（新课衔接）专题05 长方体和正方体（单元复习讲练 知识梳理+易错点拨+14个考点讲练+真题强化 共62题）-2025年苏教版数学五升六年级暑假衔接金牌培优讲义（学生版+教师版）

六年级/上册 小学数学 苏教版 · 2025年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【新课衔接站】 知识梳理+易错点拨+考点讲练+真题强化 （共62题） 专题05 长方体和正方体（单元复习） 专题05 长方体和正方体（单元复习） 暑假衔接 考点讲练练 精讲复习 温故知新 真题强化 知识梳理 易错点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 高频考点 查漏补缺 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 单元复习 知识梳理 3 知识点梳理01：长方体和正方体的认识 3 知识点梳理02：长方体和正方体的表面积 3 知识点梳理03：长方体和正方体的体积 4 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：长方体和正方体的认识 5 易错知识点02：长方体和正方体的表面积 5 易错知识点03：长方体和正方体的体积 5 优选题型 考点讲练 6 高频考点讲练01：长方体棱长的应用 6 高频考点讲练02：正方体棱长的应用 7 高频考点讲练03：长方体表面积的计算 9 高频考点讲练04：长方体表面积计算公式的应用 11 高频考点讲练05：正方体表面积的计算 13 高频考点讲练06：正方体表面积的计算公式的应用 15 高频考点讲练07：组合体的表面积的计算与应用 16 高频考点讲练08：长方体的体积计算与应用 19 高频考点讲练09：正方体的体积计算与应用 21 高频考点讲练10：体积的等积变形（长方体和正方体的体积的应用） 23 高频考点讲练11：立体图形的切拼（长方体和正方体的体积的应用） 24 高频考点讲练12：组合体的体积 26 高频考点讲练13：不规则物体的体积算法 29 高频考点讲练14：表面涂色的正方体 30 真题汇编 能力强化 33 知识点梳理01：长方体和正方体的认识 1、长方体的长、宽、高、棱、顶点    长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高，三条棱相交的点叫作顶点，两个面相交的线叫作棱。 2、长方体和正方体的特征。 长方体 正方体 相同点 面 6个 6个 棱 12条 12条 顶点 8个 8个 不同点 面的形状 6个面都是长方形（也可能有两个相对的面是正方形） 6个面都是正方形 面积 相对的面的面积相等 6个面的面积都相等 棱长 一般情况下，棱有3组，每组互相平行的4条棱长度相等 12条棱的长度都相等 3、长方体和正方体的棱长总和计算公式。 长方体的棱长总和＝(长＋宽＋高)×４               正方体的棱长总和＝棱长×12 4、长方体（或正方体）的展开图。 沿着长方体（或正方体）的棱将它剪开，可以把长方体（或正方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是长方体（或正方体）的展开图。在展开图中，相对的面完全相同，相对的面不相邻。 知识点梳理02：长方体和正方体的表面积 1、表面积的意义。   长方体(或正方体)６个面的总面积，叫作它的表面积。 2、长方体、正方体表面积的计算公式。 Ｓ长方体 ＝ 2ab＋2ah＋2bh（Ｓ表示表面积，a、b、h分别表示长方体的长、宽、高）      Ｓ正方体 ＝ 6a2（a表示棱长） 知识点梳理03：长方体和正方体的体积 1、体积和容积的区别和联系。 体积 容积 不同点 意义 物体所占空间的大小叫作物体的体积 容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积 测量方法 从物体外部测量长、宽、高 从容器的内部测量长、宽、高 单位名称 一般用立方厘米、立方分米、立方米 容积一般用体积单位表示，但求液体的体积时通常用升和毫升 相同点 计算公式 长方体（或正方体）的体积（或容积）=底面积×高（V=Sh ) 重点提示 1.有的物体既有体积，又有容积。在不忽略容器壁的厚度   的情况下，体积一定大于容积 2.有的物体只有体积没有容积 2、容积单位和体积单位的互换。   1升=1立方分米      1毫升=1立方厘米 3、长方体、正方体体积的计算公式。   Ｖ长方体 ＝ abh（Ｖ表示体积，a、b、h分别表示长方体的长、宽、高)   Ｖ正方体 ＝ a3（a表示正方体的棱长）   长方体和正方体体积计算的通用公式:Ｖ＝Ｓｈ（Ｓ表示底面积）。 4、体积单位间的进率。   相邻两个体积单位间的进率是1000。   1立方米=1000立方分米          1立方分米=1000立方厘米   高级单位化成低级单位要乘它们的进率，低级单位化成高级单位要除以它们的进率。 易错知识点01：长方体和正方体的认识 1. 长方体的6个面不一定都是长方形，也可能有一组相对的面是正方形。 2. 判断一个立体图形是不是长方体或正方体，应该以它是否具有长方体或正方体的所有特征为标准。 3. 长方体的12条棱包括4条长、4条宽、4条高，所以它的棱长总和=（长+宽+高）×4，而不是（长+宽+高）×3。 4. 长方体是立体图形，它的展开图是平面图形。 易错知识点02：长方体和正方体的表面积 1. 长方体的6个面不一定都是长方形，也可能有一组相对的面是正方形。 2. 判断一个立体图形是不是长方体或正方体，应该以它是否具有长方体或正方体的所有特征为标准。 3. 长方体的12条棱包括4条长、4条宽、4条高，所以它的棱长总和=（长+宽+高）×4，而不是（长+宽+高）×3。 4. 长方体是立体图形，它的展开图是平面图形。 易错知识点03：长方体和正方体的体积 1、捏橡皮泥时，只是形状发生了改变，但体积不变。 2、有容积的物体一定有体积，有体积的物体不一定有容积。 3、长度单位、面积单位和体积单位之间都不能进行比较。 4、在不忽略容器厚度的情况下，容器的体积和容积不相等。 5、把完全浸入盛有液体的容器中的物体取出时，液面下降前、后体积的变化量就是物体体积。 6、只有相邻的两个体积单位之间的进率才是1000，判断和互化时要看清两个单位是不是相邻的。 7、一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关。因为容器都有一定的厚度，所以一个容器的体积一般大于它的容积。 8、并不是只有棱长是1cm、1dm、1m的正方体的体积才是1cm3、1dm3和1m3。 9、误认为容积就是体积，这是不对的，一定要注意“容积”与“体积”的不同。如一本书有体积，却没有容积。 10、较大容器盛装液体时用“升”作单位，较小容器盛装液体时用“毫升”作单位。 11、明确摆成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少。 12、1立方厘米的小正方体的边长是1厘米。长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成，它的长、宽、高就分别是几厘米，它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数。 高频考点讲练01：长方体棱长的应用 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏苏州·期末）一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是6分米、5分米、4分米。 （1）那么正方体的棱长是多少分米？ （2）长方体的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）5分米 （2）120立方分米 【思路引导】（1）已知长方体的长、宽、高分别是6分米、5分米、4分米，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，据此求出长方体的棱长总和； 已知一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，可知正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此求出正方体的棱长。 （2）根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出这个长方体的体积。 【完整解答】（1）（6＋5＋4）×4 ＝15×4 ＝60（分米） 60÷12＝5（分米） 答：正方体的棱长是5分米。 （2）6×5×4 ＝30×4 ＝120（立方分米） 答：长方体的体积是120立方分米。 【演练1】（24-25六年级上·江苏·假期作业）母亲节到了，乐乐给妈妈准备了一份精美的礼物，并将礼物装在长为20厘米、宽为15厘米、高为10厘米的长方体盒子中，盒子用漂亮的红彩带捆扎（如图），其中打蝴蝶结的地方红彩带长为18厘米。一共需要用红彩带多少厘米？ 【答案】128厘米 【思路引导】根据图示可知，需要红彩带的长度等于长方体的2条长、2条宽和4条高的长度，再加上打蝴蝶结用的长度的和。 【完整解答】 （厘米） 答：一共需要用红彩带128厘米。 【演练2】（24-25六年级上·江苏南京·期中）小刚给奶奶买了一份礼物。营业员用一个长35厘米，宽20厘米，高8厘米的长方体盒子装好并用彩绳进行包扎，打结处需用40厘米，像这样包扎共用彩绳多少厘米？ 【答案】238厘米 【思路引导】根据题意和图形可知，所需彩绳的长度等于2条长＋4条宽＋6条高＋打结处用的40厘米，由此列式解答即可。 【完整解答】35×2＋20×4＋8×6＋40 ＝70＋80＋48＋40 ＝238（厘米） 答：像这样包扎共用彩绳238厘米。 【考点评析】本题考查了长方体的特征，首先分清是如何捆扎的，然后根据棱长总和的计算方法解答即可。 高频考点讲练02：正方体棱长的应用 【典例精讲】24-25六年级上·江苏·课后作业）一根长216厘米的铁丝围成一个正方体，这个正方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】1944平方厘米 【思路引导】已知用一根长216厘米的铁丝围成一个正方体，那么这根铁丝的长度等于正方体的棱长总和； 根据正方体的棱长总和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此求出这个正方体的棱长； 再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算，求出它的表面积。 【完整解答】216÷12＝18（厘米）     18×18×6 ＝324×6 ＝1944（平方厘米） 答：这个正方体的表面积是1944平方厘米。 【演练1】（24-25六年级上·江苏·课后作业）一个长方体木块正好能截成5个完全相同的正方体，这5个正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和增加了320厘米，求原来长方体的棱长总和是多少厘米？ 【答案】280厘米 【思路引导】根据题意，一个长方体木块正好能截成5个完全相同的正方体，需切5－1＝4（次），每切一次增加2个正方形的截面，一共增加4×2＝8个截面，每个截面有4条棱，一共增加8×4＝32条棱长； 已知这5个正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和增加了320厘米，用增加的棱长之和除以32，即是正方体的棱长； 根据正方体的棱长总和＝棱长×12，求出每个正方体的棱长总和，再乘5，求出5个正方体的棱长总和，最后减去320，即是原来长方体的棱长总和。 【完整解答】（5－1）×2×4 ＝4×2×4 ＝32（条） 正方体的棱长：320÷32＝10（厘米） 5个正方体的棱长之和：10×12×5＝600（厘米） 原来长方体的棱长总和：600－320＝280（厘米） 答：原来长方体的棱长总和是280厘米。 【演练2】（23-24六年级上·江苏南通·期中）用一根长60cm的铁丝焊接一个正方体框架，在框架的每个面糊上彩纸，彩纸的面积至少是( )cm2，做成的正方体的体积是( )cm3。 【答案】 150 125 【思路引导】根据题意，用一根长60cm的铁丝焊接一个正方体框架，那么这根铁丝的长度等于正方体的棱长总和，根据正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出这个正方体的棱长； 已知在框架的每个面糊上彩纸，求彩纸的面积，就是求正方体的表面积，根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算求解； 根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求出它的体积。 【完整解答】正方体的棱长：60÷12＝5（cm） 正方体的表面积：5×5×6＝150（cm2） 正方体的体积：5×5×5＝125（cm3） 彩纸的面积至少是150cm2，做成的正方体的体积是125cm3。 高频考点讲练03：长方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏泰州·期中）一个长方体硬纸盒，长30厘米、宽15厘米、高15厘米，做这样一个纸盒需要多少平方厘米的硬纸，下面列式错误的是（    ）。 A．30×15×2＋30×15×2＋15×15×2 B．30×15×4＋15×15×2 C．（30＋15）×2×15＋30×15×2 D．15×15×4＋30×15×2 【答案】D 【思路引导】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，因为这个长方体盒子的宽和高相等，所以这个盒子有2个相同的正方形面，4个完全相同的长方形的面；也可以先求出盒子的侧面积再加上两个底面的面积。 【完整解答】方法一：按照长方体表面积的计算公式计算 30×15×2＋30×15×2＋15×15×2 ＝900＋900＋450 ＝2250（平方厘米） 方法二：按照4个相同长方形的面积之和加上2个相同的正方形面积之和计算 30×15×4＋15×15×2 ＝450×4＋225×2 ＝1800＋450 ＝2250（平方厘米） 方法三：按照侧面积加上2个底面的面积计算 （30＋15）×2×15＋30×15×2 ＝45×2×15＋450×2 ＝90×15＋900 ＝1350＋900 ＝2250（平方厘米） 因此列式正确的有A、B、C，选项D是错误的。 故答案为：D 【演练1】（23-24六年级上·山西临汾·期中）王叔叔在院子里用混凝土浇筑了一个无盖的长方体水槽（如图，底面也浇筑混凝土），这个水槽从外面量长12分米，宽8分米，高5分米，混凝土厚1分米。 （1）这个水槽最多可以盛水多少升？ （2）如果在水槽外贴一圈瓷砖，那么贴瓷砖的面积是多少平方米？ 【答案】（1）240升 （2）2平方米 【思路引导】（1）水槽最多可以盛水多少升，是求长方体的容积，要从里面量。因此长方体的容积＝（长方体的长－混凝土厚×2）×（长方体的宽－混凝土厚×2）×（长方体的高－混凝土厚），代入数据计算即可。 （2）在水槽外贴一圈瓷砖，即求前后左右4个面的面积，因此贴瓷砖的面积＝长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算即可。 【完整解答】（1）（12－1×2）×（8－1×2）×（5－1） ＝（12－2）×（8－2）×（5－1） ＝10×6×4 ＝240（立方分米） ＝240（升） 答：这个水槽最多可以盛水240升。 （2）12×5×2＋8×5×2 ＝120＋80 ＝200（平方分米） ＝2（平方米） 答：贴瓷砖的面积是2平方米。 【演练2】（23-24六年级上·山西太原·期中）用3个棱长2分米的正方体摆成一个长方体，这个长方体的体积是( )立方分米，表面积是( )平方厘米，棱长总和是( )米。 【答案】 24 5600 4 【思路引导】这个长方体的体积等于3个正方体的体积的和。 拼好的长方体的长是（2×3）分米，宽是2分米，高是2分米，利用长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算长方体的表面积，长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，由此列式计算即可。 注意换算单位，高级单位转化为低级单位乘两个单位之间的进率，低级单位转化为高级单位除以两个单位之间的进率。1平方分米＝100平方厘米，1米＝10分米。 【完整解答】2×2×2×3＝24（立方分米） 长方体的长：2×3＝6（分米） （6×2＋6×2＋2×2）×2 ＝（12＋12＋4）×2 ＝28×2 ＝56（平方分米） 56平方分米＝5600平方厘米 （6＋2＋2）×4 ＝10×4 ＝40（分米） 40分米＝4米 则这个长方体的体积是24立方分米，表面积是5600平方厘米，棱长和是4米。 高频考点讲练04：长方体表面积计算公式的应用 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏泰州·期中）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽4分米，高3.5分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入40升水，水深多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） （3）再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.4分米，鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 【答案】（1）83平方分米 （2）2分米 （3）8立方分米 【思路引导】（1）根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把数据代入公式解答。 （2）根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷a÷b，把数据代入公式解答。 （3）根据题意可知，把一些鹅卵石放入鱼缸中，水面上升了0.4分米，上升部分水的体积就等于这些鹅卵石的体积，根据长方体的体积公式解答。 【完整解答】（1）5×4＋5×3.5×2＋4×3.5×2 ＝20＋35＋28 ＝83（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃83平方分米。 （2）40升＝40立方分米 40÷5÷4 ＝8÷4 ＝2（分米） 答：水深2分米。 （3）5×4×0.4 ＝20×0.4 ＝8（立方分米） 答：鹅卵石的体积是8立方分米。 【考点评析】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。 【演练1】（24-25六年级上·江苏南京·期中）电影院的大门前有5级台阶（如图）。 （1）5级台阶一共占地多少平方米？ （2）给这些台阶铺上地毯，至少需要多少平方米的地毯？ 【答案】（1）5.2平方米；（2）9.2平方米 【完整解答】（1）占地面积计算整块台阶的底面积，用4乘1.3即可求出这5级台阶的占地面积。 （2）根据图形的平移可知：铺地毯的面积＝占地面积＋5级台阶侧面的面积，即用占地面积加1乘4的积。 【解答】（1）4×1.3＝5.2（平方米） 答：5级一共台阶占地5.2平方米。 （2）5.2＋1×4 ＝5.2＋4 ＝9.2（平方米） 答：至少需要9.2平方米地毯。 【演练2】（24-25六年级上·全国·期中）潜艇小组制作出一款潜艇模型，需要定制一款长方体展示盒将潜艇模型展示出来（如图），展示盒的长为40厘米，宽为10厘米，高为14厘米，制作一个这样的展示盒（四周和上面是玻璃），需要多少平方厘米的玻璃？ 【答案】1800平方厘米 【思路引导】需要玻璃的平方数，就是求这个长方体的5个面的面积和即可以用长方体的表面积再减去一个底面积即可解答。长方体的表面积（长宽长高宽高）。 【完整解答】 （平方厘米） 答：需要1800平方厘米的玻璃。 高频考点讲练05：正方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25六年级上·全国·期中）计算下面图形的表面积和体积。 【答案】； ； 【思路引导】左图的表面积等于长方体的表面积加上正方体的侧面积，体积等于长方体和正方体体积之和； 右图的表面积等于正方体的表面积，体积等于正方体的体积减去缺口处小正方体的体积。 【完整解答】表面积： 体积： 左图的表面积是，体积是。 表面积： 体积： 右图的表面积是，体积是。 【演练1】（23-24六年级上·江苏泰州·期中）把表面积是48平方厘米的正方体切分成两个不同的长方体，如果第一个长方体的表面积是20平方厘米，第二个长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】44 【思路引导】把正方体切成2个长方体，表面积比原来增加了2个正方形面的面积，已知原来正方体的表面积是48平方厘米，用表面积除以6即可求出1个面的面积，进而求出2个面的面积；然后用原来正方体的表面积加上增加的面积，即可求出现在2个长方体的表面积，最后减去第一个长方体表面积，即可求出第二个长方体表面积。 【完整解答】48÷6＝8（平方厘米） 8×2＝16（平方厘米） 48＋16＝64（平方厘米） 64－20＝44（平方厘米） 第二个长方体的表面积是44平方厘米。 【演练2】（23-24五年级下·重庆万州·期末）一个正方体的棱长是3厘米，用这样的小正方体拼成一个更大的正方体，拼成的正方体的表面积至少是( )平方厘米。 【答案】216 【思路引导】首先，要拼成一个更大的正方体，所用小正方体的个数必须是一个整数的立方，因为题目要求至少的情况，所以最少需要8个小正方体。一个小正方体棱长是3厘米，那么拼成的大正方体棱长就应该是小正方体棱长的2倍，即6厘米。接下来计算大正方体的表面积，只需要根据正方体表面积公式：表面积＝6×棱长×棱长，就能得出结果。 【完整解答】3×2＝6（厘米） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 拼成的正方体的表面积至少是216平方厘米。 高频考点讲练06：正方体表面积的计算公式的应用 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏南通·期中）观察下图中数字1、2、3所在位置，挖掉（    ）处的一个小正方体后，剩下部分的表面积最大。 A．数字1 B．数字2 C．数字3 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】挖掉数字1处的一个小正方体，表面积不变；挖掉数字2处的一个小正方体剩下部分表面积增加了4个小正方形的面积，挖掉数字3处的一个小正方体，增加2个小正方形的面积，所以挖掉数字2处的小正方体后剩下部分的表面积最大。据此解答即可。 【完整解答】由分析可知： 挖掉数字2处的一个小正方体后，剩下部分的表面积最大。 故答案为：B 【演练1】（24-25六年级上·江苏·阶段练习）把一根长2.4米的长方体钢材截成相同的三段，表面积比原来增加2平方分米，则长方体钢材的横截面面积是( )平方分米，每段钢材的体积是( )立方分米。 【答案】 0.5/ 4 【思路引导】把长方体钢材截成相同的三段，截两下，会增加4个横截面，用得横截面面积，用原来钢材的长除以3，得每段钢材的长，再用横截面乘每段钢材的长即可得每段钢材的体积。单位不同要先统一单位，据此解答。 【完整解答】或（平方分米） 2.4米＝24分米 （立方分米） 把一根长2.4米的长方体钢材截成相同的三段，表面积比原来增加2平方分米，则长方体钢材的横截面面积是0.5（或）平方分米，每段钢材的体积是4立方分米。 【演练2】（22-23六年级上·江苏盐城·期中）把一根长1.8米，宽和高都是2分米的长方体木料沿与横截面平行的方向切成5段，表面积比原来增加了( )平方分米，这根木料的体积是( )立方分米。 【答案】 32 72 【思路引导】这个木料的宽和高都是2分米，则这根木料的横截面面积为：2×2＝4（平方分米）； 将木料切成5段需要切4刀，切1刀增加2个面，则切4刀增加8个面。因为是沿着与横截面平行的方向切，所以表面积增加8个横截面。长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可，注意换算单位。 【完整解答】横截面的面积：2×2＝4（平方分米） （5－1）×2＝8（个） 表面积增加的面积：4×8＝32（平方分米） 1.8米＝18分米，这根木料的体积：18×2×2＝72（立方分米） 高频考点讲练07：组合体的表面积的计算与应用 【典例精讲】（24-25六年级上·全国·期中）由7个相同的小正方体（棱长为1）搭成的几何体如图所示，它的表面积是( )。 【答案】28 【思路引导】分别找出从前、后、左、右，上下看到的面的总个数，再与1个边长是1的正方形的面积相乘即可求出表面积。 【完整解答】由7个相同的小正方体搭成的几何体比原来7个小正方体减少14个面， （个） 它的表面积是28。 【演练1】（23-24六年级上·江苏淮安·期中）如图是由棱长1厘米的小正方体堆积起来的，它的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。至少再添( )个小正方体就可以堆积成一个稍大的正方体。 【答案】 8 28 19 【思路引导】棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，这个立体图形有几个小正方体体积就是几立方厘米。观察可知，一共有3层，最上层1个小正方体，中间1层3个小正方体，最下层4个小正方体，将3层个数相加即可确定体积； 边长1厘米的正方形，面积是1平方厘米，这个立体图形的表面有多少个小正方形，表面积就是多少平方厘米。从前面看有5个小正方形，从上面看有4个小正方形，从右面看有5个小正方形，前后面看到的个数一样，上下面看到的个数一样，左右面看到的个数一样，（前面看到的个数＋上面看到的个数＋右面看到的个数）×2＝表面积； 拼成的稍大正方体棱长上至少有3个小正方体，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出稍大正方体需要的小正方体个数，减去已有小正方体个数，即可求出需要添上的小正方体的个数。 【完整解答】1＋3＋4＝8（立方厘米） （5＋4＋5）×2 ＝14×2 ＝28（平方厘米） 3×3×3－8 ＝27－8 ＝19（个） 它的体积是8立方厘米，表面积是28平方厘米。至少再添19个小正方体就可以堆积成一个稍大的正方体。 【演练2】（23-24六年级上·江苏南京·期中）如下图，每个小正方体的棱长是1分米，按照这样的规律继续摆下去，第③个立体图形的表面积是( )平方分米，第⑥个立体图形共有( )个小正方体。 【答案】 54 66 【思路引导】边长1分米的正方形，面积是1平方分米，立体图形的表面有几个边长1分米的小正方形，表面积就是几平方分米。看图可知，第③个立体图形从前后左右4个方向观察都是9个小正方形，从上面和下面观察都是9个小正方形，据此确定第③个立体图形表面小正方形的个数即可。 第①个立体图形有1个小正方体；第②个立体图形有2层，增加了（1＋4）个小正方体；第③个立体图形有3层，在第②个立体图形的基础上又增加了（5＋4）个小正方体；以此类推，第⑥个立体图形有6层，下边每层都比上边1层多4个小正方体，据此将各层小正方体个数相加即可。 【完整解答】9×4＋9×2 ＝36＋18 ＝54（平方分米） 1＋（1＋4）＋（1＋4＋4）＋（1＋4＋4＋4）＋（1＋4＋4＋4＋4）＋（1＋4＋4＋4＋4＋4） ＝1＋5＋9＋13＋17＋21 ＝66（个） 第③个立体图形的表面积是54平方分米，第⑥个立体图形共有66个小正方体。 高频考点讲练08：长方体的体积计算与应用 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏·课后作业）食品工人要将长，宽各为30cm、高为15cm的长方体月饼盒装入棱长为45cm的正方体纸盒，最多能装几盒？ 【答案】5盒 【思路引导】按图中月饼盒的摆放，先用计算装入正方体中，第一层能放多少盒，用45除以30；再看能放多少层，用45除以长方体的高，再用长、宽、高所放的盒数相乘，得到正放有几盒。因为正方体纸盒还有空余，刚好是15厘米，月饼盒的高也是15厘米，而空余处的另外两条边是45厘米，足够存月饼盒的另外两条边。以月饼盒“15cm，30cm”的侧面为底，还分别可放2个1盒，所以用正放的盒数加上侧放的盒数，即可得解。 【完整解答】45÷30＝1（盒）……15（cm） 45÷15＝3（盒）           （盒） （盒） 答：最多能装5盒。 【演练1】（24-25六年级上·江苏·课后作业）一个长方体水箱里装了一些水，从里面量长、宽、高分别是1.2米、0.8米、5分米，水的高度是4分米。往水箱里放入1个棱长是4分米的正方体铁块后，水箱里的水是否会溢出？ 【答案】不会 【思路引导】长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。根据题意，先换算单位，1.2米＝12分米，0.8米＝8分米，求水箱的水是否会溢出来，就是求水箱没有水的部分的体积是否大于正方体铁块的体积，如果大于就不会溢出来，反之则会。 【完整解答】1.2米＝12分米 0.8米＝8分米 12×8×（5－4） ＝96×1 ＝96（立方分米） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 96立方分米＞64立方分米 答：水不会溢出。 【演练2】（24-25六年级上·江苏常州·期中）如图1是边长为30厘米的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体纸盒。已知该长方体的宽是高的2倍，则它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 700 1000 【思路引导】看图可知，正方形纸板的边长包含2条高和2条宽，宽是高的2倍，根据和倍问题的解题方法，正方形边长÷（1＋1＋2＋2）＝高，高×2＝宽，正方形边长－高×2＝长，据此确定长方体的长、宽、高。根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。 【完整解答】高：30÷（1＋1＋2＋2） ＝30÷6 ＝5（厘米） 宽：5×2＝10（厘米） 长：30－5×2 ＝30－10 ＝20（厘米） 表面积：（20×10＋20×5＋10×5）×2 ＝（200＋100＋50）×2 ＝350×2 ＝700（平方厘米） 体积：20×10×5＝1000（立方厘米） 它的表面积是700平方厘米，体积是1000立方厘米。 【考点评析】关键是掌握和倍问题的解题方法，先确定长、宽、高，再灵活运用长方体表面积和体积公式。 高频考点讲练09：正方体的体积计算与应用 【典例精讲】（24-25六年级上·全国·期中）如图：封闭玻璃容器里装有液体（单位：，竖放时液体刚好成正方体的形状，横放时，液体高( )。 【答案】3.6 【思路引导】根据体积的意义可知，这个容器无论横放、还是竖放，容器内水的体积不变，根据正方体的体积公式：，长方体的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。 【完整解答】 （厘米） 液体高3.6cm。 【演练1】（23-24六年级上·江苏淮安·期中）一个长方体木块的长是8分米、宽是6分米、高是5分米，把这个长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是( )平方分米；剩余的体积是( )立方分米。 【答案】 150 115 【思路引导】根据题意可知，长方体削成一个最大正方体，正方体的棱长等于长方体的高；根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，求出这个正方体的表面积；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，分别求出长方体木块的体积和削成正方体木块的体积，再用长方体木块的体积－削成正方体木块的体积，即可解答。 【完整解答】5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方分米） 8×6×5－5×5×5 ＝48×5－25×5 ＝240－125 ＝115（立方分米） 一个长方体木块的长是8分米、宽是6分米、高是5分米，把这个长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是150平方分米；剩余的体积是115立方分米。 【演练2】（21-22六年级上·江苏南京·期中）下图是用体积1立方厘米的小正方体摆成的物体。 （1）这个物体的表面积是( )平方厘米。 （2）如果现在你手里还有一些相同的小正方体可添放在这个物体上，要保持前面和右面看到的形状不变，则最多可以添加( )个小正方体。 （3）如果增加同样的小正方体，把这个物体补成一个大正方体，至少还需要( )个这样的小正方体。 【答案】 36 4 17 【思路引导】（1）观察图形可知，这个立体图形一共有6个面，每一个面有6个小正方形，这个立体图形一共有6×6个小正方形组成，一个小正方体的体积是1立方厘米，一个小正方形的面积是1平方厘米，这个立体图形的面积就是36×1＝36平方厘米。 （2）最底下一层，从前往后数第一行第二列的位置添加一个，第二行第三列的位置可添加2个，第二行的位置可以添加1个。最多添加：1＋2＋1＝4个，据此解答； （3）观察图形可知，大正方体的棱长是3个小正方体棱长的和，大正方体的棱长＝1×3＝3厘米，大正方形的体积＝3×3×3＝27立方厘米，现有图形的体积是6＋3＋1＝10立方厘米，用大正方体的体积减去现有图形的体积，即27－10＝17立方厘米，再用17立方厘米÷1立方厘米，就是需要的小正方体个数，据此解答。 【完整解答】（1）这个物体的表面积是36平方厘米； （2）如果现在你手里还有一些相同的小正方体可添放在这个物体上，要保持前面和右面看到的形状不变，则最多可以添加4个小正方体； （3）1×3＝3（厘米） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（立方厘米） 27－（1×10） ＝27－10 ＝17（立方厘米） 17÷1＝17（个） 如果增加同样的小正方体，把这个物体补成一个大正方体，至少还需要17个这样的小正方体 【考点评析】本题考查不规则物体的表面积的求法，以及正方体体积公式的应用。 高频考点讲练10：体积的等积变形（长方体和正方体的体积的应用） 【典例精讲】（23-24六年级上·河南新乡·期末）一个正方体水槽，从里面量，棱长是10厘米。一个长方体水槽，从里面量，长是8厘米，宽是6厘米，高是5厘米。小江把长方体水槽装满水，然后把长方体水槽中的水倒进空的正方体水槽中，正方体水槽中的水高多少厘米？ 【答案】2.4厘米 【思路引导】根据长方体体积＝长×宽×高，求出长方体水槽容积，长方体水槽容积÷正方体水槽底面积＝正方体水槽中的水的高度，据此列式解答。 【完整解答】8×6×5÷（10×10） ＝240÷100 ＝2.4（厘米） 答：正方体水槽中的水高2.4厘米。 【演练1】（23-24六年级下·江苏镇江·期末）下图是一个透明的密封容器，水深6厘米，如果把它的右面作为底面，平放在桌上，这时水面的高是（    ）厘米。 A．4 B．8 C．6 D．10 【答案】A 【思路引导】透明容器里面的水的体积不发生改变，水的形状可以看成是一个长方体，则水的体积＝长方体的体积＝长×宽×高，即体积是192立方厘米，以右面为底面的水的体积也是192立方米，右面的面积＝底面积＝长×宽。再根据水面的高＝水的体积÷底面积。据此计算即可。 【完整解答】8×4×6＝192（立方厘米） 12×4＝48（立方厘米） 192÷48＝4（厘米） 所以如果把它的右面作为底面，平放在桌上，这时水面的高是4厘米。 故答案为：A 【演练2】（23-24六年级上·江苏扬州·期中）只列综合算式（或方程），不计算。 把一块棱长是0.6米的正方体钢坯，锻造成横截面面积是0.08平方米的长方体钢材，锻成的钢材长多少米？ 【答案】0.6×0.6×0.6÷0.08 【思路引导】根据题意，把一块正方体钢坯锻造成长方体钢材，那么钢坯的体积不变。 先根据正方体的体积公式V＝a3，求出钢坯的体积；再根据长方体的高h＝V÷S，求出锻成的钢材的长度。 【完整解答】0.6×0.6×0.6÷0.08 ＝0.36×0.6÷0.08 ＝0.216÷0.08 ＝2.7（米） 答：锻成的钢材长2.7米。 高频考点讲练11：立体图形的切拼（长方体和正方体的体积的应用） 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏·单元测试）把棱长1m的正方体木块切成棱长1cm的小正方体木块，一共能切( )块，把它们排成一排，排成的距离比1km多( )km。 【答案】 1000000 9 【思路引导】先根据正方体的体积公式V＝a3，求出棱长为1m和棱长为1cm的大、小正方体的体积，再用大正方体的体积除以小正方体的体积，即是一共能切成小正方体的块数； 把棱长1cm的小正方体木块排成一排，用小正方体的棱长乘小正方体的块数，求出排成一排的距离，再减去1km即可。 注意单位的换算：1m＝100cm，1km＝100000cm。 【完整解答】1m＝100cm （100×100×100）÷（1×1×1） ＝1000000÷1 ＝1000000（块） 1000000×1＝1000000（cm） 1000000cm＝10km 10－1＝9（km） 一共能切（1000000）块，把它们排成一排，排成的距离比1km多（9）km。 【演练1】（24-25六年级上·江苏苏州·期中）下面的物体是用1立方厘米的正方体摆成的，它的体积是（    ）。 A．9立方厘米 B．8立方厘米 C．10立方厘米 【答案】C 【思路引导】体积表示物体所占空间的大小叫做物体的体积，根据题意，一个小正方体的体积是1立方厘米，数出图形中有几个小正方体，体积就是几立方厘米，据此解答。 【完整解答】 有2层，上层2个小正方体，下层有8个小正方体，一共有2＋8＝10（个）小正方体。 1×10＝10（立方厘米） 它的体积是10立方厘米。 故答案为：C 【演练2】（21-22六年级上·江苏·课后作业）一块长方体木块，沿着高锯掉2厘米后，成为一个正方体，表面积减少40平方厘米，求原来长方体木块的体积。 【答案】175立方厘米 【思路引导】首先关注长方体沿高锯掉2厘米前后的变化——表面积减少40平方厘米，实际上，减少的是与原长方体同长同宽，但高为2里面的那部分长方体的侧面积。这个侧面积有前、后、左、右4个面，4个面面积为40平方厘米，则一个面的面积可求，而一个面的宽（即锯掉长方体的高）为2厘米，则每个面的长也可求，列式为40÷4÷2，由于锯掉一部分后变成了正方体，则宽与长相等，都是5厘米。因为是沿高锯掉的，原长方体的长与宽并没有改变，只是高减少了2厘米，则原长方体的体积＝5×5×（5＋2），计算即可。 【完整解答】40÷4÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 5×5×（5＋2） ＝25×7 ＝175（立方厘米） 答：原来长方体木块的体积是175立方厘米。 【考点评析】长方体中有6个面，其中只有一组相对的面可以为正方形。本题涉及到的长方体就是这种类型。沿高锯掉2厘米成为正方体，则要从锯掉那部分长方体减少的面积入手，层层突破，解决问题。 高频考点讲练12：组合体的体积 【典例精讲】（23-24六年级上·安徽合肥·期中）求出下面图形的体积。（单位：厘米） 【答案】立方厘米 【思路引导】根据立体图形可知原长方体的体积为（立方厘米），缺口处的长方体的体积为（立方厘米），进而可知立体图形的体积为（立方厘米）。 【完整解答】 （ 立方厘米） 下面图形的体积立方厘米。 【考点评析】本题考查了长方体的体积公式，熟练运用长方体的体积公式是解题的关键。 【演练1】（23-24六年级上·江苏泰州·期中）下面是用棱长为1厘米的小正方体摆成的立体图形。 表面积是6平方厘米，体积是1立方厘米。 (1)表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米； (2)表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米； (3)当放置到5层时，这个立体图形的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】(1) 18 4 (2) 36 10 (3) 90 35 【思路引导】 （1）已知小正方体的表面积是6平方厘米，根据正方体的表面积公式，用6÷6即可求出1个面的面积；通过观察可知，的表面由18个小正方形面组成，用乘法求出这个立体图形的表面积；由4个小正方体组成，已知1个小正方体的体积是1立方厘米，用乘法即可求出这个立体图形的体积； （2）通过观察可知，的表面由36个小正方形面组成，用乘法求出这个立体图形的表面积；由10个小正方体组成，已知1个小正方体的体积是1立方厘米，用乘法即可求出这个立体图形的体积； （3）如图： 观察规律可知，当放置到5层时，这个立体图形的表面由90个小正方形面组成，用乘法求出这个立体图形的表面积；这个立体图形由35个小正方体组成，已知1个小正方体的体积是1立方厘米，用乘法即可求出这个立体图形的体积。 【完整解答】（1）6÷6＝1（平方厘米） 18×1＝18（平方厘米） 4×1＝4（立方厘米） 表面积是18平方厘米，体积是4立方厘米； （2）36×1＝36（平方厘米） 10×1＝10（立方厘米） 表面积是36平方厘米，体积是10立方厘米； （3）90×1＝90（平方厘米） 35×1＝35（立方厘米） 当放置到5层时，这个立体图形的表面积是90平方厘米，体积是35立方厘米。 【演练2】（23-24六年级上·江苏淮安·期中）（如图）一个棱长为3cm的正方体，如果从它的顶点处挖去一个棱长1cm的小正方体，这个立体图形的表面积与原正方体的表面积相比，表面积（    ）。体积和原来的正方体相比（    ）。 A．增加了；没有变 B．没有变；减少了 C．减少了；增加了 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】从正方体顶点处挖去一个小正方体，看上去表面积减少了3个小正方形，又出现了同样的3个小正方形，因此表面积不变；现在的体积＝大正方体体积－小正方体体积，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此分析。 【完整解答】原来正方体表面积：3×3×6＝54（cm2） 现在表面积：3×3×6＝54（cm2） 原来正方体体积：3×3×3＝27（cm3） 现在体积：3×3×3－1×1×1 ＝27－1 ＝26（cm3） 54＝54、26＜27 这个立体图形的表面积与原正方体的表面积相比，表面积没有变。体积和原来的正方体相比减少了。 故答案为：B 高频考点讲练13：不规则物体的体积算法 【典例精讲】（23-24六年级上·江苏连云港·期中）一个足够高的长方体容器中装有水，小明将一个棱长厘米的正方体铁块完全浸没在水中（水没有溢出），水面上升了厘米；再将一个长厘米、宽厘米、高厘米的长方体铁块也完全浸没在水中（水仍没有溢出），水面又会上升多少厘米？ 【答案】2.4厘米 【思路引导】根据正方体的体积棱长棱长棱长可知正方体铁块的体积，再利用长方体的体积公式底面积高可知长方体容器的底面积为(平方厘米)，再利用 长方体的体积长宽高可知长方体铁块的体积，最后利用长方体的体积底面积解答即可。 【完整解答】（平方厘米） （厘米） 答：水面又会上升厘米。 【考点评析】本题考查了长方体的体积公式，正方体的体积公式，熟记长方体和正方体的体积公式是解题的关键。 【演练1】（23-24六年级上·江苏连云港·期中）一个无盖的正方体玻璃鱼缸的棱长为3分米，水深2分米。小明在水里放了一条鲫鱼后测得水面高为2.2分米。鲫鱼体积为（    ）立方分米。 A．13.2 B．12 C．1.2 D．1.8 【答案】D 【思路引导】根据题意可知，水面上涨的体积就是鲫鱼的体积；原来水深为2分米，水面升高（2.2－2）分米，用底面积乘（2.2－2）即可求出鲫鱼体积。。 【完整解答】3×3×（2.2－2） ＝9×0.2 ＝1.8（立方分米） 所以鲫鱼体积为1.8立方分米。 故答案为：D 【演练2】（24-25六年级上·江苏·期中）一个长方体玻璃缸，长6分米，宽5分米，高6分米，其中水深2.8分米，若投入一个棱长为3分米的正方体铁块（底部与玻璃缸底部完全接触），则水面上升( )分米。 【答案】0.9 【思路引导】根据题意，正方体铁块的体积＝上升的水的体积，上升的水的形状是长6分米，宽5分米的长方体。正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此代入数据计算即可求出正方体铁块的体积，即上升的水的体积，再根据长方体的体积＝长×宽×高，用上升的水的体积除以玻璃缸的长和宽，即可求出水面上升的高度。 【完整解答】3×3×3＝27（立方分米） 27÷6÷5＝0.9（分米） 则水面上升0.9分米。 高频考点讲练14：表面涂色的正方体 【典例精讲】（24-25六年级上·安徽蚌埠·期末）表面涂色的正方体我们是这样研究的： 各种小正方体的个数与正方体顶点、面和棱的个（条）数有关。 要把找、数、算等方法结合起来， 并根据图形的特征进行思考。 把一个长5厘米、宽4厘米、高6厘米的长方体木块表面全部涂上红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体木块（如上图）。 (1)这个长方体中3 面涂色的小正方体在( ) 的位置，共有( ) 个。 (2)2面涂色的小正方体在( ) 的位置，共有( ) 个。 (3)1面涂色的小正方体在( ) 的位置，共有( ) 个。 【答案】(1) 长方体的顶点 8 (2) 长方体每条棱上中间 36 (3) 长方体每个面上中间 52 【思路引导】（1）观察图形可知，三面涂色的小正方体位于长方体的顶点处；长方体有8个顶点，则三面涂色的小正方体共有8个。 （2）两面涂色的小正方体位于长方体每条棱上（除去2个顶点）的中间位置；图中长方体的每条长上有5－2＝3（个）这样的小正方体，每条宽上有4－2＝2（个）这样的小正方体，每条高上有6－2＝4（个）这样的小正方体。长方体的长、宽、高各有4条，用（3＋2＋4）乘4即可求出几个两面涂色的小正方体。 （3）一面涂色的小正方体位于长方体每个面上（除去棱上）的中间位置，图中长方体的上、下面每个面上有（5－2）×（4－2）个；前、后面每个面上有（6－2）×（5－2）个；左、右面每个面上有（6－2）×（4－2）个。长方体有6个面，相对的面完全相同，据此用式子的结果分别乘2，再把它们加起来，即可求出一面涂色的小正方体的个数。 【完整解答】（1）通过分析可得：这个长方体中3 面涂色的小正方体在长方体的顶点的位置，共有8个。 （2）5－2＝3（个） 4－2＝2（个） 6－2＝4（个） （3＋2＋4）×4 ＝9×4 ＝36（个） 则2面涂色的小正方体在长方体每条棱上中间的位置，共有36个。 （3）上、下面：（5－2）×（4－2）×2 ＝3×2×2 ＝12（个） 前、后面：（6－2）×（5－2）×2 ＝4×3×2 ＝24（个） 左、右面：（6－2）×（4－2）×2 ＝4×2×2 ＝16（个） 12＋24＋16＝52（个） 则1面涂色的小正方体在长方体每个面上中间的位置，共有52个。 【演练1】（24-25六年级上·江苏徐州·期中）把一个正方体木块表面涂满红色，平均切成27个大小相等的小正方体。切成的小正方体中，3个面涂红色的小正方体有 个，1个面涂红色的小正方体有 个。 【答案】 8 6 【思路引导】依据题意可知，大正方体被分成（3×3×3）个小正方体，3个面涂红色的小正方体在大正方体的顶点位置处，1个面涂红色的小正方体在大正方体的6个面上（除去棱上的小正方体），由此解答本题。 【完整解答】由分析可知： 3个面涂红色的小正方体有8个，1个面涂红色的小正方体有6个。 【演练2】（20-21六年级上·河南平顶山·期末）一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的表面涂色的长方体，分割成棱长1厘米的小正方体这些小正方体中两面涂色的有( )个，一面涂色的有( )个。 【答案】 48 88 【思路引导】长方体的长、宽、高分别切割成8个、6个、4个小正方体，其中两面涂色的小正方体在每条棱上除去端点的两个，一面涂色的小正方体在每个长方体的面上，除去四周的小正方体，据此解答。 【完整解答】（8－2）×4＋（6－2）×4＋（4－2）×4 ＝6×4＋4×4＋2×4 ＝24＋16＋8 ＝48（个） （8－2）×（6－2）×2＋（8－2）×（4－2）×2＋（6－2）×（4－2）×2 ＝24×2＋12×2＋8×2 ＝48＋24＋16 ＝88（个） 分割成棱长1厘米的小正方体这些小正方体中两面涂色的有48个，一面涂色的有88个。 【考点评析】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点： 1面涂色的在面上， 2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题。 1．（24-25六年级下·全国·课后作业）左图最有可能是下面图（    ）的表面展开图。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据长方体表面展开图的特征，题干中的长方体有4个面一样大，另两个面一样大，逐一分析每个选项，看哪个选项的立体图形能与给定的展开图对应起来。 【完整解答】A．是一个普通的长方体，它的六个面中，相对的面大小形状相同。但是观察给定的展开图，它有两个面明显比其他面小一些，而选项A的六个面没有这样的特征，所以选项A不符合。 B．是一个正方体，正方体的六个面都是完全相同的正方形。而给定的展开图明显不是六个相同的正方形组成的，所以选项B不符合。 C．它的各个面的大小比例关系与给定的展开图不匹配。从展开图可以看出有两个相对较小的面，以及四个较大的面，且四个较大的面一样大，选项C的形状和比例与展开图不一致，所以选项C不符合。 D．它的形状和大小关系与给定的展开图相符合。展开图中两个较小的面可以对应选项D长方体的两个侧面，四个较大的面可以对应长方体的上下底面和前后侧面，所以选项D符合。 所以最有可能是下面图中的展开图。 故答案为：D 2．（24-25六年级上·江苏徐州·期末）下面是一款产品的参数图，根据这组数据，联系生活想象一下，它可能是（    ）。 A．一个文具盒 B．一部手机 C．一台微波炉 D．一台冰箱 【答案】D 【思路引导】根据题意，这个产品是一个长方体，长方体的体积＝长×宽×高，则820×720×1800中的数据分别表示长、宽、高，把它们换算成以cm或m为单位的数，更容易与生活物品的实际尺寸进行比对。据此逐项分析。 【完整解答】820mm＝82cm 720mm＝72cm 1800mm＝180cm＝1.8m A．82cm×72cm×180cm，对于一个文具盒来说，尺寸太大，不可能； B．82cm×72cm×180cm，对于一部手机来说，尺寸太大，不可能； C．82cm×72cm×180cm，对于一台微波炉来说，尺寸太大，不可能； D．长82cm，宽72cm，高1.8m，对于冰箱来说，尺寸合适，可能。 故答案为：D 3．（21-22六年级上·全国·课后作业）张叔叔找来一些铁棒准备焊长方体框架，长度是5分米的铁棒有5根，长度是6分米的铁棒有8根，长度是7分米的铁棒有3根，长度是8分米的铁棒有7根，他可以焊（    ）种不同形状的长方体框架。（每条三棱上只用一根铁棒） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】根据题意，组成长方体的长、宽、高各需要4根，则每4根长度相同的铁棒为一组，要求有3组，其中5分米的铁棒有一组，6分米的铁棒有两组，8分米的铁棒有一组，7分米的铁棒不够4根故舍弃，从满足条件的四组中任意选择三组组成长方体。 【完整解答】由分析可知，从满足条件长方体有三组即： （1）5分米、6分米和8分米； （2）5分米、6分米和6分米； （3）8分米、6分米和6分米。 故答案为：B 【考点评析】本题关键是利用长方体的特征对铁棒进行合理的分配。 4．（24-25六年级上·山西临汾·期末）在括号里填上合适的单位。 一瓶墨水的包装盒的体积约是150( )；一台大型电冰箱的容积约是300( )；一间教室的空间约是200( )；一个文具盒的表面积约是5( )。 【答案】 立方厘米/cm3 升/L 立方米/m3 平方分米/dm2 【思路引导】根据体积（容积）单位、面积单位和数据大小的认识，结合生活实际，1立方厘米大约有大母手指头的大小，所以一块橡皮用立方厘米比较合适；容积单位是升和毫升，较大的容积用升，较小的容积用毫升，所以一台大型电冰箱的容积用升比较合适；1米的正方体体积是1立方米，所以一间教室的空间用立方米比较合适；常见的面积单位有平方米、平方分米、平方厘米、平方千米和公顷，比较小的面积用平方厘米，如一张邮票的表面积大约4平方厘米，文具盒的表面积比邮票大得多，所以用平方分米比较合适，据此解答。 【完整解答】一瓶墨水的包装盒的体积约是150立方厘米。 一台大型电冰箱的容积约是300升。 一间教室的空间约是200立方米。 一个文具盒的表面积约是5平方分米。 5．（24-25六年级上·江苏盐城·期末）王叔叔从4根1米，6根1.2米和6根8分米的铝合金条中，选了12根焊了一个长方体柜台框架，做这个柜台一共用了( )米的铝合金条。给这个柜台6个面安装玻璃，至少需要( )平方米玻璃。 【答案】 12 5.92 【思路引导】根据长方体的特点，长、宽、高各有4条，即选在4根1米为长，4根1.2米为宽，4根8分米为高，再根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4；注意单位换算，将8分米换算成以米作单位，即低级单位转化为高级单位用除以两个单位之间的进率，1米＝10分米。 给这个柜台6个面安装玻璃，就是求这个长方体的表面积，根据代入公式计算即可 【完整解答】8分米＝0.8米 （1＋1.2＋0.8）×4 ＝3×4 ＝12（米） 做这个柜台一共用了12米。 （1×1.2＋1×0.8＋1.2×0.8）×2 ＝（1.2＋0.8＋0.96）×2 ＝2.96×2 ＝5.92（平方米） 则至少需要5.92平方米。 6．（24-25六年级上·江苏苏州·期中）一个长方体，如果长减少2厘米，就成为正方体，这时表面积减少48平方厘米，求原来长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】288 【思路引导】由题意可知，如果长减少2厘米，就成为正方体，这时表面积减少48平方厘米，即减少了长为2厘米的长方体的侧面积，用48除以2即可求出长方体的底面周长，根据正方形的周长公式：C＝4a，据此求出长方体的底面的宽和高，最后根据长方体的体积公式：V＝abh，据此计算即可。 【完整解答】48÷2＝24（厘米） 24÷4＝6（厘米） （6＋2）×6×6 ＝8×6×6 ＝48×6 ＝288（立方厘米） 则原来长方体的体积是288立方厘米。 7．（24-25六年级上·江苏苏州·期中）用铁丝围成一个长方体框架，长10厘米，宽8厘米，高6厘米，铁丝长( )厘米；如果给它各个面蒙上彩纸，至少要( )平方分米的彩纸；这个长方体所占的空间是( )立方厘米。 【答案】 96 3.76 480 【思路引导】求铁丝的长其实就是求长方体的棱长总和，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。求彩纸的面积就是求长方体的表面积，根据，代入数据计算即可。再根据，计算可得长方体所占的空间。单位不同要统一单位。 【完整解答】 （厘米） （平方厘米） （平方分米） （立方厘米） 用铁丝围成一个长方体框架，长10厘米，宽8厘米，高6厘米，铁丝长96厘米；如果给它各个面蒙上彩纸，至少要3.76平方分米的彩纸；这个长方体所占的空间是480立方厘米。 8．（24-25六年级上·江苏·课后作业）棱长总和为60厘米的正方体的体积是125立方厘米。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据题意，结合正方体的特征可知，正方体有12条棱长且所以的棱长相等，所以用60除以12，求出每条棱长的值，再根据正方体的体积公式：边长×边长×边长，代入数据计算即可。 【完整解答】60÷12＝5（厘米） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方厘米） 所以原题说法正确。 故答案为：√ 9．（20-21五年级下·陕西延安·期中）一个长方体和一个正方体棱长的和相等，它们的表面积相等。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据题意，假设长方体的长、宽、高分别为4厘米、3厘米、2厘米，算出它的棱长之和为36厘米，结合表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，算出长方体的表面积。与其棱长之和相等的正方体的棱长为（36÷12）厘米，结合正方体的表面积公式：边长×边长×6，算出正方体的表面积，再比较即可。 【完整解答】（4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方厘米） 正方体棱长：36÷12＝3（厘米） 3×3×6 ＝9×6 ＝54（平方厘米） 所以原题说法错误。 故答案为：× 10．（24-25六年级上·江苏·假期作业）如图是一个无盖的长方体纸盒展开图，求它的体积。 【答案】 【思路引导】此图属于长方体展开图的“”型。 根据图中已知条件，高是11dm，长＋高＝18dm，即长＝18－高；同理长×2＋宽＝17dm，可以得出宽＝17－长×2；折成长方体的长、宽、高分别是7dm、3dm、11dm，根据长方体的体积计算公式即可解答。 【完整解答】 它的体积是。 11．（24-25六年级上·广西钦州·期中）计算长方体和正方体的表面积和体积。     【答案】正方体表面积：34.56dm2；体积：13.824dm3 长方体表面积：29.4cm2；体积9.8cm3 【思路引导】根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体表面积和体积； 根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体的表面积和体积，据此解答。 【完整解答】正方体表面积： 2.4×2.4×6 ＝5.76×6 ＝34.56（dm2） 正方体体积： 2.4×2.4×2.4 ＝5.76×2.4 ＝13.824（dm3） 长方体表面积： （3.5×1.4＋3.5×2＋1.4×2）×2 ＝（4.9＋7＋2.8）×2 ＝（11.9＋2.8）×2 ＝14.7×2 ＝29.4（cm2） 3.5×1.4×2 ＝4.9×2 ＝9.8（cm3） 正方体表面积是34.56dm2，体积是13.824dm3，长方体表面积是29.4cm2，长方体体积是9.8cm3。 12．（24-25六年级上·江苏盐城·期末）一个长方体的游泳池，长25米，宽12米，深2.5米。 （1）这个游泳池最多能注入多少立方米的水？ （2）工人师傅往游泳池里注入了2米深的水，此时水与游泳池接触的面积是多少平方米？ 【答案】（1）750立方米 （2）448平方米 【思路引导】（1）根据长方体的容积＝长×宽×高，代入数据解答即可； （2）工人师傅往游泳池里注入了2米深的水，此时水与游泳池接触的面积包括游泳池的底面积以及水接触到的侧面积，相当于长25米，宽12米，高为2米的无盖的长方体的表面积，根据无盖的长方体的表面积＝底面积＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算即可解答。 【完整解答】（1）25×12×2.5 ＝300×2.5 ＝750（立方米） 答：这个游泳池最多能注入750立方米的水。 （2）25×12＋25×2×2＋12×2×2 ＝300＋50×2＋24×2 ＝300＋100＋48 ＝400＋48 ＝448（平方米） 答：此时水与游泳池接触的面积是448平方米。 13．（24-25六年级上·江苏·课后作业）青少年活动中心修建了一个长20米、宽10米、深2米的游泳池。在这个游泳池的底部和四周铺上边长2分米的正方形瓷砖，共需多少块这样的瓷砖？ 【答案】8000块 【思路引导】根据题意，在这个游泳池的底部和四周铺上边长2分米的正方形瓷砖，即铺瓷砖的是长方体的下面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，也就是游泳池需铺瓷砖的面积； 根据正方形的面积＝边长×边长，求出一块瓷砖的面积； 用铺瓷砖的面积除以每块瓷砖的面积，即是需要瓷砖的块数。 【完整解答】2分米＝0.2米 20×10＋20×2×2＋10×2×2 ＝200＋80＋40 ＝320（平方米） 0.2×0.2＝0.04（平方米） 320÷0.04＝8000（块） 答：共需8000块这样的瓷砖。 14．（24-25六年级上·江苏·课后作业）新源村修筑一条10米宽的马路，把一堆150.5立方米的碎石，铺成3.5厘米厚的路面，能铺多少米？（用方程解） 【答案】430米 【思路引导】根据题意，先设路面能铺x米，3.5厘米＝0.035米，结合长方体的体积公式：长×宽×高，列出方程式为10x×0.035＝150.5，求解x即可。 【完整解答】解：设路面能铺x米。 10x×0.035＝150.5 10x×0.035÷0.035＝150.5÷0.035 10x＝4300 10x÷10＝4300÷10 x＝430 答：能铺430米。 15．（24-25六年级上·江苏·课后作业）一个长方体的木块，正好截成两个完全相同的正方体。表面积比原来增加了200平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】1000平方厘米 【思路引导】长方体切分成两个正方体，增加的表面积为正方体两个面的面积之和，所以正方体一个面的面积是200÷2＝100（平方厘米）。由图可知，原来长方体的左面和右面为正方形，面积均为100平方厘米，长方体的上、下、左、右四个面均为两个正方形的面积之和，是200平方厘米，最后将六个面的面积相加即可。据此解答。 【完整解答】200÷2＝100（平方厘米） 100×2＋200×4 ＝200＋800 ＝1000（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是1000平方厘米。 16．（23-24六年级上·江苏南京·期中）在内侧棱长为20厘米的正方体容器内装满水，将这个容器如图倾斜放置在桌面上（正方体的一条棱与桌面接触），流出的水正好装满一个内侧棱长为10厘米的正方体容器，图中线段AB的长是多少厘米？ 【答案】15厘米 【思路引导】 如图，将正方体分成高AB和高BC两个长方体部分，流出的水的体积是高BC部分的一半，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出流出的水的体积，乘2是高BC部分的容积；正方体容器的容积－高BC部分的容积＝高AB部分的容积，根据长方体的高＝体积÷底面积，即可求出AB的长。 【完整解答】10×10×10＝1000（立方厘米） 20×20×20－1000×2 ＝8000－2000 ＝6000（立方厘米） 6000÷（20×20） ＝6000÷400 ＝15（厘米） 答：图中线段AB的长是15厘米。 【考点评析】关键是掌握并灵活运用长方体和正方体体积公式。 17．（19-20五年级下·浙江·课后作业）一个密封的长方体容器如图，长4分米、宽1分米、高2分米，里面水深16厘米。如果以这个容器的左侧面为底放在桌上。 （1）这时水深多少分米？ （2）此时，水与容器接触的面积是多少平方分米？ 【答案】（1）3.2分米 （2）21.2平方分米 【思路引导】（1）根据长方体的体积公式V＝abh，求出长方体容器内水的体积，由于容器内水的体积不变，把容器的左面作为底面，所以用水的体积除以左面那个面的底面积就是水面的高度； （2）水与容器的接触面的面积就是长2分米，宽1分米，高为此时水深的长方体5个面的面积，缺少上面，根据长方体的表面积解答即可。 【完整解答】16厘米＝1.6分米 （1）4×1×1.6＝6.4（立方分米） 6.4÷（2×1） ＝6.4÷2 ＝3.2（分米） 答：这时水深3.2分米。 （2）2×1＋2×3.2×2＋1×3.2×2 ＝2＋12.8＋6.4 ＝21.2（平方分米） 答：水与容器的接触面的面积是21.2平方分米。 【考点评析】解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以长方体容器的底面积（左面那个面的面积），就是水面的高度。 18．（20-21六年级上·江苏盐城·期末）一个花坛（如图），高0.7米，底面是边长1.2米的正方形，四周用砖砌成，厚度是0.2米，中间填满泥土。 （1）这个花坛占地多少平方米？ （2）用泥土填满这个花坛，大约需要泥土多少立方米？ （3）做这样一个花坛，四周大约需要砖多少平方米？ 【答案】（1）1.44平方米 （2）0.448立方米 （3）3.36平方米 【思路引导】（1）由于底面是边长为1.2米的正方形，则占地面积就是底面面积，即1.2×1.2，算出结果即可。 （2）由于填满泥土，则求这个花坛的容积即可，由于砖的厚度是0.2米，则内部的长：1.2－0.2×2＝0.8米，内部的宽：1.2－0.2×2＝0.8米，内部的高：0.7米，根据长方体的体积公式：长×宽×高，把数代入公式即可求解； （3）在花坛的四周砌砖，则求花坛四周的表面积即可，由于底面是正方形，则四周的面积大小相同，即用1.2×0.7×4，算出结果即可。 【完整解答】（1）1.2×1.2＝1.44（平方米） 答：这个花坛占地1.44平方米。 （2）（1.2－0.2×2）×（1.2－0.2×2）×0.7 ＝0.8×0.8×0.7 ＝0.64×0.7 ＝0.448（立方米） 答：大约需要泥土0.448立方米。 （3）1.2×0.7×4 ＝0.84×4 ＝3.36（平方米） 答：四周大约需要砖3.36平方米 【考点评析】求花坛的容积时，要用花坛的长和宽分别减去两个砖厚度求出内部长方体的长和宽；熟练掌握长方体的表面积和体积公式。 19．（20-21六年级上·安徽蚌埠·期末）一个长方体玻璃缸，从里面量，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.6分米。竖着插入一块长方体铁块，铁块高5分米，底面是边长3分米的正方形水面会上升多少分米？（未溢出水） 【答案】0.6分米 【思路引导】铁块高5分米，而玻璃缸高4分米，所以肯定不会完全淹没，放进去以后水面肯定会上升，可以考虑先放铁块，再倒水，这样容器的底面积被占了一部分。 【完整解答】容器底面积：（平方分米） 铁块底面积：（平方分米） 水的体积：（立方分米） （分米） （分米） 答：水面会上升0.6分米。 【考点评析】本题考查的是排水问题，总共有完全淹没水未溢出，完全淹没水溢出，不完全淹没这三种情况，注意区分。 20．（2021·浙江·小升初真题）如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面部分分成了两部分。现在从左右两边同时向水槽里注水，已知左面每分钟注水2升，注水3分钟后，右面水面高度正好与隔板齐平，又经过1.5分钟后，左面水面高度也正好与隔板齐平。 （1）注满水槽共需多少分钟？ （2）水槽的容积是多少升？ 【答案】（1）7.5分钟 （2）60升 【思路引导】本题可以先解答第（2）小题，求出水槽的容积，根据“水槽正中间有一块高6厘米的隔板”可知，长方体水槽被隔板分成容积相同的两部分，可设右面的注水速度是每分钟x升，根据左右两部分容积相同列出方程，求出右边的注水速度，进而求出长方体水槽的长和容积，最后用长方体水槽容积除以左右两面注水的速度和，即可求出注满水槽共需的时间。 【完整解答】解：设右面每分钟注水x升，根据分析列方程如下： 3×2＋1.5×（2＋x）＝3x 6＋3＋1.5x＝3x 1.5x＝9 x＝6 3x＝3×6＝18（升）＝18000（立方厘米） 18000÷6÷40＝75（厘米） 长方体水槽长：75×2＝150（厘米） （2）长方体水槽容积：150×40×10＝60000（立方厘米）＝60（升） （1）60÷（2＋6） ＝60÷8 ＝7.5（分钟） 答：注满水槽共需7.5分钟，水槽的容积是60升。 【考点评析】本题考查长方体体积（容积）的应用，关键是根据右边的注水速度，进而求出长方体水槽的长和容积。 $$六年级/上册 小学数学 苏教版 · 2025年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【新课衔接站】 知识梳理+易错点拨+考点讲练+真题强化 （共62题） 专题05 长方体和正方体（单元复习） 专题05 长方体和正方体（单元复习） 暑假衔接 考点讲练练 精讲复习 温故知新 真题强化 知识梳理 易错点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 高频考点 查漏补缺 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 单元复习 知识梳理 3 知识点梳理01：长方体和正方体的认识 3 知识点梳理02：长方体和正方体的表面积 3 知识点梳理03：长方体和正方体的体积 4 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：长方体和正方体的认识 5 易错知识点02：长方体和正方体的表面积 5 易错知识点03：长方体和正方体的体积 5 优选题型 考点讲练 6 高频考点讲练01：长方体棱长的应用 6 高频考点讲练02：正方体棱长的应用 7 高频考点讲练03：长方体表面积的计算 7 高频考点讲练04：长方体表面积计算公式的应用 8 高频考点讲练05：正方体表面积的计算 9 高频考点讲练06：正方体表面积的计算公式的应用 9 高频考点讲练07：组合体的表面积的计算与应用 10 高频考点讲练08：长方体的体积计算与应用 11 高频考点讲练09：正方体的体积计算与应用 12 高频考点讲练10：体积的等积变形（长方体和正方体的体积的应用） 12 高频考点讲练11：立体图形的切拼（长方体和正方体的体积的应用） 13 高频考点讲练12：组合体的体积 14 高频考点讲练13：不规则物体的体积算法 15 高频考点讲练14：表面涂色的正方体 15 真题汇编 能力强化 16 知识点梳理01：长方体和正方体的认识 1、长方体的长、宽、高、棱、顶点    长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高，三条棱相交的点叫作顶点，两个面相交的线叫作棱。 2、长方体和正方体的特征。 长方体 正方体 相同点 面 6个 6个 棱 12条 12条 顶点 8个 8个 不同点 面的形状 6个面都是长方形（也可能有两个相对的面是正方形） 6个面都是正方形 面积 相对的面的面积相等 6个面的面积都相等 棱长 一般情况下，棱有3组，每组互相平行的4条棱长度相等 12条棱的长度都相等 3、长方体和正方体的棱长总和计算公式。 长方体的棱长总和＝(长＋宽＋高)×４               正方体的棱长总和＝棱长×12 4、长方体（或正方体）的展开图。 沿着长方体（或正方体）的棱将它剪开，可以把长方体（或正方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是长方体（或正方体）的展开图。在展开图中，相对的面完全相同，相对的面不相邻。 知识点梳理02：长方体和正方体的表面积 1、表面积的意义。   长方体(或正方体)６个面的总面积，叫作它的表面积。 2、长方体、正方体表面积的计算公式。 Ｓ长方体 ＝ 2ab＋2ah＋2bh（Ｓ表示表面积，a、b、h分别表示长方体的长、宽、高）      Ｓ正方体 ＝ 6a2（a表示棱长） 知识点梳理03：长方体和正方体的体积 1、体积和容积的区别和联系。 体积 容积 不同点 意义 物体所占空间的大小叫作物体的体积 容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积 测量方法 从物体外部测量长、宽、高 从容器的内部测量长、宽、高 单位名称 一般用立方厘米、立方分米、立方米 容积一般用体积单位表示，但求液体的体积时通常用升和毫升 相同点 计算公式 长方体（或正方体）的体积（或容积）=底面积×高（V=Sh ) 重点提示 1.有的物体既有体积，又有容积。在不忽略容器壁的厚度   的情况下，体积一定大于容积 2.有的物体只有体积没有容积 2、容积单位和体积单位的互换。   1升=1立方分米      1毫升=1立方厘米 3、长方体、正方体体积的计算公式。   Ｖ长方体 ＝ abh（Ｖ表示体积，a、b、h分别表示长方体的长、宽、高)   Ｖ正方体 ＝ a3（a表示正方体的棱长）   长方体和正方体体积计算的通用公式:Ｖ＝Ｓｈ（Ｓ表示底面积）。 4、体积单位间的进率。   相邻两个体积单位间的进率是1000。   1立方米=1000立方分米          1立方分米=1000立方厘米   高级单位化成低级单位要乘它们的进率，低级单位化成高级单位要除以它们的进率。 易错知识点01：长方体和正方体的认识 1. 长方体的6个面不一定都是长方形，也可能有一组相对的面是正方形。 2. 判断一个立体图形是不是长方体或正方体，应该以它是否具有长方体或正方体的所有特征为标准。 3. 长方体的12条棱包括4条长、4条宽、4条高，所以它的棱长总和=（长+宽+高）×4，而不是（长+宽+高）×3。 4. 长方体是立体图形，它的展开图是平面图形。 易错知识点02：长方体和正方体的表面积 1. 长方体的6个面不一定都是长方形，也可能有一组相对的面是正方形。 2. 判断一个立体图形是不是长方体或正方体，应该以它是否具有长方体或正方体的所有特征为标准。 3. 长方体的12条棱包括4条长、4条宽、4条高，所以它的棱长总和=（长+宽+高）×4，而不是（长+宽+高）×3。 4. 长方体是立体图形，它的展开图是平面图形。 易错知识点03：长方体和正方体的体积 1、捏橡皮泥时，只是形状发生了改变，但体积不变。 2、有容积的物体一定有体积，有体积的物体不一定有容积。 3、长度单位、面积单位和体积单位之间都不能进行比较。 4、在不忽略容器厚度的情况下，容器的体积和容积不相等。 5、把完全浸入盛有液体的容器中的物体取出时，液面下降前、后体积的变化量就是物体体积。 6、只有相邻的两个体积单位之间的进率才是1000，判断和互化时要看清两个单位是不是相邻的。 7、一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关。因为容器都有一定的厚度，所以一个容器的体积一般大于它的容积。 8、并不是只有棱长是1cm、1dm、1m的正方体的体积才是1cm3、1dm3和1m3。 9、误认为容积就是体积，这是不对的，一定要注意“容积”与“体积”的不同。如一本书有体积，却没有容积。 10、较大容器盛装液体时用“升”作单位，较小容器盛装液体时用“毫升”作单位。 11、明确摆成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少。 12、1立方厘米的小正方体的边长是1厘米。长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成，它的长、宽、高就分别是几厘米，它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数。 高频考点讲练01：长方体棱长的应用 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏苏州·期末）一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是6分米、5分米、4分米。 （1）那么正方体的棱长是多少分米？ （2）长方体的体积是多少立方分米？ 【演练1】（24-25六年级上·江苏·假期作业）母亲节到了，乐乐给妈妈准备了一份精美的礼物，并将礼物装在长为20厘米、宽为15厘米、高为10厘米的长方体盒子中，盒子用漂亮的红彩带捆扎（如图），其中打蝴蝶结的地方红彩带长为18厘米。一共需要用红彩带多少厘米？ 【演练2】（24-25六年级上·江苏南京·期中）小刚给奶奶买了一份礼物。营业员用一个长35厘米，宽20厘米，高8厘米的长方体盒子装好并用彩绳进行包扎，打结处需用40厘米，像这样包扎共用彩绳多少厘米？ 高频考点讲练02：正方体棱长的应用 【典例精讲】24-25六年级上·江苏·课后作业）一根长216厘米的铁丝围成一个正方体，这个正方体的表面积是多少平方厘米？ 【演练1】（24-25六年级上·江苏·课后作业）一个长方体木块正好能截成5个完全相同的正方体，这5个正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和增加了320厘米，求原来长方体的棱长总和是多少厘米？ 【演练2】（23-24六年级上·江苏南通·期中）用一根长60cm的铁丝焊接一个正方体框架，在框架的每个面糊上彩纸，彩纸的面积至少是( )cm2，做成的正方体的体积是( )cm3。 高频考点讲练03：长方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏泰州·期中）一个长方体硬纸盒，长30厘米、宽15厘米、高15厘米，做这样一个纸盒需要多少平方厘米的硬纸，下面列式错误的是（    ）。 A．30×15×2＋30×15×2＋15×15×2 B．30×15×4＋15×15×2 C．（30＋15）×2×15＋30×15×2 D．15×15×4＋30×15×2 【演练1】（23-24六年级上·山西临汾·期中）王叔叔在院子里用混凝土浇筑了一个无盖的长方体水槽（如图，底面也浇筑混凝土），这个水槽从外面量长12分米，宽8分米，高5分米，混凝土厚1分米。 （1）这个水槽最多可以盛水多少升？ （2）如果在水槽外贴一圈瓷砖，那么贴瓷砖的面积是多少平方米？ 【演练2】（23-24六年级上·山西太原·期中）用3个棱长2分米的正方体摆成一个长方体，这个长方体的体积是( )立方分米，表面积是( )平方厘米，棱长总和是( )米。 高频考点讲练04：长方体表面积计算公式的应用 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏泰州·期中）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽4分米，高3.5分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入40升水，水深多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） （3）再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.4分米，鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 【演练1】（24-25六年级上·江苏南京·期中）电影院的大门前有5级台阶（如图）。 （1）5级台阶一共占地多少平方米？ （2）给这些台阶铺上地毯，至少需要多少平方米的地毯？ 【演练2】（24-25六年级上·全国·期中）潜艇小组制作出一款潜艇模型，需要定制一款长方体展示盒将潜艇模型展示出来（如图），展示盒的长为40厘米，宽为10厘米，高为14厘米，制作一个这样的展示盒（四周和上面是玻璃），需要多少平方厘米的玻璃？ 高频考点讲练05：正方体表面积的计算 【典例精讲】（24-25六年级上·全国·期中）计算下面图形的表面积和体积。 【演练1】（23-24六年级上·江苏泰州·期中）把表面积是48平方厘米的正方体切分成两个不同的长方体，如果第一个长方体的表面积是20平方厘米，第二个长方体的表面积是( )平方厘米。 【演练2】（23-24五年级下·重庆万州·期末）一个正方体的棱长是3厘米，用这样的小正方体拼成一个更大的正方体，拼成的正方体的表面积至少是( )平方厘米。 高频考点讲练06：正方体表面积的计算公式的应用 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏南通·期中）观察下图中数字1、2、3所在位置，挖掉（    ）处的一个小正方体后，剩下部分的表面积最大。 A．数字1 B．数字2 C．数字3 D．无法确定 【演练1】（24-25六年级上·江苏·阶段练习）把一根长2.4米的长方体钢材截成相同的三段，表面积比原来增加2平方分米，则长方体钢材的横截面面积是( )平方分米，每段钢材的体积是( )立方分米。 【演练2】（22-23六年级上·江苏盐城·期中）把一根长1.8米，宽和高都是2分米的长方体木料沿与横截面平行的方向切成5段，表面积比原来增加了( )平方分米，这根木料的体积是( )立方分米。 高频考点讲练07：组合体的表面积的计算与应用 【典例精讲】（24-25六年级上·全国·期中）由7个相同的小正方体（棱长为1）搭成的几何体如图所示，它的表面积是( )。 【演练1】（23-24六年级上·江苏淮安·期中）如图是由棱长1厘米的小正方体堆积起来的，它的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。至少再添( )个小正方体就可以堆积成一个稍大的正方体。 【演练2】（23-24六年级上·江苏南京·期中）如下图，每个小正方体的棱长是1分米，按照这样的规律继续摆下去，第③个立体图形的表面积是( )平方分米，第⑥个立体图形共有( )个小正方体。 高频考点讲练08：长方体的体积计算与应用 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏·课后作业）食品工人要将长，宽各为30cm、高为15cm的长方体月饼盒装入棱长为45cm的正方体纸盒，最多能装几盒？ 【演练1】（24-25六年级上·江苏·课后作业）一个长方体水箱里装了一些水，从里面量长、宽、高分别是1.2米、0.8米、5分米，水的高度是4分米。往水箱里放入1个棱长是4分米的正方体铁块后，水箱里的水是否会溢出？ 【演练2】（24-25六年级上·江苏常州·期中）如图1是边长为30厘米的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体纸盒。已知该长方体的宽是高的2倍，则它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 高频考点讲练09：正方体的体积计算与应用 【典例精讲】（24-25六年级上·全国·期中）如图：封闭玻璃容器里装有液体（单位：，竖放时液体刚好成正方体的形状，横放时，液体高( )。 【演练1】（23-24六年级上·江苏淮安·期中）一个长方体木块的长是8分米、宽是6分米、高是5分米，把这个长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是( )平方分米；剩余的体积是( )立方分米。 【演练2】（21-22六年级上·江苏南京·期中）下图是用体积1立方厘米的小正方体摆成的物体。 （1）这个物体的表面积是( )平方厘米。 （2）如果现在你手里还有一些相同的小正方体可添放在这个物体上，要保持前面和右面看到的形状不变，则最多可以添加( )个小正方体。 （3）如果增加同样的小正方体，把这个物体补成一个大正方体，至少还需要( )个这样的小正方体。 高频考点讲练10：体积的等积变形（长方体和正方体的体积的应用） 【典例精讲】（23-24六年级上·河南新乡·期末）一个正方体水槽，从里面量，棱长是10厘米。一个长方体水槽，从里面量，长是8厘米，宽是6厘米，高是5厘米。小江把长方体水槽装满水，然后把长方体水槽中的水倒进空的正方体水槽中，正方体水槽中的水高多少厘米？ 【演练1】（23-24六年级下·江苏镇江·期末）下图是一个透明的密封容器，水深6厘米，如果把它的右面作为底面，平放在桌上，这时水面的高是（    ）厘米。 A．4 B．8 C．6 D．10 【演练2】（23-24六年级上·江苏扬州·期中）只列综合算式（或方程），不计算。 把一块棱长是0.6米的正方体钢坯，锻造成横截面面积是0.08平方米的长方体钢材，锻成的钢材长多少米？ 高频考点讲练11：立体图形的切拼（长方体和正方体的体积的应用） 【典例精讲】（24-25六年级上·江苏·单元测试）把棱长1m的正方体木块切成棱长1cm的小正方体木块，一共能切( )块，把它们排成一排，排成的距离比1km多( )km。 【演练1】（24-25六年级上·江苏苏州·期中）下面的物体是用1立方厘米的正方体摆成的，它的体积是（    ）。 A．9立方厘米 B．8立方厘米 C．10立方厘米 【演练2】（21-22六年级上·江苏·课后作业）一块长方体木块，沿着高锯掉2厘米后，成为一个正方体，表面积减少40平方厘米，求原来长方体木块的体积。 高频考点讲练12：组合体的体积 【典例精讲】（23-24六年级上·安徽合肥·期中）求出下面图形的体积。（单位：厘米） 【演练1】（23-24六年级上·江苏泰州·期中）下面是用棱长为1厘米的小正方体摆成的立体图形。 表面积是6平方厘米，体积是1立方厘米。 (1)表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米； (2)表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米； (3)当放置到5层时，这个立体图形的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【演练2】（23-24六年级上·江苏淮安·期中）（如图）一个棱长为3cm的正方体，如果从它的顶点处挖去一个棱长1cm的小正方体，这个立体图形的表面积与原正方体的表面积相比，表面积（    ）。体积和原来的正方体相比（    ）。 A． 增加了；没有变B．没有变；减少了 C．减少了；增加了 D．无法确定 高频考点讲练13：不规则物体的体积算法 【典例精讲】（23-24六年级上·江苏连云港·期中）一个足够高的长方体容器中装有水，小明将一个棱长厘米的正方体铁块完全浸没在水中（水没有溢出），水面上升了厘米；再将一个长厘米、宽厘米、高厘米的长方体铁块也完全浸没在水中（水仍没有溢出），水面又会上升多少厘米？ 【演练1】（23-24六年级上·江苏连云港·期中）一个无盖的正方体玻璃鱼缸的棱长为3分米，水深2分米。小明在水里放了一条鲫鱼后测得水面高为2.2分米。鲫鱼体积为（    ）立方分米。 A．13.2 B．12 C．1.2 D．1.8 【演练2】（24-25六年级上·江苏·期中）一个长方体玻璃缸，长6分米，宽5分米，高6分米，其中水深2.8分米，若投入一个棱长为3分米的正方体铁块（底部与玻璃缸底部完全接触），则水面上升( )分米。 高频考点讲练14：表面涂色的正方体 【典例精讲】（24-25六年级上·安徽蚌埠·期末）表面涂色的正方体我们是这样研究的： 各种小正方体的个数与正方体顶点、面和棱的个（条）数有关。 要把找、数、算等方法结合起来， 并根据图形的特征进行思考。 把一个长5厘米、宽4厘米、高6厘米的长方体木块表面全部涂上红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体木块（如上图）。 (1)这个长方体中3 面涂色的小正方体在( ) 的位置，共有( ) 个。 (2)2面涂色的小正方体在( ) 的位置，共有( ) 个。 (3)1面涂色的小正方体在( ) 的位置，共有( ) 个。 【演练1】（24-25六年级上·江苏徐州·期中）把一个正方体木块表面涂满红色，平均切成27个大小相等的小正方体。切成的小正方体中，3个面涂红色的小正方体有 个，1个面涂红色的小正方体有 个。 【演练2】（20-21六年级上·河南平顶山·期末）一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的表面涂色的长方体，分割成棱长1厘米的小正方体这些小正方体中两面涂色的有( )个，一面涂色的有( )个。 1．（24-25六年级下·全国·课后作业）左图最有可能是下面图（    ）的表面展开图。 A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·江苏徐州·期末）下面是一款产品的参数图，根据这组数据，联系生活想象一下，它可能是（    ）。 A．一个文具盒 B．一部手机 C．一台微波炉 D．一台冰箱 3．（21-22六年级上·全国·课后作业）张叔叔找来一些铁棒准备焊长方体框架，长度是5分米的铁棒有5根，长度是6分米的铁棒有8根，长度是7分米的铁棒有3根，长度是8分米的铁棒有7根，他可以焊（    ）种不同形状的长方体框架。（每条三棱上只用一根铁棒） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25六年级上·山西临汾·期末）在括号里填上合适的单位。 一瓶墨水的包装盒的体积约是150( )；一台大型电冰箱的容积约是300( )；一间教室的空间约是200( )；一个文具盒的表面积约是5( )。 5．（24-25六年级上·江苏盐城·期末）王叔叔从4根1米，6根1.2米和6根8分米的铝合金条中，选了12根焊了一个长方体柜台框架，做这个柜台一共用了( )米的铝合金条。给这个柜台6个面安装玻璃，至少需要( )平方米玻璃。 6．（24-25六年级上·江苏苏州·期中）一个长方体，如果长减少2厘米，就成为正方体，这时表面积减少48平方厘米，求原来长方体的体积是( )立方厘米。 7．（24-25六年级上·江苏苏州·期中）用铁丝围成一个长方体框架，长10厘米，宽8厘米，高6厘米，铁丝长( )厘米；如果给它各个面蒙上彩纸，至少要( )平方分米的彩纸；这个长方体所占的空间是( )立方厘米。 8．（24-25六年级上·江苏·课后作业）棱长总和为60厘米的正方体的体积是125立方厘米。( )（判断对错） 9．（20-21五年级下·陕西延安·期中）一个长方体和一个正方体棱长的和相等，它们的表面积相等。( )（判断对错） 10．（24-25六年级上·江苏·假期作业）如图是一个无盖的长方体纸盒展开图，求它的体积。 11．（24-25六年级上·广西钦州·期中）计算长方体和正方体的表面积和体积。     12．（24-25六年级上·江苏盐城·期末）一个长方体的游泳池，长25米，宽12米，深2.5米。 （1）这个游泳池最多能注入多少立方米的水？ （2）工人师傅往游泳池里注入了2米深的水，此时水与游泳池接触的面积是多少平方米？ 13．（24-25六年级上·江苏·课后作业）青少年活动中心修建了一个长20米、宽10米、深2米的游泳池。在这个游泳池的底部和四周铺上边长2分米的正方形瓷砖，共需多少块这样的瓷砖？ 14．（24-25六年级上·江苏·课后作业）新源村修筑一条10米宽的马路，把一堆150.5立方米的碎石，铺成3.5厘米厚的路面，能铺多少米？（用方程解） 15．（24-25六年级上·江苏·课后作业）一个长方体的木块，正好截成两个完全相同的正方体。表面积比原来增加了200平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 16．（23-24六年级上·江苏南京·期中）在内侧棱长为20厘米的正方体容器内装满水，将这个容器如图倾斜放置在桌面上（正方体的一条棱与桌面接触），流出的水正好装满一个内侧棱长为10厘米的正方体容器，图中线段AB的长是多少厘米？ 17．（19-20五年级下·浙江·课后作业）一个密封的长方体容器如图，长4分米、宽1分米、高2分米，里面水深16厘米。如果以这个容器的左侧面为底放在桌上。 （1）这时水深多少分米？ （2）此时，水与容器接触的面积是多少平方分米？ 18．（20-21六年级上·江苏盐城·期末）一个花坛（如图），高0.7米，底面是边长1.2米的正方形，四周用砖砌成，厚度是0.2米，中间填满泥土。 （1）这个花坛占地多少平方米？ （2）用泥土填满这个花坛，大约需要泥土多少立方米？ （3）做这样一个花坛，四周大约需要砖多少平方米？ 19．（20-21六年级上·安徽蚌埠·期末）一个长方体玻璃缸，从里面量，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.6分米。竖着插入一块长方体铁块，铁块高5分米，底面是边长3分米的正方形水面会上升多少分米？（未溢出水） 20．（2021·浙江·小升初真题）如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面部分分成了两部分。现在从左右两边同时向水槽里注水，已知左面每分钟注水2升，注水3分钟后，右面水面高度正好与隔板齐平，又经过1.5分钟后，左面水面高度也正好与隔板齐平。 （1）注满水槽共需多少分钟？ （2）水槽的容积是多少升？ $$