第43期 平均变化率与瞬时变化率，导数的概念及几何意义、导数的计算-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册同步学案（北师大版2019）

书 答案详解 　　２０２４～２０２５学年　高中数学北师大版选择性必修第二册　第４１～４４期（２０２５年５月）　　 第４１期３，４版 数列的性质、通项公式、求和同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＡＡＣＡ　５～８　ＢＣＤＡ 提示： １．根据等差数列的定义和性质可得，Ｓ８ ＝４（ａ３＋ａ６）． 又Ｓ８ ＝４ａ３，所以ａ６ ＝０． 又ａ７ ＝－２，所以ａ８ ＝－４，ａ９ ＝－６． 故选（Ａ）． ２．由已知得ａ２４ ＝ａ２·ａ８． 又因为｛ａｎ｝是公差为２的等差数列， 所以（ａ２＋２ｄ） ２ ＝ａ２·（ａ２＋６ｄ）， 即（ａ２＋４） ２ ＝ａ２·（ａ２＋１２），解得ａ２ ＝４． 所以ａｎ ＝ａ２＋（ｎ－２）ｄ＝２ｎ， 故Ｓｎ ＝ ｎ（ａ１＋ａｎ） ２ ＝ｎ（ｎ＋１）． 故选（Ａ）． ３．在等比数列｛ａｎ｝中，Ｓ２，Ｓ４－Ｓ２，Ｓ６－Ｓ４也成等比数列， 故（Ｓ４－Ｓ２） ２ ＝Ｓ２（Ｓ６－Ｓ４）， 则（１５－３）２ ＝３（Ｓ６－１５），解得Ｓ６ ＝６３． 故选（Ｃ）． ４．由题意知，ａ３ａ４ａ７ｑ＝ａ３ａ７ａ４ｑ＝ａ３ａ７ａ５ ＝ａ ３ ５ ＝８， ∏９ ＝ａ１ａ２ａ３…ａ９ ＝（ａ１ａ９）（ａ２ａ８）（ａ３ａ７）（ａ４ａ６）ａ５ ＝ａ９５ ＝８ ３ ＝５１２． 故选（Ａ）． ５．由题知表格中第三纵列中的数成首项为４，公比为 １２的 等比数列，故有ｘ＝１． 根据每横行成等差数列得第四列前两个数字依次为 ５， ５ ２，故第四列的公比为 １ ２． 所以ｙ＝５ (× )１２ ３ ＝ ５８， 同理ｚ＝６ (× )１２ ４ ＝ ３８，因此ｘ＋ｙ＋ｚ＝２． 故选（Ｂ）． ６．ｂｎ ＝ａｍ（ｎ－１）＋１·（１＋ｑ＋ｑ ２＋… ＋ｑｍ－１）， ｂｎ＋１ ｂｎ ＝ ａｍｎ＋１ ａｍｎ＋１－ｍ ＝ｑｍ， 故数列｛ｂｎ｝为等比数列，公比为ｑ ｍ，（Ａ），（Ｂ）均错误； ｃｎ ＝ａ ｍ ｍ（ｎ－１）＋１·ｑ １＋２＋…＋（ｍ－１）， ｃｎ＋１ ｃｎ ＝ ａｍｍｎ＋１ ａｍｍｎ＋１－ｍ (＝ ａｍｎ＋１ ａｍｎ＋１ )－ｍ ｍ ＝（ｑｍ）ｍ ＝ｑｍ２， 故数列｛ｃｎ｝为等比数列，公比为ｑ ｍ２，（Ｄ）错误． 故选（Ｃ）． ７．因为ａｎ＋１＋（－１） ｎａｎ ＝２ｎ－１， 所以ａ２ ＝１＋ａ１，ａ３ ＝２－ａ１，ａ４ ＝７－ａ１， ａ５ ＝ａ１，ａ６ ＝９＋ａ１，ａ７ ＝２－ａ１，ａ８ ＝１５－ａ１， ａ９ ＝ａ１，ａ１０ ＝１７＋ａ１，ａ１１ ＝２－ａ１，ａ１２ ＝２３－ａ１，…， ａ５７ ＝ａ１，ａ５８ ＝１１３＋ａ１，ａ５９ ＝２－ａ１，ａ６０ ＝１１９－ａ１， 所以ａ１＋ａ２＋… ＋ａ６０ ＝（ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４）＋（ａ５＋ａ６＋ａ７＋ａ８）＋… ＋（ａ５７＋ａ５８ ＋ａ５９＋ａ６０） ＝１０＋２６＋４２＋… ＋２３４ ＝１５×（１０＋２３４）２ ＝１８３０． 故选（Ｄ）． ８．因为ｙ＝ｃｏｓｎπ２的周期Ｔ＝ ２π π ２ ＝４， 所以可分四组求和． 当ｋ∈Ｎ＋时，ａ４ｋ＋１ ＝（４ｋ＋１） (ｃｏｓ２ｋπ＋π )２ ＝０， ａ４ｋ＋２ ＝（４ｋ＋２） (ｃｏｓ２ｋπ＋ )π ＝－（４ｋ＋２）， ａ４ｋ＋３ ＝（４ｋ＋３） (ｃｏｓ２ｋπ＋３π)２ ＝０                                                        ， —１— 高中数学北师大版选择性必修第二册　第４１～４４期 ａ４ｋ＋４ ＝（４ｋ＋４） (ｃｏｓ２ｋπ＋２ )π ＝４ｋ＋４， 所以ａ４ｋ＋１＋ａ４ｋ＋２＋ａ４ｋ＋３＋ａ４ｋ＋４ ＝２， 因为２１２＝４×５３， 所以Ｓ２１２ ＝２×５３＝１０６． 故选（Ａ）． 二、多项选择题 ９．ＢＣＤ；　１０．ＡＢＤ；　１１．ＡＢＤ． 提示： ９．由题可得ａ１ ＝Ｓ１ ＝－２，ａ２ ＝Ｓ２－Ｓ１ ＝３， 当ｎ为奇数且ｎ≥３时， ａｎ ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１ ＝－ ｎ＋３ ２ － ｎ－１ ２ ＝－ｎ－１， 其中ａ１符合， 所以当ｎ为奇数时，ａｎ ＝－ｎ－１，所以（Ｂ）正确； 当ｎ为偶数时， ａｎ ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１ ＝ ｎ ２ (－ －ｎ－１＋３)２ ＝ｎ＋１， ａ１０ ＝１１，所以（Ａ）错误，（Ｃ）正确； 又ａｎａｎ＋１ ＝－（ｎ＋１）（ｎ＋２）， 所以 １ ａｎａｎ＋１ ＝－ １ （ｎ＋１）（ｎ＋２） (＝－ １ｎ＋１－ １ｎ＋ )２ ， {所以数列 １ａｎａｎ＋ }１ 的前ｎ项和为 Ｔｎ (＝－ １２－１３＋１３－１４＋１４－１５＋… ＋ １ｎ＋１－ １ｎ＋ )２ 　 ＝－１２＋ １ ｎ＋２＝－ ｎ ２（ｎ＋２），所以（Ｄ）正确． 故选（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）． １０．对于（Ａ），若ａｎ ＝ｎ ２＋ｎ，则 １ｎａｎ ＝ｎ＋１， 所以ｂｎ ＝ （２＋ｎ＋１）ｎ ２ ＝ ｎ２＋３ｎ ２ ，正确； 对于（Ｂ），已知ａ１＋ １ ２ａ２＋ １ ３ａ３＋… ＋ １ ｎａｎ ＝ｎ， 当ｎ＝１时，ａ１ ＝１， 当ｎ≥２时，ａ１＋ １ ２ａ２＋ １ ３ａ３＋… ＋ １ ｎ－１ａｎ－１ ＝ｎ－１， 则 １ ｎａｎ ＝１，故ａｎ ＝ｎ，显然ｎ＝１时也成立， 所以｛ａｎ｝为等差数列，正确； 对于（Ｃ），已知ａ１＋ １ ２ａ２＋ １ ３ａ３＋… ＋ １ ｎａｎ ＝ｎ＋１， 当ｎ＝１时，ａ１ ＝２， 当ｎ≥２时，ａ１＋ １ ２ａ２＋ １ ３ａ３＋… ＋ １ ｎ－１ａｎ－１ ＝ｎ， 则 １ ｎａｎ ＝１，故ａｎ ＝ｎ，显然ｎ＝１时不成立， 所以｛ａｎ｝不是等差数列，不正确； 对于（Ｄ），已知ａ１＋ １ ２ａ２＋ １ ３ａ３＋… ＋ １ ｎａｎ ＝２ ｎ， 当ｎ＝１时，ａ１ ＝２， 当ｎ≥２时，ａ１＋ １ ２ａ２＋ １ ３ａ３＋… ＋ １ ｎ－１ａｎ－１ ＝２ ｎ－１， 则 １ ｎａｎ ＝２ ｎ－１，故ａｎ ＝ｎ·２ ｎ－１，显然ｎ＝１时不成立， 所以ａｎ ＝ ２， ｎ·２ｎ－１{ ， ｎ＝１， ｎ≥２， 当ｎ＝１时，Ｓ１ ＝２， 当 ｎ≥２时，ａ１＝２，Ｓｎ＝２＋２·２ １＋３·２２＋… ＋ｎ·２ｎ－１， ２Ｓｎ ＝２·２＋２·２ ２＋… ＋（ｎ－１）·２ｎ－１＋ｎ·２ｎ， －Ｓｎ ＝２＋０＋２ ２＋２３＋… ＋２ｎ－１－ｎ·２ｎ ＝２＋４（１－２ ｎ－２） １－２ －ｎ·２ ｎ ＝（１－ｎ）·２ｎ－２， 所以Ｓｎ ＝（ｎ－１）·２ ｎ＋２，ｎ＝１时也成立，正确． 故选（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）． １１．对于（Ａ），例如ｄ＝０，ｑ＝１，ａ１＝ｂ１＝１，此时ａｎ＝ｂｎ， 故（Ａ）正确； 对于（Ｂ）， 因为Ｓ（ｋ＋１）ｎ－Ｓｋｎ ＝ａｋｎ＋１＋ａｋｎ＋２＋… ＋ａ（ｋ＋１）ｎ ＝ａ１＋ｋｎｄ＋ａ２＋ｋｎｄ＋… ＋ａｎ＋ｋｎｄ ＝Ｓｎ＋ｋ（ｎ ２ｄ），ｋ∈Ｎ＋， 所以Ｓｎ，Ｓ２ｎ－Ｓｎ，Ｓ３ｎ－Ｓ２ｎ，…成等差数列，故（Ｂ）正确； 对于（Ｃ），例如ｂｎ ＝（－１） ｎ，则 Ｔ２ ＝ｂ１＋ｂ２ ＝－１＋１＝０， 可得Ｔｎ，Ｔ２ｎ－Ｔｎ，Ｔ３ｎ－Ｔ２ｎ，…不一定成等比数列，故（Ｃ） 错误； 对于（Ｄ），因为数列｛ａｎ｝为等差数列，设ａｎ ＝ｋｎ＋ｂ， 又因为ｂｎ ＞０，则ｂ１ ＞０，ｑ＞０， 令Ａ＝ｂ１（ｑ １ ｋ）－ｂ－ｋ ＞０，ａ＝ｑ １ ｋ ＞０， 则Ａ·ａａｎ ＝ｂ１（ｑ １ ｋ）－ｂ－ｋ·（ｑ １ ｋ）ｋｎ＋ｂ ＝ｂ１（ｑ １ ｋ）ｋ（ｎ－１） ＝ｂ１ｑ ｎ－１ ＝ｂｎ， 即存在实数Ａ，ａ使得Ａ·ａａｎ ＝ｂｎ，故（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）                                                                      ． —２— 高中数学北师大版选择性必修第二册　第４１～４４期 三、填空题 １２．５；　１３．２ｎｎ＋１；　１４ (． －１４， )１４ ． 提示： １２．由题可得ａ１ａ５ ＝ａ ２ ３ ＝４，所以ａ３ ＝２， 所以ｌｏｇ２ａ１＋ｌｏｇ２ａ２＋ｌｏｇ２ａ３＋ｌｏｇ２ａ４＋ｌｏｇ２ａ５ ＝ｌｏｇ２（ａ１·ａ２·ａ３·ａ４·ａ５） ＝ｌｏｇ２ａ ５ ３ ＝ｌｏｇ２２ ５ ＝５． １３．由已知ＡｉＢｉ＝ １ ２ｉ ２ (－ －１２ )ｉ ＝ １２ｉ（ｉ＋１）， 所以 １ ＡｉＢｉ ＝ ２ｉ（ｉ＋１）＝ (２ １ｉ－ １ｉ＋ )１ 所以 １ Ａ１Ｂ１ ＋ １Ａ２Ｂ２ ＋… ＋ １ＡｎＢｎ 　 ＝ (２ １－１２＋１２－１３＋… ＋１ｎ－ １ｎ＋ )１ 　 ＝ ２ｎｎ＋１． １４．由Ｓｎ＋１＋Ｓｎ ＝ｎ ２①， 则当ｎ≥２时，Ｓｎ＋Ｓｎ－１ ＝（ｎ－１） ２②， ①②两式相减得ａｎ＋１＋ａｎ ＝２ｎ－１（ｎ≥２）③， 则ａｎ＋２＋ａｎ＋１ ＝２ｎ＋１④， ③④两式相减得ａｎ＋２－ａｎ ＝２（ｎ≥２）， 所以数列｛ａ２ｎ＋１｝，｛ａ２ｎ｝都是以２为公差的递增数列． 要使ａｎ＋１ ＞ａｎ对ｎ∈Ｎ＋恒成立，只需 ａ２ ＞ａ１， ａ３ ＞ａ２， ａ４ ＞ａ３ { ， 而ａ２ ＝１－２ａ１，ａ３ ＝２＋２ａ１，ａ４ ＝３－２ａ１， 则 １－２ａ１ ＞ａ１， ２＋２ａ１ ＞１－２ａ１， ３－２ａ１ ＞２＋２ａ１ { ， 解得 －１４ ＜ａ１ ＜ １ ４， 所以ａ１ (的取值范围为 －１４， )１４ ． 四、解答题 １５．解：由３ａｎ＋１ ＝３ａｎ－４得ａｎ＋１－ａｎ ＝－ ４ ３， 所以｛ａｎ｝是等差数列，首项ａ１ ＝１５，公差ｄ＝－ ４ ３， 所以ａｎ ＝１５－ ４ ３（ｎ－１）＝ ４９－４ｎ ３ ， 由ａｋａｋ＋１ ＜０得 ４９－４ｋ ３ · ４９－４（ｋ＋１） ３ ＜０， 即（４ｋ－４５）（４ｋ－４９）＜０，解得４５４ ＜ｋ＜ ４９ ４， 因为ｋ∈Ｎ＋，所以ｋ＝１２． １６．解：（１）当ｎ≥２时， ａｎ ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１ ＝ １２ｎ ２＋１２ [ｎ－ １２（ｎ－１）２＋１２（ｎ－１ ]） ＝ｎ， 当ｎ＝１时，ａ１ ＝Ｓ１ ＝１，满足上式， 所以ａｎ ＝ｎ，ｎ∈Ｎ＋． （２）ｂｎ ＝２ ｎ－５ｎ， ｂｎ＋１－ｂｎ ＝［２ ｎ＋１－５（ｎ＋１）］－（２ｎ－５ｎ）＝２ｎ－５， 当ｎ≤２时，ｂｎ＋１－ｂｎ ＜０，即ｂｎ＋１ ＜ｂｎ， 所以ｂ１ ＞ｂ２ ＞ｂ３； 当ｎ≥３时，ｂｎ＋１－ｂｎ ＞０，即ｂｎ＋１ ＞ｂｎ， 所以ｂ３ ＜ｂ４ ＜ｂ５ ＜…； 所以数列｛ｂｎ｝中最小的项为ｂ３ ＝２ ３－１５＝－７． １７．解：（１）由题可得 １ａｎ＋１ ＝ １ａｎ ＋１，即 １ａｎ＋１ －１ａｎ ＝１， 又 １ ａ１ ＝１， {所以数列 １ａ }ｎ 是首项为１，公差为１的等差数列． 故 １ ａｎ ＝１＋（ｎ－１）×１＝ｎ，即ａｎ ＝ １ ｎ． （２）由（１）得ａｎａｎ＋１ ＝ １ （ｎ＋１）ｎ＝ １ ｎ－ １ ｎ＋１， 所以Ｔｎ ＝１－ １ ２＋ １ ２－ １ ３＋… ＋ １ ｎ－ １ ｎ＋１ ＝１－ １ｎ＋１＜１． 要使Ｔｎ ＜３ｍ－１２对ｎ∈Ｎ＋恒成立， 则３ｍ－１２≥１，即ｍ≥ １３３， 又ｍ∈Ｚ，所以ｍ的最小值为５． １８．（１）解：当ｎ＝２时，４Ｓ４＋５Ｓ２ ＝８Ｓ３＋Ｓ１，即 ４（ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４）＋５（ａ１＋ａ２）＝８（ａ１＋ａ２＋ａ３）＋ａ１， 整理得ａ４ ＝ ４ａ３－ａ２ ４ ． 又ａ２ ＝ ３ ２，ａ３ ＝ ５ ４，所以ａ４ ＝ ７ ８． （２）证明：当ｎ≥２时，有４Ｓｎ＋２＋５Ｓｎ ＝８Ｓｎ＋１＋Ｓｎ－１， 即４Ｓｎ＋２＋４Ｓｎ＋Ｓｎ ＝４Ｓｎ＋１＋４Ｓｎ＋１＋Ｓｎ－１， 所以４（Ｓｎ＋２－Ｓｎ＋１）＝４（Ｓｎ＋１－Ｓｎ）－（Ｓｎ－Ｓｎ－１）， 即ａｎ＋２ ＝ａｎ＋１－ １ ４ａｎ（ｎ≥２）． 经检验，当ｎ＝１时，上式成立                                                                      ． —３— 高中数学北师大版选择性必修第二册　第４１～４４期 因为 ａｎ＋２－ １ ２ａｎ＋１ ａｎ＋１－ １ ２ａｎ ( ＝ ａｎ＋１－ １ ４ａ )ｎ －１２ａｎ＋１ ａｎ＋１－ １ ２ａｎ ＝ １ ２（ａｎ＋１－ １ ２ａｎ） ａｎ＋１－ １ ２ａｎ ＝ １２为常数， 且ａ２－ １ ２ａ１ ＝１， {所以数列 ａｎ＋１－１２ａ}ｎ 是以１为首项，１２为公比的等比数列． （３）解：由（２）知ａｎ＋１－ １ ２ａｎ ＝ １ ２ｎ－１ （ｎ∈Ｎ＋）， 两边同乘２ｎ得 ２ｎａｎ＋１－２ ｎ－１ａｎ ＝２（ｎ∈Ｎ＋）． 又２０ａ１ ＝１， 所以数列｛２ｎ－１ａｎ｝是以１为首项，２为公差的等差数列， 所以２ｎ－１ａｎ ＝２ｎ－１，即ａｎ ＝ ２ｎ－１ ２ｎ－１ （ｎ∈Ｎ＋）． 则数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ２ｎ－１ ２ｎ－１ （ｎ∈Ｎ＋）． １９．解：（１）由Ｓｎ (＝ )１２ ｎ ＋ａ可得ａ１ ＝ １ ２＋ａ， ａ２ ＝Ｓ２－Ｓ１ (＝ )１２ ２ (＋ａ－ １２ )＋ａ ＝－１４， ａ３ ＝Ｓ３－Ｓ２ (＝ )１２ ３ [ (＋ａ－ )１２ ２ ]＋ａ ＝－１８， 因为数列｛ａｎ｝是等比数列，所以ｑ＝ ａ３ ａ２ ＝ ａ２ ａ１ ， 即ｑ＝ －１８ －１４ ＝ －１４ １ ２＋ａ ，所以ｑ＝ １２，ａ＝－１． 所以ａｎ ＝－ １ ２ (× )１２ ｎ－１ ＝－１ ２ｎ ． （２）由（１）知，ａｉａｉ＋１ ＝－ １ ２ｉ (× － １２ｉ＋ )１ ＝ １２２ｉ＋１， 令ｃｉ＝ａｉａｉ＋１， 则ｃ１ ＝ａ１ａ２ ＝ １ ８， ｃｉ＋１ ｃｉ ＝ ａｉ＋１ａｉ＋２ ａｉａｉ＋１ ＝ １４， 所以｛ｃｎ｝是首项为 １ ８，公比为 １ ４的等比数列， 所以∑ ｎ ｉ＝１ ａｉａｉ＋１ ＝ [１８ １ (－ )１４ ] ｎ １－１４ ＝ １６－ １ ６·４ｎ ． （３）因为ｂｎ ＝ａｎ＋２ｎ， 所以Ｔｎ ＝ｂ１＋ｂ２＋… ＋ｂｎ ＝ａ１＋ａ２＋… ＋ａｎ＋２（１＋２＋… ＋ｎ） ＝ －１２ [× １ (－ )１２ ] ｎ １－１２ ＋２×ｎ（ｎ＋１）２ ＝ １ ２ｎ －１＋ｎ２＋ｎ． 第４２期 数列核心素养综合测评 一、单项选择题 １～４　ＢＢＣＡ　　５～８　ＣＡＡＣ 提示： １．ａ３ ＝ ａ３ ａ２ × ａ２ ａ１ ×ａ１ ＝ ３２ ２２ ×２ ２ １２ ×ａ１ ＝９ａ１ ＝３． 故选（Ｂ）． ２．设九只茶壶按容积从小到大依次记为ａ１，ａ２，…ａ９， 由题意可得ａ１＋ａ２＋ａ３ ＝０．５，ａ７＋ａ８＋ａ９ ＝２．５， 所以３ａ２ ＝０．５，３ａ８ ＝２．５ａ２＋ａ８ ＝１， 所以ａ５ ＝ ａ２＋ａ８ ２ ＝０５． 故选（Ｂ）． ３．设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ（ｄ≠０）， 由题意知，ａ２４ ＝ａ２ａ８，ａ４ ＝４， 所以（４－２ｄ）（４＋４ｄ）＝１６， 解得ｄ＝１或ｄ＝０（舍去）， 所以ａ１ ＝１， 所以Ｓ１０ ＝１０×１＋ １０×９ ２ ×１＝５５． 故选（Ｃ）． ４．因为π６ａ２－ａ ２ ７＋ π ６ａ１２ ＝０，且ａ２＋ａ１２ ＝２ａ７，ａｎ≠０， 所以ａ７ ＝ π ３，所以ｂ７ ＝ π ３． 故 ｂ４ｂ槡 １０ ＝ ｂ槡 ２ ７ ＝ｂ７ ＝ π ３． 所以ｔａｎ（ ｂ４ｂ槡 １０）＝ｔａｎ π ３ ＝槡３． 故选（Ａ）． ５．因为Ｓ３ ＝ａ１＋ａ２＋ａ３ ＝１４，即ａ１＋ａ３ ＝１４－ａ２，① 又由题得ａ１＋８＋ａ３＋６＝６ａ２， ② 将①代入②中并化简，解得ａ２ ＝４， 所以ａ１·ａ３ ＝ａ ２ ２ ＝１６． 故选（Ｃ）                                                                      ． —４— 高中数学北师大版选择性必修第二册　第４１～４４期 ６．因为数列｛ａｎ｝是公差不为０的等差数列， 且ａ１，ａ３，ａ７为等比数列｛ｂｎ｝的连续三项， 所以ａ２３ ＝ａ１·ａ７，可得（ａ１＋２ｄ） ２ ＝ａ１（ａ１＋６ｄ）， 化为ａ１ ＝２ｄ≠０． 所以公比ｑ＝ ａ３ ａ１ ＝ ａ１＋２ｄ ａ１ ＝４ｄ２ｄ＝２． 则 ｂ２＋ｂ３ ｂ３＋ｂ４ ＝ １ｑ ＝ １ ２． 故选（Ａ）． ７．因为Ｓ奇 ＝ ａ１（１－ｑ ５０） １－ｑ２ ，Ｓ偶 ＝ ａ２（１－ｑ ５０） １－ｑ２ ， 所以ｑ＝ ａ２ ａ１ ＝ Ｓ偶 Ｓ奇 ＝３，ａｎ ＝３ ｎ－１， 令ｂｎ ＝ ｌｏｇ３ａｎ ａｎ ＝ｎ－１ ３ｎ－１ ， 则ｂｎ＋１－ｂｎ ＝ ｎ ３ｎ －ｎ－１ ３ｎ－１ ＝３－２ｎ ３ｎ ， 当ｎ＝１时，ｂ２ ＞ｂ１； 当ｎ≥２时，ｂ２ ＞ｂ３，…，ｂｎ ＞ｂｎ＋１， 所以先单调递增，再单调递减． 故选（Ａ）． ８．由已知得 ｎａ１＋ａ２＋… ＋ａｎ ＝ １２ｎ＋１， 所以ａ１＋ａ２＋… ＋ａｎ ＝ｎ（２ｎ＋１）＝Ｓｎ， 当ｎ≥２时，ａｎ ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１ ＝４ｎ－１， 验证知当ｎ＝１时也成立， 所以ａｎ ＝４ｎ－１，所以ｂｎ ＝ ａｎ＋１ ４ ＝ｎ， 所以 １ ｂｎ·ｂｎ＋１ ＝ １ｎ－ １ ｎ＋１， 所以 １ ｂ１ｂ２ ＋ １ｂ２ｂ３ ＋… ＋ １ｂ１５ｂ１６ ＝ １－( )１２ ＋ １２－( )１３ ＋ １３－( )１４ ＋… ＋ １１５－１( )１６ ＝１５１６． 故选（Ｃ）． 二、多项选择题 ９．ＡＣＤ；　１０．ＡＣＤ；　１１．ＢＤ． 提示： ９．根据题意，等比数列｛ａｎ｝的首项为３，公比为 ｑ，（ｑ∈ Ｚ）， 若２４３是该数列中的一项，设２４３是该数列的第ｎ项， 则ａ１ｑ ｎ－１ ＝２４３，变形可得ｑｎ－１ ＝８１， 又由ｑ∈Ｚ，当ｎ＝２时，ｑ＝８１； 当ｎ＝３时，ｑ＝±９；当ｎ＝５时，ｑ＝±３． 故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． １０．首先由题意ａ１ ＝１， 由ａ１＋２ａ２＋… ＋２ ｎ－１ａｎ ＝ｎ， ① 得ｎ≥２时， ａ１＋２ａ２＋… ＋２ ｎ－２ａｎ－１ ＝ｎ－１， ② ① －②得２ｎ－１ａｎ ＝１，ａｎ ＝ １ ２ｎ－１ ， ａ１ ＝１也适合，所以ａｎ ＝ １ ２ｎ－１ ， 数列｛ａｎ｝是等比数列，不是等差数列，（Ａ）错误，（Ｂ）正 确； Ｓｎ ＝ １－１ ２ｎ １－１２ ＝２－ １ ２ｎ－１ ＜２， 所以不存在ｎ∈Ｎ＋，使得Ｓｎ ＝３，（Ｃ）错误； ａｎ ＞０，ａｎ＋ ２ ａｎ ≥２ ａｎ× ２ ａ槡 ｎ ＝ 槡２２， 当且仅当ａｎ ＝ ２ ａｎ ，即ａｎ ＝槡２时，等号成立． 但ａｎ ＝ １ ２ｎ－１ ≠槡２，因此 槡２２取不到，（Ｄ）错误． 故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． １１．由题设可得ａ２ｋ－ａ２ｋ－１ ＝１，ａ２ｋ＋１－２ａ２ｋ ＝１． 因为ａ１ ＝１，ａ２－ａ１ ＝１，故ａ２ ＝ａ１＋１＝２， 所以ａ２ｋ＋２－ａ２ｋ＋１ ＝１，ａ２ｋ＋１－２ａ２ｋ ＝１， 所以ａ２ｋ＋２－２ａ２ｋ ＝２， 所以ａ２ｋ＋２＋２＝２（ａ２ｋ＋２）． 因为ａ２＋２＝４≠０，故ａ２ｋ＋２≠０， 所以 ａ２ｋ＋２＋２ ａ２ｋ＋２ ＝２，所以｛ａ２ｋ＋２｝为等比数列， 所以ａ２ｋ＋２＝４×２ ｋ－１，即ａ２ｋ ＝２ ｋ＋１－２， 故ａ６ ＝１６－２＝１４，故（Ａ），（Ｃ）错误； 又ａ２ｋ－１ ＝２ ｋ＋１－２－１＝２ｋ＋１－３， 故ａ２ｋ－１＋３＝２ ｋ＋１， 所以 ａ２ｋ＋１＋３ ａ２ｋ－１＋３ ＝２， 即｛ａ２ｋ－１＋３｝（ｋ∈Ｎ＋）是以２为公比的等比数列，故（Ｂ） 正确； Ｓ１４ ＝ａ１＋ａ２＋… ＋ａ１４ ＝ａ１＋（ａ１＋１）＋ａ３＋（ａ３＋１）＋… ＋ａ１３＋（ａ１３＋１） ＝２（ａ１＋ａ３＋ａ５＋ａ７＋ａ９＋ａ１１＋ａ１３）＋７ ＝２×（２２－３＋２３－３＋… ＋２８－３）＋７＝９８１                                                                      ， —５— 高中数学北师大版选择性必修第二册　第４１～４４期 Ｓ１５ ＝Ｓ１４＋ａ１５ ＝９８１＋５０９＝１４９０＞１０００， 故Ｓｎ ＞１０００的最小正整数ｎ的值为１５，故（Ｄ）正确． 故选（Ｂ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．１０；　１３．－１４；　１４．１６８． 提示： １２．由题得ａ１ａ１０ ＝ａ２ａ９ ＝ａ３ａ８ ＝ａ４ａ７ ＝ａ５ａ６ ＝４， 所以数列｛ｌｏｇ２ａｎ｝的前１０项和为 ｌｏｇ２ａ１＋ｌｏｇ２ａ２＋… ＋ｌｏｇ２ａ１０ ＝ｌｏｇ２（ａ１ａ２…ａ１０）＝ｌｏｇ２４ ５ ＝ｌｏｇ２２ １０ ＝１０． １３．设递减等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ＜０， 因为ａ１，ａ４，－ａ６成等比数列，所以ａ ２ ４ ＝ａ１×（－ａ６）， 所以（ａ１＋３ｄ） ２ ＝ａ１×（－ａ１－５ｄ）， 又ａ３ ＝－１＝ａ１＋２ｄ，联立解得ｄ＝－１，ａ１ ＝１， 所以Ｓ７ ＝７＋ ７×６ ２ ×（－１）＝－１４． １４．因为ａｎ＋１ ＝ａｎ＋２ ａｎ＋槡 １＋１， 所以ａｎ＋１＋１＝（ ａｎ＋槡 １） ２＋２ ａｎ＋槡 １＋１， 即ａｎ＋１＋１＝（ ａｎ＋槡 １＋１） ２， 等式两边开方可得 ａｎ＋１＋槡 １＝ ａｎ＋槡 １＋１， 即 ａｎ＋１＋槡 １－ ａｎ＋槡 １＝１， 所以数列｛ ａｎ＋槡 １｝是首项为１，公差为１的等差数列， 所以 ａｎ＋槡 １＝１＋（ｎ－１）×１＝ｎ， 所以ａｎ ＝ｎ ２－１，所以ａ１３ ＝１３ ２－１＝１６８． 四、解答题 １５．解：（１）设｛ａｎ｝的公差为ｄ，则由已知条件得 ａ１＋２ｄ＝２，３ａ１＋ ３×２ ２ ｄ＝ ９ ２， 解得ａ１ ＝１，ｄ＝ １ ２． 故ａｎ ＝１＋ ｎ－１ ２ ，即ａｎ ＝ ｎ＋１ ２ ． （２）由（１）得ｂ１ ＝１，ｂ４ ＝ａ１５ ＝ １５＋１ ２ ＝８． 设｛ｂｎ｝的公比为ｑ，则ｑ ３ ＝ ｂ４ ｂ１ ＝８，从而ｑ＝２． 故｛ｂｎ｝的前ｎ项和 Ｔｎ ＝ ｂ１（１－ｑ ｎ） １－ｑ ＝ １×（１－２ｎ） １－２ ＝２ ｎ－１． １６．（１）解：由已知得｛ａｎ｝为等差数列． 设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， 由ａ３＋ａ７ ＝２０，ａ２＋ａ５ ＝１４，解得ｄ＝２，ａ１ ＝２， 所以数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝２ｎ． （２）证明：ｂｎ ＝ １ （ａｎ－１）（ａｎ＋１） ＝ １ （２ｎ－１）（２ｎ＋１） ＝ (１２ １２ｎ－１－ １２ｎ＋ )１ ， Ｓｎ＝ (１２ １－１３＋１３－１５＋１５－… ＋ １２ｎ－１－ １２ｎ＋ )１ ＝ (１２ １－ １２ｎ＋ )１ ， 因为ｎ∈Ｎ＋，所以Ｓｎ ＝ １ ２ １－ １ ２ｎ＋( )１ ＜ １ ２． １７．解：（１）设｛ａｎ｝的公比为ｑ（ｑ≠１）， 由题可知２ａ５ ＝ａ６＋ａ７，即２ａ５ ＝ａ５ｑ＋ａ５ｑ ２， 因为ａ５≠０，所以２＝ｑ＋ｑ ２， 因为ｑ≠１，所以ｑ＝－２． 所以ａｎ ＝ａ４ｑ ｎ－４ ＝－８×（－２）ｎ－４ ＝（－２）ｎ－１． （２）由（１）可得ｂｎ ＝ａ２ｎ－１－ａ２ｎ ＝（－２） ２ｎ－２－（－２）２ｎ－１ ＝２２ｎ－２＋２２ｎ－１ ＝３×４ｎ－１， 所以｛ｂｎ｝是以３为首项，４为公比的等比数列， 所以Ｔｎ ＝ ３×（１－４ｎ） １－４ ＝４ ｎ－１． １８．解：（１）设等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ， 则由７ａ２ ＝２Ｓ３可得５ａ２ ＝２ａ１＋２ａ３， 即２ｑ２－５ｑ＋２＝０， 解得ｑ＝ １２或ｑ＝２（舍去）， 故ａｎ ＝ １ ２ (· )１２ ｎ－１ (＝ )１２ ｎ ． （２）由（１）得Ｓｎ＋１ ＝ (１２ １－ １２ｎ＋ )１ １－１２ ＝１－ １ ２ｎ＋１ ， 所以ｂｎ ＝ｌｏｇ２（１－Ｓｎ＋１）＝－ｎ－１， 则 １ ｂ２ｎ－１ｂ２ｎ＋１ ＝ １ （－２ｎ）（－２ｎ－２）＝ (１４ １ｎ－ １ｎ＋ )１ ， 所以 １ ｂ１ｂ３ ＋ １ｂ３ｂ５ ＋… ＋ １ｂ２ｎ－１ｂ２ｎ＋１ ＝ [ (１４ １－ )１２ (＋ １２－ )１３ ＋… (＋ １ｎ－ １ｎ＋ ) ]１ ＝ (１４ １－ １ｎ＋ )１ ， 则由 (１４ １－ １ｎ＋ )１ ＝ ５２１解得ｎ＝２０． １９．（１）解：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ                                                                      ， —６— 高中数学北师大版选择性必修第二册　第４１～４４期 则 （ａ１＋ｄ）＋（ａ１＋４ｄ）＝－５， ａ１＋９ｄ＝１７ { ， 解得 ａ１ ＝－１０， ｄ＝３{ ． 所以ａｎ ＝－１０＋３（ｎ－１），即ａｎ ＝３ｎ－１３． 由ｂｎ＋１ ＝ ａｎ＋ｃｎ ２ ，ｃｎ＋１ ＝ ａｎ＋ｂｎ ２ 两式相减得 ｃｎ＋１－ｂｎ＋１ ＝－ １ ２（ｃｎ－ｂｎ）， 又ｃ１－ｂ１ ＝２≠０， 所以ｃｎ－ｂｎ≠０， 所以 ｃｎ＋１－ｂｎ＋１ ｃｎ－ｂｎ ＝－１２， 所以｛ｃｎ－ｂｎ｝是以２为首项，－ １ ２为公比的等比数列， 所以ｃｎ－ｂｎ ＝２ (· － )１２ ｎ－１ ． （２）证明：由ｂｎ＋１ ＝ ａｎ＋ｃｎ ２ ，得ａｎ ＝２ｂｎ＋１－ｃｎ， 所以ａ１＋ａ２＋… ＋ａｎ ＝２（ｂ２＋ｂ３＋… ＋ｂｎ＋１）－（ｃ１＋ｃ２＋… ＋ｃｎ）， 所以２Ｓｎ＋１－Ｔｎ ＝（ａ１＋ａ２＋… ＋ａｎ）＋２ｂ１ ＝ｎ（－１０＋３ｎ－１３）２ ＋２＝ ３ ２ｎ ２－２３２ｎ＋２ ＝ (３２ ｎ－２３)６ ２ ＋２－３２ (· ２３)６ ２ ． 所以当正整数ｎ＝４时，２Ｓｎ＋１－Ｔｎ取得最小值 －２０． 所以ｎ∈Ｎ＋时，２Ｓｎ＋１－Ｔｎ≥－２０． 第４３期１版 专项小练一 １．Ｃ；　２．ＡＢＣ；　３．４；　４．８Δｔ＋２（Δｔ）２． ５．解：当自变量从－２变化到－２＋Δｘ时，函数的平均变化 率为 Δｙ Δｘ ＝（－２＋Δｘ） ２－２（－２＋Δｘ）＋３－（４＋４＋３） Δｘ ＝（Δｘ） ２－６Δｘ Δｘ ＝Δｘ－６． 专项小练二 １．Ｄ；　２．ＢＣ；　３．２；　４．ｘ＋ｙ－２＝０． ５．解：（１）从０１到０２的平均变化率为 ｆ（０．２）－ｆ（０．１） ０．２－０．１ ＝３×０２ ２＋５－（３×０１２＋５） ０．１ ＝０．９． （２） ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０） ｘ０＋Δｘ－ｘ０ ＝ ３（ｘ０＋Δｘ） ２＋５－（３ｘ２０＋５） Δｘ ＝６ｘ０＋３Δｘ， 所以在０２处的瞬时变化率为 ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（０．２＋Δｘ）－ｆ（０．２） Δｘ ＝ｌｉｍ Δｘ→０ （６×０．２＋３Δｘ）＝１．２． 第４３期３，４版 导数的概念及其意义同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＣＢＢＡ　５～８　ＡＤＡＢ 提示： １．根据平均变化率的定义，在３５ｍ范围内，当水深每增加 ５ｍ时，水库储水量的平均变化率依次为： 水深（ｍ） ０ ５ １０ １５ ２０ ２５ ３０ ３５ 平均变化率 （１０４ｍ２） ０ ２ ４ １２ １４ ２３ ３２ ４３ 平均变化率越来越大． 故选（Ｃ）． ２．因为ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－３Δｘ） Δｘ ＝４ｌｉｍ ４Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－３Δｘ） ４Δｘ ＝２， 所以ｌｉｍ ４Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－３Δｘ） ４Δｘ ＝ １２， 即ｆ′（ｘ０）＝ｌｉｍ４Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－３Δｘ） ４Δｘ ＝ １２． 故选（Ｂ）． ３．根据平均速度定义可知， 在ｔ∈［２，３］内的平均速度为 ｖ１ ＝ Δｓ Δｔ ＝３ ２＋２×３－２２－２×２ ３－２ ＝７； 在ｔ＝３时的瞬时速度为 ｖ２ ＝ｌｉｍ Δｔ→０ （３＋Δｔ）２＋２×（３＋Δｔ）－３２－２×３ Δｔ ＝ｌｉｍ Δｔ→０ （８＋Δｔ）＝８； 所以 ｖ１ ｖ２ ＝ ７８． 故选（Ｂ）． ４．因为ｖ１ ＝ｋＯＡ，ｖ２ ＝ｋＡＢ，ｖ３ ＝ｋＢＣ， 由图象知ｋＯＡ ＜ｋＡＢ ＜ｋＢＣ， 所以ｖ１ ＜ｖ２ ＜ｖ３． 故选（Ａ）． ５．由图可知，甲厂污水排放量逐渐减少，故①正确； 乙厂的污水排放量比甲厂减少得更多，故②正确                                                                      ， —７— 高中数学北师大版选择性必修第二册　第４１～４４期 在接近ｔ０时，甲工厂污水排放量减少得比乙的更加快，故 ③错误． 故选（Ａ）． ６．因为Δｙ Δｘ ＝ｆ（ｍ＋Δｘ）－ｆ（ｍ） Δｘ ＝ ２ ｍ＋Δｘ －２ｍ Δｘ ＝ －２ｍ（ｍ＋Δｘ） ， 所以ｆ′（ｍ）＝ｌｉｍ Δｘ→０ －２ ｍ（ｍ＋Δｘ） ＝－２ ｍ２ ， 所以 －２ ｍ２ ＝－１２，即ｍ ２ ＝４，解得ｍ＝±２． 故选（Ｄ）． ７．ｓ（３＋Δｔ）－ｓ（３） Δｔ ＝ （３＋Δｔ）＋１９（３＋Δｔ） ３ (－ ３＋１９×３ )３ Δｔ ＝４＋Δｔ＋１９（Δｔ） ２， 当Δｔ无限趋近于０时，４＋Δｔ＋１９（Δｔ） ２无限趋近于４， 所以当ｔ＝３ｓ时的瞬时速度为４ｍ／ｓ． 故选（Ａ）． ８．由题图可知函数ｆ（ｘ）的图象在ｘ＝１处的切线的斜率 比在ｘ＝３处的切线的斜率大，且均为正数， 所以０＜ｆ′（３）＜ｆ′（１）． ＡＢ的斜率为ｆ（３）－ｆ（１）３－１ ， 它比在ｘ＝１处的切线的斜率小，但比在ｘ＝３处的切线的 斜率大， 所以０＜ｆ′（３）＜ｆ（３）－ｆ（１）２ ＜ｆ′（１）． 故选（Ｂ）． 二、多项选择题 ９．ＡＣ；　１０．ＡＢＣ；　１１．ＢＣＤ． 提示： ９．ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０）－ｆ（ｘ０－２Δｘ） ２Δｘ ＝ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０－２Δｘ＋２Δｘ）－ｆ（ｘ０－２Δｘ） ２Δｘ ＝ｆ′（ｘ０），（Ａ）满足； ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－Δｘ） Δｘ ＝２ｌｉｍ ２Δｘ→０ ｆ（ｘ０－Δｘ＋２Δｘ）－ｆ（ｘ０－Δｘ） ２Δｘ ＝２ｆ′（ｘ０），（Ｂ）不满足； ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋２Δｘ）－ｆ（ｘ０＋Δｘ） Δｘ ＝ｆ′（ｘ０），（Ｃ）满足； ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－２Δｘ） Δｘ ＝３ｌｉｍ ３Δｘ→０ ｆ（ｘ０－２Δｘ＋３Δｘ）－ｆ（ｘ０－２Δｘ） ３Δｘ ＝３ｆ′（ｘ０），（Ｄ）不满足． 故选（Ａ）（Ｃ）． １０．在ｔ１时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，（Ａ）正确； 在ｔ２时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同， （Ｂ）正确； 在［ｔ２，ｔ３］这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平 均变化率相同，（Ｃ）正确； 在［ｔ１，ｔ２］这个时间段内甲血管中药物浓度的平均变化率 大于在［ｔ２，ｔ３］这个时间段内甲血管中药物浓度的平均变化 率，（Ｄ）错误． 故选（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）． １１．－ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ 表示Ｗ＝ｆ（ｔ）区间端点连线斜率的相 反数； 对于（Ａ），甲企业在［０，ｔ１］，［ｔ１，ｔ２］，［ｔ２，ｔ３］三段时间中， 在［０，ｔ１］中斜率最大且都小于０，所以 － ｆ（ｂ）－ｆ（ａ） ｂ－ａ 在［０， ｔ１］这段时间内最小，所以甲企业在［０，ｔ１］的污水治理能力最 弱，（Ａ）错误； 对于（Ｂ），在ｔ２时刻，甲企业在该点的切线斜率比乙企业 在该点的切线斜率小且都小于０， 所以甲企业在该点的污水治理能力比乙企业强，（Ｂ）正确； 对于（Ｃ），在ｔ３时刻，甲乙企业的污水排放量都位于污水 达标排放量以下，均达标，（Ｃ）正确； 对于（Ｄ），在［ｔ１，ｔ２］这段时间内，甲企业的斜率要小于乙 企业的斜率且都小于０，所以 －ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ 在［ｔ１，ｔ２］这段时 间中，甲企业更大， 所以甲企业在［ｔ１，ｔ２］这段时间中的污水治理能力比乙企 业强，（Ｄ）正确． 故选（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．ｅ ３－２ ｅ－１；　１３． ７６π ３；　１４．－槡３． 提示： １２．因为ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｌｎｘ， 所以ｆ（ｅ）＝ｅ３－ｌｎｅ＝ｅ３－１，ｆ（１）＝１３－ｌｎ１＝１， 所以ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｌｎｘ在区间［１，ｅ］                                                                      上的平均变化率为 —８— 高中数学北师大版选择性必修第二册　第４１～４４期 ｆ（ｅ）－ｆ（１） ｅ－１ ＝ｅ ３－１－１ ｅ－１ ＝ｅ ３－２ ｅ－１． １３．因为ΔＶ＝４π３×３ ３－４π３×２ ３ ＝７６π３， Δｒ＝３－２＝１， 所以该球体的体积平均膨胀率为 ΔＶ Δｒ ＝７６π３． １４．因为函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２在区间［１，２］上的平均变化率为槡３， 所以 ｆ（２）－ｆ（１） ２－１ ＝ ４ａ－ａ ２－１ ＝槡３，所以ａ＝ 槡３ ３， 所以ｆ（ｘ）＝槡３３ｘ ２， 所以ｆ（ｘ）在区间［－２，－１］上的平均变化率为 ｆ（－１）－ｆ（－２） －１－（－２） ＝ 槡３ ３×（－１） ２－槡３３×（－２） ２ －１－（－２） ＝－槡３． 四、解答题 １５．解：设ｆ（ｘ）在区间［０，１］的平均变化率为ｍ１，ｇ（ｘ）在 区间［０，１］的平均变化率为ｍ２， 则ｍ１ ＝ ｆ（１）－ｆ（０） １－０ ＝ｆ（１）－ｆ（０）， ｍ２ ＝ ｇ（１）－ｇ（０） １－０ ＝ｇ（１）－ｇ（０）， 若ｆ（１）－ｆ（０）＝ｇ（１）－ｇ（０），则ｍ１ ＝ｍ２， 反之则不相等，所以平均变化率不一定不相等． １６．解：（１）Ｔ（１０）－Ｔ（０） ＝ １２０１０＋５＋１５ (－ １２００＋５＋ )１５ ＝－１６， 则蜥蜴的体温下降的平均变化率为 Ｔ（１０）－Ｔ（０） １０－０ ＝ －１６ １０ ＝－１６（℃／ｍｉｎ）． （２）因为Ｔ（５＋Δｔ）－Ｔ（５） ＝ １２０５＋Δｔ＋５ ＋１５ (－ １２０５＋５＋ )１５ ＝－１２Δｔ１０＋Δｔ ， 则ｌｉｍ Δｔ→０ Ｔ（５＋Δｔ）－Ｔ（５） Δｔ ＝ｌｉｍ Δｔ→０ －１２ １０＋Δｔ ＝－１．２（℃／ｍｉｎ）， 它表示太阳落山后 ５ｍｉｎ时，蜥蜴的体温下降的速度为 １．２℃／ｍｉｎ． １７．解：函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ [在 ０，π ]３ 上的平均变化率为 (ｆ π )３ －ｆ（０） π ３－０ ＝ ｃｏｓπ３－ｃｏｓ０ π ３ ＝－３２π ． 函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ [在 π３，π ]２ 上的平均变化率为 (ｆ π )２ (－ｆ π )３ π ２－ π ３ ＝ ｃｏｓπ２－ｃｏｓ π ３ π ６ ＝－３ π ． 因为 －３２π ＜ －３ π ， 所以函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ [在 π３，π ]２ 上函数值变化较快． １８．解：（１）当产量由１０００台提高到１５００台时， 总利润的平均变化率为 ｃ（１５００）－ｃ（１０００） １５００－１０００ ＝ －２×（１５００）２＋７０００×１５００＋６００－［－２×（１０００）２＋７０００×１０００＋６００］ １５００－１０００ ＝６０００６００－５０００６００５００ ＝２０００（元 ／台）． （２）设ｘ＝１０００时产量的改变量为Δｘ１， 则 Δｃ Δｘ１ ＝ ｃ（１０００＋Δｘ１）－ｃ（１０００） Δｘ１ ＝ －２（Δｘ１） ２＋３０００Δｘ１ Δｘ１ ＝－２Δｘ１＋３０００， 令Δｘ１→０，可得ｃ′（１０００）＝３０００． 设ｘ＝１５００时产量的改变量为Δｘ２， 则 Δｃ Δｘ２ ＝ ｃ（１５００＋Δｘ２）－ｃ（１５００） Δｘ２ ＝ －２（Δｘ２） ２＋１０００Δｘ２ Δｘ２ ＝－２Δｘ２＋１０００， 令Δｘ２→０，可得ｃ′（１５００）＝１０００． ｃ′（１０００）的实际意义：当产量为１０００台时，多生产１台旋 切机可多获利３０００元； ｃ′（１５００）的实际意义：当产量为１５００台时，多生产１台旋 切机可多获利１０００元． １９．解：（１）因为物体在ｔ∈［３，５］内的时间变量 Δｔ＝５－３＝２， 物体在ｔ∈［３，５］内的位移变化量 Δｓ＝３×５２＋２－（３×３２＋２）＝３×（５２－３２）＝４８                                                                      ， —９— 高中数学北师大版选择性必修第二册　第４１～４４期 所以物体在ｔ∈［３，５］内的平均速度 Δｓ Δｔ ＝４８２ ＝２４（ｍ／ｓ）． （２）求物体的初速度ｖ０，即求物体在ｔ＝０时的瞬时速度， 因为物体在ｔ＝０附近的平均速度为 Δｓ Δｔ ＝ｆ（０＋Δｔ）－ｆ（０） Δｔ ＝２９＋３［（０＋Δｔ）－３］ ２－２９－３×（０－３）２ Δｔ ＝３Δｔ－１８， 所以物体在ｔ＝０处的瞬时速度为 ｌｉｍ Δｔ→０ Δｓ Δｔ ＝ｌｉｍ Δｔ→０ （３Δｔ－１８）＝－１８， 即物体的初速度为 －１８ｍ／ｓ． （３）物体在ｔ＝１时的瞬时速度，即为函数ｆ（ｔ）在ｔ＝１处 的瞬时变化率． 因为ｆ（ｔ）在ｔ＝１附近的平均变化率为 Δｓ Δｔ ＝ｆ（１＋Δｔ）－ｆ（１） Δｔ ＝２９＋３［（１＋Δｔ）－３］ ２－２９－３×（１－３）２ Δｔ ＝３Δｔ－１２， 所以ｆ（ｔ）在ｔ＝１处的瞬时变化率为 ｌｉｍ Δｔ→０ Δｓ Δｔ ＝ｌｉｍ Δｔ→０ （３Δｔ－１２）＝－１２， 即物体在ｔ＝１时的瞬时速度为 －１２ｍ／ｓ． 第４４期２版 专项小练 １．Ｂ；　２．Ｃ；　３．ＡＢＤ．　４．－４；　５．１８． ６．解：（１）ｆ′（ｘ）＝（３ｘ－ｌｏｇ３ｘ）′＝３ ｘｌｎ３－ １ｘｌｎ３． （２）ｆ′（ｘ）＝ ｅ ｘ ｘ( )２ ′＝ ｅｘｘ２－ｅｘ×２ｘ ｘ４ ＝ｅ ｘ（ｘ－２） ｘ３ ． 第４４期３，４版 导数的运算同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＢＡＤＣ　５～８　ＡＤＤＢ 提示： ２．由题意ｐ＝（１＋５％）ｔ， 所以ｐ′（ｘ）＝（１＋５％）ｔｌｎ（１＋５％）， 则ｔ＝１０时，商品价格上涨的速度为 ｐ′（１０）＝１．０５１０×ｌｎ１．０５≈１６２８９×００４８８≈００７９． 故选（Ａ）． ３．由题可得ｆ′（ｘ）＝３ｘ２＋４， 所以ｆ′（１）＝３×１２＋４＝７， 故函数ｆ（ｘ）＝ｘ３＋４ｘ＋５的图象在ｘ＝１处的切线的斜 率为７． 故选（Ｄ）． ４．由题设，盛液体部分的底面积为Ｓ＝４π， 则溶液上升高度ｈ＝ ＶＳ ＝ ｔ３＋３ｔ２ ４ ， 所以ｈ′＝３ｔ ２＋６ｔ ４ ，则ｈ′（２）＝６ｃｍ／ｓ． 故选（Ｃ）． ５．由题得ｆ′（ｘ）＝（ｎ＋１）ｘｎ， 设曲线在点（１，１）处的切线斜率为ｋ， 则ｋ＝ｆ′（１）＝ｎ＋１， 所以切线方程为ｙ－１＝（ｎ＋１）（ｘ－１）， 令ｙ＝０，可得ｘｎ ＝ ｎ ｎ＋１， 所以ｘ１·ｘ２·…·ｘ２１９ ＝ １ ２· ２ ３·…· ２１９ ２２０＝ １ ２２０． 所以ｌｏｇ２２０ｘ１＋ｌｏｇ２２０ｘ２＋… ＋ｌｏｇ２２０ｘ２１９ ＝ｌｏｇ２２０（ｘ１·ｘ２·…·ｘ２１９）＝ｌｏｇ２２０ １ ２２０＝－１． 故选（Ａ）． ６．因为ｆ（ｘ）＝ｘ３－４ｘ， 所以ｆ′（ｘ）＝３ｘ２－４，其中ｘ∈Ｒ， 又ｇ（ｘ）＝ (２ｃｏｓ ｘ＋π )６ ， 所以ｇ′（ｘ）＝－ (２ｓｉｎ ｘ＋π )６ ，其中ｘ∈（０，π）， 由题意可得ｆ′（１）＝ｇ′（ｘ０）， 所以 －１＝－ (２ｓｉｎ ｘ０＋π )６ ，且ｘ０∈（０，π）， 所以ｘ０＋ π ６ ＝ ５π ６，解得ｘ０ ＝ ２π ３． 故选（Ｄ）． ７．因为ｇ′（ｘ）＝ｑｅｑｘ－３，ｆ′（ｘ）＝ｐ，ｐｑ≠０， 所以ｑｅｑｘ０－３ ＝ｐ，即ｅｑｘ０－３ ＝ ｐｑ， 又ｐｘ０＋１＝ｅ ｑｘ０－３，所以ｐｘ０＋１＝ ｐ ｑ， 则ｘ０ ＝ ｐ ｑ－１ ｐ ＝ １ ｑ－ １ ｐ． 故选（Ｄ）． ８．点Ｐ是曲线ｙ＝ｘ２－ｌｎｘ上任意一点，则当过点Ｐ的切 线与直线ｙ＝ｘ＋２平行时，点Ｐ到直线ｙ＝ｘ＋２的距离最小                                                                      ， —０１— 高中数学北师大版选择性必修第二册　第４１～４４期 而直线ｙ＝ｘ＋２的斜率等于１， 令ｙ＝ｘ２－ｌｎｘ的导数ｙ′＝２ｘ－１ｘ ＝１， 解得ｘ＝１或ｘ＝－１２（舍去）， 所以曲线ｙ＝ｘ２－ｌｎｘ上和直线ｙ＝ｘ＋２平行的切线经 过的切点坐标为（１，１）， 则所求最小距离为点（１，１）到直线ｙ＝ｘ＋２的距离，等于 槡２． 故选（Ｂ）． 二、多项选择题 ９．ＡＣＤ；　１０．ＡＢＣ；　１１．ＡＣＤ． 提示： ９．因为直线ｙ＝ ３２ｘ＋ｍ的斜率ｋ＝ ３ ２． 因为ｙ＝－１ｘ，则ｙ′＝ １ ｘ２ ， 令 １ ｘ２ ＝ ３２，解得ｘ＝± 槡６ ３，故（Ａ）正确； 因为ｙ＝ｃｏｓｘ，则ｙ′＝－ｓｉｎｘ， 又因为 －ｓｉｎｘ∈［－１，１］， 则方程 －ｓｉｎｘ＝ ３２ ＞１无解，故（Ｂ）错误； 因为ｙ＝ｌｎｘ，则ｙ′＝ １ｘ，令 １ ｘ ＝ ３ ２， 解得ｘ＝ ２３，故（Ｃ）正确； 因为ｙ＝ｅｘ，则ｙ′＝ｅｘ，令ｅｘ ＝ ３２， 解得ｘ＝ｌｎ３２，故（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． １０．由题可得ｙ′＝（ｘ２＋２ｘ）ｅｘ， 所以曲线ｙ＝ｘ２ｅｘ在切点（ｘ０，ｘ ２ ０ｅ ｘ０）处的切线方程为 ｙ－ｘ２０ｅ ｘ０ ＝（ｘ２０＋２ｘ０）ｅ ｘ０·（ｘ－ｘ０）． (将 ３２， )０ 代入，得ｘ０ｅｘ０·（２ｘ２０－ｘ０－６）＝０， 即ｘ０（ｘ０－２）（２ｘ０＋３）ｅ ｘ０ ＝０， 解得ｘ０ ＝０或ｘ０ ＝２或ｘ０ ＝－ ３ ２． 因为ｙ′｜ｘ０＝０ ＝０，ｙ′｜ｘ０＝２ ＝８ｅ ２，ｙ′｜ｘ０＝－３２ ＝－ ３ ４ｅ －３２， (所以过点 ３２， )０ 且与曲线ｙ＝ｘ２ｅｘ相切的切线斜率可 能为０，８ｅ２，－３４ｅ －３２． 故选（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）． １１．对于（Ａ），由ｆ（ｘ）＝ｘ２得ｆ′（ｘ）＝２ｘ， 由ｘ２ ＝２ｘ，得ｘ＝０或ｘ＝２， 所以函数ｆ（ｘ）＝ｘ２有青山点，所以（Ａ）正确； 对于（Ｂ），由ｆ（ｘ）＝ｅ－ｘ得ｆ′（ｘ）＝－ｅ－ｘ， 由 －ｅ－ｘ ＝ｅ－ｘ，方程无解， 所以函数ｆ（ｘ）＝ｅ－ｘ不存在青山点，所以（Ｂ）错误； 对于（Ｃ），由ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ得ｆ′（ｘ）＝ １ｘ（ｘ＞０）， 由于ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ和ｆ′（ｘ）＝ １ｘ的图象有交点， 所以方程ｌｎｘ＝ １ｘ有解， 所以函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ有青山点，所以（Ｃ）正确； 对于（Ｄ），由ｆ（ｘ）＝ １ｘ得ｆ′（ｘ）＝－ １ ｘ２ ， 由 －１ ｘ２ ＝ １ｘ得ｘ＝－１， 所以ｆ（ｘ）＝ １ｘ有青山点， 所以（Ｄ）正确．故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．９０；　１３．２ｅ；　１４．（１，１）． 提示： １２．由Ｓ（ｔ）＝ １６ｔ ３＋９ｔ２＋１０ｔ－５， 则Ｓ′（ｔ）＝ １２ｔ ２＋１８ｔ＋１０， 即Ｓ′（４）＝ １２×４ ２＋１８×４＋１０＝９０（米 ／秒）． １３．ｆ′（ｘ）＝ｆ′（１）ｅｘ－１－ｆ（０）＋２ｘ， 则ｆ′（１）＝ｆ′（１）－ｆ（０）＋２，所以ｆ（０）＝２． 故ｆ（ｘ）＝ｆ′（１）ｅｘ－１－２ｘ＋ｘ２， 则有ｆ（０）＝ｆ′（１）ｅ－１，得ｆ′（１）＝２ｅ． １４．函数ｙ＝ｘ２＋ａｌｎｘ（ａ＞０）的定义域为｛ｘ｜ｘ＞０｝， ｙ′＝２ｘ＋ａｘ≥２ ２槡ａ＝４，则ａ＝２， 当且仅当ｘ＝１时，“＝”成立． 将ｘ＝１代入曲线方程得ｙ＝１， 故所求的切点坐标是（１，１）． 四、解答题 １５．解：（１）（ｘ２＋２ｘ）′＝（ｘ２）′＋（２ｘ）′＝２ｘ＋２ｘｌｎ２． （２）（ｘ２ｅｘ）′＝（ｘ２）′ｅｘ＋ｘ２（ｅｘ）′＝２ｘｅｘ＋ｘ２ｅｘ ＝（２ｘ＋ｘ２）ｅｘ． （３ (） ｘ２ｌｎ )ｘ ′＝（ｘ ２）′ｌｎｘ－ｘ２（ｌｎｘ）′ （ｌｎｘ）                                                                      ２ —１１— 高中数学北师大版选择性必修第二册　第４１～４４期 ＝ ２ｘ·ｌｎｘ－ｘ２·１ｘ （ｌｎｘ）２ ＝２ｘｌｎｘ－ｘ ｌｎ２ｘ ． （４ (） ｘ３－１ )ｘ ′＝（ｘ３）′－（ｘ－１）′＝３ｘ２＋１ｘ２． １６．解：由ｙ＝ｇ（ｘ）在点（１，ｇ（１））处的切线方程为 ９ｘ＋ｙ－１＝０， 可得切点为（１，－８）， 所以ｇ（１）＝－８，ｇ′（１）＝－９， 所以ｆ（２）＝ｇ（１）＋４＝－４． 又ｆ′（ｘ）＝ １２ｇ′ ｘ( )２ ＋２ｘ， 所以ｆ′（２）＝ １２ｇ′（１）＋４＝－ １ ２， 所以曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（２，ｆ（２））处的切线方程为 ｙ－（－４）＝－１２（ｘ－２），即ｘ＋２ｙ＋６＝０． １７．解：（１）显然Ｑ（１，０）不在曲线ｆ（ｘ）＝ １ｘ上， 则可设过该点的切线的切点为Ａａ，１( )ａ ， 则该切线斜率为ｋ１ ＝ｆ′（ａ）＝－ １ ａ２ ． 则切线方程为ｙ－１ａ ＝－ １ ａ２ （ｘ－ａ）， （） 将Ｑ（１，０）代入（）得０－１ａ ＝－ １ ａ２ （１－ａ）， 解得ａ＝ １２，故所求切线方程为ｙ＝－４ｘ＋４． （２）设切点坐标为 ｂ，１( )ｂ ， 因为切线的斜率ｋ２ ＝－ １ ｂ２ ＝－１３， 解得ｂ＝±槡３， 所以切点坐标为 槡３，槡 ３( )３ 或 －槡３，－槡３( )３ ． 代入点斜式方程得 ｙ－槡３３ ＝－ １ ３（ｘ－槡３）或 ｙ＋ 槡３ ３ ＝ －１３（ｘ＋槡３）． 即切线方程为ｘ＋３ｙ－槡２３＝０或ｘ＋３ｙ＋槡２３＝０． １８．解：（１）由ｆ（ｘ）＝ｘ３－３ｘ得ｆ′（ｘ）＝３ｘ２－３， 所以过点Ｐ且以Ｐ（１，－２）为切点的直线的斜率为 ｆ′（１）＝０， 所以所求直线方程为ｙ＝－２． （２）设过Ｐ（１，－２）的直线ｌ与ｙ＝ｆ（ｘ）切于另一点（ｘ０， ｙ０），则ｆ′（ｘ０）＝３ｘ ２ ０－３． 又直线过（ｘ０，ｙ０），Ｐ（１，－２）， 故其斜率可表示为 ｙ０－（－２） ｘ０－１ ＝ ｘ３０－３ｘ０＋２ ｘ０－１ ， 又 ｘ３０－３ｘ０＋２ ｘ０－１ ＝３ｘ２０－３， 即ｘ３０－３ｘ０＋２＝３（ｘ ２ ０－１）×（ｘ０－１）， 解得ｘ０ ＝１（舍）或ｘ０ ＝－ １ ２， 故所求直线的斜率为ｋ＝３× １ ４ －( )１ ＝－ ９ ４， 所以所求直线方程为９ｘ＋４ｙ－１＝０． １９．（１）解：因为切点在切线上，所以将点Ｍ的坐标代入切线 方程解得ｆ（槡３）＝ 槡 ４３ ３． 因为ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂｘ，所以ｆ′（ｘ）＝ａ－ ｂ ｘ２ ， 根据题意，得关于ａ，ｂ的方程组 ａ－ｂ３ ＝ ２ ３， 槡３ａ＋ ｂ 槡３ ＝ 槡４３３ { ，解得 ａ＝１，ｂ＝１{ ． 所以ｆ（ｘ）的解析式为ｆ（ｘ）＝ｘ＋１ｘ． （２）证明：设Ｐ（ｘ０，ｙ０）为曲线上任一点， 由ｙ′＝１－１ ｘ２ 知曲线在点Ｐ（ｘ０，ｙ０）处的切线方程为 ｙ－ｙ０ ＝ １－ １ ｘ( )２０ （ｘ－ｘ０）， 即ｙ－ ｘ０＋ １ ｘ( )０ ＝ １－ １ ｘ( )２０ （ｘ－ｘ０）． 令ｘ＝０，得ｙ＝ ２ｘ０ ， 从而得切线与直线ｘ＝０的交点坐标为 ０，２ｘ( )０ ． 令ｙ＝ｘ，得ｙ＝ｘ＝２ｘ０， 从而得切线与直线ｙ＝ｘ的交点坐标为（２ｘ０，２ｘ０）． 所以点Ｐ（ｘ０，ｙ０）处的切线与直线ｘ＝０，ｙ＝ｘ所围成的三 角形面积为 １ ２ ２ ｘ０ ｜２ｘ０｜＝２                                                                  ． —２１— 高中数学北师大版选择性必修第二册　第４１～４４期 %◇云德工I计金排川龙满样裤 4151-13s 数理招 1258月w日星 高中数学 43 桌113 北师大 14 择性必第二日 中 之不从 有下 渊区 理清概 4 明裤错 山西 解1若/1=3. 裙四9解：本塑妆千中：的继量是一：期 4红，月曹不是等■的效的使式为了《4)■ (C-9 蜡解：根稀早线定义，用有 3 错四分桥：由醇数的建之，只有裤，一日 l-ftel 时/)与 +型才 -3 不题到精应用厚能的儿树意义 用 的几何意 球套致 填强 )上的“中婚”下兴二管L九) 口实着信t拜 M解：24 1 可 于每慎己命相代，可利满同一多成解 L- 相切开点 们上存在点长处的内事等干气了 拿限可复风用【◆，】上时中值面”年丁 以5线上，期40虎= 专小一，变化国 专项小二、导的藏念及儿 一9同，得每= +1 -相0，g得一1 (D+1 + ( 我A) A (O 公 本程峰见附命制 辱代高高果下 正 : -9 二型 .三 ··相二相 限司 国环观害林加末仓是限内水出浮作收老达位 导数的概念及其意义 同步核心素养测评 A)-4 2 C-2 (D):2 1一山大0霜，.还t间内企污t治那号力 已起式物动方显)“1+气：的羊丝上的季 方丝级世在我内，单，乙衡ǜ过的9味库议量的关系国 ◆龄压图社进用时究中令 9所，格出下列出十精论正的退 性1,1▣3+经进度为 年甲色强 第【道选择置并编分 1A)4m 1 ++4y] 1,式水情木登行旅限的关养如于表邦印： 我世必格/代)出生街多所下/'o)描 1=，手m性影时年# 民！柏意，下列结色正确的是 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