第3讲 函数的奇偶性 讲义——2026届高三数学一轮复习

函数的奇偶性 知识点一 函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 【奇偶函数判定】①如果或，则函数为偶函数； ②如果或，则函数为奇函数． 【注意】由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是定义域关于原点对称。 知识点二奇偶函数的性质 1. 若奇函数在处有意义，则有； 必为偶函数；同理偶函数必满足。 2. 奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．(重要） 若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数；若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数. 3. 奇偶性的运算： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 4. 若，，则必为偶函数，必为奇函数. 【题型一】判断函数的奇偶性 （1）不含参 【例1】判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)＝＋； （2）f(x)＝(x＋1)； （3）f(x)＝. （4）f(x)＝ 【答案】（1）既是奇函数，又是偶函数；（2）既不是奇函数，也不是偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数． 【详解】（1）由得x＝±3，∴f(x)的定义域为{－3，3}，此时f(x)＝0，即f(x)＝±f(－x)． ∴f (x)既是奇函数，又是偶函数． （2）由得－1<x≤1.∵f(x)的定义域(－1，1]不关于原点对称．∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． （3）由得－2 ≤ x ≤ 2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称． 此时，有f(x)＝＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． （4）当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)； 当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)为奇函数． 变式1 判断下列函数的奇偶性，并说理． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)偶函数，理由见解析；(2)既是奇函数又是偶函数，理由见解析 (3)既不是奇函数，又不是偶函数，理由见解析；(4)偶函数，理由见解析 【详解】（1）∵函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，∴为偶函数． （2）∵函数的定义域为，定义域关于原点对称，且，∴既是奇函数又是偶函数． （3）∵函数的定义域为，定义域不关于原点对称，∴既不是奇函数，又不是偶函数． （4）的定义域是，定义域关于原点对称． 当时，，； 当时，，． 综上可知，对于，都有， 所以为偶函数． （2）含参 【例2】已知，讨论的奇偶性； 【答案】当时，为奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数 【详解】①当时，，则，此时为奇函数； ②当时，，，此时既不是奇函数也不是偶函数； 变式2 已知函数（，常数）．讨论函数的奇偶性，并说明理由； 【详解】（1）当时，，对任意，有，为偶函数， （2）当时，，取，得， ，函数既不是奇函数也不是偶函数， 综上所述，当时，为偶函数，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数； （3）抽象函数（赋值法，构造出，） 【例3】（多选题）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．在上单调递增 【答案】AC 【详解】由知，当时， ，即，故A正确； 取，则满足条件， 但，且是在上单调递减，故B，D错误； 当时，，即，故C正确. 故选：AC. 变式3（多选题）已知函数的定义域为不恒为0，且，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在定义域内单调 【答案】AD 【详解】对于A，因为，令，则，故A正确； 对于BCD，当且时，，得恒成立， 令函数，则，所以，所以为常函数，且， 令，则，易得是奇函数，故C错误；，故B错误； 因为函数，所以在定义域内单调递增或单调递减，故D正确. 故选:AD. 【例4】（多选题）已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】ACD 【详解】函数的定义域为R，对任意实数满足， 令，可得，即有，故A正确； 由，可得， ，即，可得，故B错误； 令，则，即， 则函数为奇函数，故D正确； 令，可得即， 当时，，即， 设，即，即有， 则在R上递增，故C正确． 故选：ACD． 变式4（多选题）已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】ABD 【详解】令，可得，故A项正确； 令，可得，令，可得，则，故B项正确； 由，可得， 令，则，令，可得， 令，则， 所以是奇函数，即是奇函数，故C项错误，D项正确. 故选：ABD 【题型二】奇偶性的应用 （1）求函数值 【例5】函数是偶函数，当时，，则________. 【答案】 【详解】因为当时，，所以当时，，所以， 函数是偶函数，所以，所以， 故答案为：. 变式5 函数为定义在上的奇函数，当时，，则___________. 【答案】 【详解】由题设，，故时，所以，故. 故答案为： （2）求解析式 【例6】已知是定义在R上的奇函数，且时，，求的解析式。 【答案】 【详解】∵是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0， 又∵，，∴，∴时，， 设，则，则，则，则 变式6 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， . 【答案】 【详解】当时，可得， 因为函数是定义在上的偶函数，且时，， 可得，即当时，. 故答案为：. 【例7】若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式. 【答案】， 【详解】依题意，函数是奇函数，是偶函数， 解得，. 变式7 设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数是一个偶函数，是一个奇函数，所以，， 因为①，则②， 所以①+②得，所以． 故选：A． （3）求参数 【例8】已知为奇函数，且．求实数、的值． 【答案】，． 【详解】由题意可得，即，解得．再由，解得． 综上可得，，． 变式8 已知函数是定义在上的奇函数，求的值； 【答案】，； 【详解】由题意：所以. 又，所以：，. 【例9】若是奇函数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知定义域为，由为奇函数可得，即，解得. 故选：C. 变式9 若函数是奇函数，则实数a的值为___________. 【答案】1 【详解】若是奇函数，则有.当时，，则， 又当时，，所以，由，得，解得a=1. 故答案为：1. 【题型三】奇偶性的图像 【例10】已知定义在R上的偶函数满足：当时， (1)在平面直角坐标系中画出函数在R上的图象，并根据图像写出单调递减区间； (2)求出时的解析式； (3)由图象写出不等式的解集. 【答案】(1)答案见解析；(2)，(3)或． 【详解】（1）作出二次函数在的图象，再将关于原点对称，两者结合即得函数图象，如图： （2）时，； （3）或，由图象得或， 所以不等式的解集为或． 变式10 已知是定义在区间上的偶函数，其部分图像如图所示． (1)求的值； (2)补全的图像，并写出不等式的解集． 【答案】(1)1；(2)作图见解析， 【详解】（1）由图可知，，因为是偶函数，所以； （2） 的图像如上图，不等式的解集为； 综上， ，的解集为. 【例11】已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】由偶函数的性质可知，，或， 由奇函数的性质可知，，， ①当，得， ②当，得， 所以不等式的解集为，故答案为： 变式11 已知函数是定义在实数集上的偶函数，当时，的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】因为函数是上的偶函数，图像关于轴对称，所以在上的图像如图所示： 的定义域为， 由图像可知在①上，，，所以， ②在上，，，所以， ③在上，，，所以， ④在上，，，， 综上不等式的解集为，故答案为： 【题型四】奇偶性的综合应用 （1）解不等式 【例12】已知函数是定义在上的函数，恒成立，且 (1)确定函数的解析式； (2)解不等式． 【答案】(1)；(2) 【详解】(1)因为函数，恒成立，所以，则， 此时，所以，解得，所以； (2)，，是定义在上的增函数， ，得，所以不等式的解集为． 变式12 已知函数是奇函数，且当时，，不等式的解集为___________. 【答案】或 【详解】当时，，由得 或或，解得或 故答案为：或 （2） 最值 【例13】设函数，则它的最大值与最小值的和为 . 【答案】0 【详解】因为的定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，不妨设，则， 所以的最大值与最小值的和为0，故答案为：0. 变式13 若函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】4 【详解】因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 因为奇函数的图象关于原点对称， 所以在上的最大值和最小值之和为0，即， 所以． 故答案为：4 （3）恒成立（分离参数，带参数求最值） 【例14】已知定义在上的奇函数，当时，单调递增，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】根据题意，是定义在上的奇函数且在上单调递增，则在上也是增函数， 因为不等式对任意实数恒成立， 所以对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立， ①当时，不恒成立， ②当时，可得，解可得. 即的取值范围是， 【例15】已知是定义在区间上的奇函数且为增函数，，若对所有、恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】对恒成立，， 为定义在上的增函数，，，即对恒成立， 设；①当时，恒成立，满足题意； ②当时，在上单调递减，，解得：； ③当时，在上单调递增，，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 变式14 定义在上的函数，且在上是增函数，，若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】由题意，对任意，恒成立，即， 由（1），（2）得当时，， 对任意恒成立， 设是关于的一次函数，，要使恒成立， 即, 解得或，所以实数的取值范围是 【例16】函数是定义在实数集R上的奇函数，当时，. (1)判断函数在的单调性，并给出证明： (2)求函数的解析式； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2)；(3) 【详解】（1）当时，，函数在上单调递增. 证明如下：任取，且， ， ∵，，∴，， 又，∴， ∵，即，∴函数在上单调递增； （2）因为当时，，所以，当时，，∴， 又因为是定义在实数集R上的奇函数，所以，， 即当时，.所以，函数的解析式为； （3）∵函数在上单调递增，且，又因为是定义在实数集R上的奇函数， 所以，函数在上单调递增，且时，， 所以，函数在实数集R上单调递增； 那么不等式，即：， 则有，即恒成立，所以， 又当时，，当时，， 所以，实数k的取值范围是. 变式15 设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】∵当x≥0时，f（x）＝x2，∴此时函数f（x）单调递增， ∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）在R上单调递增， 当x<0时，f（x）＝x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立， ∵2f（x）＝f（x），∴f（x+a）≥f（x）恒成立，则x+a恒成立，即a≥﹣x恒成立， ∵x∈[a，a+2]，∴（）max（a+2），即a（a+2），解得a， 即实数a的取值范围是故答案为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的奇偶性 知识点一 函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 【奇偶函数判定】①如果或，则函数为偶函数； ②如果或，则函数为奇函数． 【注意】由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是定义域关于原点对称。 知识点二 奇偶函数的性质 1. 若奇函数在处有意义，则有； 必为偶函数；同理偶函数必满足。 2. 奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．(重要） 若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数；若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数. 3. 奇偶性的运算： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 4. 若，，则必为偶函数，必为奇函数. 【题型一】判断函数的奇偶性 （1）不含参 【例1】判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)＝＋； （2）f(x)＝(x＋1)； （3）f(x)＝. （4）f(x)＝ 【答案】（1）既是奇函数，又是偶函数；（2）既不是奇函数，也不是偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数． 【详解】（1）由得x＝±3，∴f(x)的定义域为{－3，3}，此时f(x)＝0，即f(x)＝±f(－x)． ∴f (x)既是奇函数，又是偶函数． （2）由得－1<x≤1.∵f(x)的定义域(－1，1]不关于原点对称．∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． （3）由得－2 ≤ x ≤ 2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称． 此时，有f(x)＝＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． （4）当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)； 当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)为奇函数． 变式1 判断下列函数的奇偶性，并说理． (1)； (2)； (3)； (4) （2）含参 【例2】已知，讨论的奇偶性； 【答案】当时，为奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数 【详解】①当时，，则，此时为奇函数； ②当时，，，此时既不是奇函数也不是偶函数； 变式2 已知函数（，常数）．讨论函数的奇偶性，并说明理由； （3）抽象函数（赋值法，构造出，） 【例3】（多选题）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．在上单调递增 【答案】AC 【详解】由知，当时， ，即，故A正确； 取，则满足条件， 但，且是在上单调递减，故B，D错误； 当时，，即，故C正确. 故选：AC. 变式3（多选题）已知函数的定义域为不恒为0，且，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在定义域内单调 【例4】（多选题）已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】ACD 【详解】函数的定义域为R，对任意实数满足， 令，可得，即有，故A正确； 由，可得， ，即，可得，故B错误； 令，则，即， 则函数为奇函数，故D正确； 令，可得即， 当时，，即， 设，即，即有， 则在R上递增，故C正确． 故选：ACD． 变式4（多选题）已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【题型二】奇偶性的应用 （1）求函数值 【例5】函数是偶函数，当时，，则________. 【答案】 【详解】因为当时，，所以当时，，所以， 函数是偶函数，所以，所以，故答案为：. 变式5 函数为定义在上的奇函数，当时，，则___________. （2）求解析式 【例6】已知是定义在R上的奇函数，且时，，求的解析式。 【答案】 【详解】∵是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0， 又∵，，∴，∴时，， 设，则，则，则，则 变式6 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， . 【例7】若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式. 【答案】， 【详解】依题意，函数是奇函数，是偶函数， 解得，. 变式7 设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． （3）求参数 【例8】已知为奇函数，且．求实数、的值． 【答案】，． 【详解】由题意可得，即，解得．再由，解得． 综上可得，，． 变式8 已知函数是定义在上的奇函数，求的值； 【例9】若是奇函数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知定义域为，由为奇函数可得，即，解得. 故选：C. 变式9 若函数是奇函数，则实数a的值为___________. 【题型三】奇偶性的图像 【例10】已知定义在R上的偶函数满足：当时， (1)在平面直角坐标系中画出函数在R上的图象，并根据图像写出单调递减区间； (2)求出时的解析式； (3)由图象写出不等式的解集. 【答案】(1)答案见解析；(2)，(3)或． 【详解】（1）作出二次函数在的图象，再将关于原点对称，两者结合即得函数图象，如图： （2）时，； （3）或，由图象得或， 所以不等式的解集为或． 变式10 已知是定义在区间上的偶函数，其部分图像如图所示． (1)求的值； (2)补全的图像，并写出不等式的解集． 【例11】已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】由偶函数的性质可知，，或， 由奇函数的性质可知，，， ①当，得， ②当，得， 所以不等式的解集为，故答案为： 变式11 已知函数是定义在实数集上的偶函数，当时，的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【题型四】奇偶性的综合应用 （1）解不等式 【例12】已知函数是定义在上的函数，恒成立，且 (1)确定函数的解析式； (2)解不等式． 【答案】(1)；(2) 【详解】(1)因为函数，恒成立，所以，则， 此时，所以，解得，所以； (2)，，是定义在上的增函数， ，得，所以不等式的解集为． 变式12 已知函数是奇函数，且当时，，不等式的解集为___________. （2） 最值 【例13】设函数，则它的最大值与最小值的和为 . 【答案】0 【详解】因为的定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，不妨设，则， 所以的最大值与最小值的和为0，故答案为：0. 变式13 若函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． （3）恒成立（分离参数，带参数求最值） 【例14】已知定义在上的奇函数，当时，单调递增，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】根据题意，是定义在上的奇函数且在上单调递增，则在上也是增函数， 因为不等式对任意实数恒成立， 所以对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立， ①当时，不恒成立， ②当时，可得，解可得. 即的取值范围是， 【例15】已知是定义在区间上的奇函数且为增函数，，若对所有、恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】对恒成立，， 为定义在上的增函数，，，即对恒成立， 设；①当时，恒成立，满足题意； ②当时，在上单调递减，，解得：； ③当时，在上单调递增，，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 变式14 定义在上的函数，且在上是增函数，，若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【例16】函数是定义在实数集R上的奇函数，当时，. (1)判断函数在的单调性，并给出证明： (2)求函数的解析式； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2)；(3) 【详解】（1）当时，，函数在上单调递增. 证明如下：任取，且， ， ∵，，∴，， 又，∴， ∵，即，∴函数在上单调递增； （2）因为当时，，所以，当时，，∴， 又因为是定义在实数集R上的奇函数，所以，， 即当时，.所以，函数的解析式为； （3）∵函数在上单调递增，且，又因为是定义在实数集R上的奇函数， 所以，函数在上单调递增，且时，，所以，函数在实数集R上单调递增； 那么不等式，即：， 则有，即恒成立，所以， 又当时，，当时，， 所以，实数k的取值范围是. 变式15 设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$