第2讲 函数的单调性与最值讲义——2026届高三数学一轮复习

§2 函数的单调性与最值 1.单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上; ②任意两个自变量，且; ③都有或; ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （2）增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则 (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． （3）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． 2.单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 3.复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 随着 增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 减函数 增函数 随着的增大而增大 随着的增大而增大 随着的增大而减小 随着的增大而减小 增函数 增函数 减函数 减函数 记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 【题型一】函数的单调性判断及求单调区间 （1）定义法求解函数的单调区间 【例1】已知函数判断，并证明函数在上的单调性. 【详解】在上单调递增,证明如下:设任意, 则 由,得,,即, 故在上单调递增. 变式1 讨论函数（）在上的单调性. 【详解】任取、，且，， 则：， ①当时，，即，函数在上单调递减； ②当时，，即，函数在上单调递增. （2）图像法判断单调区间 【例2】如图是函数的图象，则函数的减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：若函数在区间上单调递减，则对应的函数图象为从左到右下降的．由图象知，函数的图象在，上分别是从左到右下降的，则对应的减区间为，， 故选：D． 【例3】函数的单调递增区间是（    ） A． B． 和 C．和 D． 和 【答案】B 【详解】 如图所示：函数的单调递增区间是和． 故选：B. 变式2 函数的单调增区间是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】由， 则为偶函数，的图像关于轴对称. 当时，，对称轴为， 所以在上递增，在递减； 则当时，在递增，在递减， 则有的递增区间为. 故选：C （3）判断复合函数的单调区间 【例4】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 故选：D. 变式3 求函数的单调递减区间． 【答案】 【详解】由题意可知，解得或．易知函数由，复合而成， 且在单调递减，在单调递减，在上单调递增； 利用复合函数单调性可得的单调递减区间为. 【例5】已知函数,试求的单调区间. 【答案】的单调递减区间是，单调递增区间是. 【详解】令，则. 又在上为减函数，在上为增函数. 令，解得或； 令，解得. ①当时，为增函数，而，故为减函数，所以为减函数； ②当时，为增函数，而，故为增函数，所以为增函数； ③当时，为减函数，而，故为增函数，所以为减函数； ④当时，为减函数，而，故为减函数，所以为增函数. 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 变式4 已知函数，试写出函数的单调区间. 【答案】增区间为和，减区间为和 【详解】令，则: ①当时，，函数单调递减；②当时，，函数单调递减； ③当时，，函数单调递增； ④当时，，函数单调递增； 又函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在和上单调递减，在和上单调递增， 所以函数的单调增区间为和，减区间为和. （4）判断抽象函数的单调性 【例6】已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且当x＞0时，，求证：f（x）在R上是减函数； 【详解】任取且, 则＝f（x1－x2＋x2）－f（x2）＝f（x1－x2）＋f（x2）－f（x2）＝f（x1－x2） 又∵x＞0时，f（x）＜0，而x1－x2＞0，∴f（x1－x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）． ∴f（x）在R上为减函数． 【例7】定义在上的函数对于任意的，总有，且当时，且． （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； 【答案】（1）；（2）在单调递减； 【详解】（1）令，． （2）在单调递减，设，令，，则，所以， 得 即对任意，若，则，在单调递减． 变式5 已知函数满足，当时，，且.并判断的单调性； 【答案】在上为增函数； 【详解】令，得，得， 令，得，得； 设是任意两个不相等的实数，且，所以，所以 ， 因为，所以，所以，因此 即在上为增函数； 【题型二】已知单调性求参数的取值范围 （1）反比例函数 【例8】已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以在上严格增函数, 所以，．故答案为： 变式6 函数在上是减函数，则实数的范围是_______. 【答案】 【详解】函数，定义域为， 又， 因为函数在上是减函数，所以只需在上是减函数， 因此，解得，故答案为： （2）二次函数 【例9】已知函数在区间是单调递增函数，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】函数的对称轴是，开口向上，若函数在区间是单调递增函数，则，故答案为：． 【例10】若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，,上单调递减，满足题意； 当时，f(x)的对称轴为直线，由在上单调递减， 知，解得．综上，a的取值范围为． 故选：D 变式7 已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【详解】的图像的对称轴为，因为函数在区间上时单调函数， 所以或，得或，即的取值范围是，故选：D （3）分段函数（口诀：左段也递增，右端也递增，分界处也递增） 【例11】函数，在定义域上满足对任意实数都有，则的取值范围是____________． 【答案】 【详解】根据题意函数在上单调递减，故满足，解得. 故答案为： 变式8 若函数是上的单调函数，则的取值范围（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得： ，故选：B 【例12】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 又在上单调递增，所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B 变式9 已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于函数在定义域上单调递增，所以函数在定义域上是单调递增函数． 当时，函数在定义域上不单调，不符合题意； 当时，函数图象的对称轴为， 当时，函数在区间上单调递减，不符合题意， 当时，函数在区间上单调递增， 要使函数在定义域上单调递增，则需，解得．故实数t的取值范围为． 故选：A 【题型三】单调性的应用 （1） 比大小 【例13】已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递减，且的图象关于直线对称， 所以函数在上单调递增，因为，所以，即； 故选：D 变式10 已知二次函数，其中.比较和的大小. 【答案】 【详解】因为的对称轴为，所以， 因为，所以的图象开口向上，所以在上单调递减，所以，则 （2） 解不等式 【例14】已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞) 【答案】A 【详解】①当时，，其对称轴为且函数图像开口向上，所以在上为增函数，且 ②当时，，其对称轴为且函数图像开口向下，所以在上为增函数，且， 所以在上为增函数，因为，所以，解得，故选：A 变式12 已知函数，则满足不等式的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】画出的图象，如下： 显然要满足，则要，且， 解得：. 故选：C 【题型四】求函数的最值 【例15】函数的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】设，，则，则函数等价于，， ∵在上是增函数，．∴函数的最小值是3． 故选：A． 变式13 （多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数没有最大值，也没有最小值． B．若，则值域为 C．若，则值域为 D．若，且，则值域为 【答案】ACD 【详解】，定义域为：， 借助反比例函数的单调性易知：在都单调递减， 对于A：由单调性和反比例函数图象可知没有最大值，也没有最小值，正确； 对于B：当时，，故错误； 对于C：当，单调递减，， 当时，，且小于0，所以值域为，正确； 对于D，当，单调递减，，当，且时，， 当时，单调递减，当，且时，，当时，，故值域为，正确. 故选: ACD 【例16】已知函数，设函数在区间上的最小值为，求的表达式； 【答案】 【详解】因为，， ①当时，在上单调递增，所以； ②当时，在上单调递减，所以； ③当时，； 所以； 变式14 已知函数，求函数在闭区间（）上的最小值． 【答案】 【详解】依题意知，函数是开口向上的抛物线， 函数有最小值，且当时，． 下面分情况讨论函数在闭区间（）上的取值情况： ①当闭区间 ，即时，在处取到最小值， 此时； ②当，即时，在处取到最小值，此时； ③当闭区间，即时，在处取到最小值， 此时． 综上，的函数表达式为 【题型五】已知函数的最值求参数范围 【例17】若函数在区间上的最大值为，则实数_______. 【答案】3 【详解】∵函数，由复合函数的单调性知， ①当时，在上单调递减，最大值为； ②当时，在上单调递增，最大值为， 即，显然不合题意，故实数，故答案为：3 【例18】已知函数在区间上的最小值为，最大值为，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为，对称轴为，开口向下， 函数在上单调递增，在上单调递减， 依题意，所以，所以在区间上单调递增， 所以，即，所以、为方程的两根， 所以，故选：A 变式15 已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】①当时，在上单调递增， 所以，因此满足题意； ②当时，在上单调递增，在上单调递减 （i）当时，在上单调递增，所以，则， ，所以，，， ，，， 或或 ； （ii）当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，； 综上，的取值范围为.故答案为： 【例19】已知函数有最小值，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【详解】解：由题意，在中， ∵函数有最小值，∴函数应在上单调递减，在上单调递增或常函数， ∴，解得：，∴有最小值时，实数a的取值范围是. 故答案为：. 【例20】设函数若存在最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若时，，； ①若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值； ②若时，时，单调递减，，当时，，若函数有最小值，需或，解得. 故选：B 变式16 设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，当且仅当时，等号成立； ①即当时，函数的最小值为，②当时，， 要使得函数的最小值为，则满足，解得， 即实数的取值范围是，故选：A. 【题型六】利用单调性解决恒成立问题 （1） 单参数 【例21】若对任意，都有，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】令，对称轴为， ①当，即时，在上单调递减， 故只需，解得，故， ②当，即时，在上单调递增， 故只需，解得，故为， ③当，即时，， 故只需，解得，故， 综上，. 故答案为： 【例22】已知函数，若时不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】，由可得， ，整理得，， 不等式在上恒成立， 在上恒成立，即在上恒成立， 设，，根据对勾函数性质易得函数在上单调递减，在上单调递增， 故，即的取值范围是. 故答案为：. 变式17 已知存在，使不等式成立，求的取值范围. 【答案】 【详解】令，，因为存在，使不等式成立， 所以存在，使不等式成立， 函数开口向上，对称轴为， ①当，即时，，解得，所以； ②当，即时，，不符合题意； ③当，即时，，解得或， 所以， 综上可得，即的取值范围为. 变式18 若，为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】，为假命题，则，为真命题， 即，又，恒成立，所以， 设，则， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，所以， 故答案为：. （2） 双参数 【例23】已知函数，设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】=. 【详解】对任意的，由在上单调递增， 可得，即，则在上的值域为 对称轴， 当时，在上为增函数，值域为， 由题意可得，则，解之得； 综上，实数的取值范围为. 变式19 已知函数，设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围. 【答案】 . 【详解】 由题意知对任意的 ，由 在 上单调递增， 可得 ，即 ， 则 在 上的值域为 ， 对称轴 ， 当 时， 在 上为增函数，值域为 ， 由题意可得 ，则 ，解之得 ； 综上，实数 k 的取值范围为 . — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ §2 函数的单调性与最值 知识点一 单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上; ②任意两个自变量，且; ③都有或; ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （2）增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则 (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． （3）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （4）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 知识点二 复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 随着 增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 减函数 增函数 随着的增大而增大 随着的增大而增大 随着的增大而减小 随着的增大而减小 增函数 增函数 减函数 减函数 记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 【题型一】函数的单调性判断及求单调区间 （1）定义法求解函数的单调区间（①取值；②作差变形；③定号；④得出结论） 【例1】已知函数判断，并证明函数在上的单调性. 【详解】在上单调递增,证明如下:设任意, 则 由,得,,即, 故在上单调递增. 变式1 讨论函数（）在上的单调性. （2）图像法判断单调区间 【例2】如图是函数的图象，则函数的减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：若函数在区间上单调递减，则对应的函数图象为从左到右下降的．由图象知，函数的图象在，上分别是从左到右下降的，则对应的减区间为，， 故选：D． 【例3】函数的单调递增区间是（    ） A． B． 和 C．和 D． 和 【答案】B 【详解】 如图所示：函数的单调递增区间是和． 故选：B. 变式2 函数的单调增区间是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 （3）判断复合函数的单调区间（同增异减） 【例4】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 故选：D. 变式3 求函数的单调递减区间． 【例5】已知函数，试求的单调区间. 【答案】的单调递减区间是，单调递增区间是. 【详解】令，则. 又在上为减函数，在上为增函数. 令，解得或；令，解得. ①当时，为增函数，而，故为减函数，所以为减函数； ②当时，为增函数，而，故为增函数，所以为增函数； ③当时，为减函数，而，故为增函数，所以为减函数； ④当时，为减函数，而，故为减函数，所以为增函数. 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 变式4 已知函数，试写出函数的单调区间. （4）判断抽象函数的单调性（构造与所给运算的逆向运算） 【例6】已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且当x＞0时，，求证：f（x）在R上是减函数； 【详解】任取且, 则＝f（x1－x2＋x2）－f（x2）＝f（x1－x2）＋f（x2）－f（x2）＝f（x1－x2） 又∵x＞0时，f（x）＜0，而x1－x2＞0，∴f（x1－x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）． ∴f（x）在R上为减函数． 【例7】定义在上的函数对于任意的，总有，且当时，。判断函数在上的单调性，并证明； 【答案】在单调递减； 【详解】在单调递减，设，令，，则，所以， 得 即对任意，若，则，在单调递减． 变式5 已知函数满足，当时，，并判断的单调性； 【题型二】已知单调性求参数的取值范围（已知的单调区间是含参单调区间的子集） （1）反比例函数 【例8】已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以在上严格增函数, 所以，．故答案为： 变式6 函数在上是减函数，则实数的范围是_______. （2）二次函数 【例9】已知函数在区间是单调递增函数，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】函数的对称轴是，开口向上，若函数在区间是单调递增函数，则，故答案为：． 【例10】若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，,上单调递减，满足题意； 当时，f(x)的对称轴为直线，由在上单调递减， 知，解得．综上，a的取值范围为． 故选：D 变式7 已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C．D． （3）分段函数（口诀：左段也递增，右端也递增，分界处也递增） 【例11】函数，在定义域上满足对任意实数都有，则的取值范围是____________． 【答案】 【详解】根据题意函数在上单调递减，故满足，解得. 故答案为： 变式8 若函数是上的单调函数，则的取值范围（       ） A． B． C． D． 【例12】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 又在上单调递增，所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B 变式9 已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型三】单调性的应用 （1） 比大小 【例13】已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递减，且的图象关于直线对称， 所以函数在上单调递增，因为，所以，即； 故选：D 变式10 已知二次函数，其中.比较和的大小. （2） 解不等式 【例14】已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞) 【答案】A 【详解】①当时，，其对称轴为且函数图像开口向上，所以在上为增函数，且 ②当时，，其对称轴为且函数图像开口向下，所以在上为增函数，且， 所以在上为增函数，因为，所以，解得，故选：A 变式12 已知函数，则满足不等式的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型四】求函数的最值（画函数图像） 【例15】函数的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】设，，则，则函数等价于，， ∵在上是增函数，．∴函数的最小值是3． 故选：A． 变式13 （多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数没有最大值，也没有最小值． B．若，则值域为 C．若，则值域为 D．若，且，则值域为 【例16】已知函数，设函数在区间上的最小值为，求的表达式； 【答案】 【详解】因为，，①当时，； ②当时，在上单调递增，所以； ③当时，在上单调递减，所以； 所以； 变式14 已知函数，求函数在闭区间（）上的最小值． 【题型五】已知函数的最值求参数范围 【例17】若函数在区间上的最大值为，则实数_______. 【答案】3 【详解】∵函数，由复合函数的单调性知， ①当时，在上单调递减，最大值为； ②当时，在上单调递增，最大值为， 即，显然不合题意，故实数，故答案为：3 【例18】已知函数在区间上的最小值为，最大值为，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为，对称轴为，开口向下， 函数在上单调递增，在上单调递减， 依题意，所以，所以在区间上单调递增， 所以，即，所以、为方程的两根， 所以，故选：A 变式15 已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是__________. 【例19】已知函数有最小值，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【详解】解：由题意，在中， ∵函数有最小值，∴函数应在上单调递减，在上单调递增或常函数， ∴，解得：，∴有最小值时，实数a的取值范围是. 故答案为：. 【例20】设函数若存在最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若时，，； ①若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值； ②若时，时，单调递减，，当时，，若函数有最小值，需或，解得. 故选：B 变式16 设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型六】利用单调性解决恒成立问题（①分离参数；②带参数求最值） （1）单变量 【例21】若对任意，都有，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】令，对称轴为， ①当，即时，在上单调递减， 故只需，解得，故， ②当，即时，在上单调递增，故只需，解得，故为， ③当，即时，， 故只需，解得，故，综上，. 故答案为： 【例22】已知函数，若时不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】，由可得， ，整理得，， 不等式在上恒成立， 在上恒成立，即在上恒成立， 设，，根据对勾函数性质易得函数在上单调递减，在上单调递增， 故，即的取值范围是. 故答案为：. 变式17 已知存在，使不等式成立，求的取值范围. 变式18 若，为假命题，则实数的取值范围为 ． （2）双变量 【例23】已知函数，设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】=. 【详解】对任意的，由在上单调递增， 可得，即，则在上的值域为 对称轴， 当时，在上为增函数，值域为， 由题意可得，则，解之得； 综上，实数的取值范围为. 变式19 已知函数，设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围. — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$