第6讲 对数运算与对数函数 讲义——2026届高三数学一轮复习

§ 对数运算 知识点一 对数式的运算 1. 对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以 为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． 2. 常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； 3. 对数的性质： ①特殊对数：；；其中且。 ②对数恒等式：，； 4. 对数的运算法则： ①外和内乘原理：； ②外差内除原理：； ③提公次方法：，； 5. 换底公式和对数运算的一些方法： ①常用换底： 如：． ②倒数原理： 如：． ③约分法则： 如： ；． 对数公式默写模板 1、对数的性质： ①特殊对数： ； ；其中且。 ②对数恒等式： ， ； ③对数换底公式： ； 2、对数的运算法则： ①外和内乘原理： ； ②外差内除原理： ； ③提公次方法： ； 3、换底公式和对数运算的一些方法： ①倒数原理： ； ②约分法则： ； 【题型一】对数式的化简及求值（底不变，其他换） 【例1】将下列指数式与对数式互化： （1）； （2）； 【答案】(1)；(2)； 【详解】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. 变式1 将下列指数式与对数式互化： （1）； （2）． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. 【例2】计算下列各式： （1）； （2）； （3）． （4）； （5）； 【答案】(1)320；(2)6；(3)3；（4）2；（5）8 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式 （4）原式. （5） 变式2 求下列各式的值： （1）． （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）441；（2）；（3）4；（4） 【详解】（1）由题意可得：. （2）原式. （3） （4）= 【题型二】换底公式的运用 （1） 换底公式 【例3】已知，则用表示为 ． 【答案】 【详解】.故答案为：. 变式3 已知，，则可以用a、b表示为 . 【答案】 【详解】由，得，而，所以.故答案为： （2） 条件求值 【例4】已知，则 . 【答案】 【详解】因为，所以，所以，所以；故答案为： 【例5】已知，则 ． 【答案】3 【详解】依题意，， 则． 故答案为：3 变式4 若,且,求a的值. 【答案】30 【详解】,,.,. .. 变式5 已知a,b,c是不等于1的正数,且,,求的值. 【答案】1 【详解】设.∵a,b,c是不等于1的正数,,,. ,,.,,. ,，即.. 【题型三】解对数方程（化为同底的对数，然后真数相等） 【例6】（1），求的值； （2）已知，求的值. 【答案】(1)；(2)4 【详解】（1）因为，得，则，所以． （2）由已知可得，因为， 所以，化简可得，解得（舍去），或，所以 变式6 求下列各式中x的值 （1）． （2）； 【答案】（1）；（2）3 【详解】（1）因为，可得，则，所以． （2），所以方程中的应满足 由得，即,解得或 因为,所以当时不满足真数大于0,舍去；故. 【例7】解下列关于的方程： （1）； （2）. 【答案】（1）25；（2）， 【详解】（1），方程中的应满足 ，即， （2），所以方程中的应满足方程整理得,即，所以或，解得或，经检验知,,都是原方程的解. 变式7 解关于的方程. （1）； （2）. 【答案】（1）2；（2）8 【详解】（1），所以应满足 由对数的运算性质可将方程化为 ，或.，因为， （2），所以应满足 根据对数的运算性质,，则原方程可化为 ，，经检验,符合题意 § 对数函数 知识点一 反函数 设，分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数(即对任意的一个，都有唯一的与之对应)，那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成，，的形式．函数，与函数，为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是，对应法则都为． 由定义可以看出，函数的定义域正好是它的反函数的值域；函数的值域正好是它的反函数的定义域． 注意：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数． 反函数的性质： ①互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． ②若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上；反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． 知识点二 对数函数的定义及图像 1. 对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 2. 对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 3. 图像的特征 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 【题型一】反函数 【例1】已知函数的图象过点，其反函数的图象过点，则的表达式是 . 【答案】. 【详解】由函数的图象与其反函数的图象关于对称， 又其反函数的图象过点，则函数的图象过点.则，解得. 又函数的图象过点，则，解得，故. 变式1 若点既在函数的图像上，又在的反函数的图像上，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为既在函数的图象上，又在的反函数的图象上， 所以点在函数的图象上，所以，即， 解得，所以．故答案为：． 【例2】已知函数，求解方程. 【答案】1 【详解】，则，由于原函数图像与反函数图像关于对称，则转化为与的图像的交点。令，则，。 变式2 已知函数，若方程有2个解，则求的取值范围. 【答案】 【详解】，则，由于原函数图像与反函数图像关于对称，则转化为与的图像有2个交点。令，则，。则。 【例3】（多选题）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称， 作出它们的图象及直线，由直线与直线垂直， 且交点为知，，因此，所以有： ， ，正确的ABD，错误的是C， 故选：ABD． 变式3（多选题）已知函数的零点为的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】依题意，，， 则分别是直线与函数，图象交点的横坐标， 而函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称， 又直线垂直于直线，则点与点关于直线对称， 则，于是，，，BC正确，A错误； 因为,所以， 则，即，D错误. 故选：BC 【例4】若，设函数的零点为，零点为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 可以看作是直线与函数和交点的横坐标， 作出图象，如图，与互为反函数，图象关于直线对称， 而直线与直线垂直， 因此直线与和图象交点也关于直线对称， 所以，由图象知． ， 又，， 所以，，所以所求范围是． 故选：C． 【例5】（多选题）已知，分别为函数与的零点，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对选项A：，函数在上单调递减， ，，故，错误； 对选项B：，函数在上单调递增， ，，故，正确； 对选项C：，即， ，即， 和关于对称，关于对称， 故和关于对称，，即，正确； 对选项D：，，故，即， 等号成立的条件为，此条件不成立，故，正确； 故选：BCD 变式4 已知，，则的值为 【答案】4 【详解】由，得到，令，得到 所以为函数与交点的横坐标， 由，得到，所以为函数与交点的横坐标， 又与互为反函数，故它们的图象关于直线对称， 又关于对称，由，得到，所以，得到， 变式5 已知实数，满足，则的最小值是 . 【答案】 【详解】，有， 得， 函数在上单调递增，，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 【题型二】定义域和值域 （1） 定义域 【例6】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数有意义，则有，即 解得，所以函数的定义域是. 故选：D 变式6 对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C （2） 值域 【例7】已知函数.当时，求该函数的值域； 【答案】 【详解】， 令，由，则，所以有，， 所以当时，，当时，所以函数的值域为. 变式7 函数在区间上的最小值为_____________． 【答案】． 【详解】，因为，所以，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立，故答案为： （3） 逆向考察 【例8】已知函数. （1）若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围； 【答案】(1)；(2)； 【详解】（1）由f(x)的定义域为R，知的解集为R，则，解得：. 所以a的取值范围为. （2）函数f(x)的值域为R等价于能取到上的一切值，所以只要即可，其中，，解得：或. 所以实数a的取值范围是. 变式8 已知函数. （1）若函数f(x)在内有意义，求实数a的取值范围； （2）若函数f(x)的值域为，求实数a的值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由f(x)在内有意义，知对恒成立， 因为图象的对称轴为x＝a，所以当时，， 即，解得：； 当时，，即，解得：. 综上可知，a的取值范围为. （2）因为y＝f(x)≤－1，所以的值域为， 又，则有，解得：. 【题型三】对数函数的图像 （1）定点 【例9】已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则__________. 【答案】1 【详解】函数的图象经过定点所以的图象也过定点， 即则，所以，故答案为：1 （2）函数图像的变换： ①平移变换 :时，右移个单位;时，左移个单位. :时，上移个单位;时，下移个单位. ②对称变换 :关于轴对称; :关于轴对称; :关于原点对称. ③翻折变换 :去掉轴左边图像，保留轴右边图像，将轴右边的图像翻折到左边;（左边不要，右翻左） :留下轴上方图像，将轴下方图像翻折上去.（下翻上） 【例10】利用函数的图像，做出下列个函数的图像： (1) (2) (3) (4) (5) (6) （3）图像的识别 【例11】若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的图象为减函数可知，， 再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知， 故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象 故选：B. 变式9 若函数（且）的图象如图，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，根据函数的图象，可得， 根据指数函数的图象与性质，结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项C符合，故选：C. 【例12】函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除AC； 当时， ，所以，排除D. 故选：B. 变式10 函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】为偶函数，故B、D不成立， 当时，，当时，,单调递减， 当时，,单调递增，故选：A． （4）对数函数图像的应用 【例13】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，不等式，即，等价于在上的解， 令，，则不等式为， 在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示， 可得不等式的解集为， 故选：B 变式11 （多选题）已知函数，关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】方程有且只有一个实根，即与有且只有1个交点， 作出的图象与的图象，如： 则当时，与有2个交点， 当时，与有且只有1个交点， 故BCD符合条件 故选：BCD 【例14】已知函数．若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得．根据函数的图象及， 得，，所以． 令，根据对勾函数的图像与性质易得在上单调递增， 所以．故， 故选：C. 变式12 已知函数，存在实数满足，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】∵存在，满足，由图像可知，，∴， ，∵，∴ ∴，即，∴∴的取值范围是， 故答案为： 【题型四】对数函数的单调性 （1）求单调区间 【例15】求函数的一个单调增区间。 【答案】 【详解】函数的定义域为.要求函数的一个单调增区间， 只需求的增区间，只需.所以. 所以函数的一个单调增区间是. 变式13 已知函数，求的单调递增区间； 【答案】 【详解】由得：，即的定义域为；， 当时，；当时，；的单调递增区间为. （2）比较大小 【例16】设，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ，， ，即 ， ， ， ， ，即 ， ，即．故答案选B． 【例17】已知，，设，，，找出这三个数大小关系_________ 【答案】 【详解】由已知，，， 又，则，∴， ，则，， 又，∴，， 而，∴，， 综上有．故答案为：． 变式14 已知，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可知，所以， 易知，所以有，即，所以.故选：A 变式15已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因在上为增函数，故，即：， 又因在上也为增函数，而，故，即， 又因，则，，因在R上为增函数，故，即，故有： 故选：B. （3）已知单调区间求参数范围 【例18】已知函数 在 上单调递增，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】因为函数 在 上单调递增， 所以在上单调递增，所以. 且在恒大于0，所以或. 综上可知： 变式15 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】令，因为外层函数在上为减函数， 且函数在区间上单调递增， 所以，内层函数在上为减函数，且， 即，解得，因此，实数的取值范围是. 【例19】已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为上的增函数，故：，解得，故选：C. 变式16 已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为 【答案】 【详解】当函数是R上的单调递减函数，所以，解得， 因为且，所以当时，不可能是增函数，所以函数在R上不可能是增函数， 综上：实数a的取值范围为， 知识点三 对数函数的奇偶性（两指两对奇函数，一指一对偶函数） 1. 两指两对奇函数： ①，若则单调递减，若，则单调递增； ②，若则单调递减，若，则单调递增； 或，若则单调递增，若，则单调递减； ③单调递增,或单调递减； 更一般的形式也为奇函数。 ④在，或 在增； 更一般的形式也为奇函数。 2. 一指一对偶函数： ①为偶函数，若，若。 ②为偶函数，若，若。 注意：当我们根据上面的结论判断出了函数的奇偶性以及单调性之后，可以找一个更为简单的函数的解析式去取代原函数解析式。例：若为奇函数，令，或；若为偶函数，令，或。 函数 奇偶性 单调性 可替换函数 ， 奇 增 ， 偶 先减后增 ， 奇 增 ， 奇 减 ， 奇 增 奇 减 ， 奇 减 ， 奇 增 ， 偶 先减后增 【题型五】对数函数有关的奇偶性 【例20】下列函数中，存在实数a，使函数为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A中，当时，函数的定义域为，关于原点对称， 又由， 即，所以函数为奇函数，所以A正确； 对于B中，因为函数为偶函数，所以函数不可能是函数， 即不存在实数，使得函数为奇函数，所以B不符合题意； 对于C中，由函数定义域为，关于原点对称， 又由，即，解得，所以C符合题意； 对于D中，当时，函数， 其定义域为，关于原点对称， 又由，即， 所以函数为奇函数，所以D正确； 故选：ACD. 【例21】设函数，则（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】D 【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又，为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确. 故选：D. 变式17 设函数，则（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递增 【答案】A 【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 故为定义域上的偶函数，可排除BD； 当时，， 即在上单调递增，故A正确；又函数为偶函数，所以函数在单调递，故C错误. 故选：A 【例22】函数，则是 A．奇函数，且在上单调递减 B．奇函数，且在上单调递增 C．偶函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递增 【答案】D 【详解】,所以为偶函数, 设在单调递增, 所以在单调递增,故选D 变式18 已知函数，则是 A．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B．奇函数，且在上单调递增 C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 【答案】A 【详解】要使函数有意义，需使解得 所以函数的为 定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数； 因为是增函数，所以 是增函数，又是增函数， 所以函数 在定义域上单调递增. 故选：A 变式19 已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，且， 因为函数的图象关于直线对称，则是方程的根， 故，解得，则. 又由得，,解得. 故，即， 验证：函数的定义域为，且，且， 故函数的图象关于直线对称，满足题意.则，故选：B. 【题型六】恒成立 (分离参数) 一般地，已知函数， ①若，，总有成立，故； ②若，，有成立，故； ③若，，有成立，故； ④若，，有，则的值域是值域的子集 ． 【例23】函数在区间（1，+∞）上恒为正值，求实数a的取值范围 【答案】 【详解】∵函数上恒为正值， 当0＜a＜1时，，在区间上恒成立，此不等式显然不恒成立； 当a＞1时，，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，，解得1＜a≤2． 变式20 已知函数在上恒正．求实数a的取值范围 【答案】 【详解】当时，．由，知； 当时，． 再由，可得． 【例24】当时，，求a的取值范围。 【答案】 【详解】分别记函数， 由图1知，①当时，不满足题意； ②当时，图2，要使时，不等式恒成立， 只需满足，即，即，解得. 变式21 若不等式在内恒成立，求a的取值范围。 【答案】 【详解】①当时，由，可得，则， 又由，此时不等式不成立，不合题意； ②当时，函数在上单调递减，此时函数在上单调递增， 又由在上单调递增，要使得不等式在内恒成立， 可得，解得. 【例25】已知：函数在其定义域上是奇函数，a为常数．若，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】 【详解】，不等式恒成立，即恒成立，即； 而已知在上是增函数，在上是单调减函数，故在上是增函数， 故， 故，即 . 【例26】已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】若在上的最大值，在上的最大值，由题设，只需即可. 在上，当且仅当时等号成立， 由对勾函数的性质：在上递增，故.在上，单调递增，则， 所以，可得，故答案为：. 变式22 已知非常数函数是定义域为的奇函数．已知，且，求的取值范围． 【答案】. 【详解】由题知，，函数在上单调递增，则，， 由，，，得， 因此，， 当时，，，， 当且仅当时取等号，于是，所以的取值范围是. — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ § 对数运算 知识点一 对数式的运算 1. 对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以 为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． 2. 常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； 3. 对数的性质： ①特殊对数：；；其中且。 ②对数恒等式：，； 4. 对数的运算法则： ①外和内乘原理：； ②外差内除原理：； ③提公次方法：，； 5. 换底公式和对数运算的一些方法： ①常用换底： 如：． ②倒数原理： 如：． ③约分法则： 如： ；． 对数公式默写模板 1、对数的性质： ①特殊对数： ； ；其中且。 ②对数恒等式： ， ； ③对数换底公式： ； 2、对数的运算法则： ①外和内乘原理： ； ②外差内除原理： ； ③提公次方法： ； 3、换底公式和对数运算的一些方法： ①倒数原理： ； ②约分法则： ； 【题型一】对数式的化简及求值（底不变，其他换） 【例1】将下列指数式与对数式互化： （1）； （2）； 【答案】(1)；(2)； 【详解】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. 变式1 将下列指数式与对数式互化： （1）； （2）． 【例2】计算下列各式： （1）； （2）； （3）． （4）； （5）； 【答案】(1)320；(2)6；(3)3；（4）2；（5）8 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式 （4）原式. （5） 变式2 求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 【题型二】换底公式的运用 （1） 换底公式 【例3】已知，则用表示为 ． 【答案】 【详解】.故答案为：. 变式3 已知，，则可以用a、b表示为 . （2） 条件求值 【例4】已知，则 . 【答案】 【详解】因为，所以，所以，所以；故答案为： 【例5】已知，则 ． 【答案】3 【详解】依题意，， 则． 故答案为：3 变式4 若,且,求a的值. 变式5 已知a,b,c是不等于1的正数,且,,求的值. 【题型三】解对数方程（化为同底的对数，然后真数相等） 【例6】（1），求的值； （2）已知，求的值. 【答案】(1)；(2)4 【详解】（1）因为，得，则，所以． （2）由已知可得，因为， 所以，化简可得，解得（舍去），或，所以 变式6 求下列各式中x的值 （1） ． （2）； 【例7】解下列关于的方程： （1）； （2）. 【答案】（1）25；（2）， 【详解】（1），方程中的应满足 ，即， （2），所以方程中的应满足方程整理得,即，所以或，解得或，经检验知,,都是原方程的解. 变式7 解关于的方程. （1） ； （2）. § 对数函数 知识点一 反函数 设，分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数(即对任意的一个，都有唯一的与之对应)，那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成，，的形式．函数，与函数，为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是，对应法则都为． 由定义可以看出，函数的定义域正好是它的反函数的值域；函数的值域正好是它的反函数的定义域． 注意：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数． 反函数的性质： ①互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． ②若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上；反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． 知识点二 对数函数的定义及图像 1. 对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 2. 对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 3. 图像的特征 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 【题型一】反函数 【例1】已知函数的图象过点，其反函数的图象过点，则的表达式是 . 【答案】. 【详解】由函数的图象与其反函数的图象关于对称， 又其反函数的图象过点，则函数的图象过点.则，解得. 又函数的图象过点，则，解得，故. 变式1 若点既在函数的图像上，又在的反函数的图像上，则的值为 ． 【例2】已知函数，求解方程. 【答案】1 【详解】，则，由于原函数图像与反函数图像关于对称，则转化为与的图像的交点。令，则，。 变式2 已知函数，若方程有2个解，则求的取值范围. 【例3】（多选题）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称， 作出它们的图象及直线，由直线与直线垂直， 且交点为知，，因此，所以有： ， ，正确的ABD，错误的是C， 故选：ABD． 变式3（多选题）已知函数的零点为的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【例4】若，设函数的零点为，零点为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 可以看作是直线与函数和交点的横坐标， 作出图象，如图，与互为反函数，图象关于直线对称， 而直线与直线垂直， 因此直线与和图象交点也关于直线对称， 所以，由图象知． ，又，，所以，，所以所求范围是．故选：C． 【例5】（多选题）已知，分别为函数与的零点，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对选项A：，函数在上单调递减， ，，故，错误； 对选项B：，函数在上单调递增， ，，故，正确； 对选项C：，即， ，即， 和关于对称，关于对称， 故和关于对称，，即，正确； 对选项D：，，故，即， 等号成立的条件为，此条件不成立，故，正确； 故选：BCD 变式4 已知，，则的值为 变式5 已知实数，满足，则的最小值是 . 【题型二】定义域和值域 （1） 定义域 【例6】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数有意义，则有，即 解得，所以函数的定义域是. 故选：D 变式6 对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2） 值域 【例7】已知函数.当时，求该函数的值域； 【答案】 【详解】， 令，由，则，所以有，， 所以当时，，当时，所以函数的值域为. 变式7 函数在区间上的最小值为_____________． （3） 逆向考察 【例8】已知函数. （1）若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围； 【答案】(1)；(2)； 【详解】（1）由f(x)的定义域为R，知的解集为R，则，解得：. 所以a的取值范围为. （2）函数f(x)的值域为R等价于能取到上的一切值，所以只要即可，其中，，解得：或. 所以实数a的取值范围是. 变式7 已知函数. （1） 若函数f(x)在内有意义，求实数a的取值范围； （2）若函数f(x)的值域为，求实数a的值. 【题型三】对数函数的图像 （1）定点 【例9】已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则__________. 【答案】1 【详解】函数的图象经过定点所以的图象也过定点， 即则，所以，故答案为：1 （2）函数图像的变换： ①平移变换 :时，右移个单位;时，左移个单位. :时，上移个单位;时，下移个单位. ②对称变换 :关于轴对称; :关于轴对称; :关于原点对称. ③翻折变换 :去掉轴左边图像，保留轴右边图像，将轴右边的图像翻折到左边;（左边不要，右翻左） :留下轴上方图像，将轴下方图像翻折上去.（下翻上） 【例10】利用函数的图像，做出下列个函数的图像： (1) (2) (3) (4) (5) (6) （3）图像的识别 【例11】若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的图象为减函数可知，， 再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知， 故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象 故选：B. 变式9 若函数（且）的图象如图，则函数的大致图象是（    ） A． B． B． D． 【例12】函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除AC； 当时， ，所以，排除D. 故选：B. 变式10 函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． （4）对数函数图像的应用 【例13】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，不等式，即，等价于在上的解， 令，，则不等式为， 在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示， 可得不等式的解集为， 故选：B 变式11 （多选题）已知函数，关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【例14】已知函数．若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得．根据函数的图象及， 得，，所以． 令，根据对勾函数的图像与性质易得在上单调递增， 所以．故， 故选：C. 变式12 已知函数，存在实数满足，则的取值范围是______. 【题型四】对数函数的单调性 （1）求单调区间 【例15】求函数的一个单调增区间。 【答案】 【详解】函数的定义域为.要求函数的一个单调增区间， 只需求的增区间，只需.所以.所以函数的一个单调增区间是. 变式13 已知函数，求的单调递增区间； （2）比较大小 --（糖水不等式） 【例16】设，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ，， ，即 ， ， ， ， ，即 ， ，即．故答案选B． 【例17】已知，，设，，，找出这三个数大小关系_________ 【答案】 【详解】由已知，，， 又，则，∴，，则，， 又，∴，，而，∴，， 综上有．故答案为：． 变式14 已知，设，，，则（    ） A． B． C． D． 变式15已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． （3）已知单调区间求参数范围 【例18】已知函数 在 上单调递增，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】因为函数 在 上单调递增， 所以在上单调递增，所以. 且在恒大于0，所以或. 综上可知： 变式16 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 【例19】已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为上的增函数，故：，解得， 故选：C. 变式17 已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为 知识点三 对数函数的奇偶性（两指两对奇函数，一指一对偶函数） 1. 两指两对奇函数： ①，若则单调递减，若，则单调递增； ②，若则单调递减，若，则单调递增； 或，若则单调递增，若，则单调递减； ③单调递增,或单调递减； 更一般的形式也为奇函数。 ④在，或 在增； 更一般的形式也为奇函数。 2. 一指一对偶函数： ①为偶函数，若，若。 ②为偶函数，若，若。 注意：当我们根据上面的结论判断出了函数的奇偶性以及单调性之后，可以找一个更为简单的函数的解析式去取代原函数解析式。例：若为奇函数，令，或；若为偶函数，令，或。 函数 奇偶性 单调性 可替换函数 ， 奇 增 ， 偶 先减后增 ， 奇 增 ， 奇 减 ， 奇 增 奇 减 ， 奇 减 ， 奇 增 ， 偶 先减后增 【题型五】对数函数有关的奇偶性 【例20】下列函数中，存在实数a，使函数为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A中，当时，函数的定义域为，关于原点对称， 又由， 即，所以函数为奇函数，所以A正确； 对于B中，因为函数为偶函数，所以函数不可能是函数， 即不存在实数，使得函数为奇函数，所以B不符合题意； 对于C中，由函数定义域为，关于原点对称， 又由，即，解得，所以C符合题意； 对于D中，当时，函数， 其定义域为，关于原点对称， 又由，即， 所以函数为奇函数，所以D正确； 故选：ACD. 【例21】设函数，则（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】D 【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又，为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确. 故选：D. 变式18 设函数，则是（    ） A．偶函数，且在单调递增 B．奇函数，且在单调递减 C．偶函数，且在单调递增 D．奇函数，且在单调递增 【例22】函数，则是（ ） A．奇函数，且在上单调递减 B．奇函数，且在上单调递增 C．偶函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递增 【答案】D 【详解】,所以为偶函数, 设在单调递增, 所以在单调递增,故选D 变式19 已知函数，则是（ ） A．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B．奇函数，且在上单调递增 C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 【题型五】恒成立 (分离参数) 一般地，已知函数， ①若，，总有成立，故； ②若，，有成立，故； ③若，，有成立，故； ④若，，有，则的值域是值域的子集 ． 【例23】函数在区间（1，+∞）上恒为正值，求实数a的取值范围 【答案】 【详解】∵函数上恒为正值， 当0＜a＜1时，，在区间上恒成立，此不等式显然不恒成立； 当a＞1时，，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，，解得1＜a≤2． 变式20 已知函数在上恒正．求实数a的取值范围 【例24】当时，，求a的取值范围。 【答案】 【详解】分别记函数， 由图1知，①当时，不满足题意； ②当时，图2，要使时，不等式恒成立， 只需满足，即，即，解得. 变式21 若不等式在内恒成立，求a的取值范围。 【例25】已知：函数在其定义域上是奇函数，a为常数．若，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】 【详解】，不等式恒成立，即恒成立，即； 而已知在上是增函数，在上是单调减函数，故在上是增函数， 故，故，即 . 【例26】已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】若在上的最大值，在上的最大值，由题设，只需即可. 在上，当且仅当时等号成立， 由对勾函数的性质：在上递增，故.在上，单调递增，则， 所以，可得，故答案为：. 变式22 已知非常数函数是定义域为的奇函数．已知，且，求的取值范围． — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$