第4讲 幂函数与指数幂运算 讲义-2026届高三数学一轮复习

幂函数与指数幂运算 知识点一 幂函数的概念 1.幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 3.常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减， 在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 定点 知识点二 指数幂运算 1. 指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. 2. 有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． 3. 有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 【题型一】 幂函数的定义及其图像 【例1】幂函数在上为增函数，则实数的值为（       ） A． B．0或2 C．0 D．2 【答案】D 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， ①当时，在上为减函数，不符合题意， ②当时，在上为增函数，符合题意，所以. 故选：D. 【例2】已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______． 【答案】 【详解】设，则，所以， 在上递增，且为奇函数，所以，故答案为： 变式1已知幂函数在上是减函数，则的值为（       ） A．1或 B．1 C． D． 变式2 已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（       ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 【例3】如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，请判断的大小关系。 【答案】 变式3 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.    （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【题型二】幂函数的单调性的应用 【例4】已知幂函数（）的图像关于轴对称，且. （1）求的值及函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由题意，函数（）的图像关于轴对称，且， 所以在区间为单调递增函数，所以，解得， 由，。又函数的图像关于轴对称，所 以为偶数，所以，所以. （2）因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数， 所以不等式，等价于，解得或， 所以实数的取值范围是. 变式4 若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ． 变式5 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围. 【例5】已知幂函数为偶函数，． （1）若，求； （2）已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）对于幂函数，得，解得或， 又当时，不为偶函数，，，，，解得； （2）关于x的不等式在上恒成立，即在上恒成立，即， 先证明在上单调递增： 任取，则， ，，，又， ，，即，故在上单调递增， ，，又，解得. 变式6 已知函数，若当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型三】幂指数的化简 【例6】计算下列各式. （1）； （2） （3）； 【答案】(1)；(2)；(3)4 【详解】（1）. （2） . （3）. 【例7】用分数指数幂表示下列各式（，）： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2）； 【详解】（1）；（2）； 变式7 计算下列各式. （1） ； （2） ； （3）； 变式8 用分数指数幂表示下列各式（，）： （1） ； （2）计算． 【例8】已知，求下列各式的值： ① ；       ②；       ③. 【答案】①；②7；③ 【详解】①因为，所以，又，所以. ②因为，所以，所以. ③因为，且，所以，所以. 【例9】已知，求： （1） （2）. 【答案】（1）；（2）或 【详解】（1）由平方可得， 由于，故，，因此 （3） ，由和 可得或， ①当时，则， ②当时，则 变式9 已知，计算：. — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 幂函数与指数幂运算 知识点一 幂函数的概念 1.幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 3.常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减， 在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 定点 知识点二 指数幂运算 1. 指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. 2. 有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． 3. 有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 【题型一】 幂函数的定义及其图像 【例1】幂函数在上为增函数，则实数的值为（       ） A． B．0或2 C．0 D．2 【答案】D 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， ①当时，在上为减函数，不符合题意， ②当时，在上为增函数，符合题意，所以. 故选：D. 【例2】已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______． 【答案】 【详解】设，则，所以， 在上递增，且为奇函数，所以. 故答案为： 变式1已知幂函数在上是减函数，则的值为（       ） A．1或 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】依题意是幂函数，所以，解得或. 当时，在递增，不符合题意. 当时，在递减，符合题意. 故选：D 变式2 已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（       ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 【答案】D 【详解】因函数的图象关于y轴对称，于是得函数为偶函数，即p为偶数， 又函数的定义域为，且在上单调递减，则有0， 又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确. 故选：D 【例3】如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，请判断的大小关系。 【答案】 变式3 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.    （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【答案】（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B 【详解】（1）中，函数，定义域为，非奇非偶函数，在单调递增； （2）中，函数，定义域为，奇函数，在单调递增； （3）中，函数，定义域为，偶函数，在单调递增； （4）中，函数，定义域为，偶函数，在单调递减； （5）中，函数，定义域为，奇函数，在单调递减； （6）中，函数，定义域为，非奇非偶函数，在单调递减. 对比分析可知对应关系为（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B. 故答案为：（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B 【题型二】幂函数的单调性的应用 【例4】已知幂函数（）的图像关于轴对称，且. （1）求的值及函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由题意，函数（）的图像关于轴对称，且， 所以在区间为单调递增函数，所以，解得， 由，。又函数的图像关于轴对称，所 以为偶数，所以，所以. （2）因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数， 所以不等式，等价于，解得或， 所以实数的取值范围是. 变式4 若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，解得， 又，所以或， ①当时，幂函数为，图象关于y轴对称，满足题意； ②当时，幂函数为，图象不关于y轴对称，舍去， 所以，不等式为， 因为函数在和上单调递减， 所以或或，解得或. 故答案为：. 变式5 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围. 【答案】且. 【详解】因为函数在上单调递减，所以，解得. 因为，所以或2.又函数的图象关于轴对称，所以是偶数， 而为奇数，为偶数，所以， 所以，在上为增函数，在上为减函数， 所以等价于且，解得且. 故实数的取值范围为且 【例5】已知幂函数为偶函数，． （1）若，求； （2）已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）对于幂函数，得，解得或， 又当时，不为偶函数，，，，，解得； （2）关于x的不等式在上恒成立，即在上恒成立，即， 先证明在上单调递增： 任取，则， ，，，又， ，，即，故在上单调递增， ，，又，解得. 变式6 已知函数，若当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，，因为，所以为奇函数， 由幂函数的性质得在上单调递增，所以，在上的增函数， 因为在上恒成立，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，所以在上恒成立， 所以，只需，即所以实数a的取值范围是. 故选：C 【题型三】幂指数的化简 【例6】计算下列各式. （1）； （2） （3）； 【答案】(1)；(2)；(3)4 【详解】（1）. （2） . （3）. 【例7】用分数指数幂表示下列各式（，）： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2）； 【详解】（1）；（2）； 变式7 计算下列各式. （1）； （2）； （3）； 【答案】(1)；(2)；(3)； 【详解】（1）. （2）. （3）. 变式8 用分数指数幂表示下列各式（，）： （1）； （2）计算． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）； （2）. 【例8】已知，求下列各式的值： ① ；       ②；       ③. 【答案】①；②7；③ 【详解】①因为，所以，又，所以. ②因为，所以，所以. ③因为，且，所以，所以. 【例9】已知，求： （1） （2）. 【答案】（1）；（2）或 【详解】（1）由平方可得， 由于，故，，因此 （3） ，由和 可得或， ①当时，则， ②当时，则 变式9 已知，计算：. 【答案】4 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以，即， 所以，所以. — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$