第06讲 有理数的乘方 （知识清单+14大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（人教版2024）

第06讲 有理数的乘方 （知识清单+14大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 有理数幂的概念理解 题型二 有理数的乘方运算 题型三 有理数乘方逆运算 题型四 乘方运算的符号规律 题型五 乘方的应用 题型六 程序流程图与有理数计算 题型七 算“24”点 题型八 含乘方的有理数混合运算 题型九 计算器——有理数 题型十 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型十一 将用科学记数法表示的数变回原数 题型十二 求一个数的近似数 题型十三 求近似数的精确度 题型十四 近似数推断取值范围 知识清单 知识点1．有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点2．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点3．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点4．近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点5．科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 题型练习 【题型一】有理数幂的概念理解 【例1】（24-25七年级上·广西南宁·期中）的底数是（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】A 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查有理数幂的定义，根据有理数幂的定义，其中为底数，进行判断即可． 【详解】解：的底数是； 故选A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）式子可以表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了有理数乘方的定义，根据多个相同的单项式相乘可以表示为幂的形式，即，a表示相同的单项式，m表示单项式的个数．据此即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25七年级上·云南昭通·期中）的底数是 ，指数是 ． 【答案】 2 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】此题主要考查幂的含义，解题的关键是熟知的含义：a为底数，n为指数，读作a的n次方，含义是n个a相乘． 根据幂的形式特点得出的指数和底数即可； 【详解】解：的底数是，指数是2， 故答案为：，2． 3．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）仔细观察下列算式：，． (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】（1）根据有理数的乘方的意义，有理数的乘法运算进行计算即可求解； （2）根据有理数的乘方的意义，有理数的乘法运算进行计算即可求解； （3）根据（1）（2）得出结论，即可求解． 【详解】（1）， 故答案为：． （2）， 故答案为：． （3） 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数乘方的意义，熟练掌握幂的概念是解题的关键． 【题型二】有理数的乘方运算 【例2】（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）计算的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键； 根据有理数的乘方运算，求解即可； 【详解】解：； 故选：D 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）下列各组数相等的有（   ） A．与 B．与 C．与0.3 D．与a 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了乘方、化简绝对值，先把每个选项的式子化简，再把式子的结果进行比较，即可作答． 【详解】解：A、，则与不相等，故该选项不符合题意； B、，则与相等，故该选项符合题意； C、，则与0.3不相等，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则记为，例如，则． （1）根据上述规定，直接写出 ． （2）若，，则 ． 【答案】 5 4 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是关键． （1）直接根据规定的定义解答即可； （2）根据规定的定义先求得a、b的值，再按定义解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴． 故答案为：5； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 3．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 【答案】(1)相等； (2)； (3)1 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）根据运算法则进行计算后，判断即可； （2）利用（1）中规律即可得出结论； （3）利用规律得到，计算即可． 【详解】（1）解：相等： ， ∴； ，， ∴； （2）由（1）可得： （3）． 【题型三】有理数乘方逆运算 【例3】（2023·山东枣庄·一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【答案】A 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，弄懂题意并掌握乘方的运算法则是解答的关键． 【详解】解：根据题意，第一天后剩尺， 两天之后剩（尺）， 第三天后剩（尺）， … 第n天后剩（尺）， 第五天后这个“一尺之棰”还剩（尺）． 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知，那么 ； 的立方等于． 【答案】 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题考查的是乘方运算的逆运算，由平方与立方的逆运算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴的立方等于； 故答案为：， 3．（22-23七年级上·重庆云阳·期中）请认真阅读下面材料，并解答下列问题． 如果  的次幂等于，即指数式，那么数叫做以为底的对数，对数式记作：例如： ①因为指数式，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：； ②因为指数式，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：． (1)请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式： ①；② (2)将下列对数式改为指数式： ①=2 ② (3)计算： 【答案】(1)①；② (2)①；② (3)6 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】（1）根据对数的定义求解； （2）利用对数的定义写成幂的形式； （3）先利用乘方的意义得到，然后根据对数的定义求解． 【详解】（1）解：①； 对数式记作：； ②； 对数式记作：； （2）①； 指数式为， ②； 指数式为； （3）， ． 【点睛】本题考查了有理数乘方：求个相同因数积的运算，叫做乘方． 也考查了阅读理解能力． 【题型四】乘方运算的符号规律 【例4】（23-24七年级上·全国·课堂例题）有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算 【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ∴其中结果等于的是：①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·河北唐山·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 【答案】C 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】根据已知条件可以得到这样的规律：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成． 【详解】解：根据已知条件可以得到这样的规律： 11的平方是121，中间的数字是2，111的平方是12321，中间的数字是3，…… 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成；所以的结果是1234567654321， 故选C． 【点睛】本题主要考查了观察式子找规律，找到对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成的规律是解题的关键． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 【答案】 444444888889 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25即可； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． 【详解】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25， 如：，即； ：，即； ：，即； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． ∴． 故答案为：；；． 【点睛】本题主要考查有理数乘方规律应用，找到题中数字规律是解题的关键． 3．（22-23七年级上·福建福州·期中）观察下面的三行数． ① ② ③ (1)第①行第n个数是___________，第②行第n个数是___________，第③行第n个数是___________． (2)是否存在某一列的三个数的和为2187，若存在，请求出这三个数：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在．这三个数为：729，727，731． 【知识点】数字类规律探索、乘方运算的符号规律 【分析】（1）由数据可知，奇数为负，偶数为正，绝对值是3的n次方，得第n个数为，第二行比第一行小2，第三行比第一行大2，据此即可得结果； （2）根据三个数的和是2187，列出等式，计算即可． 【详解】（1）解：①行第一个是负数，绝对值是； 第二个数是正数，绝对值是； 第三个数负数，绝对值是； ……； 以此类推第n个数是， 第二行，每一个数比第一行小2， 即：； 第三行比第一行大2， 即：； 故答案为：，，； （2）解：存在．理由如下： 依题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故这三个数为：729，727，731． 【点睛】本题考查的是数字的变化，解题的关键是根据奇数为负，偶数为正，绝对值是3的n次方，得第n个数为，依据这数，后面的迎刃而解． 【题型五】乘方的应用 【例5】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）观察下列算式：……通过仔细观察，的末尾数字是（  ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】A 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 先找出7的幂的个位数字的排列规律，再计算求解． 【详解】解；观察等式知：的个位数字分别为：循环出现， ，， 的末尾数字是0， ∴的末尾数字是1， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方，分别求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积是解题的关键． 先求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积，总结出一般变化规律，即可解答． 【详解】解：长方形的面积为：， 第1次裁剪后剩下的长方形的面积， 第2次裁剪后剩下的长方形的面积， …… 第6次裁剪后剩下的长方形的面积． 故选：A． 2．（24-25七年级上·北京·期中）我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天 【答案】520 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查了乘方的运算， 仿照“十进制”的算法，可知总天数为右面第一个数字加上第二个数字乘以7，依次第三个数字乘以，第四个数字乘以，再相加得出答案. 【详解】解：孩子自出生后的天数是：（天）. 故答案为：520. 3．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解乘方的意义是解题关键． （1）仿照小明的做法画出图形求解即可； （2）仿照小亮的做法验证即可； （3）仿照小亮的做法求解即可； 【详解】（1）解：， （2）解：设， 则， 因为，所以． （3）解：设， 则， 因为， 所以． 【题型六】程序流程图与有理数计算 【例6】（24-25七年级上·福建宁德·期中）如图是一个简单的运算程序．若输入x的值为2，则输出的数值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 【答案】B 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据程序流程图，先计算乘方，再计算加法即可得． 【详解】解：若输入的值为2，则输出的数值为， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了与程序流程图有关的有理数计算，先把代入计算，若结果不大于1，则把结果作为新数输入计算，如此反复直至计算的结果大于1并输出，据此求解即可． 【详解】解： ， 把1作为新数输入时， ， ∴输出的结果为， 故选；A． 2．（24-25七年级上·北京·期中）如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，则输出的值为 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，先理解运算程序为，把代入进行计算，得，因为得数不符合，故再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， 得， ∴把代入， 得， 故答案为： 3．（2024七年级上·全国·专题练习）小亮在电脑上设计了一个有理数的运算程序：输入a，按“*”键，再输入b，得到运算． (1)求的值； (2)小明在运算程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”，猜想他在输入数据时，可能出现什么情况，为什么？ 【答案】(1) (2)或 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，除数不能为0，掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）根据新定义运算法则结合有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据除数不能为0解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为分母不能为0，所以当时程序无法操作； 因为为除数，而除数不能为0，所以当时，程序无法操作． 所以有两种可能：或． 【题型七】算“24”点 【例7】（七年级上·湖北鄂州·期末）“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【知识点】算“24”点 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·四川成都·期末）24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 ． 【答案】 【知识点】算“24”点 【分析】本题主要考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．根据有理数的混合运算可进行求解． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ． 【答案】(答案不唯一) 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及正数和负数，根据题意列出算式即可，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：由题意得：或或． 故答案为：或或． 3．（24-25七年级上·山东威海·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【答案】(1)见解析 (2)见详解 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据两个最大的数相加，得出；②运用最小的数减去最大数，所得的差最小；③根据同号得正，且结合正数最大，进行作答；④根据异号得负，且结合负数最小，进行作答； （2）结合从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意，， 故答案为：9； ②依题意，， 故答案为：； ③依题意，， 故答案为：； ④依题意，， 故答案为：； （2）解：依题意，； ． 【题型八】含乘方的有理数混合运算 【例8】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算顺序和运算法则逐一计算即可判断． 【详解】解：A、，此选项错误，不符合题意； B、，此选项错误，不符合题意； C、，此选项正确，符合题意； D、，此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河南安阳·期末）我们平常用的数是十进制的数，如，表示十制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，等于十进制的数15；等于十进制中的数21．请问二进制中的等于十进制中的数（　　） A．50 B．51 C．52 D．53 【答案】D 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，理解二进制与十进制之间的转换关系是解题关键．根据二进制与十进制之间的转换法则列出运算式子，计算含乘方的有理数混合运算即可得． 【详解】解：二进制中的等于十进制中的数为 ， 故选：D． 2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）计算机的二进制数据是用和两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”，二进制数和十进制数可以互换，例如，二进制“”转换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制“”转换成十进制数表示的数是 ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了用数字表示数及有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键． 根据二进制和十进制的互换规则即可解答． 【详解】解：二进制“”转换成十进制数表示的数为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·四川南充·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)6 (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）先去括号，再根据有理数加减法法则计算即可； （2）先将除法转化为乘法，再根据有理数乘法法则计算即可； （3）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行计算即可； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【题型九】计算器——有理数 【例9】（2024七年级上·全国·专题练习）在计算器的键盘中，表示开启电源的键是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算器——有理数 【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能．根据计算器的各个按键的功能判断即可． 【详解】 解：根据科学记算器的使用，开启电源的键是， 故选：B． 【举一反三】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）使用计算器时，下列按键顺序正确的是（    ） A．： B．： C．： D．： 【答案】D 【知识点】计算器——有理数 【分析】本题主要考查正确使用科学计算器进行有理数的加减乘除计算，解决本题的关键是要熟练掌握正确使用计算器． 根据计算器书写顺序直接输入得出即可，进而判断得出即可． 【详解】 解：A．：，原顺序错误，不符合题意； B．：，原顺序错误，不符合题意； C．：，原顺序错误，不符合题意； D．：，原顺序正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·山东青岛·期末）用图1所示的科学计算器按图2的按键顺序进行操作，则计算结果为 ． 【答案】 【知识点】计算器——有理数 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据按键顺序列出式子，计算即可，熟知科学计算器，熟练进行运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可列出式子， 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)9.9626 (2) (3)157.04099856 (4)94.4124 【知识点】计算器——有理数 【分析】（1）先判断符号，然后把绝对值相乘； （2）先判断符号，然后把绝对值相除； （3）先判断符号，然后把四个3.54相乘； （4）先算乘方和乘法，最后算加法． 本题考查有理数的运算，熟练使用计算器是关键． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【题型十】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例10】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）据统计，年双十一当天，天猫成交额亿，亿用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，先把亿转化为，再根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿， 故选：． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）今年 月 日是我国第四个文化和自然遗产日．目前我国世界遗产总数居世界首位，其中自然遗产总面积约 ．将 用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解： 故选：B． 2．（24-25七年级上·四川南充·期中）文化和旅游部近日公布2024年国庆节假期文化和旅游市场情况，经旅游部市场中心测算，国庆节假日7天，全国国内出游亿人次，国内游客出游总花费约7008亿元，将7008亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值大于的数，理解表示方法 “一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 7008亿， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·河南周口·期中）现需要将长为，宽为，高为的大理石运往某地修建革命历史博物馆． (1)求每块大理石的体积．（结果用科学记数法表示） (2)如果一列火车总共运送了2000块大理石，每块大理石约重3500千克，估计这列火车总共运送了多少吨大理石． 【答案】(1) (2)7000吨 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了长方体的体积公式，科学记数法的表示方法，及同底数的幂的乘法．解题的关键是明确同底数幂的乘法和除法的运算法则． （1）根据长方体的体积=长×宽×高，先求出它的体积，再用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数； （2）根据总重量÷大理石块数=每块大理石的重量列出代数式即可． 【详解】（1）根据题意．得每块大理石的体积， 答：每块大理石的体积为． （2）根据题意，得（千克）（吨） 答：这列火车总共运选了约7000吨大理石． 【题型十一】将用科学记数法表示的数变回原数 【例11】（2024七年级上·全国·专题练习）今年第一季度我国增值税、消费税比上年同期增收元，也就是说增收了（   ） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．万元 【答案】B 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，把写成原数，则需把小数点向右移动为即可，解题的关键是正确理解科学记数法的表示形式中，原数的整数位为，原数等于把小数点向右移动位所得的数，若向右移动，位数不够用补上． 【详解】解：元元亿元， 故选：． 【举一反三】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）今年“五一”假期，湖南省文旅市场持续升温，文旅经济强劲复苏．根据全省十四个市州综合测算情况汇总，今年“五一”假期全省共接待游客人次，同口径比去年“五一”假期增长了，数据的位数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法把数据还原，然后可得答案． 【详解】解：∵， ∴数据的位数是8， 故选：C． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）莲花湖湿地公园占地面积用科学记数法表示为平方米，则原数为 万平方米． 【答案】792 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，科学记数法的表示形式为为正整数，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 根据科学记数法表示形式解答即可． 【详解】解： 平方米，则原数为792万平方米． 故答案为：792． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列是用科学记数法表示的数，原数是什么？ ，． 【答案】38 000，50 070 000 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了把用科学记数法表示的数写成原数，用科学记数法表示的数还原成原数时，时，n是几，小数点就向右移几位． 【详解】解：， . 【题型十二】求一个数的近似数 【例12】（24-25七年级上·重庆江北·期中）把精确到百分位得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了数的精确，掌握小数点后第一位为十分，第二位为百分位，四舍五入，数位上为0的要用0占位是解题的关键．根据要求按四舍五入精确到0.01即可得出答案． 【详解】解：精确到百分位是 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东·期中）用四舍五入法取近似数，则0.25962精确到千分位是（    ） A．0.25 B．0.259 C．0.260 D．0.2596 【答案】C 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 【详解】解：（精确到千分位）． 故选C． 2．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）将5.807用四舍五入法精确到百分位为 ． 【答案】5.81 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数，根据将5.807用四舍五入法精确到百分位，就观察千分位的数是否大于，大于等于就进一，否则舍去，即可作答． 【详解】解：依题意，5.807的千分位的数为， 则5.807用四舍五入法精确到百分位为5.81， 故答案为：5.81 3．（2024七年级上·全国·专题练习）用四舍五入法，按括号内的要求对下列各数取近似数： (1)2.604（精确到十分位）； (2)40353（精确到百位）； (3)0.0234（精确到0.01）； (4)1.81万（精确到万位）． 【答案】(1)2.6 (2) (3)0.02 (4) 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查求一个数的近似数； （1）对百分位上的数字0进行四舍五入即可； （2）对十位上的数字5进行四舍五入即可； （3）对千分位上的数字3进行四舍五入即可； （4）对千位上的数字8进行四舍五入即可． 【详解】（1）解：2.604（精确到十分位）为2.6； （2）解：40353（精确到百位）为； （3）解：0.0234（精确到0.01）为0.02； （4）解：1.81万（精确到万位）为． 【题型十三】求近似数的精确度 【例13】（24-25七年级上·重庆江津·期中）对有理数a取近似数的结果为3.5万，则a精确到了（   ） A．十分位 B．百分位 C．千位 D．千分位 【答案】C 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题主要考查了近似数， 先将3.5万还原成35000，再确定精确的数位即可. 【详解】解：因为3.5万， 所以这个数精确到5，即精确到了千位. 故选：C. 【举一反三】 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）今年某市参加中考的考生人数约为（    ） A．精确到个位 B．精确到十位 C．精确到百位 D．精确到千位 【答案】C 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查科学记数法中数的精确数位，对于用科学记数法表示的数，近似数精确到哪一位，应当看科学记数法表示的数还原后末位数字实际在哪一位，即可解题． 【详解】解：， 因为在百位， 所以精确到百位， 故选：C． 2．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）2024年国庆假期，呼和浩特铁路日客运量日均超过18万人次，总客运量为125.9万人次，其中125.9万精确到 位． 【答案】千 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数，精确到第几位就是看最后一位数字的位置，据此判断即可． 【详解】解：125.9万精确到千位． 故答案为：千． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)； (2)； (3)； (4)万； (5)． 【答案】(1)精确到个位 (2)精确到十分位 (3)精确到万分位 (4)精确到百位 (5)精确到百位 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数、求近似数的精确度 【分析】本题主要考查近似数的精确度，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据近似数的定义即可得出． （2）根据近似数的定义即可得出． （3）根据近似数的定义即可得出． （4）万的末位数字在百位，可得近似数精确到百位． （5）对科学记数法表示的近似数中，的末位数字对应的数位即精确到的数位． 【详解】（1）解：的末位数字在个位， ∴近似数精确到个位． （2）解：的末位数字在十分位， ∴近似数精确到十分位． （3）解：的末位数字在万分位， ∴近似数精确到万分位． （4）解：∵万 ∴万的末位数字在百位， ∴近似数万精确到百位． （5）解：∵ ∴的末位数字在百位， ∴近似数精确到百位． 【题型十四】近似数推断取值范围 【例14】（2024七年级上·全国·专题练习）近似数所表示的准确值的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题主要考查的是求近似数的取值范围，属于基础题型．近似数等于的数有无数个，确定它们的范围应该从两个极端值进行分析．根据近似数精确到百分位，是由千分位上的数字四舍五入得到的，结合四舍五入的方法，求出a的取值范围即可． 【详解】解：近似数精确到百分位，是由千分位上的数字四舍五入得到的． 若千分位上的数字大于或等于5，百分位上的数字应是“9”，十分位上的数字应是“6”，此时a的最小值为； 若千分位上的数字小于5，百分位上的数字应是“0”，十分位上的数字应是“7”，即此时， 准确值a的范围是：． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山东德州·期中）一个数精确到十分位的结果是，那么这个数的范围满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题考查了由近似数推断真值的范围，根据四舍五入的近似法则，应看数位上的数字，据此即可得到答案，掌握四舍五入法是解题的关键． 【详解】解：一个数精确到十分位的结果是，那么这个数的范围满足， 故选：． 2．（24-25七年级上·四川德阳·期中）小飞测量身高近似米，若小飞的实际身高为x米，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题考查了近似数和有效数字，掌握近似数和有效数字的定义成为解题的关键． 根据精确到哪位就是对它后边的一位进行四舍五入即可解答． 【详解】解：据题意可知，他实际身高可能是最小米，最高小于米． 则x的取值范围是． 故答案为：． 3．（七年级·全国·假期作业）对非负有理数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．例如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜18.75＞＝＜19.499＞＝19，…． 解决下列问题： （1）＜π＞＝　　（π为圆周率）； （2）如果＜2x﹣1＞＝3，则有理数x有最　　　（填大或小）值，这个值为　　　　　　． 【答案】（1）3；（2）小； 【知识点】近似数推断取值范围、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】（1）由的含义及近似值，再结合题意，可得答案； （2）由定义可得：＜2x﹣1＞＝3，可得：的最小值为： 可得此时的值最小，再列方程求解即可得到答案． 【详解】解：（1）＜π＞＝3（π为圆周率）； 故答案为： （2）由＜2x﹣1＞＝3，可得：的最小值为： 此时：的值最小， 有理数x有最小值，且， 这个值为． 故答案为：小，． 【点睛】本题考查的是近似数，以及按四舍五入的方法取近似数，一元一次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．节肢动物是最大的动物类群，目前已命名的种类有120万种以上，将数据120万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：120万=1200000=1.2×106． 故选：D 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键． 2．随着2022年地方两会的渐次闭幕，各地2022年的成绩单也陆续浮出水面。纵观各地公布的数据，2022年我国又有3个省份参加万亿俱乐部，至此，全国共有17个省份总量超过万亿元。其中，2022年贵州省生产总值约()亿元，比上年增长，增速比上年加快个百分点．其中用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3．在近似数0.2017中，共有（　　）有效数字． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字，据此可得答案． 【详解】解：在近似数0.2017中，共有4有效数字，分别为2、0、1、7， 故选：B． 【点睛】本题主要考查有效数字，有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 4．电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表所示： 十进制 1 2 3 4 5 6 7 8 … 二进制 1 10 11 100 101 110 111 1000 … 观察二进制为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制的数，当二进制为6位数时，能表示十进制中的最大数是（    ） A．61 B．62 C．63 D．64 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的计算，根据表格可得当十进制中表示的数最大时，则二进制数是111111，由此列式计算即可得解，解题的关键是正确观察图表，理解二进制的数写成十进制的数的方法． 【详解】解：当十进制中表示的数最大时，则二进制数是111111， 能表示十进制是：． 故选C． 5．学科融合射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】略 6．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方的意义，熟练掌握乘方的意义是解题的关键，根据乘方和加法分别表示出分子分母即可． 【详解】解：， 故选：B． 7．下列各组数中，相等的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘方．根据有理数的乘方的定义，绝对值的性质对各选项分别计算，然后利用排除法求解． 【详解】解：A、，，，故本选项错误； B、，，，故本选项错误； C、，，，故本选项正确； D、，，，故本选项错误． 故选：C． 8．已知三个有理数a，b，c的积是负数，它们的和是正数，当x时，代数式x19﹣x+2的值为（　　） A．0 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【详解】【分析】根据三个有理数a，b，c的积是负数，它们的和是正数，可以得到x的值，然后代入代数式x19﹣x+2，即可解答本题． ∵三个有理数a，b，c的积是负数， ∴这三个数是两正一负或三负， 又∵这三个数的和是正数， ∴这三个数是两正一负， 不妨设a＞0，b＞0，则c＜0， ∴x1+1﹣1＝1， ∴x19﹣x+2 ＝119﹣1+2 ＝1﹣1+2 ＝2， 故选：B． 9．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可． 【详解】解：， = =， =， =， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行简便运算，准确进行计算． 10．如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x是2，则经过2021次输出的结果是（　　） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据运算程序代值求解得到输出结果的规律求解即可． 【详解】解：把x＝2代入得：2÷2＝1， 把x＝1代入得：1+5＝6， 把x＝6代入得：6÷2＝3， 把x＝3代入得：3+5＝8， 把x＝8代入得：8÷2＝4， 把x＝4代入得：4÷2＝2， 把x＝2代入得：2÷2＝1， …… 以此类推，可知每6个一循环，且输入次数与输出结果的对应规律是：对应1；对应6；对应3；对应8；对应4；+6对应2； ∵， ∴经过2021次输出的结果是4． 故选：C． 【点睛】本题考查运算程序背景下的数字规律，根据运算程序算出输出结果，然后找到输出结果的规律是解决问题的关键． 二、填空题 11．计算：= 【答案】-2 【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果． 【详解】解： =-2． 故答案为：-2． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．计算： ． 【答案】0 【分析】先计算有理数的乘方，除法改为乘法，再进行乘法计算和减法计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则是解题关键． 13．的底数是 指数是 结果是 【答案】 -3 3 ﹣27 【分析】根据乘方的定义进行判断． 【详解】解：根据题意得：， ∴底数为-3，指数为3，结果为﹣27， 故答案为-3，3，﹣27． 【点睛】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·a·…·a计作an，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在an中，a叫做底数，n叫做指数． 14．规定一种新运算：，如，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方，根据题意结合有理数的乘方运算法则计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 15．按照以下程序图输入的值为，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题中图形给出的计算程序．由于将开始代入计算是6，不是负数，返回继续计算，要平方后再代入，这是本题易出错的地方． 【详解】解：， ， 故答案为：． 16．清晨蜗牛从树干底部沿着树干往上爬，树高10m，白天爬4m，夜间下滑3m，它首次从树干底部爬上树顶，需 天． 【答案】7 【分析】规定向上爬为正，则向下滑为负，计算出实际每天向上爬的米数，根据实际可知实际每天向上爬4-3=1米，每天爬1米，要爬的米数是（10-4），因为最后一天爬4米就到了树顶，由此列式解答即可． 【详解】解：向上爬为正，则向下滑为负， （10-4）÷（4-3）+1 =6+1 =7（天）． 答：它从树根爬上树顶，需7天． 故答案为：7． 【点睛】此题考查有理数混合运算的实际运用，注意实际每天爬1米的天数是10-4=6米，最后一天爬4米就到了树顶． 17．“转化”是一种解决问题的常用思想，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式转化为．请你观察图②，利用转化的方法计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分数的混合运算、数字规律等知识点，掌握转换法是解题的关键． 根据图形观察，把这个正方形看作单位“1”，算式可以转化为，从而求解． 【详解】解：根据图2可得：． 故答案为：． 18．某儿童服装店老板以元的价格买进件连衣裙，针对不同的顾客，件连衣裙的售价不完全相同，若以元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，记录结果如下表： 售出件数 售价（元） 该服装店售完这件连衣裙后，赚了 元． 【答案】412 【分析】先根据表格中的数据求出以元为标准超过的钱数，再列式计算即可． 【详解】解：（元）， （元）， 故答案为：412． 【点睛】本题考查有理数的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． 三、解答题 19．有一桶油重千克，第一次取出桶里的，第二次取出余下的，求桶里还剩多少千克油？ 【答案】还剩千克油． 【分析】本题考查的知识点是有理数混合运算的实际应用，解题关键是熟练掌握有理数的混合运算法则． 先计算出第一次取出的油的重量及剩下的油的重量，再计算第二次取出的油的重量，即可计算最终剩下的油的重量． 【详解】解：依题得：第一次取出了千克油， 还剩千克油， 第二次取出了千克油， 桶里还剩下千克油． 答：还剩千克油． 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 21．计算： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)16 (3) (4) (5)8 (6)36 【分析】本题考查了乘方的运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题． （1）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （2）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （3）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （4）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （5）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （6）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 22．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 23．某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为该校6年1班42人参加跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个． 跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6 人数 6 12 2 7 10 5 (1)6年1班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？ (2)规定跳绳超过标准数量，每多跳1个绳加3分，规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个绳，扣1分，若班级跳绳总积分超过285分，便可得到学校的奖励，通过计算说明6年1班能否得到学校奖励？ 【答案】(1)6年1班42人一分钟内平均每人跳绳102个． (2)6年1班能得到学校奖励，理由见详解． 【分析】（1）根据表格可直接进行求解； （2）先求出该班的总积分，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得： （个）， 答：6年1班42人一分钟内平均每人跳绳102个． （2）解：由题意得： ， ∵300＞285， ∴该班能得到学校的奖励． 【点睛】本题主要考查有理数混合运算的应用，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． 24．计算： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)9 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据乘方的定义直接计算即可得到答案； （2）根据乘方的定义直接计算即可得到答案； （3）根据乘方的定义直接计算即可得到答案； （4）根据乘方的定义直接计算即可得到答案； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 【点睛】本题考查乘方的定义：n个a相乘叫的n次方，记作，掌握乘方的定义是解题的关键． 25．计算： （1）；       （2）       （3）；       （4） （5） （6） （7） （8） 【答案】（1）16；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） 【分析】（1）根据有理数的乘方计算法则求解即可； （2）根据有理数的乘方计算法则求解即可； （3）根据有理数的乘方计算法则求解即可； （4）根据有理数的乘方计算法则求解即可； （5）根据含乘方的有理数混合计算法则求解即可； （6）根据含乘方的有理数混合计算法则求解即可； （7）根据含乘方的有理数混合计算法则求解即可； （8）根据含乘方的有理数混合计算法则求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算，绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解． 26．综合与实践： 【阅读材料】定义“*”运算： ； ； ； ； ； ． (1)【发现】归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________． (2)【实践】计算：________． (3)【提升】是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； (2)17 (3)， 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用． （1）首先根据运算的运算法则进行运算的算式，归纳出运算的运算法则即可；然后根据：；，可得：0和任何数进行 运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方． （2）根据（1）中总结出的运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可． （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方． 故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； （2） ． 故答案为：17 （3）， ，， 解得，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 有理数的乘方 （知识清单+14大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 有理数幂的概念理解 题型二 有理数的乘方运算 题型三 有理数乘方逆运算 题型四 乘方运算的符号规律 题型五 乘方的应用 题型六 程序流程图与有理数计算 题型七 算“24”点 题型八 含乘方的有理数混合运算 题型九 计算器——有理数 题型十 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型十一 将用科学记数法表示的数变回原数 题型十二 求一个数的近似数 题型十三 求近似数的精确度 题型十四 近似数推断取值范围 知识清单 知识点1．有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 知识点2．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点3．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点4．近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点5．科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 题型练习 【题型一】有理数幂的概念理解 【例1】（24-25七年级上·广西南宁·期中）的底数是（   ） A． B． C．3 D．9 【举一反三】 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）式子可以表示为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·云南昭通·期中）的底数是 ，指数是 ． 3．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）仔细观察下列算式：，． (1) ； (2) ； (3) ． 【题型二】有理数的乘方运算 【例2】（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）计算的值是（  ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）下列各组数相等的有（   ） A．与 B．与 C．与0.3 D．与a 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则记为，例如，则． （1）根据上述规定，直接写出 ． （2）若，，则 ． 3．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 【题型三】有理数乘方逆运算 【例3】（2023·山东枣庄·一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【举一反三】 1．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知，那么 ； 的立方等于． 3．（22-23七年级上·重庆云阳·期中）请认真阅读下面材料，并解答下列问题． 如果  的次幂等于，即指数式，那么数叫做以为底的对数，对数式记作：例如： ①因为指数式，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：； ②因为指数式，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：． (1)请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式： ①；② (2)将下列对数式改为指数式： ①=2 ② (3)计算： 【题型四】乘方运算的符号规律 【例4】（23-24七年级上·全国·课堂例题）有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【举一反三】 1．（23-24七年级上·河北唐山·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 3．（22-23七年级上·福建福州·期中）观察下面的三行数． ① ② ③ (1)第①行第n个数是___________，第②行第n个数是___________，第③行第n个数是___________． (2)是否存在某一列的三个数的和为2187，若存在，请求出这三个数：若不存在，请说明理由． 【题型五】乘方的应用 【例5】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）观察下列算式：……通过仔细观察，的末尾数字是（  ） A．1 B．3 C．7 D．9 【举一反三】 1．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ）      A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·北京·期中）我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天 3．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【题型六】程序流程图与有理数计算 【例6】（24-25七年级上·福建宁德·期中）如图是一个简单的运算程序．若输入x的值为2，则输出的数值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 【举一反三】 1．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（   ） A． B． C． D．1 2．（24-25七年级上·北京·期中）如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，则输出的值为 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）小亮在电脑上设计了一个有理数的运算程序：输入a，按“*”键，再输入b，得到运算． (1)求的值； (2)小明在运算程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”，猜想他在输入数据时，可能出现什么情况，为什么？ 【题型七】算“24”点 【例7】（七年级上·湖北鄂州·期末）“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【举一反三】 1．（24-25七年级上·四川成都·期末）24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 ． 2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ． 3．（24-25七年级上·山东威海·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【题型八】含乘方的有理数混合运算 【例8】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河南安阳·期末）我们平常用的数是十进制的数，如，表示十制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，等于十进制的数15；等于十进制中的数21．请问二进制中的等于十进制中的数（　　） A．50 B．51 C．52 D．53 2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）计算机的二进制数据是用和两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”，二进制数和十进制数可以互换，例如，二进制“”转换成十进制数表示的数为．依此算法，二进制“”转换成十进制数表示的数是 ． 3．（24-25七年级上·四川南充·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【题型九】计算器——有理数 【例9】（2024七年级上·全国·专题练习）在计算器的键盘中，表示开启电源的键是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）使用计算器时，下列按键顺序正确的是（    ） A．： B．： C．： D．： 2．（24-25七年级上·山东青岛·期末）用图1所示的科学计算器按图2的按键顺序进行操作，则计算结果为 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型十】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例10】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）据统计，年双十一当天，天猫成交额亿，亿用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）今年 月 日是我国第四个文化和自然遗产日．目前我国世界遗产总数居世界首位，其中自然遗产总面积约 ．将 用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川南充·期中）文化和旅游部近日公布2024年国庆节假期文化和旅游市场情况，经旅游部市场中心测算，国庆节假日7天，全国国内出游亿人次，国内游客出游总花费约7008亿元，将7008亿用科学记数法表示为 ． 3．（24-25七年级上·河南周口·期中）现需要将长为，宽为，高为的大理石运往某地修建革命历史博物馆． (1)求每块大理石的体积．（结果用科学记数法表示） (2)如果一列火车总共运送了2000块大理石，每块大理石约重3500千克，估计这列火车总共运送了多少吨大理石． 【题型十一】将用科学记数法表示的数变回原数 【例11】（2024七年级上·全国·专题练习）今年第一季度我国增值税、消费税比上年同期增收元，也就是说增收了（   ） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．万元 【举一反三】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）今年“五一”假期，湖南省文旅市场持续升温，文旅经济强劲复苏．根据全省十四个市州综合测算情况汇总，今年“五一”假期全省共接待游客人次，同口径比去年“五一”假期增长了，数据的位数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（2024七年级上·全国·专题练习）莲花湖湿地公园占地面积用科学记数法表示为平方米，则原数为 万平方米． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列是用科学记数法表示的数，原数是什么？ ，． 【题型十二】求一个数的近似数 【例12】（24-25七年级上·重庆江北·期中）把精确到百分位得（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东·期中）用四舍五入法取近似数，则0.25962精确到千分位是（    ） A．0.25 B．0.259 C．0.260 D．0.2596 2．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）将5.807用四舍五入法精确到百分位为 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）用四舍五入法，按括号内的要求对下列各数取近似数： (1)2.604（精确到十分位）； (2)40353（精确到百位）； (3)0.0234（精确到0.01）； (4)1.81万（精确到万位）． 【题型十三】求近似数的精确度 【例13】（24-25七年级上·重庆江津·期中）对有理数a取近似数的结果为3.5万，则a精确到了（   ） A．十分位 B．百分位 C．千位 D．千分位 【举一反三】 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）今年某市参加中考的考生人数约为（    ） A．精确到个位 B．精确到十位 C．精确到百位 D．精确到千位 2．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）2024年国庆假期，呼和浩特铁路日客运量日均超过18万人次，总客运量为125.9万人次，其中125.9万精确到 位． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)； (2)； (3)； (4)万； (5)． 【题型十四】近似数推断取值范围 【例14】（2024七年级上·全国·专题练习）近似数所表示的准确值的范围是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山东德州·期中）一个数精确到十分位的结果是，那么这个数的范围满足（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川德阳·期中）小飞测量身高近似米，若小飞的实际身高为x米，则x的取值范围是 ． 3．（七年级·全国·假期作业）对非负有理数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．例如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜18.75＞＝＜19.499＞＝19，…． 解决下列问题： （1）＜π＞＝　　（π为圆周率）； （2）如果＜2x﹣1＞＝3，则有理数x有最　　　（填大或小）值，这个值为　　　　　　． 好题必刷 一、单选题 1．节肢动物是最大的动物类群，目前已命名的种类有120万种以上，将数据120万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．随着2022年地方两会的渐次闭幕，各地2022年的成绩单也陆续浮出水面。纵观各地公布的数据，2022年我国又有3个省份参加万亿俱乐部，至此，全国共有17个省份总量超过万亿元。其中，2022年贵州省生产总值约()亿元，比上年增长，增速比上年加快个百分点．其中用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 3．在近似数0.2017中，共有（　　）有效数字． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表所示： 十进制 1 2 3 4 5 6 7 8 … 二进制 1 10 11 100 101 110 111 1000 … 观察二进制为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制的数，当二进制为6位数时，能表示十进制中的最大数是（    ） A．61 B．62 C．63 D．64 5．学科融合射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（    ） A． B． C． D． 6．（   ） A． B． C． D． 7．下列各组数中，相等的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．已知三个有理数a，b，c的积是负数，它们的和是正数，当x时，代数式x19﹣x+2的值为（　　） A．0 B．2 C．4 D．5 9．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 10．如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x是2，则经过2021次输出的结果是（　　） A．1 B．3 C．4 D．8 二、填空题 11．计算：= 12．计算： ． 13．的底数是 指数是 结果是 14．规定一种新运算：，如，计算： ． 15．按照以下程序图输入的值为，则输出的值为 ． 16．清晨蜗牛从树干底部沿着树干往上爬，树高10m，白天爬4m，夜间下滑3m，它首次从树干底部爬上树顶，需 天． 17．“转化”是一种解决问题的常用思想，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式转化为．请你观察图②，利用转化的方法计算： ． 18．某儿童服装店老板以元的价格买进件连衣裙，针对不同的顾客，件连衣裙的售价不完全相同，若以元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，记录结果如下表： 售出件数 售价（元） 该服装店售完这件连衣裙后，赚了 元． 三、解答题 19．有一桶油重千克，第一次取出桶里的，第二次取出余下的，求桶里还剩多少千克油？ 20．计算： (1)； (2)． 21．计算： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 22．计算：． 23．某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为该校6年1班42人参加跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个． 跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6 人数 6 12 2 7 10 5 (1)6年1班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？ (2)规定跳绳超过标准数量，每多跳1个绳加3分，规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个绳，扣1分，若班级跳绳总积分超过285分，便可得到学校的奖励，通过计算说明6年1班能否得到学校奖励？ 24．计算： (1)； (2)； (3)； (4). 25．计算： （1）；       （2）       （3）；       （4） （5） （6） （7） （8） 26．综合与实践： 【阅读材料】定义“*”运算： ； ； ； ； ； ． (1)【发现】归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________． (2)【实践】计算：________． (3)【提升】是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$