在天平两侧，较重一端是盐水； 所以用天平至少称4次能保证找出次品。 【详解】有28瓶水，其中27瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些，至少称4次能保证找出这瓶盐水。 13．方方一家包的40个粽子中，有一个是方方学着包的，质量稍轻一些，爸爸妈妈包的每个粽子一样重。如果用天平称，至少（ ）次保证能找到方方包的粽子。 【答案】4 【分析】将40个粽子分成3份：13，13，14；第一次称重，在天平两边各放13个，手里留14个；（1）如果天平平衡，则方方包的粽子在手里，（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘中，然后继续重复上述操作，可以找到方方包的粽子。实际上，每次都是把总数分成尽可能相等的三份，则分了几次就至少需要几次才能保证能找到方方包的粽子。因为3×3×3＝27，27＜40，而3×3×3×3＝81，40＜81，则需要分4次，于是至少需要4次才能保证能找到方方包的粽子。 【详解】3×3×3＝27； 27＜4； 3×3×3×3＝81； 40＜81； 则至少需要4次才能保证能找到方方包的粽子。 14．有8个外观一样的羽毛球，其中7个一样重，另外1个次品略重一些，用天平至少称（ ）次就可以保证找出次品。 【答案】2 【分析】将8个羽毛球分成3份：3，3，2；第一次称重，在天平两边放3个，手里留2个；（1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品；（2）如果天平不平衡，则次品在下降的天平托盘的3个中，将这3个中的2个在天平两边各放1个，手里留1个，如果天平不平衡，则找到次品在下降的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中。故至少称2次能可以保证找出次品。 【详解】将8个羽毛球分成3份：3，3，2；第一次称重，在天平两边放3个，手里留2个； （1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品； （2）如果天平不平衡，则次品在下降的天平托盘的3个中，将这3个中的2个在天平两边各放1个，手里留1个，如果天平不平衡，则找到次品在下降的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中，故至少称2次能可以保证找出次品。 15．张叔叔加工了25个形状、大小完全一样的零件，其中有一个质量较轻的不合格产品，你能用天平只称3次帮他找出这个不合格产品吗？（请写出简要过程） 【答案】能；过程见详解 【分析】要达到3次找到这个不合格产品，需要将25个零件尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止，据此答题即可。 【详解】至少称3次能保证找出这个不合格的零件来。 将25个零件分成3份：8，8，9；第一次称重，在天平两边各放8个，手里留9个； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的9个分为3，3，3，在天平两边各放3个，手里留3个， ①如果天平平衡，则次品在手里3个中，接下来，将这3个分为1，1，1，取两份分别放在天平的两边就可以鉴别出次品； ②如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3个中。 接下来，将这3个分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1个，手里留1个，称重第三次就可以鉴别出次品。 （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的8个中，将这8个分成三份：3，3，2，在天平两边各放3个，手里留2个， ①如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的3个中， 接下来，将这3个分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1个，手里留1个，称重第三次就可以鉴别出次品。 ②如果天平平衡，则次品在手中的2个中。 接下来，将这2个分成三份：1，1。天平的两边分别放1个，称重第三次就可以鉴别出次品。 答：至少称3次能找出这个不合格产品。 16．有六个零件，其中一个是次品，用天平称了三次（如下图），则几号零件是次品？次品的质量比正品的质量轻还是重？为什么？请写出你的推导过程。 【答案】5号是次品，次品比正品质量轻；见详解 【分析】图1，把1、2号和3、4号零件分别放在天平的左右两边，天平平衡，说明这4个零件的质量相等，它们都是正品，那么次品在5号和6号零件中； 图3，把4号、6号零件放在天平的左右两边，天平平衡，说明6号是正品，那么5号零件是次品； 图2，把5号、6号零件放在天平的左右两边，天平不平衡，5号轻，6号重，说明次品的质量比正品的质量轻。 【详解】因1、2号和3、4号的质量相等，说明1、2号和3、4号都是正品； 6号和4号的质量相等，说明6号是正品，那么次品是5号； 5号比6号轻，所以次品比正品质量轻。 17．一箱药品有15盒，其中14盒的质量相同，有一盒的质量不足轻一点，如果用天平称，至少称几次能保证找出那盒质量不足的？ 【答案】3次 【分析】天平是一个等臂杠杆，所以如果左右两边的质量不一样，则天平会不平衡，利用此特点把15盒药品分成5盒、5盒、5盒三份，先称其中的两份，若平衡，则次品在剩余的一份中，若不平衡，则次品在天平的较高一端；进而继续将较高端分成2盒、2盒、1盒，利用上面方法继续比较，直至找出质量不足的那一盒药品。 【详解】把15这盒分成5盒，5盒，5盒三份。 第一次：任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻一盒，即在未取的5盒中（再按照下面方法即可找出），若不平衡，取天平秤较高端的一份继续； 第二次：把在天平秤较高端5盒，任取4盒，平均分成两份，每份2盒，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那盒即为质量不足的，若天平秤不平衡，取天平秤较高端的一份继续； 第三次：把天平秤较高端的两盒，分别放在天平秤两端，较高端的那盒即为质量不足的。 答：至少称3次能保证找出那盒质量不足的。 18．我国是世界上最早发现茶树和利用茶树的国家，中国是茶的故乡，中国是世界茶叶的祖国。某茶厂进行质量抽检。在抽检的15盒茶叶中，其中的14盒质量相同，另有1盒质量较重一些，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒质量较重的茶叶找出来？ 【答案】3次 【分析】15（5，5，5）其中任意两组放在天平上称。可找出有次品的一组。再把5分成（2，2，1），然后再把两个一组的放在天平上称，如平衡，则1个1组的是次品，需要两次，如不平衡，可再把2分成（1，1），再放在天平上称，可找出次品，则需三次。 【详解】第一次，把15盒茶叶平均分成3份，取其中的2份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的一盒在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；第二次，把含有较重的一份（5盒）分成3份（2盒、2盒、1盒），取2盒中的2份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的一盒在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；第三次，取含有较重的那份（2盒），分别放在天平的两侧，即可找到较重的一盒。 答：至少称3次能保证将这盒质量较重的茶叶找出来。 19．有58袋方便面，其中57袋的质量相同，另外1袋缺。用天平称，至少称几次能保证找出这袋质量较轻的方便面？ 【答案】4次 【分析】用天平找次品时，如果待测物品有3袋或3袋以上，首先要把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的袋数与少的那份的袋数相差最少，这样可以保证找出次品需要称量的次数最少。 【详解】第一次，把58袋分成19袋、19袋和20袋三份，先在天平的两边各放19袋称，如果一样重，那么另外的20袋中有次品；如果一重一轻，那么轻的19袋内有次品； 当物品的数量在10~27个时，即32＜物品的数量≤33，至少称3次能保证找出次品。 则一共需要4次。 答：用天平称，至少称几次能保证找出这袋质量较轻的方便面。 20．有6颗外表一摸一样的玻璃珠子，其中有一颗玻璃珠子稍微轻一些。下面是找次品的过程，请你圈出括号里的正确答案。 方法一：每次天平两边各放一个珠子。                 一共称了（    ）次，可以保证找到次品。 方法二：每次天平两边各放两个珠子。 一共称了（    ）次，可以保证找到次品。 【答案】；3 ；2 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 如12（4，4，4）；不能平均分成3份的，要使每份分得尽量平均，如11（4，4，3）。 【详解】方法一： 一共称了3次，可以保证找到次品。 方法二： 一共称了2次，可以保证找到次品。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$