（新课衔接）专题04 长方体和正方体的体积（新课学习+知识梳理+13个考点讲练+真题强化 共59题）-2025年苏教版数学五升六年级暑假衔接金牌培优讲义（学生版+教师版）

六年级/上册 小学数学 苏教版 · 2025年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【新课衔接站】 专题04 长方体和正方体的体积 暑假衔接 新课学习+知识梳理+考点讲练+真题强化 （共59题） 考点讲练练 彩图精讲 轻松掌握 真题强化 新课学习 专题04 长方体和正方体的体积 知识梳理 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 总结知识 汇总提炼 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 新课轻松学 3 探究点1 长方体的体积计算公式 3 探究点2 正方体的体积计算公式 3 归纳总结1 5 探究点3 长方体和正方体统一的体积计算公式 5 归纳总结2 6 知识梳理 易错点拨 6 优选题型 考点讲练 8 高频考点讲练01：体积的认识 8 高频考点讲练02：容积的认识 8 高频考点讲练03：长方体的体积 9 高频考点讲练04：正方体的体积 10 高频考点讲练05：与长方体和正方体相关的体积的等积变形问题 10 高频考点讲练06：与长方体和正方体相关的立体图形的切拼问题 11 高频考点讲练07：与长方体和正方体相关的组合图的体积 12 高频考点讲练08：长方体、正方体的容积 13 高频考点讲练09：不规则物体的体积算法 14 高频考点讲练10：体积单位间的进率与换算 15 高频考点讲练11：容积单位间的进率与换算 15 高频考点讲练12：体积（容积）大小的比较 16 高频考点讲练13：体积与容积单位间的进率与换算 16 真题汇编 能力强化 17 例1：下图中的长方体是用1立方厘米的小正方体摆成的。它的长、宽、高各是多少厘米？摆 这个长方体用了多少个1立方厘米的小正方体？长方体的体积是多少立方厘米？ 摆这个长方体用了 12 个 1 立方厘米的小正方体。 12立方厘米 用若干个1立方厘米的小正方体摆出不同的长方体，并填写下表。 例2：用1立方厘米的小正方体摆出下面的长方体，各需要多少个？先想一想，再摆一摆。 这3个长方体的体积各是多少立方厘米？ 从例1、例2中，你发现长方体的体积与什么有关？可以怎样求长方体的体积？ 长方体的体积=长×宽×高 如果用V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，上面的公式可以可以写成：V=abh 正方体的棱长有什么特点？可以怎样求正方体的体积？ 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 如果用V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，上面的公式可以写成： V=a·a·a a·a·a也可以写成 a ³，读作a的立方。 a3表示三个a相乘。正方体的体积公式一般写成： V=a³ 1.长方体的体积=长×宽×高，字母公式为 V=abh。 2. 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为 V=a³。 长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。 怎样计算长方体和正方体的底面积？ 想一想，长方体和正方体体积还可以怎样计算？ 长方体(或正方体)的体积=底面积×高 你能说说这个公式是怎样得到的吗？ 如果用S表示底面积，上面的公式可以写成：V=Sh 1.底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。 2. 体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母S表示底面积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成V=Sh 知识汇总 一、长方体的体积 概念：长方体的体积是指其内部空间的大小，即该长方体所能容纳的物体的多少。 计算公式：长方体的体积 = 长 × 宽 × 高 用字母表示即：V = a × b × h 其中，V表示体积，a表示长，b表示宽，h表示高。 示例：假设一个长方体的长为5厘米，宽为3厘米，高为2厘米，则其体积为：V = 5厘米 × 3厘米 × 2厘米 = 30立方厘米。 体积关系：如果长方体的长、宽、高都扩大到原来的n倍，那么其体积将扩大到原来的n^3倍。 二、正方体的体积 概念：正方体的体积是指其内部空间的大小，即该正方体所能容纳的物体的多少。由于正方体的长、宽、高都相等，所以其体积计算相对简单。 计算公式：正方体的体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长 用字母表示即：V = a³ 其中，V表示体积，a表示正方体的棱长。 示例：假设一个正方体的棱长为4厘米，则其体积为：V = 4厘米 × 4厘米 × 4厘米 = 64立方厘米。 三、长方体和正方体体积的统一计算公式 长方体（或正方体）的体积 = 底面积 × 高 用字母表示即：V = S × h 其中，V表示体积，S表示底面积，h表示高。这个公式适用于长方体和正方体，因为正方体可以看作是特殊的长方体（长、宽、高都相等）。 四、总结归纳 理解体积概念：体积是物体所占空间的大小，是三维空间中的度量。 掌握计算公式：长方体的体积计算公式为V = a × b × h，正方体的体积计算公式为V = a^3。同时，两者都可以用V = S × h的公式统一表示。 注意单位换算：在计算体积时，要注意单位的一致性。常用的体积单位有立方米、立方分米、立方厘米等，它们之间的换算关系是1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米。 运用实际问题：在解决实际问题时，要根据题目给出的长、宽、高或棱长，选择正确的公式进行计算。同时，要注意单位的选择和换算。 易错点拨 一、长方体体积的易错点 概念混淆： 错误：学生可能会混淆体积和表面积的概念，错误地以为两者是同一回事或者计算公式相同。 正确理解：体积是物体所占空间的大小，而表面积是物体外部所有面的面积之和。两者的概念和计算公式完全不同。 计算公式的误用： 错误：学生可能会忘记或混淆长方体体积的计算公式，如将长、宽、高进行错误的组合，或者忘记乘以某个维度。 正确公式：长方体的体积 = 长 × 宽 × 高，即 V = a × b × h。 单位换算错误： 错误：在计算过程中，学生可能会忽略单位换算，导致计算结果的单位不正确。 正确做法：在计算前，要确保所有维度的单位都是一致的，或者在计算后进行正确的单位换算。 对实际问题的理解不足： 错误：在解决实际问题时，学生可能会忽略题目中的实际条件，如容器是否装满、物体是否完全浸入液体等，导致计算结果不符合实际情况。 正确做法：在解题时，要仔细阅读题目，理解题目中的实际条件，并根据条件进行正确的计算。 二、正方体体积的易错点 与长方体混淆： 错误：学生可能会将正方体的体积计算与长方体的体积计算混淆，错误地应用不同的公式或方法。 正确理解：虽然正方体和长方体都是常见的三维形状，但它们的体积计算公式是不同的。正方体的体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长，即 V = a^3。 对棱长变化的影响理解不足： 错误：当正方体的棱长发生变化时，学生可能会错误地估计体积的变化程度。 正确理解：正方体的体积与其棱长的三次方成正比。当棱长扩大n倍时，其体积将扩大n^3倍。 高频考点讲练01：体积的认识 【典例精讲】小明用几个1立方厘米的正方体摆了一个物体，下面是从不同的方向看到的图形。 这个物体的体积是多少立方厘米？ 【演练1】一瓶矿泉水净含量是550毫升，这个矿泉水瓶的体积可能是（    ）立方厘米。 A．530 B．550 C．570 D．800 【演练2】一只桶最多可以盛水30升，是指这只桶的（    ）是30升。 A．体积 B．容积 C．表面积 D．质量 高频考点讲练02：容积的认识 【典例精讲】满满的一杯水，水的体积就是杯子的容积。( )（判断对错） 【演练1】小明和小红买了同样两瓶可乐，各倒入两种大小不同的杯子里，小明正好倒满4杯，小红正好倒满3杯，( )用的杯子的容积大一些。 【演练2】如图，有两个粗细、壁厚均相同的杯子，一个高些，一个矮些。 （1）哪个杯子的容积大？ （2）把两个杯子装满水，再把两块同样大的铁块分别放入两个杯子里，铁块均沉没于水中。请你比较两个杯子溢出的水，甲杯溢出的水（    ）乙杯溢出的水。（填“＞”“＜”或“＝”） 高频考点讲练03：长方体的体积 【典例精讲】在一个无盖的长方体玻璃容器内摆棱长为1厘米的小正方体（如图），一层可以摆( )个，一共可以摆( )个，做这个容器需要玻璃( )平方厘米。（玻璃厚度忽略不计） 【演练1】数学实践活动课上，王老师带来了甲、乙两个容器（已知两个容器中装有同样多的水，甲容器里面长30厘米，宽20厘米；乙容器内水高21厘米），并布置了一项实验活动。 实验内容：利用提供的辅助工具测量甲、乙容器中水的体积。 辅助工具：一块小石头、一把断尺、一支笔。 小明思考片刻后做起了实验，并很快计算出了两个容器中水的体积。下面是小明的实验过程和实验数据： 同学们，你知道小明是怎样求出乙容器中水的体积的吗？请在答题卡上写出计算过程。 【演练2】如图，在长20厘米，宽7厘米的长方形的四角各剪去四个边长1厘米的小正方形，做一个无盖的纸盒，这个纸盒的体积是多少？ 高频考点讲练04：正方体的体积 【典例精讲】一张长方形铁皮（如图），长是20厘米，宽是( )厘米。用图中的阴影部分向里折成一个正方体盒子，盒子的体积是( )立方厘米。和D面相对的是( )面；如果D面是底面，从前面看是C面，那么右面是( )面。 【演练1】小冬有一根长方体木料，沿着长截去3分米后（如图），剩下的木料正好是一个正方体，表面积比原来减少了60平方分米。剩下的正方体木料的体积是多少？ 【演练2】如图，将若干个棱长1厘米的小正方体排成一排，拼成一个大长方体。 (1)3个这样的小正方体拼成的长方体表面积是( )平方厘米。 (2)n个这样的小正方体拼成的长方体的表面积是( )平方厘米。 (3)如果拼成的长方体的表面积是102平方厘米，这个长方体的体积是( )立方厘米。 高频考点讲练05：与长方体和正方体相关的体积的等积变形问题 【典例精讲】学习“蜡烛的变化”这课时，小华所在的小组做了一支蜡烛。将一块棱长6厘米的正方体蜡块熔化，放入一个长3厘米、宽2.5厘米的长方体模具，制作成蜡烛。 （1）实验发现：在制作蜡烛的过程中，蜡块仅仅是（    ）发生了变化，没有产生（    ）。 （2）求制作成的蜡烛的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 【演练1】一个长方体石块，长5厘米，宽4厘米，投入到一个棱长为10厘米装满水的正方体水箱里，具体情况如图所示，求这个长方体石块的高。 【演练2】图（1）中，深30厘米的长方体水箱装满水放在平台上（不考虑水箱壁厚），当水箱如图（2）这样倾斜到的长度是8厘米后，再把水箱放平如图（3），这时水箱中水的深度是( )厘米。 高频考点讲练06：与长方体和正方体相关的立体图形的切拼问题 【典例精讲】用棱长1厘米的小正方体搭成如图所示的图形，它的表面积是( )平方厘米；至少再添加( )个同样的小正方体，才能搭成一个大正方体。 【演练1】如图，王师傅把长的长方体木料锯成3个相同的小长方体，表面积增加了，原来长方体木料的体积是( )。 【演练2】一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？ 高频考点讲练07：与长方体和正方体相关的组合图的体积 【典例精讲】如图，计算如图图形的表面积和体积。 【演练1】下图是由棱长5cm的正方体拼成的，请求出下图的表面积和体积。 表面积：   体积： 【演练2】下面是用棱长为1厘米的小正方体摆成的立体图形。 表面积是6平方厘米，体积是1立方厘米。 (1)表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米； (2)表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米； (3)当放置到5层时，这个立体图形的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 高频考点讲练08：长方体、正方体的容积 【典例精讲】刘林想做一个无盖的长方体观赏鱼缸，长8分米，宽6分米，高3分米。 (1)刘林需要选择 （写出序号），共需要 块玻璃。 (2)这个观赏鱼缸的容积是 立方分米。（玻璃厚度不计） 【演练1】幸福路小学库房里有以下4种规格的长方形、正方形铁皮若干张。 李师傅要焊接一个无盖的长方体（或正方体）水箱，准备从中选出五张铁皮作为水箱的五个面，选哪五张铁皮焊接成的水箱的容积最大？是多少？（铁皮厚度忽略不计） 【演练2】一个长方体铁丝框架，长6厘米，宽5厘米，高4厘米。 (1)做这个框架要用铁丝( )厘米，是求这个长方体的( )。 (2)在它的表面贴上塑料板做成盒子，一共要用( )平方厘米的塑料板，是求这个盒子的( )。 (3)求它最多能装多少水，是求这个盒子的( )。 (4)求这个盒子所占空间的大小，是求这个盒子的( )。 高频考点讲练09：不规则物体的体积算法 【典例精讲】有小中大三个正方体水池，从里面测量它们的边长分别是2米、3米、6米，把两堆沙分别倒入小、中号水池，水面分别上升了4厘米、6厘米，如果把两堆沙都倒入大号水池，大号水池水面上升( )厘米。 【演练1】一个长方体鱼缸的底面是一个边长6分米的正方形，深1米。 （1）小明往里倒入72升的水，水深多少分米？ （2）他又往里放入了一些彩石（彩石全部没入水中），水面上升了3分米，一共放入了多少立方分米的彩石？ 【演练2】厨房间的长方体水槽，长25厘米，宽18厘米，放了9厘米深的水，现在放入几个土豆，土豆完全浸没在水中，这时水面上升到11厘米。这几个土豆所占的空间有多大？ 高频考点讲练10：体积单位间的进率与换算 【典例精讲】在括号里填上合适的数字。 5升＝( )立方厘米              500立方分米＝( )立方米 500平方分米＝( )平方米        50毫升＝( )立方分米 【演练1】在括号里填上适当的数。 0.36立方分米＝( )立方厘米    980立方分米＝( )立方米 4.07立方米＝( )立方米( )立方分米    5.38立方分米＝( )升( )毫升 30立方米＝( )立方分米＝( )毫升  42升＝( )立方米＝( )立方厘米 【演练2】把一个土豆浸没在盛有水的量杯中，水没有溢出，但水上升了0.6厘米，量杯的底面积是0.8平方分米，土豆的体积是（    ）。 A．480立方厘米 B．0.48立方分米 C．48立方厘米 D．48立方分米 高频考点讲练11：容积单位间的进率与换算 【典例精讲】在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 7080毫升( )70.8立方分米          3.4立方分米( )34立方厘米 9.2立方分米( )9200立方厘米        4.6立方分米( )4.06升 【演练1】我会填。 1立方米＝( )立方分米  1立方分米＝( )立方厘米   1升＝( )毫升 【演练2】7.02( )    3.2( ) 8020( )    4200( ) 4.5( )( )    2300( )L 高频考点讲练12：体积（容积）大小的比较 【典例精讲】一种调料分“桶装”和“袋装”两种不同的包装，“袋装”每袋200毫升，每袋2元；“桶装”每桶3升，每桶24元。 （1）一桶调料相当于几袋的容量？ （2）一个饭店想买9升这种调料，只买一种包装，买哪种比较合算？ 【演练1】超市里把同样的包装盒摆成了三堆（如图）。第( )堆的体积最小。第( )堆和第( )堆的体积一样大。                      第1堆        第2堆           第3堆 【演练2】容器甲与容器乙的容积相等，则容器甲的体积与容器乙的体积相比（    ）。 A．容器甲体积大 B．容器乙体积大 C．无法判断 D．一样大 高频考点讲练13：体积与容积单位间的进率与换算 【典例精讲】3.05立方米＝( )立方分米        0.8升＝( )立方厘米 450平方厘米＝( )平方分米         60毫升＝( )升 【演练1】如图是一个长方形纸板，长30厘米，宽20厘米，从这个长方形纸板的四个角剪去一个边长为5厘米的小正方形，将剩余部分折成一个无盖容器，这个容器的容积是( )升。 【演练2】下图是一个密封的长方体容器，长35厘米，宽10厘米，高20厘米，里面水深18厘米。（容器的厚度忽略不计） （1）容器中水的体积是多少升？ （2）水与容器接触的面积是多少平方厘米？ 1．一个透明的玻璃盒里装满了同样的小正方体。小明从盒里拿出一些去搭积木，还剩下一部分（如图）。小明拿出了（    ）个小正方体。 A．102 B．124 C．125 2．观察下图，如果拿走一个小正方体，下列表述正确的是（    ）。 A．体积和表面积都变小 B．体积变小，表面积变大 C．体积变小，表面积不变 3．两个棱长都是5分米的正方体，一个是木块，另一个是铁块，它们的体积相比（    ）大。 A．铁块 B．木块 C．同样 4．把64升水倒入一个长4分米，宽2.5分米，高8分米的长方体水箱中，这时水面距箱口多少分米？（    ） A．6.4 B．3.2 C．0.6 D．1.6 5．一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体盒子里最多能放（    ）个棱长为2cm的小正方体。 A．14 B．15 C．12 D．18 6．下图都是用棱长为1厘米的正方体拼成的，它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 7．如下图，在一块平坦的地面上，实践社团的同学们在工人师傅的帮助下，用砖围了一个长方体水池，池壁厚10（底面利用原有的水泥地）。这个水池的容积是( )。 8．下图中小球的体积是( )cm3，大球体积是( )cm3。 9．0.58升＝ 毫升 760立方分米＝ 立方米 3185毫升＝ 立方厘米＝ 立方分米 10．（1）0.58升＝( )毫升    （2）760立方分米＝( )立方米 11．一个水桶的体积是19dm3，所以它能装19L的水。( )（判断对错） 12．两个体积相等的长方体，表面积一定相等。( )（判断对错） 13．如果一个正方体的棱长扩大到原来的4倍，那么它的表面积和体积也分别扩大到原来的4倍。( )（判断对错） 14．求如图图形的表面积和体积。 15．一个正方体水槽，从里面量，棱长是10厘米。一个长方体水槽，从里面量，长是8厘米，宽是6厘米，高是5厘米。小江把长方体水槽装满水，然后把长方体水槽中的水倒进空的正方体水槽中，正方体水槽中的水高多少厘米？ 16．李叔叔把一块长10厘米、宽8厘米、高7厘米的长方体木料锯成一个最大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？ 17．一个长方体的游泳池，长25米，宽12米，深2.5米。 （1）这个游泳池最多能注入多少立方米的水？ （2）工人师傅往游泳池里注入了2米深的水，此时水与游泳池接触的面积是多少平方米？ 18．安安为了测量一块不规则石头的体积，进行了以下操作。 ①准备一个长方体透明容器，从里面量得长18厘米，宽12厘米，高40厘米。 ②倒入适量的水，水面高度为20厘米。 ③将石头浸没在水中，量出水面高度为28厘米。 这块石头的体积是多少立方厘米？ 19．小东做测量石块体积”的实验：他先将一块棱长是4厘米的正方体铁块浸没在一个长方体水槽中，然后取出正方体铁块，水槽里的水面下降了2厘米。接着他把要测量的一个石块浸没在水槽中，这时水槽里的水面上升了1.5厘米。这个石块的体积是多少？ 20．我国最大的港口是上海港，它也是世界最大的十大港口之一，每天都有成千上万个集装箱在港口装卸。某个装满货物的长方体集装箱，长10米，宽8米，高4米。如果每立方分米货物重0.3千克，这一箱货物有多少吨？ $$六年级/上册 小学数学 苏教版 · 2025年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【新课衔接站】 专题04 长方体和正方体的体积 暑假衔接 新课学习+知识梳理+考点讲练+真题强化 （共59题） 考点讲练练 彩图精讲 轻松掌握 真题强化 新课学习 专题04 长方体和正方体的体积 知识梳理 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 总结知识 汇总提炼 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 新课轻松学 3 探究点1 长方体的体积计算公式 3 探究点2 正方体的体积计算公式 3 归纳总结1 5 探究点3 长方体和正方体统一的体积计算公式 5 归纳总结2 6 知识梳理 易错点拨 6 优选题型 考点讲练 8 高频考点讲练01：体积的认识 8 高频考点讲练02：容积的认识 9 高频考点讲练03：长方体的体积 10 高频考点讲练04：正方体的体积 12 高频考点讲练05：与长方体和正方体相关的体积的等积变形问题 15 高频考点讲练06：与长方体和正方体相关的立体图形的切拼问题 16 高频考点讲练07：与长方体和正方体相关的组合图的体积 19 高频考点讲练08：长方体、正方体的容积 22 高频考点讲练09：不规则物体的体积算法 24 高频考点讲练10：体积单位间的进率与换算 26 高频考点讲练11：容积单位间的进率与换算 28 高频考点讲练12：体积（容积）大小的比较 30 高频考点讲练13：体积与容积单位间的进率与换算 31 真题汇编 能力强化 33 例1：下图中的长方体是用1立方厘米的小正方体摆成的。它的长、宽、高各是多少厘米？摆 这个长方体用了多少个1立方厘米的小正方体？长方体的体积是多少立方厘米？ 摆这个长方体用了 12 个 1 立方厘米的小正方体。 12立方厘米 用若干个1立方厘米的小正方体摆出不同的长方体，并填写下表。 例2：用1立方厘米的小正方体摆出下面的长方体，各需要多少个？先想一想，再摆一摆。 这3个长方体的体积各是多少立方厘米？ 从例1、例2中，你发现长方体的体积与什么有关？可以怎样求长方体的体积？ 长方体的体积=长×宽×高 如果用V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，上面的公式可以可以写成：V=abh 正方体的棱长有什么特点？可以怎样求正方体的体积？ 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 如果用V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，上面的公式可以写成： V=a·a·a a·a·a也可以写成 a ³，读作a的立方。 a3表示三个a相乘。正方体的体积公式一般写成： V=a³ 1.长方体的体积=长×宽×高，字母公式为 V=abh。 2. 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为 V=a³。 长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。 怎样计算长方体和正方体的底面积？ 想一想，长方体和正方体体积还可以怎样计算？ 长方体(或正方体)的体积=底面积×高 你能说说这个公式是怎样得到的吗？ 如果用S表示底面积，上面的公式可以写成：V=Sh 1.底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。 2. 体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母S表示底面积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成V=Sh 知识汇总 一、长方体的体积 概念：长方体的体积是指其内部空间的大小，即该长方体所能容纳的物体的多少。 计算公式：长方体的体积 = 长 × 宽 × 高 用字母表示即：V = a × b × h 其中，V表示体积，a表示长，b表示宽，h表示高。 示例：假设一个长方体的长为5厘米，宽为3厘米，高为2厘米，则其体积为：V = 5厘米 × 3厘米 × 2厘米 = 30立方厘米。 体积关系：如果长方体的长、宽、高都扩大到原来的n倍，那么其体积将扩大到原来的n^3倍。 二、正方体的体积 概念：正方体的体积是指其内部空间的大小，即该正方体所能容纳的物体的多少。由于正方体的长、宽、高都相等，所以其体积计算相对简单。 计算公式：正方体的体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长 用字母表示即：V = a³ 其中，V表示体积，a表示正方体的棱长。 示例：假设一个正方体的棱长为4厘米，则其体积为：V = 4厘米 × 4厘米 × 4厘米 = 64立方厘米。 三、长方体和正方体体积的统一计算公式 长方体（或正方体）的体积 = 底面积 × 高 用字母表示即：V = S × h 其中，V表示体积，S表示底面积，h表示高。这个公式适用于长方体和正方体，因为正方体可以看作是特殊的长方体（长、宽、高都相等）。 四、总结归纳 理解体积概念：体积是物体所占空间的大小，是三维空间中的度量。 掌握计算公式：长方体的体积计算公式为V = a × b × h，正方体的体积计算公式为V = a^3。同时，两者都可以用V = S × h的公式统一表示。 注意单位换算：在计算体积时，要注意单位的一致性。常用的体积单位有立方米、立方分米、立方厘米等，它们之间的换算关系是1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米。 运用实际问题：在解决实际问题时，要根据题目给出的长、宽、高或棱长，选择正确的公式进行计算。同时，要注意单位的选择和换算。 易错点拨 一、长方体体积的易错点 概念混淆： 错误：学生可能会混淆体积和表面积的概念，错误地以为两者是同一回事或者计算公式相同。 正确理解：体积是物体所占空间的大小，而表面积是物体外部所有面的面积之和。两者的概念和计算公式完全不同。 计算公式的误用： 错误：学生可能会忘记或混淆长方体体积的计算公式，如将长、宽、高进行错误的组合，或者忘记乘以某个维度。 正确公式：长方体的体积 = 长 × 宽 × 高，即 V = a × b × h。 单位换算错误： 错误：在计算过程中，学生可能会忽略单位换算，导致计算结果的单位不正确。 正确做法：在计算前，要确保所有维度的单位都是一致的，或者在计算后进行正确的单位换算。 对实际问题的理解不足： 错误：在解决实际问题时，学生可能会忽略题目中的实际条件，如容器是否装满、物体是否完全浸入液体等，导致计算结果不符合实际情况。 正确做法：在解题时，要仔细阅读题目，理解题目中的实际条件，并根据条件进行正确的计算。 二、正方体体积的易错点 与长方体混淆： 错误：学生可能会将正方体的体积计算与长方体的体积计算混淆，错误地应用不同的公式或方法。 正确理解：虽然正方体和长方体都是常见的三维形状，但它们的体积计算公式是不同的。正方体的体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长，即 V = a^3。 对棱长变化的影响理解不足： 错误：当正方体的棱长发生变化时，学生可能会错误地估计体积的变化程度。 正确理解：正方体的体积与其棱长的三次方成正比。当棱长扩大n倍时，其体积将扩大n^3倍。 高频考点讲练01：体积的认识 【典例精讲】小明用几个1立方厘米的正方体摆了一个物体，下面是从不同的方向看到的图形。 这个物体的体积是多少立方厘米？ 【答案】6立方厘米 【思路引导】根据三视图可知，这个物体有2层：上层有2个小正方体，下层有4个小正方体。一共有2＋4＝6（个）小正方体。一个小正方体的体积是1立方厘米，用1乘6即可求出这个物体的体积。 【完整解答】通过分析可得：这个物体由6个小正方体组成。 1×6＝6（立方厘米） 答：这个物体的体积是6立方厘米。 【演练1】一瓶矿泉水净含量是550毫升，这个矿泉水瓶的体积可能是（    ）立方厘米。 A．530 B．550 C．570 D．800 【答案】C 【思路引导】一般情况下，一个物体的容积小于这个物体的体积，也就是一瓶矿泉水的容积小于矿泉水瓶的体积，一瓶矿泉水净含量是550毫升，则这个矿泉水瓶的体积应稍大于550毫升，据此解答。 【完整解答】1毫升＝1立方厘米，一瓶矿泉水净含量是550毫升，则这个矿泉水瓶的体积稍大于550立方厘米。 A．530＜550 B．550＝550 C．570＞550 D．800＞550 选择570立方厘米最合理，因此这个矿泉水瓶的体积可能是570立方厘米。 故答案为：C 【演练2】一只桶最多可以盛水30升，是指这只桶的（    ）是30升。 A．体积 B．容积 C．表面积 D．质量 【答案】B 【思路引导】物体表面的面积之和叫做表面积，常用单位一般是平方厘米、平方分米、平方米；体积是指物体所占的空间大小，常用单位是立方厘米、立方分米、立方米；质量指物体所含物质的多少，常用单位是克和千克；箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫作它们的容积。常用容积单位是升和毫升。 【完整解答】根据分析可知，一只桶最多可以盛水30升，是指这只桶的容积是30升。 故答案为：B 【考点评析】本题考查了表面积、体积、容积和质量的认识。 高频考点讲练02：容积的认识 【典例精讲】满满的一杯水，水的体积就是杯子的容积。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】容积是容器所能容纳物体的体积。据此判断。 【完整解答】根据容积的意义可知，满满的一杯水，水的体积就是杯子的容积。所以原题说法正确。 故答案为：√ 【演练1】小明和小红买了同样两瓶可乐，各倒入两种大小不同的杯子里，小明正好倒满4杯，小红正好倒满3杯，( )用的杯子的容积大一些。 【答案】小红 【思路引导】由题意可知，根据分数的意义，把一瓶可乐看作单位“1”，把它平均分为4份，小明的杯子刚好装下1份，把它平均分为3份，小红的杯子刚好装下1份，再根据分数与除法的关系，分别求出小明和小红杯子的容积占一瓶可乐的几分之几，再比较分数的大小，分数大的容积就大。 【完整解答】 小红用的杯子的容积大一些。 【演练2】如图，有两个粗细、壁厚均相同的杯子，一个高些，一个矮些。 （1）哪个杯子的容积大？ （2）把两个杯子装满水，再把两块同样大的铁块分别放入两个杯子里，铁块均沉没于水中。请你比较两个杯子溢出的水，甲杯溢出的水（    ）乙杯溢出的水。（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】（1）甲；（2）＝ 【思路引导】（1）杯子的容积＝杯子的底面积×高，底面积相同，哪个杯子的高度更高，则哪个杯子的容积更大。 （2）溢出水的体积＝物体的体积，因为两块铁块同样大小，所以溢出水的体积相同。 【完整解答】（1）甲杯的高度更高，所以甲杯的容积大。 （2）因为两块铁块同样大小，所以两个杯子溢出的水的体积相同，甲杯溢出的水＝乙杯溢出的水。 高频考点讲练03：长方体的体积 【典例精讲】在一个无盖的长方体玻璃容器内摆棱长为1厘米的小正方体（如图），一层可以摆( )个，一共可以摆( )个，做这个容器需要玻璃( )平方厘米。（玻璃厚度忽略不计） 【答案】 20 60 74 【思路引导】观察图形可知，长方体玻璃容器的长可以摆5个，宽摆4个，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，据此求出一层可以摆小正方体的个数； 长方体容器的长摆5个，宽摆4个，高摆3个；根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，即可求出长方体容器可以摆小正方体的数量； 求做这个容器需要玻璃的面积，就是求长方体容器的5个面积的面积和；根据长方体5个面的表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【完整解答】5×4＝20（个） 5×4×3 ＝20×3 ＝60（个） 长：1×5＝5（厘米）；宽：1×4＝4（厘米）；高：1×3＝3（厘米） 5×4＋（5×3＋4×3）×2 ＝20＋（15＋12）×2 ＝20＋27×2 ＝20＋54 ＝74（平方厘米） 在一个无盖的长方体玻璃容器内摆棱长为1厘米的小正方体，一层可以摆20个，一共可以摆60个，做这个容器需要玻璃74平方厘米。 【演练1】数学实践活动课上，王老师带来了甲、乙两个容器（已知两个容器中装有同样多的水，甲容器里面长30厘米，宽20厘米；乙容器内水高21厘米），并布置了一项实验活动。 实验内容：利用提供的辅助工具测量甲、乙容器中水的体积。 辅助工具：一块小石头、一把断尺、一支笔。 小明思考片刻后做起了实验，并很快计算出了两个容器中水的体积。下面是小明的实验过程和实验数据： 同学们，你知道小明是怎样求出乙容器中水的体积的吗？请在答题卡上写出计算过程。 【答案】见详解 【思路引导】两个容器中，水面上升的体积就是小石头的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，甲容器的长×宽×水面上升的高度＝小石头的体积，即乙容器水面上升的体积，乙容器水面上升的体积÷乙容器水面上升的高度＝乙容器的底面积，再用乙容器的底面积×原来的高，即可求出水的体积。 【完整解答】30×20×2÷3＝400（平方厘米） 400×21＝8400（立方厘米） 答：乙容器中水的体积是8400立方厘米。 【演练2】如图，在长20厘米，宽7厘米的长方形的四角各剪去四个边长1厘米的小正方形，做一个无盖的纸盒，这个纸盒的体积是多少？ 【答案】90立方厘米 【思路引导】由题意可知：四个角各剪去边长1厘米的正方形，那么折成的这个长方体纸盒的高是1厘米；长是（）厘米；宽是（）厘米；再根据长方体的体积长宽高，来解答。 【完整解答】 （立方厘米） 答：这个纸盒的体积是90立方厘米。 高频考点讲练04：正方体的体积 【典例精讲】一张长方形铁皮（如图），长是20厘米，宽是( )厘米。用图中的阴影部分向里折成一个正方体盒子，盒子的体积是( )立方厘米。和D面相对的是( )面；如果D面是底面，从前面看是C面，那么右面是( )面。 【答案】 15 125 A B 【思路引导】根据题意可知，长方形的长和宽分别被正方体的边长平均分成4份和3份，那么长方形的长等于正方体边长的4倍，据此可求出正方体边长是5厘米，宽是边长的3倍，再根据V＝a×a×a计算体积即可。折成正方体后D和A相对，C和E相对，B和F相对。再根据题中的摆放方式，找到右面的面是哪一面，据此解答。 【完整解答】20÷4×3 ＝5×3 ＝15（厘米） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方厘米） 正方体展开图是2－3－1型，折成正方体后D和A相对，C和E相对，B和F相对。摆放如下图。 故长方形宽是15厘米，盒子体积是125立方厘米，和D面相对的是A面，如果D面是底面，从前面看是C面，那么右面是B面。 【演练1】小冬有一根长方体木料，沿着长截去3分米后（如图），剩下的木料正好是一个正方体，表面积比原来减少了60平方分米。剩下的正方体木料的体积是多少？ 【答案】125立方分米 【思路引导】根据题意可知，长方体木料的宽和高相等，减少面积是4个长为3分米，宽为长方体的宽的长方形的面积，据此就可以求出原来长方体的宽，就是剩下的正方体的棱长，根据正方体的体积棱长棱长棱长，代入数据计算即可解答。 【完整解答】 （分米） （立方分米） 答：剩下的正方体木料的体积是125立方分米。 【演练2】如图，将若干个棱长1厘米的小正方体排成一排，拼成一个大长方体。 (1)3个这样的小正方体拼成的长方体表面积是( )平方厘米。 (2)n个这样的小正方体拼成的长方体的表面积是( )平方厘米。 (3)如果拼成的长方体的表面积是102平方厘米，这个长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】(1)14 (2)4n＋2 (3)25 【思路引导】每个小正方体有6个完全相同的正方形，根据“正方形的面积＝边长×边长”，求出一个正方形的面积，再乘正方形的个数，就是拼成长方体的表面积。 （1）1个正方体有6个面，6＝4×1＋2； 2个正方体拼成的长方体有10个面，10＝4×2＋2； 3个正方体拼成的长方体有14个面，14＝4×3＋2； 据此得出3个这样的小正方体拼成的长方体表面积。 （2）由上一题可得出，n个这样的小正方体拼成的长方体的表面积为（4n＋2）平方厘米。 （3）已知拼成的长方体的表面积是102平方厘米，即4n＋2＝102，求出n的值，即是拼成长方体所用的小正方体的个数；根据正方体的体积公式V＝a3，求出一个小正方体的体积，再乘小正方体的个数，就是拼成的这个长方体的体积。 【完整解答】（1）1×1＝1（平方厘米） 4×3＋2 ＝12＋2 ＝14（个） 1×14＝14（平方厘米） 3个这样的小正方体拼成的长方体表面积是14平方厘米。 （2）n个这样的小正方体拼成的长方体的正方形的个数：（4n＋2）个； 1个正方形的面积：1×1＝1（平方厘米） 拼成的长方体的表面积：（4n＋2）×1＝（4n＋2）（平方厘米） 所以，n个这样的小正方体拼成的长方体的表面积是（4n＋2）平方厘米。 （3）4n＋2＝102 解：4n＋2－2＝102－2 4n＝100 4n÷4＝100÷4 n＝25 1×1×1＝1（立方厘米） 1×25＝25（立方厘米） 如果拼成的长方体的表面积是102平方厘米，这个长方体的体积是25立方厘米。 【考点评析】找出若干个小正方体并排拼成一个大长方体时，表面积变化的规律，按规律解题。 高频考点讲练05：与长方体和正方体相关的体积的等积变形问题 【典例精讲】学习“蜡烛的变化”这课时，小华所在的小组做了一支蜡烛。将一块棱长6厘米的正方体蜡块熔化，放入一个长3厘米、宽2.5厘米的长方体模具，制作成蜡烛。 （1）实验发现：在制作蜡烛的过程中，蜡块仅仅是（    ）发生了变化，没有产生（    ）。 （2）求制作成的蜡烛的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 【答案】（1）形状；新的物质 （2）28.8厘米 【思路引导】（1）结合实际经验可知，正方体蜡块熔化后制作成长方体蜡烛，体积并没有改变，只是形状发生了变化，没有产生新的物质。 （2）因为体积不变，先根据，算出正方体的体积，即长方体体积，再根据长方体体积的逆运算，长方体的高＝体积÷长÷宽，代入数据计算即可。 【完整解答】（1）实验发现：在制作蜡烛的过程中，蜡块仅仅是形状发生了变化，没有产生新的物质。 （2） （立方厘米） （厘米） 答：制作成的蜡烛的高是28.8厘米。 【演练1】一个长方体石块，长5厘米，宽4厘米，投入到一个棱长为10厘米装满水的正方体水箱里，具体情况如图所示，求这个长方体石块的高。 【答案】5厘米 【思路引导】由图发现，拿出石块，水面下降10－9＝1厘米，根据长方体的体积＝底面积×高，先用正方体的底面积×1求出下降水面水的体积，也就是石块的体积；再用石块的体积÷石块底面积即可求出石块的高。 【完整解答】10－9＝1（厘米） 10×10×1＝100（立方厘米） 100÷（5×4） ＝100÷20 ＝5（厘米） 答：这个长方体石块的高是5厘米。 【演练2】图（1）中，深30厘米的长方体水箱装满水放在平台上（不考虑水箱壁厚），当水箱如图（2）这样倾斜到的长度是8厘米后，再把水箱放平如图（3），这时水箱中水的深度是( )厘米。 【答案】19 【思路引导】设长方体水箱长a厘米，宽b厘米。当它如图（2）这样倾斜时，剩下的水的体积是一个横截面为梯形，长是b厘米的立体图形，它的体积＝横截面的面积×长，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2可得这时水的体积为（8＋30）×a÷2×b＝19ab立方厘米；再把水箱放平如图（3），剩下的水体积不变，还是19ab立方厘米，形状变为长方体，长方体的体积＝长×宽×高，则这时水的深度是19ab÷a÷b＝19（厘米）。 【完整解答】图（1）中，深30厘米的长方体水箱装满水放在平台上（不考虑水箱壁厚），当水箱如图（2）这样倾斜到的长度是8厘米后，再把水箱放平如图（3），这时水箱中水的深度是19厘米。 【考点评析】本题考查长方体体积和横截面为梯形的立体图形体积的应用。要掌握横截面为梯形的立体图形的体积公式。 高频考点讲练06：与长方体和正方体相关的立体图形的切拼问题 【典例精讲】用棱长1厘米的小正方体搭成如图所示的图形，它的表面积是( )平方厘米；至少再添加( )个同样的小正方体，才能搭成一个大正方体。 【答案】 32 18 【思路引导】（1）观察可知，上下、左右各有5个小正方形，前后各有6个小正方形，根据，小正方体的每个面的面积是（平方厘米），用每个面的面积乘小正方形的总个数即可。 （2）观察可知，要搭一个大正方体，每条棱长最多有3个小正方体，即搭成的大正方体的棱长至少是3厘米，根据，代入数据可计算搭成的大正方体的体积及小正方体的体积，用大正方体体积除以小正方体体积，得到搭成的大正方体需要多少个小正方体，再减图中小正方体的个数即可得解。 【完整解答】 （平方厘米） （个） 用棱长1厘米的小正方体搭成如图所示的图形，它的表面积是32平方厘米；至少再添加18个同样的小正方体，才能搭成一个大正方体。 【演练1】如图，王师傅把长的长方体木料锯成3个相同的小长方体，表面积增加了，原来长方体木料的体积是( )。 【答案】288 【思路引导】根据题意可知，增加的表面积等于4个长等于长方体的宽，宽等于长方体的高的长方形，用增加的面积÷4，求出一个面的面积，也就是长方体的底面积，再根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【完整解答】2.4m＝24dm 48÷4×24 ＝12×24 ＝288（dm3） 原来长方体木料的体积是288dm3。 【演练2】一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？ 【答案】94平方厘米；60立方厘米 【思路引导】表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米，增加的面积和就是原来长方体的面积；根据长×高×2＝40，长×宽×2＝30，宽×高×2＝24，由此求出长方体的体积。 【完整解答】40＋30＋24 ＝70＋24 ＝94（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是94平方厘米。 长×高×2＝40，即长×高＝20＝5×4， 长×宽×2＝30，即长×宽＝15＝5×3， 宽×高×2＝24，即宽×高＝12＝4×3， 即长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米。 5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 答：体积是60立方厘米。 【考点评析】考查了立体图形的切拼，解题的关键是根据分解质因数求出长、宽、高。 高频考点讲练07：与长方体和正方体相关的组合图的体积 【典例精讲】如图，计算如图图形的表面积和体积。 【答案】； ； 【思路引导】左图中正方体的上面的面可以平移到长方体被挡住的面，则此图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体的侧面积；体积＝长方体体积＋正方体体积； 右图中可以将凹进去的小正方体的三个面正好可以通过平移转化为是大正方体，则此图表面积＝正方体的表面积；体积＝正方体的体积－缺口处体积。 其中，； ，。代入数据计算即可。 【完整解答】左图 表面积： 体积： 则左图的表面积是，体积是。 右图 表面积： 体积： 则右图的表面积是，体积是。 【演练1】下图是由棱长5cm的正方体拼成的，请求出下图的表面积和体积。 表面积：   体积： 【答案】表面积：600cm2；体积：875cm3 【思路引导】表面积：从前面和后面看有4个面，从上面和下面看有4个面，从左面和右面看有4个面积；一共有4×2×3个面；根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出小正方体一个面的面积，进而求出组合体的表面积。 体积：有2层，上层3个小正方形，下层是4个小正方体，一共有3＋7＝4＝7个小正方体；根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出一个小正方体的体积，进而求出组合体的体积。 【完整解答】表面积： 4×2×3×（5×5） ＝8×3×25 ＝24×25 ＝600（cm2） 体积：5×5×5×（3＋4） ＝25×5×7 ＝125×7 ＝875（cm3） 组合体的表面积是600cm2，体积是875cm3。 【演练2】下面是用棱长为1厘米的小正方体摆成的立体图形。 表面积是6平方厘米，体积是1立方厘米。 (1)表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米； (2)表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米； (3)当放置到5层时，这个立体图形的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】(1) 18 4 (2) 36 10 (3) 90 35 【思路引导】 （1）已知小正方体的表面积是6平方厘米，根据正方体的表面积公式，用6÷6即可求出1个面的面积；通过观察可知，的表面由18个小正方形面组成，用乘法求出这个立体图形的表面积；由4个小正方体组成，已知1个小正方体的体积是1立方厘米，用乘法即可求出这个立体图形的体积； （2）通过观察可知，的表面由36个小正方形面组成，用乘法求出这个立体图形的表面积；由10个小正方体组成，已知1个小正方体的体积是1立方厘米，用乘法即可求出这个立体图形的体积； （3）如图： 观察规律可知，当放置到5层时，这个立体图形的表面由90个小正方形面组成，用乘法求出这个立体图形的表面积；这个立体图形由35个小正方体组成，已知1个小正方体的体积是1立方厘米，用乘法即可求出这个立体图形的体积。 【完整解答】（1）6÷6＝1（平方厘米） 18×1＝18（平方厘米） 4×1＝4（立方厘米） 表面积是18平方厘米，体积是4立方厘米； （2）36×1＝36（平方厘米） 10×1＝10（立方厘米） 表面积是36平方厘米，体积是10立方厘米； （3）90×1＝90（平方厘米） 35×1＝35（立方厘米） 当放置到5层时，这个立体图形的表面积是90平方厘米，体积是35立方厘米。 高频考点讲练08：长方体、正方体的容积 【典例精讲】刘林想做一个无盖的长方体观赏鱼缸，长8分米，宽6分米，高3分米。 (1)刘林需要选择 （写出序号），共需要 块玻璃。 (2)这个观赏鱼缸的容积是 立方分米。（玻璃厚度不计） 【答案】(1) ①③④⑥⑦ 5 (2)144 【思路引导】（1）做一个无盖长8分米，宽6分米，高3分米的长方体观赏鱼缸，共5个面，需要长为8分米、宽为6分米的一块玻璃作为底，长为8分米、宽为3分米的2块玻璃作为左右两个侧面，长为6分米、宽为3分米的2块玻璃作为前后两个侧面，所以选择①③④⑥⑦，共需要5块玻璃。 （2）根据长方体的体积公式V＝abh，代入公式进行解答。 【完整解答】（1）通过分析可得：需要长为8分米、宽为6分米的1块玻璃，长为8分米、宽为3分米的2块玻璃，长为6分米、宽为3分米的2块玻璃。则刘林需要选择①③④⑥⑦，共需要5块玻璃。 （2）8×6×3 ＝48×3 ＝144（立方分米） 则这个观赏鱼缸的容积是144立方分米。 【演练1】幸福路小学库房里有以下4种规格的长方形、正方形铁皮若干张。 李师傅要焊接一个无盖的长方体（或正方体）水箱，准备从中选出五张铁皮作为水箱的五个面，选哪五张铁皮焊接成的水箱的容积最大？是多少？（铁皮厚度忽略不计） 【答案】1张C铁皮、4张D铁皮；288升 【思路引导】正方体容积＝棱长×棱长×棱长，长方体容积＝长×宽×高，那么当焊接成的正方体或长方体的棱的长度最长时，焊接成的水箱容积最大。观察铁皮规格，发现铁皮最长是8分米，然后是6分米、5分米，那么选用C、D来焊接出的水箱容积最大，需要1张C铁皮、4张D铁皮，焊接成的长方体的长、宽、高分别是6分米、6分米和8分米。将数据代入公式，求出水箱的容积。 【完整解答】6×6×8＝288（立方分米） 288立方分米＝288升 答：选1张C铁皮、4张D铁皮焊接成的水箱的容积最大，容积是288升。 【演练2】一个长方体铁丝框架，长6厘米，宽5厘米，高4厘米。 (1)做这个框架要用铁丝( )厘米，是求这个长方体的( )。 (2)在它的表面贴上塑料板做成盒子，一共要用( )平方厘米的塑料板，是求这个盒子的( )。 (3)求它最多能装多少水，是求这个盒子的( )。 (4)求这个盒子所占空间的大小，是求这个盒子的( )。 【答案】(1) 60 棱长总和 (2) 148 表面积 (3)容积 (4)体积 【思路引导】（1）求这个框架要用的铁丝长度，就是求棱长总和，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可得解。 （2）根据表面积的定义：一个立体图形全部表面的面积之和叫作表面积。在长方体的表面贴上塑料板，求塑料板的面积，其实就是求长方体的表面积，根据，代入数据计算即可得解。 （3）根据容积的定义：能容纳物体的体积叫作容积。求长方体能装多少水，就是求长方体的容积。 （4）根据体积的定义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。据此解答。 【完整解答】（1） （厘米） 做这个框架要用铁丝60厘米，是求这个长方体的棱长总和。 （2） （平方厘米） 在它的表面贴上塑料板做成盒子，一共要用148平方厘米的塑料板，是求这个盒子的表面积。 （3）求它最多能装多少水，是求这个盒子的容积。 （4）求这个盒子所占空间的大小，是求这个盒子的体积。 高频考点讲练09：不规则物体的体积算法 【典例精讲】有小中大三个正方体水池，从里面测量它们的边长分别是2米、3米、6米，把两堆沙分别倒入小、中号水池，水面分别上升了4厘米、6厘米，如果把两堆沙都倒入大号水池，大号水池水面上升( )厘米。 【答案】 【思路引导】有大、中、小三个正方形的水池，可知这三个水池底面都是正方形的，把两堆沙分别沉没在中、小水池的水里，可知底面是不变的，只是水面会升高，升高那部分水的体积就是所放沙的体积，利用长方体的体积公式长宽高，求出两堆沙的体积；再将这两堆沙石都倒入大水池的水里，底面变了，体积没变，水面升高的那部分水的体积就是两堆沙的体积，再用两堆沙的体积和除以大正方形水池的底面积，即可解答，注意单位名数的统一。 【完整解答】2米＝200厘米 3米＝300厘米 6米＝600厘米 200×200×4 ＝40000×4 ＝160000（立方厘米） 300×300×6 ＝90000×6 ＝540000（立方厘米） （160000＋540000）÷（600×600） ＝700000÷360000 ＝（厘米） 如果把两堆沙都倒入大号水池，大号水池水面上升厘米。 【演练1】一个长方体鱼缸的底面是一个边长6分米的正方形，深1米。 （1）小明往里倒入72升的水，水深多少分米？ （2）他又往里放入了一些彩石（彩石全部没入水中），水面上升了3分米，一共放入了多少立方分米的彩石？ 【答案】（1）2分米 （2）108立方分米 【思路引导】（1）小明往鱼缸里倒入72升的水，把72升换算成立方分米为单位；已知鱼缸里的水容积是72升，用水的容积除以长方体鱼缸的底面积，所得结果与鱼缸的深度比较；如果所得结果大于鱼缸的深度，则水深为鱼缸的深度；如果所得结果小于鱼缸的深度，则所得结果即为此时鱼缸的水深。 （2）往鱼缸里放入了一些彩石，彩石全部没入水中，且水面上升了3分米，也就是上升这部分水的体积等于放入这些彩石的体积之和；根据长方体的体积＝长×宽×高，用鱼缸的底面积乘3，所得结果即为放入这些彩石的体积之和。 【完整解答】（1）72升＝72立方分米 72÷（6×6） ＝72÷36 ＝2（分米） 1米＝10分米 因为10分米＞2分米，所以倒入72升的水，水没有溢出。 答：小明往里倒入72升的水，水深2分米。 （2）6×6×3＝108（立方分米） 答：一共放入了108立方分米的彩石。 【演练2】厨房间的长方体水槽，长25厘米，宽18厘米，放了9厘米深的水，现在放入几个土豆，土豆完全浸没在水中，这时水面上升到11厘米。这几个土豆所占的空间有多大？ 【答案】900立方厘米 【思路引导】求这几个土豆所占空间的体积，就是求水面上升（11－9）厘米部分的体积；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【完整解答】25×18×（11－9） ＝450×2 ＝900（立方厘米） 答：这几个土豆所占的空间有900立方厘米。 高频考点讲练10：体积单位间的进率与换算 【典例精讲】在括号里填上合适的数字。 5升＝( )立方厘米              500立方分米＝( )立方米 500平方分米＝( )平方米        50毫升＝( )立方分米 【答案】 5000 0.5 5 0.05 【思路引导】1升＝1立方分米=1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，1平方米＝100平方分米，1立方分米＝1000立方厘米＝1000毫升，高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率。据此解答。 【完整解答】5×1000＝5000（立方厘米） 500÷1000＝0.5（立方米） 500÷100＝5（平方米） 50÷1000＝0.05（立方分米） 所以5升＝5000立方厘米，500立方分米＝0.5立方米，500平方分米＝5平方米，50毫升＝0.05立方分米。 【演练1】在括号里填上适当的数。 0.36立方分米＝( )立方厘米    980立方分米＝( )立方米 4.07立方米＝( )立方米( )立方分米    5.38立方分米＝( )升( )毫升 30立方米＝( )立方分米＝( )毫升  42升＝( )立方米＝( )立方厘米 【答案】 360 0.98 4 70 5 380 30000 30000000 0.042 42000 【思路引导】根据1立方分米＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1升，1立方分米＝1000毫升，1立方米＝1000升，1升＝1000立方厘米，1立方米＝1000000立方厘米，高级单位转化为低级单位乘进率，低级单位转化为高级单位除以进率，单名数转化为复名数，单位相同的整数部分不变，把小数部分转化为低级单位即可。据此解答。 【完整解答】（立方厘米） 0.36立方分米＝360立方厘米 （立方米） 980立方分米＝0.98立方米 （立方分米） 4.07立方米＝4立方米70立方分米 （毫升） 5.38立方分米＝5升380毫升 （立方分米） （毫升） 30立方米＝30000立方分米＝30000000毫升 （立方米） （立方厘米） 42升＝0.042立方米＝42000立方厘米 【演练2】把一个土豆浸没在盛有水的量杯中，水没有溢出，但水上升了0.6厘米，量杯的底面积是0.8平方分米，土豆的体积是（    ）。 A．480立方厘米 B．0.48立方分米 C．48立方厘米 D．48立方分米 【答案】C 【思路引导】根据题意，把一个土豆浸没在盛有水的量杯中，水上升了0.6厘米，那么水上升部分的体积等于土豆的体积；根据圆柱的体积公式V＝Sh，代入数据计算，求出土豆的体积。注意单位的换算：1平方分米＝100平方厘米，1立方分米＝1000立方厘米。 【完整解答】0.8平方分米＝80平方厘米 80×0.6＝48（立方厘米） 48立方厘米＝0.048立方分米 所以，土豆的体积是48立方厘米或0.048立方分米。 故答案为：C 高频考点讲练11：容积单位间的进率与换算 【典例精讲】在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 7080毫升( )70.8立方分米          3.4立方分米( )34立方厘米 9.2立方分米( )9200立方厘米        4.6立方分米( )4.06升 【答案】 ＜ ＞ ＝ ＞ 【思路引导】根据1立方分米＝1升＝1000毫升、1立方分米＝1000立方厘米，高级单位转化为低级单位乘进率，低级单位转化为高级单位除以进率。先统一单位，再比较数的大小。据此解答。 【完整解答】（毫升） ，所以7080毫升＜70.8立方分米； （立方厘米） ，所以3.4立方分米＞34立方厘米； （立方厘米） ，所以9.2立方分米＝9200立方厘米； 4.6立方分米＝4.6升 4.6＞4.06，所以4.6立方分米＞4.06升。 【演练1】我会填。 1立方米＝( )立方分米  1立方分米＝( )立方厘米   1升＝( )毫升 【答案】 1000 1000 1000 【思路引导】对于体积单位的换算：1立方米是棱长为1米的正方体的体积，1米等于10分米，那么这个正方体的体积换算成立方分米就是10×10×10＝1000立方分米，所以1立方米＝1000立方分米。同理，1立方分米是棱长为1分米的正方体的体积，1分米等于10厘米，其体积换算成立方厘米就是10×10×10＝1000立方厘米，所以1立方分米＝1000立方厘米。对于容积单位的换算：1升和1毫升都是常用的容积单位，1升等于1000毫升。 【完整解答】1立方米＝1000立方分米。 1立方分米＝1000立方厘米。 1升＝1000毫升。 【演练2】7.02( )    3.2( ) 8020( )    4200( ) 4.5( )( )    2300( )L 【答案】 7020 3200 8.02 4.2 4500 4500 2.3 【思路引导】相邻的体积（容积）单位之间的进率是1000，1m3＝1000 dm3，1dm3＝1000cm3，1L＝1000 mL，1mL＝1cm3。低级单位转化成高级单位除以进率，高级单位转化成低级单位乘进率，据此解答即可。 【完整解答】7.02×1000＝7020（cm3） 3.2×1000＝3200（dm3） 8020÷1000＝8.02（m3） 4200÷1000＝4.2（dm3） 4.5×1000＝4500（mL） 4500mL＝4500cm3 2300÷1000＝2.3（L） 7.027020    3.23200 80208.02     42004.2 4.545004500    23002.3L 高频考点讲练12：体积（容积）大小的比较 【典例精讲】一种调料分“桶装”和“袋装”两种不同的包装，“袋装”每袋200毫升，每袋2元；“桶装”每桶3升，每桶24元。 （1）一桶调料相当于几袋的容量？ （2）一个饭店想买9升这种调料，只买一种包装，买哪种比较合算？ 【答案】（1）15袋；（2）买桶装的 【思路引导】（1）根据“1升＝1000毫升”将3升换算成毫升，再计算3升里面包含几个200毫升即可。 （2）分别计算两种包装都买9升各需要多少钱，买此种包装的袋数（桶数）×每袋（每桶）需要的钱数＝买这种包装需要的钱数，依此计算并进行比较即可。 【完整解答】（1）3升＝3000毫升 5袋200毫升是1000毫升，3000毫升是3个1000毫升 5×3＝15（袋） 答：一桶调料相当于15袋的容量。 （2）按袋数买： 9升＝9000毫升 9000毫升是9个1000毫升，则需要买200毫升的袋数：5×9＝45（袋） 45×2＝90（元） 按桶数买：3个3升是9升，则9升需要买3桶； 3×24＝72（元） 72＜90 答：买桶装的比较合算。 【演练1】超市里把同样的包装盒摆成了三堆（如图）。第( )堆的体积最小。第( )堆和第( )堆的体积一样大。                      第1堆        第2堆           第3堆 【答案】 2 1 3 【思路引导】根据图片，每堆包装盒都是由小的长方体包装盒组成的，每个小长方体的大小相等，形状相同，所以谁的小包装盒数量多，谁的体积就大，据此数出组成每堆包装盒的小包装盒数量即可。 【完整解答】由分析可得： 第1堆小包装盒数量：8个； 第2堆小包装盒数量：6个； 第3堆小包装盒数量：8个； 6＜8，所以第2堆的体积最小，第1堆和第3堆的体积一样大。 【考点评析】本题解题的关键是通过对图片的分析，将体积大小的比较转换到小包装盒的数量比较上，前提条件是所有的小包装盒要完全一样。 【演练2】容器甲与容器乙的容积相等，则容器甲的体积与容器乙的体积相比（    ）。 A．容器甲体积大 B．容器乙体积大 C．无法判断 D．一样大 【答案】C 【思路引导】计算体积要从容器的外面量需要的数据。计算容积要从容器的里面量需要的数据。两个容器的容积相等，但是两个容器的厚度可能不一样，则这两个容器的体积可能不一样。 【完整解答】容器甲的体积与容器乙的体积相比，无法判断哪个容器的体积较大。 故答案为：C 【考点评析】此题主要考查容积和体积的意义以及它们的计算方法。计算体积是从物体的外面量长、宽、高；计算容积是从里面量长、宽、高。 高频考点讲练13：体积与容积单位间的进率与换算 【典例精讲】3.05立方米＝( )立方分米        0.8升＝( )立方厘米 450平方厘米＝( )平方分米         60毫升＝( )升 【答案】 3050 800 4.5 0.06 【思路引导】根据1立方米＝1000立方分米，1升＝1000立方厘米，1平方分米＝100平方厘米，1升＝1000毫升，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。 【完整解答】3.05×1000＝3050（立方分米）；0.8×1000＝800（立方厘米） 450÷100＝4.5（平方分米）；60÷1000＝0.06（升） 3.05立方米＝3050立方分米；0.8升＝800立方厘米 450平方厘米＝4.5平方分米；60毫升＝0.06升 【演练1】如图是一个长方形纸板，长30厘米，宽20厘米，从这个长方形纸板的四个角剪去一个边长为5厘米的小正方形，将剩余部分折成一个无盖容器，这个容器的容积是( )升。 【答案】1 【思路引导】根据题意可知，长方形纸板剪去的四个角的边长＝长方体容器的高，长方体容器的长＝纸板的长2个小正方形的边长，长方体容器的宽＝纸板的宽2个小正方形的边长，本题考查的是长方体的容积，根据公式“长方体容器的容积＝长×宽×高” ，最后注意单位换算，1立方厘米＝1毫升，1升＝1000毫升，即可解答此题。 【完整解答】30－2×5 ＝30－10 ＝20（厘米） 20－2×5 ＝20－10 ＝10（厘米） 20×10×5 ＝200×5 ＝1000（立方厘米） 1000立方厘米＝1000毫升＝1升 所以，这个容器的容积是1升。 【演练2】下图是一个密封的长方体容器，长35厘米，宽10厘米，高20厘米，里面水深18厘米。（容器的厚度忽略不计） （1）容器中水的体积是多少升？ （2）水与容器接触的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）6.3升 （2）1970平方厘米 【思路引导】（1）已知长方体容器长35厘米、宽10厘米、水深18厘米，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算，求出水的体积，再根据进率“1升＝1000立方厘米”换算单位即可。 （2）观察图形可知，水与容器接触的面是长方体的底面、前后面和左右面共5个面，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，即是水与容器接触的面积。 【完整解答】（1）35×10×18 ＝350×18 ＝6300（立方厘米） 6300立方厘米＝6.3升 答：容器中水的体积是6.3升。 （2）35×10＋35×18×2＋10×18×2 ＝350＋1260＋360 ＝1970（平方厘米） 答：水与容器接触的面积是1970平方厘米。 1．一个透明的玻璃盒里装满了同样的小正方体。小明从盒里拿出一些去搭积木，还剩下一部分（如图）。小明拿出了（    ）个小正方体。 A．102 B．124 C．125 【答案】B 【思路引导】通过观察图形可知，沿长方体盒子的长可以摆7个小正方体，沿宽可以摆5行，沿高可以摆4层，根据长方体的体积公式：，把数据代入公式求出这个盒子一共能装多少个小正方体，然后再减去剩下的个数就是拿出的个数。 【完整解答】 （个） 所以，小明拿出了124个小正方体。 故答案为：B 2．观察下图，如果拿走一个小正方体，下列表述正确的是（    ）。 A．体积和表面积都变小 B．体积变小，表面积变大 C．体积变小，表面积不变 【答案】C 【思路引导】本题考查的是体积和表面积的定义。体积是指物体所占空间的大小，表面积是指物体能摸到的所有面的面积和，依此来解答本题。 【完整解答】因为从长方体上挖去小正方体，物体所占空间的大小发生了改变，变小了； 因为是从一个顶点上挖去一个小正方体，虽然少了原来小正方体的3个面，但是增加了新的3个面，并且面积相等，所以表面积不变。 故答案为：C 3．两个棱长都是5分米的正方体，一个是木块，另一个是铁块，它们的体积相比（    ）大。 A．铁块 B．木块 C．同样 【答案】C 【思路引导】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出木块和铁块的体积，再进行比较即可。 【完整解答】木块和铁块的体积都为5×5×5＝125（立方分米），它们的体积相等； 故答案为：C。 【考点评析】熟练掌握正方体的体积的计算公式是解答本题的关键。 4．把64升水倒入一个长4分米，宽2.5分米，高8分米的长方体水箱中，这时水面距箱口多少分米？（    ） A．6.4 B．3.2 C．0.6 D．1.6 【答案】D 【思路引导】水倒入长方体后，体积不变，变成一个长4分米，宽2.5分米的长方体，先求出64升水在长4分米，宽2.5分米，高8分米的长方体水箱中的高度，该高度＝水的体积÷长方体水箱的底面积，再用水箱的高度减去水的高度即可。 【完整解答】64升＝64立方分米 64÷（4×2.5） ＝64÷10 ＝6.4（分米） 8－6.4＝1.6（分米） 这时水面距箱口1.6分米。 故答案为：D 5．一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体盒子里最多能放（    ）个棱长为2cm的小正方体。 A．14 B．15 C．12 D．18 【答案】C 【思路引导】长方体的长可以放6÷2＝3个正方体，宽可以放4÷2＝2个正方体，5÷2＝2……1，高最多可以放2个正方体，再把长宽高可以放的数量相乘就是这个盒子最多能放的正方体塑料块。 【完整解答】长：6÷2＝3（个） 宽：4÷2＝2（个） 高：5÷2＝2（个）……1（cm） 高最多可以放2个正方体。 3×2×2＝12（个） 一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体盒子里最多能放12个棱长为2cm的小正方体。 故答案为：C 6．下图都是用棱长为1厘米的正方体拼成的，它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 30 8 【思路引导】边长1厘米的正方形，面积是1平方厘米，从前面看有6个小正方形，从上面看有5个小正方形，从右面看有4个小正方形，前后面看到的小正方形个数一样，左右面看到的小正方形个数一样，上下面看到的小正方形个数一样，因此表面积＝（从前面看到的小正方形个数＋从上面看到的小正方形个数＋从右面看到的小正方形个数）×2； 棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，底层5个小正方体，中间1层2个小正方体，最上层1个小正方体，组合体的体积＝小正方体的总个数，据此分析。 【完整解答】（6＋5＋4）×2 ＝15×2 ＝30（平方厘米） 5＋2＋1＝8（立方厘米） 它的表面积是30平方厘米，体积是8立方厘米。 7．如下图，在一块平坦的地面上，实践社团的同学们在工人师傅的帮助下，用砖围了一个长方体水池，池壁厚10（底面利用原有的水泥地）。这个水池的容积是( )。 【答案】8.064 【思路引导】要求这个水泥池的容积，需要知道水泥池里面的长、宽和高，所以先求出水泥池的长和宽，分别减去两个墙厚即可，高不变，然后用长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，就可求出体积，注意单位名数的统一。 【完整解答】10cm＝0.1m （3－0.1×2）×（2－0.1×2）×1.6 ＝（3－0.2）×（2－0.2）×1.6 ＝2.8×1.8×1.6 ＝5.04×1.6 ＝8.064（m3） 这个水池的容积是8.064m3。 8．下图中小球的体积是( )cm3，大球体积是( )cm3。 【答案】 5 10 【思路引导】根据题意可知，用30mL－15mL，求出3个小球的体积，再除以3，求出一个小球的体积；再用15mL－一个小球的体积，即可求出大球的体积，注意单位名数的换算。 【完整解答】（30－15）÷3 ＝15÷3 ＝5（mL） 15－5＝10（mL） 5mL＝5cm3；10mL＝10cm3 下图中小球的体积是5cm3，大球的体积是10cm3。 9．0.58升＝ 毫升 760立方分米＝ 立方米 3185毫升＝ 立方厘米＝ 立方分米 【答案】 580 0.76 3185 3.185 【思路引导】根据进率：1升＝1000毫升，1立方米＝1000立方分米，1毫升＝1立方厘米，1立方分米＝1000立方厘米；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【完整解答】（1）0.58×1000＝580（毫升） 0.58升＝580毫升 （2）760÷1000＝0.76（立方米） 760立方分米＝0.76立方米 （3）3186毫升＝3185立方厘米 3185÷1000＝3.185（立方分米） 3185毫升＝3185立方厘米＝3.185立方分米 10．（1）0.58升＝( )毫升    （2）760立方分米＝( )立方米 【答案】 580 0.76/ 【思路引导】（1）1升＝1000毫升，高级单位化低级单位乘进率； （2）1立方米＝1000立方分米，低级单位化高级单位除以进率。 【完整解答】（1）0.58×1000＝580（毫升） 所以0.58升＝580毫升。 （2）760÷1000＝0.76（立方米） 所以760立方分米＝0.76立方米。 11．一个水桶的体积是19dm3，所以它能装19L的水。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】体积是指物体所占空间大小，根据容积的意义，某容器所能容纳别的物体的体积，叫做容器的容积，物体的容积一般比物体的体积要小，据此解答即可。 【完整解答】19dm3＝19L，一个水桶的体积是19dm3，所以它能装的水要小于19L，本题说法错误。 故答案为：× 【考点评析】本题考查体积和容积，解答本题的关键是掌握容积和体积的概念。 12．两个体积相等的长方体，表面积一定相等。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】长方体的体积V＝abh，长方体的表面积S＝（ab＋bh＋ah）×2，可以假设出长方体的体积，进而就能确定出长、宽、高的值，求出其表面积，于是就可以进行判断。 【完整解答】假设长方体的体积为24立方厘米， 则长方体的长、宽、高可以为4厘米、2厘米和3厘米， 也可以为2厘米、2厘米、6厘米， 所以其表面积分别为： （4×2＋2×3＋3×4）×2 ＝（8＋6＋12）×2 ＝26×2 ＝52（平方厘米） （2×2＋2×6＋6×2）×2 ＝（4＋12＋12）×2 ＝28×2 ＝56（平方厘米） 因此它们的表面积不一定相等。原题干说法错误。 故答案为：× 13．如果一个正方体的棱长扩大到原来的4倍，那么它的表面积和体积也分别扩大到原来的4倍。( )（判断对错） 【答案】× 【完整解答】假设正方体的棱长是1，扩大到原来的4倍变成4，正方体的表面积＝6×棱长×棱长，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算出变化前后的体积和表面积，做对比即可。 【考点评析】原正方体的表面积： 扩大后的表面积： ，即表面积扩大到原来的16倍； 原正方体的体积： 扩大后体的积： ，即体积扩大到原来的64倍； 综上所述，如果一个正方体的棱长扩大到原来的4倍，则它的表面积扩大到原来的16倍，体积扩大到原来的64倍，所以原题说法错误； 故答案为：× 14．求如图图形的表面积和体积。 【答案】表面积216m2；体积189m3 【思路引导】把图形右上角露出的3个面向外平移，把图形右上角的缺口补完整，这样图形的表面积就是棱长为6m的正方体的表面积，根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算求解。 图形的体积等于棱长为6m的正方体的体积减去棱长为3m的正方体的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求解。 【完整解答】表面积： （m2） 体积： （m3） 图形的表面积是216m2，体积是189m3。 15．一个正方体水槽，从里面量，棱长是10厘米。一个长方体水槽，从里面量，长是8厘米，宽是6厘米，高是5厘米。小江把长方体水槽装满水，然后把长方体水槽中的水倒进空的正方体水槽中，正方体水槽中的水高多少厘米？ 【答案】2.4厘米 【思路引导】根据长方体体积＝长×宽×高，求出长方体水槽容积，长方体水槽容积÷正方体水槽底面积＝正方体水槽中的水的高度，据此列式解答。 【完整解答】8×6×5÷（10×10） ＝240÷100 ＝2.4（厘米） 答：正方体水槽中的水高2.4厘米。 16．李叔叔把一块长10厘米、宽8厘米、高7厘米的长方体木料锯成一个最大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】343立方厘米 【思路引导】根据题意，把一个长方体木料锯成一个最大的正方体，则这个正方体的棱长是长方体最短的棱，据此确定这个正方体的棱长；然后根据正方体的体积公式V＝a3，求出这个正方体的体积。 【完整解答】7＜8＜10 则正方体的棱长是7厘米。 7×7×7 ＝49×7 ＝343（立方厘米） 答：这个正方体的体积是343立方厘米。 17．一个长方体的游泳池，长25米，宽12米，深2.5米。 （1）这个游泳池最多能注入多少立方米的水？ （2）工人师傅往游泳池里注入了2米深的水，此时水与游泳池接触的面积是多少平方米？ 【答案】（1）750立方米 （2）448平方米 【思路引导】（1）根据长方体的容积＝长×宽×高，代入数据解答即可； （2）工人师傅往游泳池里注入了2米深的水，此时水与游泳池接触的面积包括游泳池的底面积以及水接触到的侧面积，相当于长25米，宽12米，高为2米的无盖的长方体的表面积，根据无盖的长方体的表面积＝底面积＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算即可解答。 【完整解答】（1）25×12×2.5 ＝300×2.5 ＝750（立方米） 答：这个游泳池最多能注入750立方米的水。 （2）25×12＋25×2×2＋12×2×2 ＝300＋50×2＋24×2 ＝300＋100＋48 ＝400＋48 ＝448（平方米） 答：此时水与游泳池接触的面积是448平方米。 18．安安为了测量一块不规则石头的体积，进行了以下操作。 ①准备一个长方体透明容器，从里面量得长18厘米，宽12厘米，高40厘米。 ②倒入适量的水，水面高度为20厘米。 ③将石头浸没在水中，量出水面高度为28厘米。 这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】1728立方厘米 【思路引导】根据题意，把一块石头浸没在一个长方体透明容器中，水面由20厘米升高到28厘米，上升了（28－20）厘米，那么水上升部分的体积就是这块石头的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出这块石头的体积。 【完整解答】18×12×（28－20） ＝18×12×8 ＝216×8 ＝1728（立方厘米） 答：这块石头的体积是1728立方厘米。 19．小东做测量石块体积”的实验：他先将一块棱长是4厘米的正方体铁块浸没在一个长方体水槽中，然后取出正方体铁块，水槽里的水面下降了2厘米。接着他把要测量的一个石块浸没在水槽中，这时水槽里的水面上升了1.5厘米。这个石块的体积是多少？ 【答案】48立方厘米 【思路引导】由题意可知，下降的水的体积等于棱长是4厘米的正方体铁块的体积，用正方体铁块的体积除以水面下降的高度，求出水槽的底面积，石块的体积等于上升的水的体积，用水槽的底面积乘上升的高度即可求出石块的体积；根据长方体的体积＝底面积×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此代入相关数据解答。 【完整解答】（4×4×4÷2）×1.5 ＝（16×4÷2）×1.5 ＝（64÷2）×1.5 ＝32×1.5 ＝48（立方厘米） 答：这个石块的体积是48立方厘米。 20．我国最大的港口是上海港，它也是世界最大的十大港口之一，每天都有成千上万个集装箱在港口装卸。某个装满货物的长方体集装箱，长10米，宽8米，高4米。如果每立方分米货物重0.3千克，这一箱货物有多少吨？ 【答案】96吨 【思路引导】已知集装箱是一个长10米、宽8米、高4米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，以及进率“1立方米＝1000立方分米”，求出集装箱的体积；再用每立方分米货物的重量乘集装箱的体积，即是这一箱货物的重量。注意换算单位。 【完整解答】10×8×4 ＝80×4 ＝320（立方米） 320立方米＝320000立方分米 320000×0.3＝96000（千克） 96000千克＝96吨 答：这一箱货物有96吨。 $$